第7章 补充01—传递矩阵法

1、2021年6月23日振动力学1 传递矩阵法 传递矩阵法适用于计算链状结构的固有频率和主振型 多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统 特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动 特点：将链状结构划分为一系列单元，每对单元之间的传递矩 阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵法对 全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后加以综 合，从而大大减少计算工作量。 （1）轴盘扭转振动系统（2）梁的横向弯曲振动系统 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学2 （1）轴盘扭转振动系统 (1) (2) (3) (n-2) (n-1) 123n-

2、1n 多盘扭振系统（n-1个盘） (i-1) (i) i li ki Ji Ji-1 第 i 个单元 n-1个圆盘 将圆盘和轴自左至右编号 第 i-1 个和第 i 个圆盘以及连接两盘的轴段构成第 i 个单元 Ji-1、 Ji：第 i-1 个圆盘和第 i 个圆盘的转动惯量 li：第 i 个单元轴段的长度 ki：第 i 个单元轴段的扭转刚度 轴不计质量，只计刚度 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学3 (i-1) (i) i li ki Ji Ji-1 第 i 个单元 第i个圆盘两侧的状态变量满足： 第i个圆盘左右两侧状态变量的传递关系： 定义状态变量： 定义：上角

3、标 L 和 R 表示盘的左侧和右侧截面 T T),( X i R i T L i T i J L i R i 1 R i T 1 L i T ii kl ：盘转角：盘侧面扭矩T L i R i ii L i R i JTT ii 2 ii L i R i JTT 2 L i P i R i XSX 1 01 2 i P i J S 点传递矩阵 当圆盘以频率 作简谐振动时，有： L i i R i TJT 1 01 2 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学4 第i个轴段左右两端状态变量的传递关系： 第i个轴段上扭矩平衡条件： 状态变量： T T),( X )( 1

4、1 R i L ii R i L i kTT R i F i L i1 XSX 1 01 2 i P i J S点传递矩阵 10 /11 iF i k S场传递矩阵 第i个圆盘左右两侧状态变量的传递关系： L i P i R i XSX (i-1) (i) i li ki Ji Ji-1 第 i 个单元 i R i T L i T i J L i R i 1 R i T 1 L i T ii kl R i i L i T k T 1 10 /11 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学5 第i个轴段左右两端状态变量的传递关系： 状态变量： T T),( X R i

5、 F i L i1 XSX 1 01 2 i P i J S点传递矩阵 10 /11 iF i k S场传递矩阵 第i个圆盘左右两侧状态变量的传递关系： L i P i R i XSX 第i-1个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系： R ii R i F i P i R i11 XSXSSX F i P ii SSS 单元传递矩阵 (i-1) (i) i li ki Ji Ji-1 第 i 个单元 i R i T L i T i J L i R i 1 R i T 1 L i T ii kl 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学6 第 i 个轴段左右

6、两端状态变量的传递关系： R i F i L i1 XSX 1 01 2 i P i J S点传递矩阵 10 /11 iF i k S场传递矩阵 第 i 个圆盘左右两侧状态变量的传递关系： L i P i R i XSX 第 i-1 个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系： R ii R i F i P i R i11 XSXSSX F i P ii SSS 单元传递矩阵 )/(1 /11 10 /11 1 01 222 iii ii i F i P ii kJJ kk J SSS n 个圆盘的轴系，最左端和最右端状态变量传递关系： RR n1 SXX S：第1至第n单元通路中所有单

7、元传递矩阵的连乘积 最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态 （ 的函数） 11 SSSS nn 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学7 例：三圆盘扭振系统 kkk 21 用传递矩阵法求固有频率和模态 1 J 3 J 2 J 1 k 2 k JJJ 31 JJ2 2 解：两端无约束，边界条件：0 31 RL TT 令：1 1 第一个圆盘左端状态： 0 1 1 L T 1 01 2 i P i J S L i P i R i XSX 第一个圆盘右端状态： JJT R 22 1 1 0 1 1 01 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力

8、学8 kkk 21 1 J 3 J 2 J 1 k 2 k JJJ 21 JJ2 3 两端边界条件：0 31 RL TT 令：1 1 0 1 1 L T JT R 2 1 1 R ii R i1 XSX ：、 RR 32 XX )32( 1 1 2 12 1 1 22 2 2 22 2 k J J k J J k J J k T R )/(1 /11 22 iii i i kJJ k S )232 142 )32( 1 2 12 1 1 2 4 42 2 2 4 22 2 22 3 k J k J J k J k J k J J k J k J J k T R 线性振动的近似计算方法 / 传递

9、矩阵法 2021年6月23日振动力学9 1 J 3 J 2 J 1 k 2 k 两端边界条件：0 31 RL TT 令：1 1 0 1 1 L T JT R 2 1 1 )32( 1 22 2 2 k J J k J T R )232 142 2 4 42 2 2 4 3 k J k J J k J k J T R 0)232 2 4 42 k J k J J 根据边界条件： Jk Jk /2 / 0 3 2 1 代入各单元状态的第一个元素，得模态： 1 1 1 )1( 1 0 1 )2( 1 1 1 )3( 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学10 （2）梁的

10、横向弯曲振动系统 ) 1 ( n )2( 1 23 )0() 1( n)2( n 1 n )3( )(n 传递矩阵法可用于分析梁的横向弯曲振动 假定梁上有 n-1 个集中质量 将支座、梁段、集中质量自左向右分别编号 梁段质量不计，只计刚度 第 i-1 个和第 i 个质量以及连接两质量的梁段构成第 i 个单元 状态变量构成： T s FMy)( X 集中质量处梁的横向位移、截面转角、弯矩和剪力 第 i 个梁段长 li，抗弯刚度 EiIi，质量分别为mi-1、mi i ) 1( i iii IEl 1 i m )(i i m 第 i 个单元 L i 1 X R i 1 X L i X R i X

11、线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学11 ) 1 ( n )2( 1 23 )0() 1( n)2( n 1 n )3( )(n i ) 1( i iii IEl 1 i m )(i i m 第 i 个质量两侧满足： 第 i 个质量受力分析 i m L is F , R is F , R i M L i M ii L is R is L i R i L i R i L i R i ymFF MM yy , ii yy 2 当系统以频率 作简谐振动时： ii L is R is ymFF 2 , 第 i 个质量左右两侧的传递关系： L i P i R i XSX

12、点传递矩阵 第 i 个单元 L i si R i s F M y mF M y 100 0100 0010 0001 2 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学12 ) 1 ( n )2( 1 23 )0() 1( n)2( n 1 n )3( )(n i ) 1( i iii IEl 1 i m )(i i m 平衡条件： 第 i 个梁段受力分析 R is F 1, L is F , L i M R i M 1 R i 1 L i R i y 1 L i y i l x y i R is R i L i lFMM 1,1 R is L is FF 1, 梁段两端

13、位移和转角分析 设第i个梁段距离左端x远的截面的 弯矩、转角和挠度分别为： )()()(xyxxM iii ， 对于弯矩，有：xFMxM R is R ii1,1 )( 第 i 个单元 L i 1 X R i 1 X L i X R i X 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学13 设第 i 个梁段距离左端 x 远的截 面的弯矩、转角和挠度分别为： )()()(xyxxM iii ， 对于转角，由材料力学有： x i ii R ii dxxM IE x 0 1 )( 1 )( xFMxM R is R ii1,1 )( 2 1,11 2 11 xF IE xM

14、IE R is ii R i ii R i 对于挠度： x i R ii dxxyxy 0 1 )()( 3 1, 2 111 6 1 2 1 xF IE xM IE xy R is ii R i ii R i R i R is F 1, L is F , L i M R i M 1 R i 1 L i R i y 1 L i y i l x y 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学14 设第 i 个梁段距离左端 x 远的截 面的弯矩、转角和挠度分别为： )()()(xyxxM iii ， xFMxM R is R ii1,1 )( 2 1,11 2 11 )(

15、xF IE xM IE x R is ii R i ii R ii 3 1, 2 111 6 1 2 1 )(xF IE xM IE xyxy R is ii R i ii R i R ii 令)()(xyx ii 、中 x=li： ii i R is ii i R iR i L i IE lF IE lM 2 2 1, 1 1 ii i R is ii i R i i R i R i L i IE lF IE lM lyy 62 3 1, 2 1 11 R is F 1, L is F , L i M R i M 1 R i 1 L i R i y 1 L i y i l x y 线性振动的

16、近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学15 i R is R i L i lFMM 1,1 R is L is FF 1, ii i R is ii i R iR i L i IE lF IE lM 2 2 1, 1 1 ii i R is ii i R i i R i R i L i IE lF IE lM lyy 62 3 1, 2 1 11 R is F 1, L is F , L i M R i M 1 R i 1 L i R i y 1 L i y i l x y 梁段受力平衡方程： 第 i 个梁段左右两端状态变量的传递关系： R i F i L i1 XSX 场

17、传递矩阵 R i s i iiiiii iiiiiii L i s F M y l IElIEl IElIEll F M y 1 2 32 1000 100 )2/()/(10 )6/()2/(1 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学16 第 i 个质量左右两侧的传递关系： L i P i R i XSX 第 i 个梁段左右两端状态变量的传递关系： R i F i L i1 XSX 第 i -1 个质量右侧至第 i个质量右侧的状态变量传递关系： R ii R i F i P i R i11 XSXSSX F i P ii SSS 单元传递矩阵 对于带 n 个集中

18、质量得梁，总能利用各单元传递矩阵的连乘积 导出梁的最左端和最右端状态变量传递关系： RR n1 SXX 最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态 i ) 1( i iii IEl 1 i m )(i i m 第 i 个单元 L i 1 X R i 1 X L i X R i X 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学17 100 0100 0010 0001 2 i P i m S F i P ii SSS 单元传递矩阵： 1000 100 )2/()/(10 )6/()2/(1 2 32 i iiiiii iiiiiii F i l IElIEl IElIEll

19、 S )6/(1)2/( 100 )2/()/(10 )6/()2/(1 322222 2 32 iiiiiiiiiii i iiiiii iiiiiii i IElmIElmlmm l IElIEl IElIEll S 代入，得： 点传递矩阵场传递矩阵 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学18 0, 0 3300 LLRR MyMy 点传递矩阵和场传递 矩阵转到无量纲域 T s FMy)( X 100 0100 0010 0001 P i S 1000 1100 2/1110 6/12/111 F i S ) 1 ()2( 123 )0()3( R 0 X L

20、 1 X R 1 X R 2 X L 2 X L 3 X 无量纲变量： EI ml EI lF F EI Ml M l y y s s 232 , 100 0100 0010 0001 2 i P i m S 点传递矩阵 1000 100 )2/()/(10 )6/()2/(1 2 32 i iiiiii iiiiiii F i l IElIEl IElIEll S 场传递矩阵 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日 振动力学 19 0, 0 3300 LLRR MyMy 点传递矩阵和场传递矩 阵转到无量纲域，有： T s FMy)( X 100 0100 0010 00

21、01 P i S 1000 1100 2/1110 6/12/111 F i S 第 i 个梁段左右两侧的传递关系： R i F i L i1 XSX 两支座之间的传递矩阵： FPFPF 11223 SSSSSS 梁段1： RFL 011 XSX 梁段2： RFL 122 XSX 梁段3： RFL 233 XSX ) 1 ()2( 123 )0()3( R 0 X L 1 X R 1 X R 2 X L 2 X L 3 X 质量1： 两支座之间的状态关系： RFL 233 XSX LPR 111 XSX 质量2： LPR 222 XSX 第 i 个质量左右两侧的传递关系： L i P i R

22、i XSX 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 R 0 XS )( 223 LPF XSS)( 1223 RFPF XSSS)( 11223 LPFPF XSSSS )( 011223 RFPFPF XSSSSS 2021年6月23日振动力学20 0, 0 3300 LLRR MyMy 点传递矩阵和场传递矩 阵转到无量纲域，有： T s FMy)( X 100 0100 0010 0001 P i S 1000 1100 2/1110 6/12/111 F i S FPFPF 11223 SSSSSS ) 1 ()2( 123 )0()3( R 0 X L 1 X R 1 X R 2 X

23、L 2 X L 3 X 两支座之间的状态关系： RL 03 XSX 44434241 34333231 24232221 14131211 11223 FPFPF SSSSSS 代入，得： 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学21 0, 0 3300 LLRR MyMy T s FMy)( X FPFPF 11223 SSSSSS ) 1 ()2( 123 )0()3( R 0 X L 1 X R 1 X R 2 X L 2 X L 3 X 两支座之间的状态关系： RL 03 XSX R s L s F M y F M y 0 44434241 34333231

24、 24232221 14131211 3 根据两端支座边界条件，得： 0 0 034032 014012 s s F F 非零解条件：0)( 3432 1412 频率方程 44434241 34333231 24232221 14131211 S 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 2021年6月23日振动力学22 0, 0 3300 LLRR MyMy T s FMy)( X ) 1 ()2( 123 )0()3( R 0 X L 1 X R 1 X R 2 X L 2 X L 3 X 非零解条件：0 3432 1412 其中：3 3 5 36 2 3412 2 9 3 4 216 2 14 ) 6 4( 32 展开化简，得：0108965 2 EI ml 23 可得固有频率： 也可利用特征方程，采用数值方法求解固有频率。 线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 1385. 1 1 8615.94 2 3 1 1385. 1 ml EI 3 2 8615.94 ml EI 2021年6月23日振动力学23 例：求悬臂