第3章----静电场及其边值问题的解法--2

1、电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 3.2 静电场中的介质静电场中的介质 电偶极子的概念电偶极子的概念 图 电偶极子 电矩矢量电矩矢量: 电荷q乘以有向距离 l qpp e 表示电偶极子的大小和空间取向 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 电偶极子电场的电场强度与电位： 3 0 2 0 44 r rP r aP ere sincos2 4 3 0 aa r P E r e 电偶极子 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 有极分子无极分子 一一. 介质的极化介质的极化 导体导体中的电子

2、通常称为中的电子通常称为自由电子自由电子，它们所携带的电荷称为，它们所携带的电荷称为自由电荷自由电荷。 介质介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷束缚电荷。 在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为极化极化。 通常，通常，无极无极分子的极化称为分子的极化称为位移位移极化，极化，有极有极分子的极化称为分子的极化称为取向取向极化。极化。 无极分子 有极分子 Ea 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 介质的极化介质的极化 ： 在外电场的作用下: 电介质中

3、的非极性分子的正负电荷中心发生相对位移 极性分子的电矩发生转向 此时其等效偶极子电矩的矢量和不再为零； 在电介质内部和表面形成了产生附加场的等效电荷分布， 称为束缚电荷（或极化电荷）； 介质中的场强为自由电荷与束缚电荷产生的场强的叠加； 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中加到介质中 以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场，这种二次电场 Es 又又 影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场

4、又发生变影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变 化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极 化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。 介介 质质 合成场合成场Ea+ Es 极极 化化 二次场二次场Es 外加场外加场Ea 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。 为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为为了

5、衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为 极化强度极化强度，以，以P 表示，即表示，即 V N 1i i p P 式中式中 pi 为体积为体积 V 中第中第 i 个电偶极子的电矩，个电偶极子的电矩，N 为为V 中电偶极子中电偶极子 的数目。这里的数目。这里 V 应理解为物理无限小的体积。应理解为物理无限小的体积。 实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其 极化强度极化强度 P 与介质中的合成电场强度与介质中的合成电场强度 E 成正比，即成正比，即 EP e0 式中式中e 称为称为极化率极化率，它是一个正实数。，它是一

6、个正实数。 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化强度的某一这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化强度的某一 坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。极化率与电场坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。极化率与电场方向方向无无 关，这类介质称为关，这类介质称为各向同性各向同性介质。介质。 有些介质其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有些介质其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量 有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度有关，而且与电场强度的其他分量

7、也有关。这类介质的极化强度 P 与电场强度与电场强度 E 的关系可用下列矩阵表示的关系可用下列矩阵表示 z y x z y x E E E P P P 33e32e31e 23e22e21e 13e12e11e 0 这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与 电场强度方向有关，因此，这类介质称为电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性各向异性介质。介质。 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 空间各点极化率相同的介质称为空间各点极化率相同的介质称为均匀均匀介质，否则，称为介质，

8、否则，称为非均匀非均匀介介 质。质。 极化率与时间无关的介质称为极化率与时间无关的介质称为静止静止媒质，否则称为媒质，否则称为运动运动媒质。媒质。 介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、 静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。 因此，若极化率是一个因此，若极化率是一个正实常数正实常数，则适用于，则适用于线性均匀且各向同性线性均匀且各向同性 的介质。若前述的介质。若前述矩阵矩阵的各个元素都是一个的各个元素都是一个正实常数正实常数，则适用于，则适用于线性均线性均 匀各向异性匀

9、各向异性的介质。的介质。 极化率与电场强度的极化率与电场强度的大小无关大小无关的介质称为的介质称为线性线性介质，否则，称介质，否则，称 为为非线性非线性介质。介质。 各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？ 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部 是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质 内部出现束缚电荷的

10、体分布，因而出现体分布的束缚电荷。内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因这种因 极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷极化电荷。可以证明可以证明 这些极化电荷产生的电位为这些极化电荷产生的电位为 V VS d | )( 4 1 | d)( 4 1 )( 0 0 rr rP rr SrP r 式中式中 为极化强度，它与极化电荷的关系为为极化强度，它与极化电荷的关系为 )(rP 由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表 面束缚电荷是等值异性的面束缚电荷是等值异性的。

11、 n S )()r (rP)()(rrP v 右式又可写为积分形式右式又可写为积分形式 S q dSP 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 为了计算电介质内所有电偶极子产生的宏观电场, 我们用极 化强度来表示电介质的极化程度, 其表示式为 )/(lim 2 0 mC V p P e V 1. 极化强度矢量极化强度矢量 P 式中 是体积元V内偶极矩的矢量和, 是一个矢量函数, 它 的方向取决于 , 大小是单位体积内的电偶极矩。 P e P e P 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 极化电荷体密度 : P v 极化电荷面

12、密度 nP s 2.极化电荷极化电荷 (束缚电荷束缚电荷) ： n 介质表面外法线方向； 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 1.高斯定理高斯定理:电场特性与场源电荷间的依赖关系的一般规律 S q SdE 0 sV v dvsdE 0 1 0 )( )( r rE v 1、 真空中的高斯通量定理真空中的高斯通量定理 2.静电场的散度静电场的散度 二二、介质中的介质中的高斯通量定理高斯通量定理 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 2. 介质中的高斯通量定理介质中的高斯通量定理 电介质中高斯定理的微分形式应改写为 0 0

13、p E 00 0 0 )( )( 1 PE PE PED 0 A.电位移矢量 真空中高斯定理: 0 )(rE 0 D 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 0 D 将式(2 - 58)两边在任一体积V内积分, 并应用高斯公式, 则得 (2 - 58) s qsdD 0 B、电介质中的高斯定理电介质中的高斯定理 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 ExP e0 xe称为电介质的极化率 EEExD re 00 )1 ( 上式中 0 1 er x PED 0 是媒质的介电常数, 在真空中 。 C、 与与 的关系（本构关系）的关

14、系（本构关系）, 介电常数介电常数 DE 0 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 ED 对真空中的点电荷q R a R q rE 4 2 0 ED 0 对介质中的点电荷q 真空中点电荷q的场： 介质中点电荷q的场： R a R q rE 4 2 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 表表 3.2 - 1 电介质的介电常数和电介质的介电常数和击穿强度击穿强度 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 高斯定理的应用高斯定理的应用-总结总结 已知源电荷分布，求空间场分布已知源电荷分布，求空间场

15、分布 1. 应用场强叠加原理应用场强叠加原理 2. 利用高斯定理的积分形式利用高斯定理的积分形式 （当电场分布具有某种空间对称性）（当电场分布具有某种空间对称性） 已知场空间分布，求源电荷分布已知场空间分布，求源电荷分布 1. 利用高斯定理的微分形式利用高斯定理的微分形式 s qsdD 0 0 D ED 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 高斯定理解题步骤： （1）分析电场是否具有对称性。）分析电场是否具有对称性。 （2）取合适的高斯面）取合适的高斯面(封闭面封闭面)，即取在电场强度相等的曲面上。，即取在电场强度相等的曲面上。 （4）分别求出）分别求出 ，

16、从而求得，从而求得 及及 。 sdD s 内S i q DE （3）电场强度相等的面不构成闭合面时，另选法线）电场强度相等的面不构成闭合面时，另选法线 的面，使其成为闭的面，使其成为闭 合面。合面。 En 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 例例 1 一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有 外半径为b的同心介质球壳， 壳外是空气。求导体球外空间任 一点的电位移矢量、 电场强度、 极化矢量以及束缚电荷密度。 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 解：解： r r Q D 4 2 (ra) 介质内(arb)： 介质

17、内表面(r=a)的束缚电荷面密度： 2 4 1 a Q rPnP r r S 介质外表面(r=b)的束缚电荷面密度： 2 4 1 b Q rPnP r r S ： n 介质表面外法线方向； 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 例例 2 设有两块很大的平行导体板, 板间距离为d, 且d比平板 的长和宽均小得很多。两板接上直流电压源U, 充电后又断开电 源; 然后在两板间插入一块均匀介质板, 其相对介电常数r=9。假 设介质板的厚度比d略小一点, 留下一空气隙, 如图所示。 试求试求: (1) 放入介质板前后, 平行板间各点的电场强度; (2) 介质板表面的束

18、缚面电荷密度, 和介质板内的束缚体电荷 密度。 图图 两平行导体板间的电场 (a) 插入介质板前的电场; (b) 插入介质板后的电场 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 图图 两平行导体板间的电场 (a) 插入介质板前的电场; (b) 插入介质板后的电场 解解 因为两板间距离d远小于平板的尺寸, 所以可以忽略边 缘效应, 认为板间的电场是均匀的, 方向与极板垂直。 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 (1) 加入介质板前的电场强度为 x d u E 0 设两极板上自由电荷面密度分别为s和-s, 根据高斯定理, 作 一柱

19、形高斯面, 如图3 -15(a)中虚线所示, 上下底面与极板平行, S 是其面积, 所以 0 00 S SEsdE s s 因而得 d U E s000 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 加入介质板后的电场: 因为充电后电源已被切断, 所以极板 上的自由电荷密度保持不变。 用上面同样的方法作高斯面, 并用 高斯定理求得 x d U xD s 0 所以空气间隙中的电场强度为 x d UD Ea 0 (与未加介质板前相同) 介质中的电场强度为 x d UDD E r d 9 0 (是未加介质板前场强的1/9) 电磁场电磁场第第3章章 静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法 (2) 介质中的极化强度 9 8 ) ( 9 8 9 8 9 8 0 9 8 ) 1( 00