第4章 多自由度系统的振动(2)

1、 2021年6月24日 2 系统微分方程的方法系统微分方程的方法 多自由度系统振动多自由度系统振动 nnnjn nj nj mmm mmm mmm . . . . 1 2221 1111 M nnnjn nj nj kkk kkk kkk . . . . 1 2221 1111 K 小结：小结：刚度矩阵和质量矩阵的确定刚度矩阵和质量矩阵的确定 刚度矩阵刚度矩阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单 位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。 第第j个坐标产个坐标产 生单位位移生单位位移 刚度矩阵第刚

2、度矩阵第j 列列 系统刚度矩系统刚度矩 阵阵 j=1n 确定确定 nnnjn nj nj mmm mmm mmm . . . . 1 2221 1111 M nnnjn nj nj kkk kkk kkk . . . . 1 2221 1111 K 质量矩阵质量矩阵 M 中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单 位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。 ij m 第第j个坐标单个坐标单 位加速度位加速度 质量矩阵第质量矩阵第j 列列 系统质量矩系统质量矩 阵阵 j=1n 确定确定 、 ij m ij k 又分

3、别称为又分别称为质量影响系数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根据它们的物。根据它们的物 理意义可以直接写出矩阵理意义可以直接写出矩阵 M 和和 K，从而建立作用力方程，这种，从而建立作用力方程，这种 方法称为方法称为影响系数方法。影响系数方法。 2021年6月24日 振动力学 5 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2021年6月24日 振动力学 6 多自由度系统的固有频率多自由度系统的固有频率 作用力方程：作用力方程： tMXKXP( ) n RX 自由振动方程：自由振动方程： MXKX0 在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的在

4、考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同同 步振动步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外， 随时间变化的规律都相同的运动随时间变化的规律都相同的运动 。 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 和单自由度系统一样，自和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频由振动时系统将以固有频 率为振动频率。率为振动频率。 2021年6月24日 振动力学 7 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 同步振动：同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相系统在各个坐标上除

5、了运动幅值不相 同外，随时间变化的规律都相同的运动同外，随时间变化的规律都相同的运动 。 振动形式振动形式1 振动形式振动形式2 振动形式振动形式3 三自由度系统三自由度系统 一、多自由度系统的固有频率一、多自由度系统的固有频率 自由振动方程：自由振动方程： 0KXXM )(tfX 1 )(Rtf 代表着振动的形状代表着振动的形状 常数列向量常数列向量 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 T n 21 T n xxx 21 X 同步振动：同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时 间变化的规律都

6、相同的运动。间变化的规律都相同的运动。 运动规律的时间函数运动规律的时间函数 2021年6月24日 振动力学 9 MX+KX = 0 )(tf X 代入，并左乘代入，并左乘 ： T 0KM )()(tftf TT M K T T tf tf )( )( ：常数：常数 2 0令：令： 2 n RX n R 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率 0)()( 2 tftf 0 ,)( 0),sin()( battf tatf a、b、 为常数 为常数 讨论出现形如讨论出现形如 的同步运动。的同步运动。)sin( taX 多自由度系统振动

7、多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率 0)sin(taX 将常数将常数 a 并入并入 中中)sin(tX T n 21 0)( 2 MK 有非零解的充分必要条件：有非零解的充分必要条件：0MK 2 特征方程特征方程 代入振动方程：代入振动方程： MX+KX = 0 代入振动方程：代入振动方程： 0)( 2 MK 有非零解的充分必要条件：有非零解的充分必要条件：0MK 2 特征方程特征方程 0 2 2 2 21 2 1 2 2 222 2 2221 2 21 1 2 112 2 1211 2 11 nnnnnnnn nn nn mkmkmk mkm

8、kmk mkmkmk 2021年6月24日 振动力学 12 0 2 2 2 21 2 1 2 2 222 2 2221 2 21 1 2 112 2 1211 2 11 nnnnnnnn nn nn mkmkmk mkmkmk mkmkmk 0 2 1 )1(2 1 2 nn nn aaa 解出解出 n 个值，按升序排列为：个值，按升序排列为： 22 2 2 1 0 n i ：第第 i 阶固有频率阶固有频率 频率方程频率方程 或特征多项式或特征多项式 仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数。 1 ：基频。：基频。 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多

9、自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率 例：求图示三自由度例：求图示三自由度 系统的固有频率。系统的固有频率。 kk kkk kk 30 2 03 K 0 3 2 1 332331 232221 131211 3 2 1 332331 232221 131211 x x x kkk kkk kkk x x x mmm mmm mmm 0)( 2 MK m 2k mm k 2k k x1x2x3 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率 解：解：1、求刚度矩阵和质量矩阵、求刚度矩阵和质量矩阵 m m m 00 00

10、 00 M 2021年6月24日 振动力学 14 kk kkk kk 30 2 03 K m m m 00 00 00 M 0 30 2 03 3 2 1 2 2 2 mkk kmkk kmk 0)( 2 MK 2 k m 0 310 121 013 3 2 1 0MK 2 1 1 3 2 4 3 m/k 1 m/k.7321 2 m/k2 3 m 2k mm k 2k k x1x2x3 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/固有频率固有频率 2. 求固有频率求固有频率 2021年6月24日 振动力学 15 二、多自由度系统的模态（主振型）二、多自

11、由度系统的模态（主振型） 0 主振动：主振动： )sin( taX 0KXXM n RX nn R KM、 n R 0MK)( 2 特征值问题：特征值问题： 特征值特征值特征向量特征向量 n 自由度系统：自由度系统： （固有频率）（固有频率）（模态）（模态） i )(i 一一对应一一对应 ni1 1 )( )( 1 )( n i n i i R 0MK )(2 )( i i )(i i 、代入，有：代入，有： 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态 第第i 阶模态特征阶模态特征 值问题。值问题。 振动的形状振动的形状 2021年6月24日

12、振动力学 16 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 振动形式振动形式1 振动形式振动形式2 振动形式振动形式3 三自由度系统三自由度系统 2021年6月24日 振动力学 17 0MK )(2 )( i i Ti n ii )()( 1 )( 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 nnnn n 个方程个方程齐次方程组齐次方程组 0 0 0 )( )( 2 )( 1 2 2 2 21 2 1 2 2 222 2 2221 2 21 1 2 112 2 1211 2 11 i n i i nninnninn

13、in ninii ninii mkmkmk mkmkmk mkmkmk 当当 不是特征多项式重根时，上式不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只有一个不独立个方程只有一个不独立. i 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元 素（例如素（例如 ）的项全部移到等号右端）的项全部移到等号右端. )(i )(i n 2021年6月24日 振动力学 18 0MK )(2 )( i i Ti n ii )()( 1 )( 当当 不是特征多项式的重根时，上式不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个方程中有且只有一 个是不独立的个是

14、不独立的 。 i 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元 素（例如素（例如 ）的项全部移到等号右端）的项全部移到等号右端 。 )(i )(i n )( , 1 2 , 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 11 , 1 2 1 , 1 )( 1 2 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 111 2 11 )()()( )()()( i nnninn i nnninn i nin i nnin i nnin i i mkmkmk mkmkmk 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用若这个方程组左端的系数行列式不为零，

15、则可解出用 表示表示 的的 )(i n )( 1 )( 2 )( 1 i n ii ， )(i 否则应把含否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态 n -1个方程个方程非齐次方程组非齐次方程组 2021年6月24日 振动力学 19 为使计算简单，令：为使计算简单，令：1 )( i n T i n iii 1 )( 1 )( 2 )( 1 )( 则有：则有： 0MK )(2 )( i i Ti n ii )()( 1 )( 当当 不是特征多项式的重

16、根时，上式的不是特征多项式的重根时，上式的 n 个方程中有且只有个方程中有且只有 一个不独立一个不独立 。 i 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元 素（例如素（例如 ）的项全部移到等号右端。）的项全部移到等号右端。 )(i )(i n )( , 1 2 , 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 11 , 1 2 1 , 1 )( 1 2 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 111 2 11 )()()( )()()( i nnninn i nnninn i nin i nnin i nnin i i mkmkmk m

17、kmkmk 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态 2021年6月24日 振动力学 20 例：三自由度系统例：三自由度系统 kk kkk kk 30 2 03 K m m m 00 00 00 M 0 30 2 03 3 2 1 2 2 2 mkk kmkk kmk 0)( 2 MK 2 k m 0 310 121 013 3 2 1 0MK 2 1 1 3 2 4 3 mk/ 1 mk/32. 1 2 mk/2 3 2k mmm k 2k k x1x2x3 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动

18、/模态模态 2021年6月24日 振动力学 21 0 310 121 013 3 2 1 1 1 3 2 4 3 以以 为例进行说明：为例进行说明： 1 1 将将 代入，有：代入，有： 1 1 0 210 111 012 3 2 1 02 0 02 32 321 21 由第三个方程，得：由第三个方程，得： 23 5 . 0 05 . 0 221 代入第二个方程：代入第二个方程：02 21 与第一个方程相同与第一个方程相同 方程组中有一式不独立。方程组中有一式不独立。 例如，将第三个方程去掉例如，将第三个方程去掉 321 21 02 0312 11 12 因此若令因此若令 1 3 1 1 2 2

19、 可解出可解出 整理整理 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态 2021年6月24日 振动力学 22 0MK )(2 )( i i Ti n ii )()( 1 )( )( , 1 2 , 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 11 , 1 2 1 , 1 )( 1 2 1 )( 11, 1 2 1, 1 )( 111 2 11 )()()( )()()( i nnninn i nnninn i nin i nnin i nnin i i mkmkmk mkmkmk 令：令：1 )( i n Ti n iii 1 )( 1 )( 2

20、)( 1 )( 解得：解得： )(i n 的值也可以取任意非零常数的值也可以取任意非零常数 i a )(i i a将解得将解得 特征向量特征向量 在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的 值的过程称为值的过程称为归一化归一化 。 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态 2021年6月24日 振动力学 23 0主振动（固有振动）：主振动（固有振动）：)sin(taX 0KXXM n RX nn R KM、 n R )(i i a将将 ， 代入主振动方程代入主振动方程, i i 并将并将改为改

21、为 第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin( )()( iii ii taX Ti n ii xx )()( 1 )( X Ti n ii )()( 1 )( 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态 系统在各个坐标上都将系统在各个坐标上都将 以第以第 i 阶固有频率阶固有频率i 做做 简谐振动，并且同时通简谐振动，并且同时通 过静平衡位置。过静平衡位置。 )sin( )( )( 2 )( 1 )( )( 2 )( 1 iii i n i i i n i i ta x x x 2021年6月24日 振动力学 24 多自由度系统振动多自由度系统

22、振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 第一阶主振动第一阶主振动 第二阶主振动第二阶主振动 第三阶主振动第三阶主振动 三自由度系统三自由度系统 系统在各个坐标上都将以第系统在各个坐标上都将以第 i 阶固有频率阶固有频率i 做做简谐振动，简谐振动， 并且同时通过静平衡位置并且同时通过静平衡位置 1 2 3 2021年6月24日 振动力学 25 第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin( )()( iii ii taX Ti n ii xx )()( 1 )( X Ti n ii )()( 1 )( )( )( )( 2 )( 2 )( 1 )( 1 i n i n i i i i

23、xxx 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 )sin( )( )( 2 )( 1 )( )( 2 )( 1 iii i n i i i n i i ta x x x )sin( iii ta 2021年6月24日 振动力学 26 第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin( )()( iii ii taX Ti n ii xx )()( 1 )( X Ti n ii )()( 1 )( )( )( )( 2 )( 2 )( 1 )( 1 i n i n i i i i xxx 比值：比值： 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统虽然各坐

24、标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统 振动形态已确定振动形态已确定 。 描述了系统做第描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为阶主振动时具有的振动形态，称为第第 i 阶阶 主振型主振型（固有振型）（固有振型），或或第第 i 阶模态。阶模态。 )(i 主振型仅取决于系统的主振型仅取决于系统的 M 阵、阵、K 阵等物理参数。阵等物理参数。 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态 第第 i 阶特征向量阶特征向量 ，就是系统做第，就是系统做第 i 阶主振动时各个坐标上位阶主振动时各个坐标上位 移（或振幅）的相对比值移（或振幅）的相

25、对比值 。 )(i 2021年6月24日 振动力学 27 正定系统：正定系统： 0KXXM n RX nn R KM、 第第 i 阶主振动阶主振动 ：)sin( )()( iii ii taX ni1 系统的自由振动：系统的自由振动： n i iii i nnn n ta tataat 1 )( )( 222 )2( 111 )1( )sin( )sin()sin()sin()( X Ti n ii xx )()( 1 )( X Ti n ii )()( 1 )( n个主振动的叠加个主振动的叠加 模态叠加法模态叠加法 由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有由于各个主振动的固有频率不

26、相同，多自由度系统的固有 振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动。振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动。 ：)1(,nia ii 初始条件决定初始条件决定 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态 2021年6月24日 振动力学 28 例：两自由度弹簧质量系统例：两自由度弹簧质量系统 m2m 2kkk x1x2 求：固有频率和主振型。求：固有频率和主振型。 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态 2021年6月24日 振动力学 29 解：解： 0 0 3 2 20 0 2 1 2 1 x

27、 x kk kk x x m m 动力学方程：动力学方程： 令主振动：令主振动： )sin( 2 1 2 1 t x x 或直接用或直接用 0MK)( 2 0 0 23 2 2 1 2 2 mkk kmk 得：得： m2m 2kkk x1x2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态 2021年6月24日 振动力学 30 0 0 3 2 20 0 2 1 2 1 x x kk kk x x m m 0 0 23 2 2 1 2 2 mkk kmk 0 0 231 12 2 1 0572 231 12 2 0 0 21 21 2 k m 令令

28、特征方程：特征方程： 5 . 2, 1 21 m k m k 581. 1, 21 1 1 为求主振型，先将为求主振型，先将 代入代入 ： 一个独立一个独立 1 2 令令 1 1 则则 1 1 1 ）（ 第一阶主振型：第一阶主振型： 1 2 令令 2 1 则则 5 . 2 2 代入代入 1 2 2 ）（ 第二阶主振型：第二阶主振型： 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动/模态模态 同理：同理： 2021年6月24日 振动力学 31 1 1 1 ）（ 第一阶主振型：第一阶主振型： 1 2 2）（ 第二阶主振型：第二阶主振型： 画图：画图： 横坐标表示

29、静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。 第一阶主振动第一阶主振动: 11 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 m2m 2kkk x1x2 mk / 1 mk /581. 1 2 两个质量以两个质量以1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相 同，而且每一时刻的位移量都相同。同，而且每一时刻的位移量都相同。 aa 同向运动同向运动 ( )( ) sin() ii iii atX 2021年6月24日 振动力学 32 1 1 1 ）（ 第一阶主振型：第

30、一阶主振型： 1 2 2）（ 第二阶主振型：第二阶主振型： 画图：画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值 -2 1 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 m2m 2kkk x1x2 第二阶主振动第二阶主振动: mk / 1 mk /581. 1 2 两个质量以两个质量以2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相 反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。 异向运动异向运动

31、 2aa 2021年6月24日 振动力学 33 1 1 1 ）（ 第一阶主振型：第一阶主振型： 1 2 2）（ 第二阶主振型：第二阶主振型： 第一阶主振动第一阶主振动: 同向运动同向运动 始终不振动点始终不振动点 11 -2 1 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 无节点无节点 一个节点一个节点 m2m 2kkk x1x2 第二阶主振动第二阶主振动: 异向运动异向运动 mk / 1 mk /581. 1 2 节点节点 如果传感器放如果传感器放 在节点位置，在节点位置， 则测量的信号则测量的信号 中将不包含有中将不包含有 第二阶模态的第二阶模态的

32、信息信息 。 练习练习1：图示电车由两节质量均为图示电车由两节质量均为2.28104的车厢组的车厢组 成，中间连接器的刚度为成，中间连接器的刚度为2.86104N/m。求电车振。求电车振 动的固有频率和固有振型。动的固有频率和固有振型。 kk kk K 0 2 1 2221 1211 2 1 2221 1211 x x kk kk x x mm mm 解：解：1、求刚度矩阵和质量矩阵、求刚度矩阵和质量矩阵 m m 0 0 M 0 2 1 2 2 mkk kmk 0)( 2 MK 0 11 11 - - 0MK 2 0 1 2 2 0 1 m/rad.m/k84152 2 2. 求固有频率求固有频率 kk kk K m m 0 0 M 2 k m 令令 3. 求固有振型求固有振型 0 0 21 21 0 为求主振型，先将为求主振型，先将 代入代入