高等流体力学讲义课件_第四章二维势流42

1、4.6 偶极子流动偶极子流动 显然 z 0 处是上述函数的奇点。 F( ) z z F( )lnlnlnln ln ln F( ) 1 2z 2 22 22 + mmmz+m z zz+(z-)= 222z-2 - z m =+ 2zzz mm =+=+ 2zz2zz m z z 0 00 ln()() 2 x 1, 驻点在圆柱面外正下方。 1 4 Ua 由于环量的存在，流场对 x 轴不再对称，在圆柱上表面顺时针 的环流和无环量的绕流方向相同，因此速度增加，而在下表面 则方向相反，速度减少。根据伯努利方程上表面压强减小，下 表面压强增大，于是产生向上的合力，称升力。 4.8 4.8 有环量圆柱

2、绕流有环量圆柱绕流 升力和阻力升力和阻力 有环量绕流速度场对 y 轴对称，压强场也对 y 轴对称，因此在 x 轴方向圆柱所受表面力合力为零。 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 0 0 2 C 2 C X -Yi=iW dz 2 M = -Rez W dz 2 求圆柱受力和力矩的方法求圆柱受力和力矩的方法 压强积分方法 从复位势求出柱体表面速度分布； 再利用伯努利方程求出柱体表面压强分布，作积分求出表面力合 力与合力矩。 复变函数方法 布拉修斯公式 而曲线积分则可利用留数定理求出。 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 柱体受力分析柱体受力分析 设定常均匀来流绕流任意形 状的柱体，周围流体对柱体 的

3、作用力可简化为作用在柱 体重心的力X、Y 以及力矩 M（取xoy坐标原点在柱体 质心）。 取任意形状封闭曲面C0 包围柱体，柱体表面为Ci。以C0 ，Ci 间 的空间为控制体，控制体内的流体受到C0 外流体的压强p的作 用，同时受到柱体的反作用力 X，Y，以及反力矩M的 作用。 X Y n M i C n o C udy vdxpdy pdx dl VVSS D Q Dt CS FudV =udV +uu ndS =u t F =uQ CS CS F =uQ x F =vQ y 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 动量定理动量定理 写成分量形式， 00 CC -X -pdy=u(udy-vdx)

4、 00 CC -Y +pdx=v(udy-vdx) i00 CSCCC Q=udy-vdx 22 p= c-u +v 2 00 CC cdxcdy0 0 0 22 C 22 C X = uvdx-u -vdy Y = -uvdy+u -vdx 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 应用动量定理于上述控制体， x方向， y方向， Ci 是一条流线，没有流体穿过 通过C0上的微分面积的体积流量 微元面在x和y方向受到的压力则分别为：p dy，p dx 伯努利方程 代入 x 和 y 方向的动量方程，并考虑到 ，得 X Y n M i C n o C udy vdx pdy pdx dl CS CS F

5、=uQ x F =vQ y 布拉修斯公式布拉修斯公式 W( ) z 00 0 2 2 CC 2222 C iW dz=iu-i vdx+i dy 22 11 = uvdx-(u -v )dy +i uvdy+(u -v )dx 22 0 2 C X -iY =iW dz 2 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 上式中X，Y是作用在柱体重心的力，方向分别沿 x 与 y 轴正向；C0 是包围柱体的任意曲面；W为复速度。 与动量定理求出的柱体受力X，Y的表达式相比得， 若已知复速度 ， 则 CS M =ru Q 00 CC -M +(xpdx+ ypdy)=vx(udy-vdx)- uy(udy-vd

6、x) 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 动量矩定理动量矩定理 对我们研究的控制体，只需要考虑z方向分量方程， pdy pdx vQ, uQ 方程左边第一项是柱体对流体的反力矩， 第二项是C0 外的流体作用在C0上的压力对坐标原点（柱体重心）的矩。 方程右边则是单位时间净流出控制面的流体动量矩，方括号内两项分别 表示动量 对坐标原点的矩。由于没有流体通过柱体 表面Ci，积分只在C0上进行。 X Y n M i C n o C udy vdx 22 1 p= c- u -v 2 00 CC cdxcdy0 0 22 () ( )2 ( ) 2 C Muvx dxy dyu v x dyy dx 利

7、用伯努利方程 消去上式内的压强项，并考虑到 ，力矩M可表示为， 00 0 0 2 2 CC 22 C 22 C zW dz=x+i yu-i vdx+i dy 22 =u -vx dx- y dy +2uv x dy+ y dx 2 +iu -vx dy+ y dx -2uv x dx- y dy 2 0 2 c M = -RezW dz 2 4.9 布拉修斯公式布拉修斯公式 上式中 Re 表达取复变数的实部。M是作用在柱体上的力矩，逆时针方向 为正；C0 为围绕柱体的任意曲面；W为复速度。 与由动量矩定理求出的力矩M的表达式比较可得， 以复速度作如下积分式， 布拉修斯合力矩公式布拉修斯合力矩

8、公式 4.10 4.10 作用在圆柱上的力和力矩作用在圆柱上的力和力矩 如 F(Z) 在环形域 处处解析，该环形域中心在点 ，那么F(z)可用 级数表示为 上述级数称罗伦级数。 10 r r r 0 z F( ). 2 21 010202 0 0 bb z+a +a (z- z )+a (z- z ) z- z z- z 罗伦级数罗伦级数 如F(z)在曲线C内的区域中除有限个奇点 外解析，则 式中 是 F(z) 在点 的留数， 是 F(z) 在点 的留数，等等。 0 1 zz 123n z , z , z ,.z () 12n C F(z) dz=2 i R +R +.+R 1 z 2 z2

9、R 1 R 4.10 4.10 作用在圆柱上的力和力矩作用在圆柱上的力和力矩 留数留数 一个函数在 点的留数就是该函数对于 的罗伦级数 0 z 0 z 项的系数。 留数定理留数定理 0 2 C X -i Y =i W z 2 W( ) W ( ) 2 2 222422 22 24322 ai z =U-+ z z U aU aiUiUa z =U -+- zzzz z iU iU X -i Y =i 2 i= -i U 2 4.10 4.10 作用在圆柱上的力和力矩作用在圆柱上的力和力矩 作用在圆柱上的力作用在圆柱上的力 函数 W2 在 Co 内 的奇点只有一个， z = 0点， 即点涡和偶极子的所在点。 在 z0点的留数为 ， 布拉修斯公式, 定常均匀来流绕流圆柱，圆柱半径为a，来流速度为U，绕圆柱环量为 （顺时针），则 由上式可见在 x 方向的阻力为零，升力等于环量与来流速 度 U 和流体密度 的乘积， Y=U 上式为正值，即负方向的环量产生向上的升力。该公式称 为库塔儒科夫斯基公式。 显见 0 时 Y0，无环量绕流无升力。 4.10 4.10 作用在圆柱上的力和力矩作用在圆柱上的力和力矩 作用在圆柱上的力作用在圆柱上的力 函数 在 Co 内 的奇点只有 点，该点留数