第6章弯曲应力

1、第6章 弯曲应力 基本要求：基本要求：了解弯曲应力的分析方法；明确弯曲应力的分布了解弯曲应力的分析方法；明确弯曲应力的分布 规律；掌握弯曲正应力、剪应力的计算方法；能够熟练、正规律；掌握弯曲正应力、剪应力的计算方法；能够熟练、正 确地进行弯曲应力的强度校核；明确提高梁抗弯强度的一般确地进行弯曲应力的强度校核；明确提高梁抗弯强度的一般 措施。措施。 重点：重点：弯曲正应力公式，弯曲正应力的强度条件，弯曲剪应弯曲正应力公式，弯曲正应力的强度条件，弯曲剪应 力和强度条件。力和强度条件。 难点：难点：弯曲剪应力公式推导，弯曲应力的强度校核。弯曲剪应力公式推导，弯曲应力的强度校核。 本章导读本章导读 目

2、目 录录 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 6.2 6.2 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 6.4 6.4 梁的合理设计梁的合理设计 6.1.1 6.1.1 纯弯曲时梁截面上的正应力纯弯曲时梁截面上的正应力 纯弯曲：纯弯曲：梁（如梁（如CD段）各横截面上的剪力为零，弯矩段）各横截面上的剪力为零，弯矩 为常量为常量 横力弯曲：横力弯曲：梁（如梁（如AC和和BD段）各横截面同时有剪力和段）各横截面同时有剪力和 弯矩，且弯矩为截面位置弯矩，且弯矩为截面位置x的函数。的函数。 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 纯弯

3、曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何关系几何关系 先研究该截面上任一点处沿横截面法线方向的先研究该截面上任一点处沿横截面法线方向的 线应变，即纵向线应变。线应变，即纵向线应变。 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何关系几何关系 平面假设：平面假设：梁在受力弯曲后，其原来的横截面仍为平面，并绕梁在受力弯曲后，其原来的横截面仍为平面，并绕 垂直于纵对称面的某一轴旋转，且仍垂直于梁变形后的轴线。垂直于纵对称面的某一轴旋转，且仍垂直于梁变形后的轴线。 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 中性层：

4、中性层：由于梁的变形是连续的，纤维层从伸长由于梁的变形是连续的，纤维层从伸长 到缩短，中间必定存在既不伸长亦不缩短的一层到缩短，中间必定存在既不伸长亦不缩短的一层 纤维，该层纤维称为中性层。纤维，该层纤维称为中性层。 中性轴：中性轴：中性层与梁横截面的交线称为该截面的中性层与梁横截面的交线称为该截面的 中性轴。中性轴。 中性轴位置：中性轴位置：梁发生对称弯曲、且处于弹性范围梁发生对称弯曲、且处于弹性范围 时，中性轴通过横截面形心，并垂直于荷载作用时，中性轴通过横截面形心，并垂直于荷载作用 平面。平面。 中性层的曲率：中性层的曲率： 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何关系几

5、何关系 Z )( )( 1 EI xM x (x)变形后中性层或梁轴的曲率半径；变形后中性层或梁轴的曲率半径；EIz梁的弯曲刚度，轴梁的弯曲刚度，轴z z为横截面的中性轴。为横截面的中性轴。 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何关系几何关系 该式表明横截面上任一点处的纵向线应变该式表明横截面上任一点处的纵向线应变与该点与该点 在截面上之位置成正比在截面上之位置成正比。 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 若设各纵向线之间没有因纯弯曲而引起的相互挤压，若设各纵向线之间没有因纯弯曲而引起的相互挤压， 则可认

6、为横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应则可认为横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应 力状态。力状态。 当材料处于线弹性范围内且拉伸和压缩弹性模量相当材料处于线弹性范围内且拉伸和压缩弹性模量相 同时，由单轴应力状态下的胡克定律可得物理关系：同时，由单轴应力状态下的胡克定律可得物理关系： E 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力物理关系物理关系 y E 该式表明横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴该式表明横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴 的距离成正比，而在距中性轴为的距离成正比，而在距中性轴为y y的等高线上各点处的正应的等高线上各点处的正应 力均相等。力均相等。 6.1

7、6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力静力学静力学 根据梁上只有外力偶根据梁上只有外力偶Me的受力条件，由截面法可知，的受力条件，由截面法可知， FN和和My均等于零，而均等于零，而Mz就是横截面上的弯矩就是横截面上的弯矩M。 其中其中 dA为横截面上的法向内力元素为横截面上的法向内力元素，S指静矩，指静矩，I指惯性矩。指惯性矩。 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 Z I My y E Z 1 EI M 式中，式中，M为横截面上的弯矩，为横截面上的弯矩，Iz为横截面对中性轴的为横截面对中性轴的 惯性矩，惯性矩，y为

8、所求应力点的纵坐标。为所求应力点的纵坐标。 将弯矩将弯矩M和坐标和坐标y按规定的正负号代入，所得到的正应按规定的正负号代入，所得到的正应 力力若为正值，即为拉应力，若为负值则为压应力。若为正值，即为拉应力，若为负值则为压应力。 在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中 性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的 应力则为压应力。应力则为压应力。 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 常见截面的常见截面的IZ和和WZ 圆截面圆截面 矩形截面矩形截面 空心圆截面空心圆截面

9、空心矩形截面空心矩形截面 A dAyI 2 Z max Z Z y I W 64 4 Z d I 32 3 Z d W )1 ( 64 4 4 Z D I )1 ( 32 4 3 Z D W 12 3 Z bh I 6 2 Z bh W 1212 3 3 00 Z bhhb I)2/() 1212 ( 0 3 3 00 Z h bhhb W 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 横力弯曲横力弯曲 6.1.2纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又存在梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又存在

10、剪力剪力 。梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲。对于横。梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲。对于横 力弯曲，梁的横截面上不但存在由弯矩引起的正应力，力弯曲，梁的横截面上不但存在由弯矩引起的正应力， 而且还有剪力引起的剪应力。由于剪应力的作用，梁而且还有剪力引起的剪应力。由于剪应力的作用，梁 的横截面将不再保持为平面，因此，上述结果在某些的横截面将不再保持为平面，因此，上述结果在某些 情况下会产生误差。但进一步的分析表明，对于跨度情况下会产生误差。但进一步的分析表明，对于跨度l 与横截面高度与横截面高度 h 之比大于之比大于 5 的梁，受横力弯曲时，计的梁，受横力弯曲时，计 算所得正应力，其结果的误

11、差是微小的。在工程中常算所得正应力，其结果的误差是微小的。在工程中常 用的梁，其用的梁，其l/h 一般远大于一般远大于 5 。若按纯弯曲时的公式计。若按纯弯曲时的公式计 算其正应力，所得的结果虽略为偏低，但其误差不超算其正应力，所得的结果虽略为偏低，但其误差不超 过过1%，且梁的长度与高度之比，且梁的长度与高度之比l/h越大，其误差越小，越大，其误差越小， 足以满足工程中的精度要求。因此，梁发生横力弯曲足以满足工程中的精度要求。因此，梁发生横力弯曲 时，其横截面上的正应力仍可按纯弯曲进行计算；梁时，其横截面上的正应力仍可按纯弯曲进行计算；梁 内最大正应力也可应用纯弯曲公式进行计算，只是式内最大

12、正应力也可应用纯弯曲公式进行计算，只是式 中弯矩不在是一个常数，而是指计算截面处的弯矩。中弯矩不在是一个常数，而是指计算截面处的弯矩。 6.1.2纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 Z maxmax max I yM 横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力 弹性力学精确分析表明，当弹性力学精确分析表明，当 跨度跨度l与横截面高度与横截面高度h之比之比l / h 5（细长梁）时，纯弯（细长梁）时，纯弯 曲正应力公式对于横力弯曲曲正应力公式对于横力弯曲 近似成立。近似成立。 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 BA l = 3m

13、q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K 1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力 2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力 3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力 FS x 90kN 90kN mkN605 . 0160190 C M 1. 求支反力求支反力 kN90 Ay FkN90 By F 45 33 Z m10832. 5 12 18. 012. 0 12 bh I MPa7 .61Pa107 .61 10832. 5 10)30 2 180 (1060 6 5 33 Z KC K I yM （压应力）（压应力） 解：解： 例题例题 6.1 6.1 梁

14、横截面上的正应力梁横截面上的正应力 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K FQ x 90kN 90kN 2. C 截面最大正应力 C 截面弯矩 mkN60 C M C 截面惯性矩 45 Z m10832. 5 I MPa55.92Pa1055.92 10832. 5 10 2 180 1060 6 5 33 Z max max I yMC C 例题例题 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 BA l = 3m q=60kN/m x C 1m 30 z y 180 120 K FQ x 90kN 90kN 3. 全梁最大正应力全梁最

15、大正应力 最大弯矩最大弯矩 mkN5 .67 max M 截面惯性矩截面惯性矩 45 m10832. 5 z I MPa17.104Pa1017.104 10832. 5 10 2 180 105 .67 6 5 33 Z maxmax max I yM 例题例题 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 剪应力分布规律：剪应力分布规律：剪应力方向与剪力平行，大剪应力方向与剪力平行，大 小沿截面均匀分布，沿高度呈抛物线变化小沿截面均匀分布，沿高度呈抛物线变化 矩形截面梁：矩形截面梁：对于狭对于狭 长矩形截面，由于梁的长矩形截面，由于梁的 侧面上无剪应力，故横侧面上无剪应力，故横 截

16、面上侧边各点处的剪截面上侧边各点处的剪 应力必与侧边平行，而应力必与侧边平行，而 在对称弯曲情况下，对在对称弯曲情况下，对 称轴称轴y y处的剪应力必沿处的剪应力必沿y y方向，且狭长矩形截面上方向，且狭长矩形截面上 剪应力沿截面宽度的变化不可能大，于是可作如剪应力沿截面宽度的变化不可能大，于是可作如 下假设：下假设： 6.26.2梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 矩形截面梁剪应力假设：矩形截面梁剪应力假设： 横截面上各点处的剪应力均与侧边平行横截面上各点处的剪应力均与侧边平行 横截面上距中性轴等远各点处的剪应力大小相等横截面上距中性轴等远各点处的剪应力大小相等 矩形截面梁矩形截面梁 A

17、FS 2 3 SzSz* *为面积为面积A A* *对横截面中性轴的静矩；对横截面中性轴的静矩；A A* *为横截面上距中性轴为横截面上距中性轴 为为y y的横线以外部分的面积（即绿色部分）的横线以外部分的面积（即绿色部分） bI SF y z zQ * )( ) 4 ( 2 )( 2 2 y h I F y Z Q 6.2梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 工字形截面梁的剪应力：工字形截面梁的剪应力： 腹板部分腹板部分任一点处铅垂剪应力任一点处铅垂剪应力 最大剪应力发生在中性轴各点处最大剪应力发生在中性轴各点处 Sz,maxSz,max* *为中性轴任一边半个横截面面积对中性轴的静矩；为中

18、性轴任一边半个横截面面积对中性轴的静矩； 为翼缘厚度为翼缘厚度 薄壁环形截面梁的剪应力：薄壁环形截面梁的剪应力： 任一点处剪应力任一点处剪应力 SzSz* *为自为自y y轴一侧至轴一侧至角所包面积对中性轴角所包面积对中性轴z z的静矩的静矩 最大剪应力发生在中性轴各点处最大剪应力发生在中性轴各点处 bI SF z z Q * bI SF z Q *max max z z Q I SF * A FQ 2max A F dh F QQ 1 max 6.26.2梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 圆型梁剪应力圆型梁剪应力 最大剪应力应在中性轴上最大剪应力应在中性轴上 最大剪应力最大剪应力 半圆截

19、面面积对中 性轴的静矩； b 圆形截面直径。 A 圆形面积。 bI SF Z zQ * max A FQ 3 4 max * maxz S 6.26.2梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 悬臂梁由三块木板粘接悬臂梁由三块木板粘接 而成。跨度为而成。跨度为1m1m。胶合面胶合面 的许可剪应力为的许可剪应力为0.34MPa0.34MPa， 木材的木材的= 10 = 10 MPaMPa， =1MPa=1MPa，求许可载荷。求许可载荷。 2 1max max 6 bh lF W M z 1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图 2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷

20、 Q F F 3.75kNN3750 6 1015010010 6 9272 1 l bh F bhFAFQ2/32/3 2max 3.3.按剪应力强度条件计算许可载荷按剪应力强度条件计算许可载荷 kN01N100003/101501001023/2 66 2 bhF F l 100 50 50 50 z 解：解： 例例 6.26.2梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 g Z ZQ bh F b bh h bF bI SF 3 4 12 3 3 3 2 3 * g 4.4.按胶合面强度条件按胶合面强度条件 计算许可载荷计算许可载荷 3.825kNN3825 4 1034. 010150100

21、3 4 3 66 3 g bh F 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3 minmin i FF F l 100 50 50 50 z Q F F 例例 6.26.2梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 轴过形心中性 )( z 0 z S 0dd)d( yz AAA y EI Ayz E A Eyz zAM 0dd)d( z AAA ES Ay E A Ey AN 外力要与主轴共线。轴必须为截面主惯性轴、, 0zyI yz 几何方程与物理方程不变。 F x y z O 弯曲中心的概念弯曲中心的概念 6.26.2梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪

22、应力 M EI Ay E A Ey yAM z AAA z dd)d( 2 2 exdAM A x 轴到杆轴的距离依此确定 力臂 , 0)d( 依此确定正应力计算公式。剪应力研究方法与公式形式不变。 弯曲中心：使杆不发生扭转的横向力作用点。 （如前述坐标原点O） P x y z O 6.26.2梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 槽钢： 非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面 内，中性轴为形心主轴，内，中性轴为形心主轴，, ,若是横向力，还必须过弯曲中心。若是横向力，还必须过弯曲中心。 e x y z F F M QRR

23、z zQ bI SF ，合力为腹板上; 。合力为翼缘上H z Q I AF ; 2 1 0)d( A x dAM 力臂 R Hh e FQ e 6.26.2梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 弯曲中心的确定弯曲中心的确定: : （1）确定形心主轴。 （2）设横向力平行于某一形心主轴， 并使梁产生平面弯曲，求出截面上 弯曲剪应力合力作用线的位置。 （3）设横向力平行于另一形心主轴， 并使梁产生平面弯曲，求出对于此 平面弯曲截面上剪应力合力作用线 的位置。 （4）两合力作用线的交点即为弯曲 中心的位置。 C C C FQy e C 6.26.2梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力 1 1、危险面

24、与危险点分析：、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上 下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中 性轴处。 FQ M 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 6.36.3梁的强度条件梁的强度条件 2 2、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件： 带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上 述相同；还有一个可能危险的点，在FQ和M均很大的截面 的腹、翼相交处。（以后讲） z zQ Ib SF max max max z W Mmax max 3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准

25、则可进行三种强度计算： MFQ 6.36.3梁的强度条件梁的强度条件 4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况： 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相 应比值时，要校核剪应力。 梁的跨度较短，M 较小，而FQ较大时，要校核剪应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。 、校核强度：校核强度： 设计截面尺寸： 设计载荷： ; maxmax max M Wz )( ; maxmax MfPWM z 6.36.3梁的强度条件梁的强度条件 解：画内力图求危面内力 例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截 面木梁如图，=7MPa，=0.

26、9 M Pa，试求最大正应力和最大剪 应力之比,并校核梁的强度。 N5400 2 33600 2 max qL FQ Nm4050 8 33600 8 22 max qL M q=3.6kN/m x M + 8 2 qL A B L=3m FQ 2 qL 2 qL + x 6.36.3梁的强度条件梁的强度条件 求最大应力并校核强度 应力之比 7 .16 3 2 max max max h L F A W M Qz q=3.6kN/m x M + 8 2 qL FQ 2 qL 2 qL + x 7MPa6.25MPa 18. 012. 0 405066 22 maxmax max bh M W

27、M z 0.9MPa0.375MPa 18. 012. 0 54005 . 1 5 . 1 max max A FQ 6.36.3梁的强度条件梁的强度条件 y1 y2 G A1 A2 A3 A4 解：画弯矩图并求危面内力 例例3 T 字形截面的铸铁梁受力如 图，铸铁的L=30MPa， y=60 MPa，其截面形心位于C 点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ kN5 .10;kN5 . 2 BRAR FF )(kNm5 . 2下拉、上压 C M （上拉、下压）kNm4 B M 4 画危面应力分布图，找危险点 F1=9kN

28、1m1m1m F2=4kN ABCD x 2.5kNm -4kNm M 6.36.3梁的强度条件梁的强度条件 校核强度 MPa2 .28 10763 885 . 2 8 2 2 z C LA I yM MPa2 .27 10763 524 8 1 3 z B LA I yM MPa2 .46 10763 884 8 2 4 z B yA I yM LL 2 .28 max yy 2 .46 max T字头在上面合理。 y1 y2 G A1 A2 A3 A4 x 2.5kNm -4kNm M y1 y2 G A3 A4 6.36.3梁的强度条件梁的强度条件 Z max max W M 6 - 7

29、 增大增大WzWz： 合理设计截面合理设计截面 梁的合理截面形状梁的合理截面形状 6.36.3梁的合理设计梁的合理设计 增大增大WzWz：合理设计截面合理设计截面 6.36.3梁的合理设计梁的合理设计 6 2 bh WZ 左 6 2 hb WZ 右 增大增大WzWz：合理放置截面合理放置截面 6.36.3梁的合理设计梁的合理设计 b xh 变截面梁变截面梁 梁的合理外形梁的合理外形 6.36.3梁的合理设计梁的合理设计 采用变截面梁采用变截面梁 ，如下图：，如下图： 最好是等强度梁，即 )( )( )( max xW xM x 若为等强度矩形截面，则高为 )(6 )( b xM xh 同时 )( 5 . 1 max xbh FQ 5 . 1)( b F xh Q F x 6.36.3梁的合理设计梁的合理设计 Z max max W M 降低降低M Mmaxmax：合理安排支座合理安排支座 合理的荷载布置和支座形式合理的荷载布置和支座形式 F F F 6.36.3梁的合理设计梁的合理设计 降低降