成品油输油管布置的优化设计

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：成品油输油管布置的优化设计摘要：对于如何在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油使建立管线建设费用最省的问题，

3、本文通过对问题（1）：公用管线与非公用管线费用相同的情况下，采用了费尔马点的方法对所建立的模型进行分析求最短铺设路线也就是费用最低；在公用管线与非公用管线费用不同的情况下我们采用了二元函数求极值的方法对问题进行了分析，解决了如何铺设管线使费用最低的问题，建立了铺设管线费用最节省的模型。问题（2）对公用管道与非公用管道费用相同的情况下，考虑到城市的拆迁费用的问题，对这一复杂的情形进行具体的设计，尽量减少投资及拆迁费用。在管线的铺设费用相同的情况下，通过标度法考虑三个工程咨询公司的权重的问题，用加权平均数的方法确定了铺设在城区的管线所增加的拆迁和工程补偿等附加费用，建立线性规划模型，再利用ling

4、o求出最低费用。问题（3）在以上建立的模型基础上，根据炼油厂的生产能力，选用了相应的油管，以及考虑到管线铺设费用的不同、拆迁等附加费，进行了线性规划，给出了目标函数和约束条件，再利用lingo求出了线性规划的解，给出了管线最佳铺设布置方案以及最少费用。根据此题所建立的模型可以推广应用到其它管道工艺方案优化设计，例如废水、泥浆、原油、天然气、矿浆、煤浆、水、啤酒管道等传送线路的优化设计，管道布置的设计解决实际问题有着重要的意义关键词：费尔马点 ；二元函数求极值； 线性规划； 成品油管道；优化设计一问题重述目前在铁路沿线两侧建造炼油厂和铺设输油管道，建设车站具有一定的普遍性，比较经济适用，现在要在

5、铁路线一侧建造两家炼油厂，并且同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。我们需要对输油管道线路进行优化布置，提出设计方案，使建立管线建设费用最省，以便节约建设成本和输油费用。1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，要求我们提出合理的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，需考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2.现有两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为 = 5，b= 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千

6、米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420目前需对这一更为复杂的情形进行具体的设计，要求设计出管线布置方案及相应的费用，使费用最低。3. 为进一步节省费用，我们可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。此时铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。我们可以设计出管线最佳布置方案及

7、相应的费用。二问题分析为了降低运输成本、节省能源消耗、减少运输中的损耗和管线建设等费用，我们要建立一个布置输油管线建设最经济合理的一般数学模型及方法。首先对所给的题目进行分析，考虑两炼油厂到铁路线距离、两炼油厂间距离、管道费用及拆迁补偿费用等各种不同的情形，我们可以将问题分为两大类，即共用管线与非共用管线费用相同的情况和共用管线与非共用管线费用不同的情况。在这里我们通过假设验证建立数学模型求解找出输油管道的最短路线以及费用最省的线路，最后在对建立的模型进行优化。输油管道布置问题的优化设计是为了节省建设成本。由于题目没有给出具体的数值，所以要假设若干个变量。通过线性几何关系利用若干个变量表示出目

8、标函数。基于上面的分析，我们要做的是在共用管线与非共用管线费用相同的情况下把“费尔马点”法推广至输油管道布置的优化设计的具体化中，找出最短的距离；在共用管线与非共用管线费用不同的情况下，通过某种方式把输油管道进行铺设，使输油管铺设费用最省，再根据所建立的模型进行下面过程的求解。 对题目所给的三家工程咨询公司进行估价权重以确定合理的附加费用。接下来对管线布置方案编写程序，用数学软件lingo进行求解。三符号说明:A厂油管费用（单位：万元/千米）；:L厂油管费用（单位：万元/千米）；:公用油管费用（单位：万元/千米）；Y:铺设管道总费用（单位：万元/千米）；H：EF之间的长度（单位：千米）；：公用

9、管线与非公用管线相同的情况下的费用（单位：万元/千米）。四模型假设1.假设输油管道在输油过程中不受温度、压力等外界因素的影响。2.假设油品在运输过程中的损耗很少，可以忽略不计。3.假设输油管的口径对输油速度不产生影响。4.假设两个炼油厂输送的成品油是同一种，在共用管道运输时不会出现混油现象。5.假设输油管道完全适应当地地形的需要。五模型的建立与求解5.1.1共用管线与非公用管线费用相同的情形过点A、点B分别作直线OD的垂线，垂足为点O、点D，以O为原点，以OD为x 轴，OA为y轴建立直角坐标系（如图1所示）。、图1设点，点(不妨设)，点，点C到OD的距离为CP. 由题意知,欲使输油管道的铺设费

10、用最少，只需AC+BC+PC 最小，易知点C一定在四边形ALDO的内部 (包括边界)。若，即点C在直线的上方时,由于AC+BC+PCAB+PCAB+AC。所以，AC+PC+BC 取得最小值时，点C不可能在A点的上方，故 .为了便于问题的解决,我们先固定的大小,使点C在直线上移动.设点A关于直线:的对称点为,则的坐标为.记,由平面几何知识可知:记 由，得 = 即 =0 =0 或(舍)又由 （1）当时，易判断既在区间上单调递减。此时，易求出点O的坐标为,即点C与点A重合时，s最小。（2）当易判断在区间上单调递减，在区间上单调递增。由可知点的坐标为直线的方程为:;直线为：联立方程组得:C的坐标为时，

11、s最小（3）当时，易判断即在区间上单调递增。 此时，直线的方程为：, 令得点的坐标为时，s最小。终上所述：(1)当时；,此时点的坐标为，管线费用Y最省，费用为；(2)当时，此时点的坐标为，管线费用Y最省，费用为； (3)当, 此时点的坐标是，管线费用Y最省，费用为。5.1.2共用管线与非共用管线费用不同的情形以OD为轴，OA为轴建立直角坐标系（如图2所示），设点C,且直线AC于NC的夹角为，直线CB于CM的夹角为。图2由题意知：由得即同理由得如图（2）即同理得如图（2）联立（5）（6）得 故当点C位于()费用最低，其最小值可用lingo来求得。5.2输油管在铺设费用相同时具体布置的情况图3此情

12、况下两炼油厂的具体位置已知，所有管线的铺设费用均相同。但是铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司进行评估。根据标度法确定三家咨询公司的权重：1. 每两个工程咨询公司中资质无法判别，则给两公司都记做；2. 每两个工程咨询公司资质有区别，高者为，低者为；每次只对两个工程咨询公司进行比较，因此，若有 个工程咨询公司，就要比较次。我们将三个工程咨询公司相互比较结果记录为下图：比较次序公司一公司二公司三公司一00公司二11公司三11列之和211权重0.50.250.25各工程咨询公司估价的权重等于列的和/。即三个工程咨询公司权重为0.5,0.25

13、，0.25。所以拆迁、补偿附加费用万元/千米。考虑到目标函数的复杂以及约束条件的限制，推荐使用数学应用软件lingo进行此线性规划问题的求解。求出的结果将在下面“模型求解及验证”中给出，我们可以建立以下的数学模型。假设C点坐标为,EF为，那么就可以得到如下的函数关系，即目标函数:约束条件：; ; ;该模型的求解，我们借助lingo软件进行计算，具体程序见附录一。解得:282.6973;=1.853788； =5.449400； =7.367829； 故在所有管线铺设费用相同的情况下，我们只需将车站建在点P（5.449400，0）处，公用管线的长度为1.853788，管线铺设总费用为282.69

14、73万元5.3输油管在铺设费用不相同时具体布置的情况在问题二的基础上（如图3），根据炼油厂的生产能力，使用的输油管也不一样，输油管的铺设费用根据炼油厂的生产能力不同而不同。为了进一步的节省费用，由管线铺设费用的不同对目标函数进一步增加约束条件，由几何关系并运用线性规划列出最佳布置输油管线路费用的目标函数。同理可以得到如下的函数关系，即目标函数:约束条件： 该模型的求解，我们仍然借助lingo软件进行计算，具体程序见附录二。 解得： 251.9685 =0.1388990=6.733784=7.279503 因此我们只需将车站建在点P（6.733784，0），即输油管由、分别将成品油输向C（6.

15、733784,0.1388990）在转向。故在各段管线铺设费用不相同的情况下，公用管线的长度为0.1388990，管线铺设总费用为251.9685万元六模型的评价与改进本文总共有三个问题，给出了在各种约束条件下输油管的最短路径以及费用最省的计算方法，具有较强的实用性和通用性，在现实生活中经常会遇到这些情况，在忽略其他限制条件的情况下，公用管道与非公用管道费用相同时，我们采用费尔马点的方法进行求解，经过几何关系的推算以及生活中的实际，计算验证得出的结果，从而达到解决实际问题的目的。对于第二问的复杂情形，我们在第一问的基础上利用lingo软件进行求解，解决实际问题，在本题的最后一问中，也用ling

16、o软件进行求解，加以约束条件，解决了这个与实际问题非常接近的问题，具有很好的现实意义 。但也存在着一些缺点，问题中步骤太多，需要进行繁琐的计算，降低了运算结果的精确度。忽略了某些客观因素的影响。尽管这些因素的影响很小，但还是避免不了所求结果与实际生活中结果产生偏差。我们所研究的问题建立的模型，本题中我们做了许多假设是为了使问题便于研究，这或许对模型的实际意义或多或少产生影响。本问题中所建立的模型，对于许多数学问题的解题方法和途径都有一定的指导意义，用此题所建的模型可以优化现实生活中遇到的很多困难。再将实际问题抽象成数学问题的时候，根据数学建模的思想以及步骤，会做出一定的假设，因此会导致一定的误

17、差，因此不同的实际问题，要根据具体的情况认真考虑，得出最优的设计方案，对于解决实际问题具有很重要的意义。参考文献： 1 朱道元，数学建模案例精选，北京：科学出版社，20032 吴翊，吴孟达，成礼智，数学建模的理论与实践，长沙：国防科技大学出版社，19993 周义仓 , 赫孝，数学建模实验（第二版），西安：西安交通大学出版社， 20074 蔡锁章，数学建模：原理与方法，北京：海洋出版社，20005 胡桂松 ，由“费尔马点”问题引发的联想，数学通报,1-3 ，2005.1附录一：求解5.2的最优目标函数的lingo程序及运算结果程序：min=7.2*(sqrt(5-m)*(5-m)+n*n)+sq

18、rt(15-n)*(15-n)+(h-m)*(h-m)+sqrt(25+(8-h)*(8-h)+m)+21.5*sqrt(25+(8-h)*(8-h);bnd(0,m,5);bnd(0,n,20);bnd(0,h,8); 运算结果： Local optimal solution found. Objective value: 282.6973 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 152 Variable Value Reduced Cost M 1.853788 0.1942401E-07 N 5.449400 0.2253748E-07 H 7.367829 -0.1136163E-07 -0.1136163E-07 Row Slack or Surplus Dual Price 1 282.6973 -1.000000附录2：求解5.3的最优目标函数的lingo程序程序：min=5.6*sqrt(5-m)*(5-m)+n*n)+6*sqrt(15-n)*(15-n)+(h-m)*(h-m)+6*sqrt(25+(8-h)*(8-h)+7.2*m+21.5*sqrt(25+(8-h)*(8-h);bnd(0,m,5);bnd