第3章 大学物理刚体力学课件

1、 物体转动时物体转动时, 物体自身大小与形状所不可以忽略，物体自身大小与形状所不可以忽略， 引入刚体模型。引入刚体模型。 质点模型基本上只能描述物体的平动特征。质点模型基本上只能描述物体的平动特征。 本章内容本章内容 3.1 刚体运动学刚体运动学 3.2 力矩力矩 刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律 3.4 刚体刚体绕定轴转动的动能和动能定理绕定轴转动的动能和动能定理 3.3 角动量角动量 角动量矩守恒定律角动量矩守恒定律 是指在任何情况下，都没有形变的物体是指在任何情况下，都没有形变的物体(理想模理想模 型型). 刚体刚体: 3.1 刚体运动学刚体运动学 3.1.1 刚体的平动

2、和转动刚体的平动和转动 刚体的平动刚体的平动可用质点模型描述可用质点模型描述. . 1 平动平动： 2 转动转动: 刚体的一般运动可看作：刚体的一般运动可看作： 随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动 + 的合成的合成 定轴定轴转动和转动和非定轴非定轴转动转动 . 定轴转动：定轴转动：转轴固定不动转轴固定不动. 3.1.2 角速度和角加速度角速度和角加速度 大小：大小： 1 角速度矢量角速度矢量 方向：方向：右手螺旋拇指方向右手螺旋拇指方向. 定轴定轴转动：转动： zz 00 由于组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴由于组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴 作圆周运动，因此前

3、面关于质点圆周运动的全套描述作圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述 方法，此处全部可用。方法，此处全部可用。此处注意方向性。此处注意方向性。 角速度的正负表示方向角速度的正负表示方向.可沿转轴设正方向，可沿转轴设正方向， 2 角加速度：角加速度： dt d 方向沿转轴方向沿转轴 3 角量与线量的关系角量与线量的关系 2 n ar法向加速度法向加速度 切向加速度切向加速度 rv dt dv atr v r A dt d td d 角速度角速度 角加速度角加速度 2 2 d d tdt d 方向：方向：右手螺旋拇指方向右手螺旋拇指方向 方向：方向：沿转轴沿转轴 rv 2 n ar t dv

4、 ar dt 3 角量与线量的关系角量与线量的关系 小结：小结： (A) 沿沿z轴向上轴向上 ; (B) 沿沿z轴向下轴向下 ; (C) 顺时针方向顺时针方向 2 圆盘旋转如图，其角速度方向圆盘旋转如图，其角速度方向 。 z (E) (F) 3若若 ，角速度为，角速度为 。角加速度为。角加速度为 。 2 3t t v d d 上题若为圆盘，半径为上题若为圆盘，半径为r，其边缘切向加速度为，其边缘切向加速度为 。 昨天我们学习了什么？昨天我们学习了什么？ t 6 (G) (H) t v d d 3 t 1 速度定义式速度定义式 ，加速度定义式，加速度定义式 。 t r d d t r d d (

5、A) ; (B) ; (C) ；(D) 22 )3( trtr6 A有力矩有力矩 B无力矩（力矩为零无力矩（力矩为零 ） C不清楚不清楚 1力的方向平行门轴向上，该力相对于力的方向平行门轴向上，该力相对于 门轴门轴 。 2力的延长线通过门轴，该力相对于力的延长线通过门轴，该力相对于 门轴门轴 。 3力与门轴线不在同一平面上力与门轴线不在同一平面上,此力相对此力相对 于门轴于门轴 。 4地球所受太阳引力指向太阳中心点地球所受太阳引力指向太阳中心点O ， 该力相对于该力相对于O点点 。 O 看一下自我学习效果看一下自我学习效果 力作用在刚体上一定能改变刚体的转动状态吗？力作用在刚体上一定能改变刚体

6、的转动状态吗？ 无论力多么大都不能对刚体的转动状态产生影响，无论力多么大都不能对刚体的转动状态产生影响， 我们称为该力无力矩（零力矩）。我们称为该力无力矩（零力矩）。 请同学们用手边的物品分析！请同学们用手边的物品分析！ 分析力矩为零的情况，请选择分析力矩为零的情况，请选择 对对定轴：定轴： 力对固定点：力对固定点： 当力的作用线通过该点，或有心力的力矩为零。当力的作用线通过该点，或有心力的力矩为零。 当力的作用线与轴平行或相交时，当力的作用线与轴平行或相交时， 该力对刚体转动状态不影响，相对于该该力对刚体转动状态不影响，相对于该 轴的力矩为零。轴的力矩为零。 力矩为零的情况：力矩为零的情况：

7、 1 F 2 F 若力对刚体的转动状态有影响，称该力有力矩。若两个若力对刚体的转动状态有影响，称该力有力矩。若两个 力对刚体的转动状态影响相同，称为力矩相同。力对刚体的转动状态影响相同，称为力矩相同。 A 力的大小；力的大小； B 力的方向；力的方向； C 力的大小和方向；力的大小和方向； D力的大小、力的方向、力的作用点；力的大小、力的方向、力的作用点； 1力矩与哪些因素有关？力矩与哪些因素有关？ 2 如果一个垂直于门面的力分别作用在门的中心如果一个垂直于门面的力分别作用在门的中心与边与边 缘缘 ，两种方式中哪个更容易推动一个静止的门？，两种方式中哪个更容易推动一个静止的门？ A 容易；容易

8、； B 容易；容易； C 与与 同样容易；同样容易； D 其它其它 力矩的影响因素分析，请选择：力矩的影响因素分析，请选择： (A) 沿沿z轴向上轴向上 ; (B) 沿沿z轴向下轴向下 ; (C) 顺时针方向顺时针方向 2 圆盘旋转如图，其角速度方向圆盘旋转如图，其角速度方向 。 z (E) (F) 3若若 ，圆盘半径为，圆盘半径为r，其边缘加速度为，其边缘加速度为 。 rtr 2 )2(2 t d d 2 )2( tr 昨天我们学习了什么？昨天我们学习了什么？ r2 (G) (H) t v d d 2 t 1 角速度定义式角速度定义式 ，角加速度定义式，角加速度定义式 。 t r d d t

9、d d (A) ; (B) ; (C) ；(D) nt e rte r 2 )2(2 对对定轴：定轴： 力对固定点：力对固定点： 当力的作用线通过该点，或有心力的力矩为零。当力的作用线通过该点，或有心力的力矩为零。 当力的作用线与轴平行或相交时，当力的作用线与轴平行或相交时， 该力对刚体转动状态不影响，相对于该该力对刚体转动状态不影响，相对于该 轴的力矩为零。轴的力矩为零。 力矩为零的情况：力矩为零的情况： 1 F 2 F O F d 2 如图两个力分别作用在门的边缘与中心，在对门的转如图两个力分别作用在门的边缘与中心，在对门的转 动产生影响大小相同的情况下（门保持静止），测量一动产生影响大小

10、相同的情况下（门保持静止），测量一 下力，看二力的大小？下力，看二力的大小？ 请同学们动手测量！请同学们动手测量！ 21 FF 力矩表达式的构成分析：力矩表达式的构成分析： 2/ l 是否有结论：是否有结论： sinFrM 90sin 2 150sin 21 l FlF 那么力矩表达式该是怎样形式？那么力矩表达式该是怎样形式？ r 力的作用点相对于力的作用点相对于 O点的位置矢量点的位置矢量 写成矢量运算：写成矢量运算：FrM 产生逆时针转动产生逆时针转动 Fd O l 2 F 1 F 150 90 1. 1. 力对点力对点o的力矩的力矩 O . FrM O r o M F FdsinFrM

11、力臂力臂 : d 从参考点从参考点o到力到力F 作用线作用线的垂直距离。的垂直距离。 : 力臂力臂d 的夹角与是Fr 单位：单位：牛顿米牛顿米mN 方向：方向：右手螺旋拇指方向右手螺旋拇指方向 大小：大小： 3.2.1 力矩力矩 将会产生质点绕以该方向为轴的逆时针转动。将会产生质点绕以该方向为轴的逆时针转动。 r F / F d F A z M 对定轴转动，力矩用正负表示方向。对定轴转动，力矩用正负表示方向。 1 F 2 F 2 M 1 M 平行于转轴，相对转轴无力矩；平行于转轴，相对转轴无力矩； / F 力力 F 对对Z轴的力矩轴的力矩等于等于 对对Z轴的力矩。轴的力矩。 F 0 1 M0

12、2 M 2. 力力 F 对转轴的对转轴的力矩力矩 dF FrM sinrFM 力臂力臂 : d 力矩方向力矩方向： 力矩大小：力矩大小： 右手螺旋拇指方向右手螺旋拇指方向. 与所引起转动方向成右手螺与所引起转动方向成右手螺 旋方向旋方向. 转轴转轴与力与力 作用线作用线的距离。的距离。 F 3.3.合合力矩力矩 321 MMMM 对同一定轴的合力矩对同一定轴的合力矩等于各分力矩的等于各分力矩的代数和代数和 i MM 与正方向相同的力矩取与正方向相同的力矩取 正值，相反的取负值正值，相反的取负值. 看看我们对概念的掌握情况看看我们对概念的掌握情况： （ 1 ）以下合力矩与合力均为零的情形是）以下

13、合力矩与合力均为零的情形是 F F F F F F A B C O l m 重力对棒力矩等于重力全部重力对棒力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩。集中于质心所产生的力矩。 mglM 2 1 水水平平位位置置时时 （2 2）粗细均匀、质量均匀的棒，重力对）粗细均匀、质量均匀的棒，重力对O轴的力矩？轴的力矩？ mg mg cos 2 1 mglM 倾倾斜斜位位置置时时 请课下思考：请课下思考：建筑工地上经常要移动比人的体重大建筑工地上经常要移动比人的体重大 得多的石块，如果你只有一根长铁杆和一些小石块得多的石块，如果你只有一根长铁杆和一些小石块 与木块，如何移动？与木块，如何移动？ JM MJ

14、 合力矩合力矩刚体对刚体对 z z 轴轴 的的转动惯量转动惯量 (2) 力矩相同，力矩相同， 实验证明实验证明 (3) 与牛顿定律比较：与牛顿定律比较： ,MF Jma 讨论讨论 在国际单位中在国际单位中 3.2.2 刚体刚体对对定轴定轴的的转动定律转动定律 (1) M 正比于正比于 ，力矩越大力矩越大，刚体的刚体的 越大；越大； 注意：注意：合力矩与刚体的合力矩与刚体的转动惯量相转动惯量相对于同一轴。对于同一轴。 大大小小，小小大大JJ amF JM 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律：作定轴转动的刚体，在：作定轴转动的刚体，在 合外力矩合外力矩 M 的作用下，所获得的的作用下，所获得的角

15、加速度与合角加速度与合 外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反 比。比。 J 是转动惯性大小的量度是转动惯性大小的量度 。 z 转动定律转动定律推导推导 i m i r O i F 合外合 MM JM 2 iir mJ 转动惯量转动惯量 2 )( ii rm 思想：刚体由质点组成，运用牛顿第二定律以及力矩思想：刚体由质点组成，运用牛顿第二定律以及力矩 定义定义. 通过推导转动定律，通过推导转动定律， 获得获得转动惯量转动惯量的表达式的表达式. 单位：单位：kgm2 质量连续分布质量连续分布 mrJd 2 影响转动惯量大小的因素影响转动惯量大小的因素:

16、总质量、质量分布、转轴的总质量、质量分布、转轴的 位置位置 3.2.3 转动惯量转动惯量 请选择请选择：质量相同，外半径相同，猜想相对各自中心质量相同，外半径相同，猜想相对各自中心 轴的转动惯量是否相同？轴的转动惯量是否相同？ 单个质点：单个质点： 2 mrJ A 大于大于 ； B 小于小于 C 等于等于 ； D 其它其它 2 iir mJ JM mrJd 2 请思考请思考：如果你是走钢丝的杂技演员，采取什么办法让如果你是走钢丝的杂技演员，采取什么办法让 自己走得稳一些？自己走得稳一些？ 关于转动惯量的计算，同学们自己看书，第关于转动惯量的计算，同学们自己看书，第61页例页例3.2. 教材第教

17、材第63页表页表3.1给出几种常见均质刚体的转动惯量。给出几种常见均质刚体的转动惯量。 不规则形状物体的转动惯量需要通过实验测量得到。不规则形状物体的转动惯量需要通过实验测量得到。 平行轴定理平行轴定理 z d C m z J c J d : :刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量 : :刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴 : :两轴间垂直距离两轴间垂直距离 2 mdJJ C 3.2.4 刚体的定轴转动定律的应用刚体的定轴转动定律的应用 刚体的定轴转动定律亦可表示为刚体的定轴转动定律亦可表示为 dt d JJM 例例3.3 一飞轮以初角速度一飞轮以初角速度 绕绕 z轴转动，已知空轴转

18、动，已知空 气的阻力矩与角速度成正比，即气的阻力矩与角速度成正比，即 ，其，其 中比例系数中比例系数k为常量。已知飞轮的转动惯量为为常量。已知飞轮的转动惯量为J， 求求：(1) 经过多长时间，飞轮转动的角速度减少为经过多长时间，飞轮转动的角速度减少为 的三分之一？的三分之一？(2)在此时间内，飞轮共转过的圈数在此时间内，飞轮共转过的圈数 为多少？为多少？ 0 kM 0 已知力矩求角加速度，通过积分计算角速度已知力矩求角加速度，通过积分计算角速度 (1) 根据刚体的定轴转动定律，有根据刚体的定轴转动定律，有 dt d dt J k d 1 所以所以 t J k e 0 即即3ln k J t (

19、1) 经过多长时间，飞轮转动的角速度减少为经过多长时间，飞轮转动的角速度减少为 的的 三分之一？三分之一？ 0 J k J M J k dt d t dt J k d 0 0 1 3 1 0 解：解：(2)由角速度定义，有由角速度定义，有 t J k dt d e 0 tt J k dtd 0 0 0 e k J 3 0 飞轮转过的圈数为飞轮转过的圈数为 k J N 62 0 (2)在此时间内，飞轮共转过的圈数为多少？在此时间内，飞轮共转过的圈数为多少？ dtd t 00 mrJd 2 4转动惯量：转动惯量： 1. 力矩定义：力矩定义： 昨天我们学习了什么？昨天我们学习了什么？ r F / F

20、 d F z 3 转动定律表达式：转动定律表达式： 2什么情况下所施加的力无力矩（零力矩）：什么情况下所施加的力无力矩（零力矩）： FrM 对对定轴：定轴： 对固定点：对固定点：当力的作用线通过该点，或有心力的力矩为零。当力的作用线通过该点，或有心力的力矩为零。 当力的作用线与轴平行或相交时，该力对刚体转动状态当力的作用线与轴平行或相交时，该力对刚体转动状态 不影响，相对于该轴的力矩为零。不影响，相对于该轴的力矩为零。 JM dFM力矩大小：力矩大小： 与所引起转动方向成右手螺旋与所引起转动方向成右手螺旋. 方向：方向： 质量连续分布：质量连续分布： mrJd 2 单个质点：单个质点： 2 m

21、rJ 1.隔离物体，分析受力：质点画出所的有力；隔离物体，分析受力：质点画出所的有力； 刚体画出相对于同一转轴有力矩的力。刚体画出相对于同一转轴有力矩的力。 2.设定正方向（设定正方向（转动和平动的正方向要一致转动和平动的正方向要一致,如运如运 动方向为正方向）。动方向为正方向）。 xx maF yy maF 对于对于质点，质点，将力分解在相互垂直的方向上，求每个将力分解在相互垂直的方向上，求每个 垂直方向上的合力，根据牛顿第二定律列出表达式。垂直方向上的合力，根据牛顿第二定律列出表达式。 对于对于刚体，刚体，求相对于同一转轴的合力矩，并应用转求相对于同一转轴的合力矩，并应用转 动定律。动定律

22、。 解题：解题： JM 3.根据运动定律写出表达式根据运动定律写出表达式 例例3.4 斜面倾角为斜面倾角为, ,位于斜面顶端的卷扬机的鼓位于斜面顶端的卷扬机的鼓 轮半径为轮半径为r，转动惯量为，转动惯量为J，受到，受到驱动力矩驱动力矩 作用，作用， 通过绳索牵引斜面上质量为通过绳索牵引斜面上质量为m的物体，物体与斜的物体，物体与斜 面间的面间的摩擦系数摩擦系数为为，求求重物上滑的加速度。重物上滑的加速度。(绳绳 与斜面平行，绳的质量不计，且不可伸长与斜面平行，绳的质量不计，且不可伸长) M r m M 选运动方向为正方向。选运动方向为正方向。 根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有 mamg

23、fTsin y方向方向0cosmgN Nf 对物体：对物体：受力分析受力分析 r m M P x y N T x方向方向（正方向）（正方向） 对鼓轮：对鼓轮： 正方向垂直于纸面指向读者正方向垂直于纸面指向读者 JrTM根据转动定律根据转动定律 TT ra 其中其中 r T M f 2 sincos mrJ mgrmgrM a 例例3.5一根细绳跨过固定在电梯顶部的定滑轮，一根细绳跨过固定在电梯顶部的定滑轮，滑滑 轮的质量轮的质量为为m，半径为，半径为R。在绳的两侧各悬挂有质。在绳的两侧各悬挂有质 量为量为M和和m的小球的小球(Mm)，设设细绳的质量忽略不计细绳的质量忽略不计， 且细绳不可伸长。

24、且细绳不可伸长。求求：当电梯静止时，两球的加：当电梯静止时，两球的加 速度和细绳的张力。速度和细绳的张力。 M m m P m T m m a M P M T M M a M T m T ？ 受力分析受力分析 m T M T R MM TT mm TT m T M T RMM TT mm TT 根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有 MM MaTMg mm mamgT- 根据刚体定轴转动定律，有根据刚体定轴转动定律，有 JRTRT mM Raa mM 且有且有 m P m T m m a M P M T M M a 滑轮的转动惯量为滑轮的转动惯量为 2 2 1 RmJ 选运动方向为正方向。选

25、运动方向为正方向。 将上面方程联将上面方程联 立，可解得立，可解得 mmM gmM aa mM 2 1 mmM gmmM TM 2 1 2 1 2 mmM gmMm Tm 2 1 2 1 2 若将若将m略去，即可略去，即可 得到第二章例题得到第二章例题1 中的结果。中的结果。 MM TT(4) mm T T (1) MM MgTMa (2) mm mgTma (3) Mm TRT RJ (5) Mm aaR F O r (1) 飞轮的角加速度飞轮的角加速度 ； (2) 如以重量如以重量P =98 N的物体挂在绳的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速。端，试计算飞轮的角加速。 解解 (1)FrJ

26、98 0.2 39.2 0.5 2 rad/s Fr J maTmg(2) JrT ra 两者区别两者区别 mg T 练习练习 求求 一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以 F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞，飞 轮与转轴间的摩擦不计，轮与转轴间的摩擦不计， 2 mgr Jmr 2 2 rad/s 821 201050 2098 . . . T TT 练习练习 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，

27、并可绕其转动 . 由于此由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转 动动 .试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度。角时的角加速度。 lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和 铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得 N F Jmglsin 2 1 式中式中 2 3 1 mlJ 得得sin 2 3 l g Jmglsin 2 1 我们来认识一下什么是我们来认识一下什么是动量动量？ dt

28、 pd F vmp 动量：动量： dt vd mF 常质量常质量物体：物体： 注：注：也适用于也适用于 变质量物体。变质量物体。 牛顿第二定律：牛顿第二定律： amF 牛顿第二定律普遍形式：牛顿第二定律普遍形式： dt vmd)( 结论：结论： 1.动量守恒条件：动量守恒条件： 质点系总动量：质点系总动量： 恒恒矢矢量量 i iiv m 0 i i FF 外外 冲量：冲量： t t0 dtFI 2 动量定理：动量定理： pppdtF t t 0 0 外 tF 昨天我们学习了什么？昨天我们学习了什么？ 质量连续分布刚体转动惯量质量连续分布刚体转动惯量 mrJd 2 单个质点单个质点转动惯量转动惯

29、量： 2 mrJ 2.力力 F 对轴的对轴的力矩力矩 FrM 3.3.相对定轴的合力矩相对定轴的合力矩 i MM 与正方向相同的力矩取与正方向相同的力矩取 正值，相反的取负值正值，相反的取负值. dFsinrFM 力臂力臂d：转轴到力的作用线的垂直距离：转轴到力的作用线的垂直距离 方向方向：沿轴，与所引起：沿轴，与所引起 的转动方向成右手螺旋的转动方向成右手螺旋 关系。关系。 1.力力 F 对点的对点的力矩力矩FrM JM 4.转动定律转动定律 vmp 5.质点动量：质点动量： 33 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 39 角动量角动量 在描述行星的轨道运动，自转运动，卫在描述行星的

30、轨道运动，自转运动，卫 星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。星的轨道运动及微观粒子的运动中都具有独特作用。 卫星卫星 地球地球+ A 质点动量的大小；质点动量的大小； B 质点质点动量；动量； C 质点的位置；质点的位置； D质点的位置和动量质点的位置和动量 1质点角动量与哪些质点角动量与哪些因素因素有关？有关？ 2上图质点以动量上图质点以动量 沿直线运动，在轨迹上沿直线运动，在轨迹上A点相对点相对 O点的角动量点的角动量 其在其在B点点相对与同一点相对与同一点O的角动量的角动量. vm O . A B A 大于；大于； B 小于；小于； C等于；等于； D其它其它 看一下自我学习效

31、果看一下自我学习效果 O . vm 3质点以动量质点以动量 沿直线运动，在轨迹沿直线运动，在轨迹 相对相对O点的角动量点的角动量 其在其在轨道轨道 上的角动量上的角动量. A 大于；大于； B 小于；小于； C等于；等于；D其它其它 质点做圆周运动相对中心点的质点做圆周运动相对中心点的角动量角动量： 1.质点对定点质点对定点O的的角动量角动量定义：定义： vmrL 大小大小： mvrLsin 方向方向： 右手螺旋拇指方向右手螺旋拇指方向 drsin mvd 3.3.1 质点质点的角动量和的角动量和刚体刚体绕定轴转动的绕定轴转动的角动量角动量 结论：结论：角动量与质点的角动量与质点的动量及动量及

32、位矢位矢( (相对于固定点）有关相对于固定点）有关. . v r m vmrL Z kmr 2 kJ O r vm L 2 刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量 JL z z Oi r i m z L 角动量角动量守恒守恒的条件，请选择：的条件，请选择： 看一下自我学习效果看一下自我学习效果 A质点或刚体所受的合外力为零，其角动量守恒；质点或刚体所受的合外力为零，其角动量守恒； B质点或刚体所受的合外力矩为零，其角动量守恒；质点或刚体所受的合外力矩为零，其角动量守恒； C质点或刚体或由它们组成的系统相对于同一定点或转质点或刚体或由它们组成的系统相对于同一定点或转 轴的合外力矩为零，系统

33、相对于该点或轴的角动量守恒。轴的合外力矩为零，系统相对于该点或轴的角动量守恒。 D不清楚。不清楚。 3.3.2 角动量定理角动量定理 t L M d d 作用于质点的对作用于质点的对参考点参考点 O 的合外力矩，等于质点的合外力矩，等于质点 对该点对该点 O 的的角动量角动量随时间的随时间的变化率变化率. dt dL M z z 1质点角动量定理质点角动量定理 2刚体相对定轴刚体相对定轴z的角动量定理的角动量定理 刚体所受的相对刚体所受的相对z轴的合外力矩，等于刚体对该轴轴的合外力矩，等于刚体对该轴 的的角动量角动量随时间的随时间的变化率变化率. 你知道吗，角动量定理也适用于非刚体。你知道吗，

34、角动量定理也适用于非刚体。 3.3.3 角动量守恒定律角动量守恒定律 1. 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 请讨论以下几种情况请讨论以下几种情况 作用于质点的对作用于质点的对参考点参考点 O 的的合外力矩为零合外力矩为零，质点，质点 对该点对该点 O 的的角动量角动量守恒守恒. L 恒矢量恒矢量 1忽略阻力矩，质点做匀速率圆周运动，那么其动忽略阻力矩，质点做匀速率圆周运动，那么其动 量量 ； 2上题相对于圆心上题相对于圆心O点角动量点角动量 ； 3转动半径在变化的过程中，角动量转动半径在变化的过程中，角动量 ； A守恒守恒 B不守恒不守恒 C不清楚不清楚 B A A 对守恒的判断，请

35、选择：对守恒的判断，请选择： 例例3.6 在地球绕太阳公转的过程中，当地球处于远在地球绕太阳公转的过程中，当地球处于远 日点时，地日之间的距离为日点时，地日之间的距离为1.521011m，轨道速，轨道速 度为度为2.93104 ms-1。半年后，地球到达近日点，。半年后，地球到达近日点， 地日之间的距离为地日之间的距离为1.471011m。求地球在近日点。求地球在近日点 时的轨道速度和角速度。时的轨道速度和角速度。 2 v 1 v 2 r 1 r m 远日点角动量远日点角动量 111 mvrL 222 mvrL ？ 2 mrL 近日点角动量近日点角动量 由由 得得 2211 mvrmvr 4

36、11 411 2 11 2 10033 10471 1093210521 . . . r vr v 1 sm 7 2 2 11 2 10062 . r vr 1 srad 2 v 1 v 2 r 1 r m 常常量量L 11mv r 2 2 2 mr 2. 刚体相对定轴的角动量守恒定律刚体相对定轴的角动量守恒定律 刚体所受的相对刚体所受的相对z轴的合外力矩为零，刚体对该轴轴的合外力矩为零，刚体对该轴 的的角动量角动量守恒守恒. 恒量 z L 角动量守恒定律也适用于非刚体。角动量守恒定律也适用于非刚体。 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守恒条件：合外力矩守恒条件：合外力矩0

37、z M 若若 不变，不变， 不变；不变； 若若 变变， 也变，但也变，但 不变不变. J JL J 说明说明 外外内内 MM 在在冲击冲击等问题中等问题中L 常量常量 ,JM 应是应是对同一轴对同一轴而言的而言的. 常数 i i LL 角动量方向与正方向相角动量方向与正方向相 同取正值，相反取负值同取正值，相反取负值 应用：应用： 许多现象都可以用角动量守恒来说明许多现象都可以用角动量守恒来说明. 花样滑冰花样滑冰 跳水运动员跳水跳水运动员跳水 J 变，变， 亦变，但仍有亦变，但仍有J=常数，故有常数，故有 J 1 51 惯性导航仪惯性导航仪（陀螺）（陀螺） 角动量守恒定律在技术中的应用角动量

38、守恒定律在技术中的应用 你知道飞行器在浩瀚的宇宙如何确定方向？你知道飞行器在浩瀚的宇宙如何确定方向？ 自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律 2 动量守恒定律动量守恒定律 2能量守恒定律能量守恒定律 2角动量守恒定律角动量守恒定律 2电荷守恒定律电荷守恒定律 2质量守恒定律质量守恒定律 2宇称守恒定律等宇称守恒定律等 飞轮飞轮 1 2 你知道航天器如何改变运动方向吗？你知道航天器如何改变运动方向吗？ 你知道直升机是如何稳定的？你知道直升机是如何稳定的？ 直升机直升机.wmv 所以，我们应掌握角动量守恒定律所以，我们应掌握角动量守恒定律！ m v P h 将子弹视为质点将子弹视为质点

39、，由子弹和细杆组，由子弹和细杆组 成的系统在碰撞瞬间角动量守恒。成的系统在碰撞瞬间角动量守恒。 O 例例3.7 一长一长l，质量为，质量为M的细杆，可绕水平轴的细杆，可绕水平轴O在竖在竖 直平面内转动，开始时杆自然地竖直悬垂。现有直平面内转动，开始时杆自然地竖直悬垂。现有 一质量为一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 射入杆中射入杆中P点，已点，已 知知P点和杆下端的距离点和杆下端的距离为为h，求细杆开始运动时的求细杆开始运动时的 角速度。角速度。P71 v 碰前：碰前： 细杆对轴细杆对轴O的角动量的角动量 0 1 L 子弹对轴子弹对轴O的角动量的角动量hlmvrmvL 2 JL 1 碰

40、后：碰后： 细杆对轴细杆对轴O的角动量的角动量 mhlL 2 2 子弹对轴子弹对轴O的角动量的角动量 由角动量守恒定律，有由角动量守恒定律，有 2121 LLLL hlmMlhlmv 2 2 3 1 2 2 3 1 hlmMl hlmv 解得解得 细杆的转动惯量：细杆的转动惯量： 2 3 1 MlJ 此题可否用此题可否用动量守恒动量守恒处理？处理？ m v P h O 我们自己我们自己来来练习一下练习一下 小结小结： 1 质点的角动量：质点的角动量：vmrprL 大小大小： mvrLsin 方向方向： 右手螺旋拇指方向右手螺旋拇指方向 JL 刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量 2 角动量定理角动

41、量定理 dt dL M 外合合 3角动量守恒角动量守恒 条件条件：相对于某轴：相对于某轴(或点）的合外力矩或点）的合外力矩0M 相对该轴相对该轴(或点）的角动量守恒或点）的角动量守恒 角动量与正方向相同为正，相反的取负角动量与正方向相同为正，相反的取负. O r P L drsin mvd 常矢量 i i LL 1 质点的角动量：质点的角动量： vmrL 大小大小： mvrLsin 方向方向： 右手螺旋拇指方向右手螺旋拇指方向 JL 2 刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量 3 角动量定理角动量定理 dt Ld M 外合 4 角动量守恒角动量守恒 条件条件：相对于某轴：相对于某轴(或点）的合外力矩

42、或点）的合外力矩0M 常矢量 i i LL 相对该轴相对该轴(或点）的角动量守恒或点）的角动量守恒 角动量与正方向相同为正，相反的取负角动量与正方向相同为正，相反的取负. O r vm L drsin mvd 昨天我们学习了什么？昨天我们学习了什么？ 方向方向：与角速度方向相同，沿转轴与角速度方向相同，沿转轴. 看一下自我学习效果！看一下自我学习效果！ 2刚体力矩的功的量纲刚体力矩的功的量纲 质点力功量纲。质点力功量纲。 3一质量为一质量为m，速度大小为，速度大小为v的质点的质点a的动能的动能 同样同样 质量、边缘速率也为质量、边缘速率也为v的绕定轴旋转的均质圆盘的绕定轴旋转的均质圆盘b。 A

43、 不等于不等于 B 小于小于 C等于等于 D大于大于 4如果让上题它们静止下来，外力对如果让上题它们静止下来，外力对a所做的功所做的功 外力外力 对对b做的功。做的功。 C D D A B C 2 2 1 mv 2 2 1 J 22 ) 2 1 ( 2 1 mr 1一质量为一质量为m，半径为，半径为r、角速度为角速度为 、边缘速率为边缘速率为 v的均质圆盘，其动能为的均质圆盘，其动能为 。 C 5变力的功：变力的功： B A BA rdFW 3.4 刚体绕定轴转动的动能和动能定理刚体绕定轴转动的动能和动能定理 3.4.1 力矩的功力矩的功 Md W 0 过程中，力矩做的总功为过程中，力矩做的总

44、功为 0 z O i r i v i m 3.4.2 刚体的定轴转动动能刚体的定轴转动动能 2 2 1 JEk 3.4.3 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上 所有外力矩所作功的总和。所有外力矩所作功的总和。 2 0 2 2 1 2 1 JJW 0 2 1 过程中过程中阻力矩所做的功为多少？阻力矩所做的功为多少？ kMk 0 练习练习 一转动惯量为一转动惯量为 (为正常数为正常数)。 则在它的角速度从则在它的角速度从变为变为 J 0 的圆盘绕一固定轴转动，起初的圆盘绕一固

45、定轴转动，起初角角 ,设它所受阻力矩与转动角速度之间的关系设它所受阻力矩与转动角速度之间的关系速度为速度为 0 2 1 解：解：根据刚体绕定轴转动的动能定理，阻力矩所做根据刚体绕定轴转动的动能定理，阻力矩所做 的功为的功为 将将 代入上式，得代入上式，得 W 2 0 8 3 JW 2 0 2 2 1 2 1 JJ 刚体的机械能刚体的机械能 pk EEE 刚体重力势能刚体重力势能 质心质心 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立 c h 0 P E C 3.4.4 刚体的重力势能刚体的重力势能 p E C mgh 0 非非内内外外 W

46、W 恒量EEE pk 系统的系统的机械能守恒条件：机械能守恒条件： pk EE 练习练习一根长为一根长为 l ，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置静止。在竖直平面内转动，初始时它在水平位置静止。 求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 . O lm C 解：解： mg 根据机械能守恒根据机械能守恒 l g sin3 pk EE 0- 2 1 2 J hmg 2 3 1 mlJ h sin 2 l mg 小结小结 2 动能定理动能定理 2 0 2 2 1 2 1 JJ 3 3 刚体重力势能刚体重力势能 质心的相对质心的相对 参

47、考点高度参考点高度 p E C mgh 1 刚体转动动能刚体转动动能 2 2 1 JEk pk EE 0 非非内内外外 WW W 4系统的系统的机械能守恒条件：机械能守恒条件： 0 1 d M 章末小结章末小结 运动定律运动定律 动量 角动量 动量定理 角动量定理 动量守恒定律 角动量守恒定律 动能定理 动能定理 机 械 能 守 恒 定 律 条件： （或只有保守力作功） 0 外外 W0 内非内非 W 质点平动质点平动 刚体定轴转动刚体定轴转动 amF JM dt dL M 外合合 dt Pd F 外合合 vmP mvdLJL; 恒恒量量 外外 vmF , 0 恒量 外i LM, 2 0 2 2

48、 1 2 1 mvmvrdFW 2 0 2 2 1 2 1 JJMdW pk EE 1. 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其下端匀质细杆竖直放置，其下端 与一固定铰链与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 . 由于此竖直由于此竖直 放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动 时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动 . 试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角角时的角加速度和角 速度速度 . lm 2.一人手拿两个哑铃，两臂平伸并一人手

49、拿两个哑铃，两臂平伸并 绕右足尖旋转，转动惯量为绕右足尖旋转，转动惯量为 ， 角速度为角速度为 。若此人突然将两。若此人突然将两 臂收回，转动惯量变为臂收回，转动惯量变为J/3。如。如 忽略摩擦力，求：此人收臂后忽略摩擦力，求：此人收臂后 的动能与收臂前的动能之比。的动能与收臂前的动能之比。 J 解题指导与典型习题分析 一、定轴转动的动力学问题一、定轴转动的动力学问题 刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。其刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。其 解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力 矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选

50、矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选 用的规律，最后列方程求解。用的规律，最后列方程求解。 第一类：第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度求刚体转动某瞬间的角加速度，一般，一般 。如质点和刚体组成的系统，对质点。如质点和刚体组成的系统，对质点 列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角 量和线量的关联方程，并联立求解。量和线量的关联方程，并联立求解。 第二类：第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它。把它 们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于 零，所以系统角动量守恒。

51、列方程时，零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统注意系统 始末状态的总角动量中各项的正负始末状态的总角动量中各项的正负。对。对在有心力在有心力 作用下绕力心转动的质点问题作用下绕力心转动的质点问题，可直接，可直接 。 第三类：第三类：在刚体所受的在刚体所受的合外力矩不等于零时合外力矩不等于零时，比，比 如木杆摆动，受重力矩作用，求角速度等一般应如木杆摆动，受重力矩作用，求角速度等一般应 用刚体的转动用刚体的转动。对于仅受保守力矩。对于仅受保守力矩 作用的刚体转动问题，也可用作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒机械能守恒定律求定律求 解。解。 | 另另 外：外：实际问题中常常有多个复杂过程，

52、实际问题中常常有多个复杂过程，要分要分 成几个阶段进行分析成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。，分别列出方程，进行求解。 三、解题指导与典型习题分析 若已知角速度或角加速度及初始条件，求运若已知角速度或角加速度及初始条件，求运 动方程可用积分法动方程可用积分法 | 1、运动学问题、运动学问题Problem of kinematics of a rigid body 刚体绕定轴转动的运动学问题，只涉及圆周运动刚体绕定轴转动的运动学问题，只涉及圆周运动 的角量描述及角量和线量的关系。的角量描述及角量和线量的关系。 | 若已知运动方程，求角速度或角加速度等，若已知运动方程，求角速度或角加速度

53、等， 可用微分法可用微分法 解：已知角位置，求角速度和角加速度， 用微分： 3243 43)(ctbtactbtat dt d 332 (34)612 d abtctbtct dt 飞轮作变加速转动飞轮作变加速转动 例题例题： 一飞轮在时间一飞轮在时间 t 内转过度内转过度 ， 式中式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度。都是常量，求它的角加速度。 43 ctbtat 5-3一作匀变速转动的飞轮在一作匀变速转动的飞轮在10s内转了内转了16圈，其末角圈，其末角 速度为速度为 ，它的角加速度的大小等于多少？，它的角加速度的大小等于多少？ 1 15 srad radstsrad32,10,15

54、 1 解：根据运动学公式解：根据运动学公式 t 0 2 0 2 1 tt 2 / ) (2tt 2 99. 0 srad 2 2 1 )(tt r ()rR v 3-12一质量为一质量为m的人站在一质量为的人站在一质量为m、半径为、半径为R的水平的水平 圆盘上，圆盘可无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。圆盘上，圆盘可无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。 系统原来是静止的，后来人沿着与圆盘同心，半径为系统原来是静止的，后来人沿着与圆盘同心，半径为 的圆周走动。求：当人相对于地面的走动速率的圆周走动。求：当人相对于地面的走动速率 为为 时，时，圆盘转动的角速度为多大圆盘转动的角速度为多大？ 0 盘盘人

55、人 JJ r v 人 v R r 2 2 盘 解：对于转轴，人与圆盘组成的系统角动量守恒。解：对于转轴，人与圆盘组成的系统角动量守恒。 2 2 1 mRJ 盘 圆盘的转动惯量为圆盘的转动惯量为 选地面为惯性参照系，根据角动量守恒定律，有选地面为惯性参照系，根据角动量守恒定律，有 其中其中 ，代入上式得，代入上式得 负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。 2 mrJ 人 人的转动惯量为人的转动惯量为 5-5 均匀细棒均匀细棒OA可绕通过其一端可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑而与棒垂直的水平固定光滑 轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下摆，

56、在棒摆动到轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下摆，在棒摆动到 竖直位置的过程中，下述情况哪一种说法是正确的？竖直位置的过程中，下述情况哪一种说法是正确的？ A角速度从小到大，角加速度从大到小；角速度从小到大，角加速度从大到小； B角速度从小到大，角加速度从小到大；角速度从小到大，角加速度从小到大； C角速度从大到小，角加速度从大到小；角速度从大到小，角加速度从大到小； D角速度从大到小，角加速度从小到大角速度从大到小，角加速度从小到大。 A 5-6关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A）只取决于刚体的质量）只取决于刚体的质量,与质量的空间

57、分布和轴的位置无关与质量的空间分布和轴的位置无关 （B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关 （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 （D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无 关。关。 C 5-7如把转轴由细杆质心处平行地移动如把转轴由细杆质心处平行地移动L（L为杆长），则细杆的为杆长），则细杆的 转动惯量由转动惯量由J变为变为 A . B. C. D . 0 4 5 J 0 2 3 J 0 4 7 J 0 2J

58、 C JM 5-10一长为一长为1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑 固定轴转动抬起另一端使棒向上与水平面成固定轴转动抬起另一端使棒向上与水平面成60，然后无初转，然后无初转 速地将棒释放已知棒对轴的转动惯量为速地将棒释放已知棒对轴的转动惯量为 ，其中，其中m和和l分分 别为棒的质量和长度求：别为棒的质量和长度求： (1) 放手时棒的角加速度；放手时棒的角加速度； (2) 棒转到水平位置时的角加速度棒转到水平位置时的角加速度 2 3 1 ml l O 60 mg 解：（解：（1）设棒的质量为设棒的质量为m，当棒与水平面成，当棒与水平面成60

59、角并角并 开始下落时，根据转动定律开始下落时，根据转动定律 其中其中 4/30sin 2 1 mglmglM 2 rad/s 35. 7 4 3 l g J M 于是于是 , 4 1 . 0 A , 4 1 . 0 B.4. 0 D ,4 . 0 C 0 0 4 1 J 5-145-14花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动。开始时两臂伸开，花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动。开始时两臂伸开， 转动惯量为转动惯量为J J0 0，角速度为，角速度为 ，然后她将两臂收回，使转动惯量然后她将两臂收回，使转动惯量 减少为减少为 ， 这时她转动的这时她转动的角速度角速度变为变为 C 5-15如图所示，一静止

60、的均匀细棒，长为如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为、质量为M，可绕通过，可绕通过 棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯在水平面内转动，转动惯 量为一质量为量为一质量为m、速率为、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向 射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的 角速度角速度应为应为 O v 2 1 v 俯视图 ML mv ML m 2 3 v ML m 3 5 v ML m 4 7 v (B) (C) (D) (A) B 5-17有