第五讲-单自由度无阻尼强迫振动

1、第五讲第五讲 单自由度无阻尼强迫振动单自由度无阻尼强迫振动 简谐激励下的无阻尼强迫振动简谐激励下的无阻尼强迫振动 弹簧质量系统弹簧质量系统 设设 0 ( )sinF tFt 0 F 外力幅值外力幅值 外力的激励频率外力的激励频率 0 sinmxcxkxFt 振动微分方程：振动微分方程： m x m kx )(tF k x 0m )(tF 引入记号引入记号 0 0 , n Fk X mk 22 0 sin nn xxXt （2） （1） 求解微分方程求解微分方程 方程（方程（2）的通解包含两部分：齐次通解（）的通解包含两部分：齐次通解（F=0）和特解）和特解 12 xxx 特解可表示为特解可表示

2、为 112 cossin nn xCtCt （4） 将式（将式（5）代入运动方程（）代入运动方程（2）得）得 （5） 齐次通解为齐次通解为 （3） 2 sinxXt 2 00 222 , 1 n nn XX X （6） 求解微分方程求解微分方程 因此，微分方程（因此，微分方程（2）的通解为）的通解为 12 cossinsin dd xCtCtXt 00 0,0 xxxx （8） 对应于初始条件对应于初始条件 （7） 常数常数C1， C2由初始条件确定，由初始条件确定，X 由式（由式（6）确定。）确定。 可确定常数可确定常数C1， C2 0 102 , n x CxCX （9） 0 0 00 2

3、2 cossin 1 sinsin 11 nn n n x x txtt XtXt 自由振动（初始条件）自由振动（初始条件） 自由伴随振动自由伴随振动 （简谐激励）（简谐激励） 稳态强迫振动稳态强迫振动 因此，对应于该初始条件的解为因此，对应于该初始条件的解为 激励不仅激起强迫振动，且激起自由振动激励不仅激起强迫振动，且激起自由振动 00 22 1 sinsin 11 n x tXtXt 自由伴随振动自由伴随振动稳态强迫振动稳态强迫振动 对应于零初始条件的解为对应于零初始条件的解为 零初始条件零初始条件 1200 22 1 ( )( )( )sinsin 11 n x tx tx tXtXt

4、(2)( 0 () n TT (1)() n () n TT 稳态强迫振动进行一个循环时间内，稳态强迫振动进行一个循环时间内， 自由伴随振动完成多个循环自由伴随振动完成多个循环 自由伴随振动进行一个循环时间自由伴随振动进行一个循环时间 内，稳态强迫振动完成多个循环内，稳态强迫振动完成多个循环 强迫振动响应成为自由振动响应强迫振动响应成为自由振动响应 曲线上迭加的一个振荡运动曲线上迭加的一个振荡运动 强迫振动响应成为稳态响应曲线强迫振动响应成为稳态响应曲线 上迭加的一个振荡运动上迭加的一个振荡运动 2/ n /2 0 t )(tx 2/ n /2 0 t )(tx 1 1 稳态响应稳态响应 自由

5、振动自由振动 全响应全响应 由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解 00 0 )0()0( sin xxxx tFkxxm ， 00 2 0 )0()0( 0 xxxx xx ， 22 000 sin (0)0(0)0 xxXt xx ， t x txtx 0 0 0 001 sincos)( 200 22 1 ( )sinsin 11 n x tXtXt )()()( 21 txtxtx 通解：通解： 0 000 22 1 cossinsinsin 11 nnn n x xttXtXt 初始条件响应初始条件响应 自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应

6、振动特性振动特性 稳态强迫振动稳态强迫振动 0 2 1 ( )sin 1 x tXt 动力放大系数动力放大系数 2 0 1 1 X X 0 123 0 1 2 3 4 5 () 1. 当当 时，响应时，响应 与激励力同相，振幅随频与激励力同相，振幅随频 率比单调递增；率比单调递增； 01 2. 当当 时，响应与激时，响应与激 励力反相，振幅随频率比励力反相，振幅随频率比 单调递减。单调递减。 1 3. 当当 时，振幅可能时，振幅可能 达到非常大的值，即发生达到非常大的值，即发生 共振。共振。 1 振动特性振动特性-共振（共振（ ）,1 n 对于零初始条件对于零初始条件 0 2 1 ( )sin

7、sin 1 n x tXtt 0 2 1 2cossin 122 nn Xtt 令：令： 2 n 0 2 1 2sincos 12 n Xtt 又：又： 22 2 2 1 n n 2 0 2sincos 22 nn n Xtt 令：令： 0 0 1 cos 2 nn Xtt 0 2 1 2sincos 12 n x tXtt 当激频在固频领域内时当激频在固频领域内时 可看作频率为可看作频率为 但振幅按但振幅按 规律缓慢变化的振动规律缓慢变化的振动 n 0 2 2 sin 1 X t 这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍拍” 0 2 2 1 X 0 2

8、 2 sin 1 X t 2 n 0 2 2 sin 1 X t 0 t )(tx 2t达到最大值所需时间：达到最大值所需时间： 0 1 cos 2 x tXtt x t 振幅随时间增大而线性增大，时间无限长时，系统响应将无限大振幅随时间增大而线性增大，时间无限长时，系统响应将无限大 共振建立需要时间，激频很快通过固频时，不会发生太大振幅共振建立需要时间，激频很快通过固频时，不会发生太大振幅 试验试验 共振时的响应共振时的响应 0 0 x 例：例：计算初始条件，以使计算初始条件，以使tFkxxmsin 0 的响应只以频率的响应只以频率 振动振动 解：解： 000 0 22 ( )cossins

9、insin 11 nnn n xXX x txtttt 的全解：的全解：tFkxxmsin 0 如果要使系统响应只以如果要使系统响应只以 为频率振动为频率振动 必须成立：必须成立： 00 2 1 n xX 初始条件：初始条件： 0 0 x 0 0 2 1 n X x 0 0 F X k n 例：例：计算初始条件，以使计算初始条件，以使tFkxxmcos 0 的响应只以频率的响应只以频率 振动振动 解：解： 0 12 2 ( )cossincos 1 nn X x tctctt 的全解：的全解：tFkxxmcos 0 000 0 22 ( )cossinsinsin 11 nnn n xXX x

10、 txtttt 正确？正确？ tsin 全解：全解： 由由 0 )0(xx 0 10 2 1 X cx 0 12 2 ( )sincossin 1 nnnn X x tctctt 求一阶导数：求一阶导数： 由由 0 )0(xx 02n xc 20 / n cx 0 102 2 ( )cossincos 1 n X x tctctt 全解：全解： 0 10 2 1 X cx 0 2 n x c 因此：因此： 000 0 22 ( )()cossincos 11 nn n XxX x txttt 000 0 22 cossincoscos 11 nnn n xXX xtttt 的全解：的全解：tFkxxmsin 0 000 0 22 ( )cossinsinsin 11 nnn n xXX x txtttt 相同相同 不同不同 例：例：计算初始条