材料力学7.弯曲变形

1、1 2 3 4 A B F C1 x y x 梁的变形情况：梁的变形情况： 原先为原先为直线直线的的轴线轴线, 变形变形后就会成为后就会成为曲线曲线 挠曲线挠曲线， 横截面横截面相对相对原来位置原来位置转过转过一个一个角度角度 截面转角截面转角 。 描述描述梁梁的的变形变形也需要也需要相应相应的的两个量两个量： 1挠度挠度 梁梁的的轴线轴线上某一个上某一个点点在在垂直垂直于于轴线轴线的的方向方向 （y方向）方向）所发生的所发生的位移位移 y(w) 。 2转角转角 梁梁上某一上某一横截面横截面在在梁梁发生发生变形变形后后, 相对原来位置相对原来位置转过转过的的角度角度 。 7-1 概述概述 5

2、3. 挠曲线方程和转角方程挠曲线方程和转角方程 从从图中图中我们可以看出：我们可以看出： 梁梁的的轴线轴线上上每一点每一点的的挠度挠度 y 和和转角转角是随着是随着点点的的位置位置 坐标坐标 x 的的改变改变而而变化变化的的, 因此它是因此它是 x 的的函数函数, 即：即： xyy 挠曲线方程挠曲线方程（沿（沿坐标正向坐标正向为为正正） x 转角方程转角方程（以（以 x 的的正向转向正向转向 y 的的正向正向为为正）正） A B F C1 x y x 由由图图可知可知: 挠曲线挠曲线上上任一点任一点的的斜率斜率与与转角转角之间的之间的关系关系为：为： tg dx dy 由于由于极其极其微小微小

3、 tg xy dx dy 有有 挠曲线方程挠曲线方程的的 一阶导数一阶导数为为 转角方程转角方程 y 6 7-2 梁的挠曲线梁的挠曲线近似微分方程近似微分方程及其积分及其积分 2/32 )1 (y y k yf x( )曲线曲线 的的曲率曲率为为 一一. 梁的挠曲线梁的挠曲线近似微分方程近似微分方程 z EI M 1 梁梁纯弯曲纯弯曲时时中性层中性层的的曲率曲率： 2/32 )1 ( 1 y y y EI M z y MyEI 有有或或 7 在在规定规定的的坐标系坐标系中中, x 轴轴水平向右水平向右为为正正, w 轴轴竖直向上竖直向上为为正正. 曲线曲线向向上凸上凸时：时： Ox w x O

4、 w 因此因此, y 与与 M 的的正负号正负号相同相同, 取取 曲线曲线向向下凸下凸时时: 0 0 M w M M MM 0 0 M w MyEI 0 y 0 y MyEI 8 )( d d 2 2 xM x xy EI )(xMxyEI 梁梁的的挠曲线挠曲线近似微分方程近似微分方程: 二二. 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 式式中中积分常数积分常数 C、D （一段一段 2 个，个，N 段段 2 N 个个） 由由变形边界条件变形边界条件和和变形连续条件变形连续条件确定。确定。 )(xMyEI CxxMyEI d)( DCxxxxMEIy dd)( C EI M z 1 梁梁纯弯曲纯弯曲

5、时时即即梁梁的的挠曲线挠曲线为为圆弧线圆弧线 横力弯曲横力弯曲时时 z EI xM y x 1 分段列分段列方程，方程，分段分段积分积分 9 解解: 选选坐标坐标, 列列弯矩方程弯矩方程 M x ql x q x( ) 22 2 2 22 x q x ql yEI Cx q x ql yEI 32 64 DCxx q x ql EIy 43 2412 由由边界条件：边界条件： 0 00 ylx yx 时， 时， 得：得：C ql D 3 24 0, x q l x y A B )(xMyEI 例例: 已知已知: 梁梁的的抗弯刚度抗弯刚度为为 EI。 试求试求: 图示图示简支梁简支梁在在均布载荷

6、均布载荷 q 作用下的作用下的转角方程转角方程、 挠曲线方程挠曲线方程, 并并确定确定max 和和 ymax 。 ）（lx 0 积分积分 10 梁梁的的转角方程转角方程和和挠曲线方程挠曲线方程分别为：分别为： q EI lxxl 24 64 233 () )2( 24 332 lxlx EI qx y 最大转角最大转角和和最大挠度最大挠度分别为：分别为： max AB ql EI 3 24 EI ql yy l x 384 5 4 2 max x q l x y A B AB A B 11 M xP lx( )() lPxPyEI Cx lPx P yEI 2 2 DCxx lP x P EI

7、y 23 26 由由边界条件：边界条件： 时，0 x 得：得： CD 0 x y l P A B x 例例. 已知已知: 梁梁的的抗弯刚度抗弯刚度为为 EI 。 试求试求: 图示图示悬臂梁悬臂梁在在集中力集中力 P 作用下的作用下的转角方程转角方程、 挠曲线方程挠曲线方程, 并并确定确定 max 和和 ymax 。 解：解：选选坐标坐标, 列列弯矩方程弯矩方程 积分积分 0 ,0 y y ( 0 x l ) 12 梁梁的的转角方程转角方程和和挠曲线方程挠曲线方程分别为：分别为： Px EI xl 2 2()3( 6 2 lx EI xP y 最大转角最大转角和和最大挠度最大挠度分别为：分别为：

8、 EI Pl B 2 2 max EI Pl yy B 3 3 max x y l P A B x B 13 ACM x P x段：( ) 2 x P yEI 2 Cx P yEI 2 4 DCxx P EIy 3 12 由由边界条件：边界条件：00yx时，得：得：D 0 由由对称条件：对称条件： 0 2 y l x时， 得：得：C Pl 2 16 x y l 2 P A B C l 2 x 例例. 已知已知: 梁梁的的抗弯刚度抗弯刚度为为 EI 。 试求试求: 图示图示简支梁简支梁在在集中力集中力 P 作用下的作用下的转角方程转角方程、 挠曲线方程挠曲线方程，并，并确定确定max 和和 ym

9、ax 。 解：解：选选坐标坐标, 列列弯矩方程弯矩方程 ACM x P x段：( ) 2 14 AC段段梁梁的的转角方程转角方程和和挠曲线方程挠曲线方程分别为：分别为： P EI xl 16 4 22 ()34( 48 22 lx EI xP y 最大转角最大转角和和最大挠度最大挠度分别为：分别为： max AB Pl EI 2 16 EI Pl yy l x 48 3 2 max x y l 2 P A B C l 2 x 讨论：讨论： 0 max c y处 15 7-3 用用叠加法叠加法计算梁的变形计算梁的变形 梁的梁的刚度计算刚度计算 一一. 用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形 根

10、据根据叠加原理叠加原理, 在在材料材料服从服从胡克定律胡克定律、且、且变形变形很小的很小的 前提下前提下, 载荷载荷与它所引起的与它所引起的变形变形成成线性关系线性关系。 当当梁梁上同时作用几个上同时作用几个载荷载荷时时, 各个各个载荷载荷所引起的所引起的变形变形 是是各自独立各自独立的的, 互不影响互不影响。若计算。若计算几个载荷几个载荷共同作用下共同作用下在在 某截面上某截面上引起的引起的变形变形, 则可则可分别计算分别计算各个各个载荷载荷单独作用下单独作用下 的的变形变形, 然后然后叠加叠加。 用于求用于求指定截面上指定截面上的的变形变形 16 例例: 用用叠加法叠加法求求 BAC y、

11、 17 C y 5 384 4 q l EI P l EI 3 48 m l EI 2 16 A q l EI 3 24 P l EI 2 16 ml EI3 B q l EI 3 24 P l EI 2 16EI lm 6 解解: 将将梁梁上的上的各载荷各载荷分别引起分别引起的的位移位移叠加叠加 18 变形后：变形后：AB AB BC BC 变形变形后后AB部分为部分为曲线曲线， 但但BC部分仍为部分仍为直线直线。 C点的位移为：点的位移为：wc 2 L w www BB cBc 19 例例: 求求外伸梁外伸梁 C 点的点的位移。位移。 将将梁梁各部分各部分分别分别 引起引起的的位移位移叠加

12、叠加 A B C P 刚化刚化 EI= L a C A B P P C yc1 解解: 1) BC 部分部分引起的引起的位移位移 fc1、 、 c1 EI pa yc 3 3 1 EI pa c 2 2 1 1c yc1 1c 20 2）AB 部分部分引起的引起的位移位移 fc2 、 、 c2 P 刚化刚化 EI= B C A yc2 P M=Pa a EI PaL ay Bc 3 22 EI paL B 3 2 21ccc yyy 21ccc 2B 2B 2B EI pa yc 3 3 1 EI pa c 2 2 1 21 解：解： v qa EI C 52 384 4 () Paa EI

13、()2 16 2 0 Pqa 5 6 例例：欲使：欲使 AD 梁梁 C 点点挠度挠度为零，为零，求求 ：P 与与 q 的关系。的关系。 c y 22 解：解： EI qa EI aq yy DC 24 5 384 )2(5 ,0 44 例：例：求：求：图示图示梁梁 C、D 两点的两点的挠度挠度 yC、 yD 。 23 解：解： EI qa EI aqa EI aq yB 3 14 3 )2( 8 )2( 434 EI qa EI aqay y B D 3 8 48 )2(2 2 43 例：例：求：求：图示图示梁梁 B、D 两处的两处的挠度挠度 yB 、 yD 。 B y 24 解：解： 例：例

14、：求：求：图示图示梁梁 C 点的点的挠度挠度 yC 。 25 解：解： )2(2)2(3 y 23 EI aPa EI Pa B EI Pa ayy BBC 3 3 5 12 3 Pa EI B Pa EI Pa a EI 2 2 22() 3 4 2 Pa EI 顺时针 3 2 3 Pa EI 例：例：用用叠加法叠加法求图示求图示变截面梁变截面梁 B、C 截面截面的的挠度挠度 yB 、yC 。 26 解：解： CB qa EI qa EI 33 64 顺时针 B qa a EI qaa EI 2 2 2 2 3 2 16 () qa EI 3 12 顺时针 EI qa EI qa ay BC

15、 24 5 8 44 例：例： 用用叠加法叠加法求图示求图示梁梁 端的端的转角转角和和挠度挠度。 27 解：解：弹簧缩短量弹簧缩短量 B q k q l EI ql EI 8 2 24 22 24 3 3 q k qa EI8 7 384 3 顺时针 EI ql k ql yC 768 5 16 4 ql k8 例：例： 用用叠加法叠加法求图示求图示梁梁跨中的跨中的挠度挠度 yC 和和 B 点点的的转角转角B （为为弹簧系数弹簧系数）。）。 28 例：例： 梁梁 AB , 横截面横截面是是边长边长为为a 的的正方形正方形, 弹性模量弹性模量为为 E1 ； 杆杆BC, 横截面横截面为为直径直径是

16、是 d 的的圆形圆形, 弹性模量弹性模量为为 E2。 试求：试求：BC 杆杆的的伸长伸长及及 AB 梁梁中点的中点的挠度挠度。 k ql k F 2 1 k F EA F EA F NNN 1 EI k 2 1 2 q x yy 29 二二. 梁的刚度计算梁的刚度计算 刚度条件：刚度条件： maxmax fy f、 是是构件构件的的许可许可挠度挠度和和转角转角， 它们决定于它们决定于构件构件正常正常工作时工作时的的要求要求。 土建工程：土建工程：以以强度强度为主为主, 一般一般强度条件强度条件满足了满足了, 刚度刚度要求要求 也就满足了也就满足了, 因此因此刚度校核刚度校核在在土建工程土建工程

17、中处于中处于从属地位从属地位。 机械工程：机械工程：对对二者二者的的要求要求一般是一般是相同的相同的，在，在刚度方面刚度方面对对 挠度挠度和和转角转角都有一定的都有一定的限制限制, 如如机床机床中的中的主轴主轴, 挠度挠度过大过大 影响影响加工精度加工精度, 轴端转角轴端转角过大过大, 会使会使轴承轴承严重磨损。严重磨损。 桥梁工程：桥梁工程：挠度挠度过大过大, 机车机车通过时将会通过时将会产生产生很大的很大的振动振动。 30 解：解：由由刚度条件刚度条件 500 48 3 max l f EI Pl y 2 500 48 l EI P 所以 .P 711kN max max M Wz Pl

18、Wz4 60MPa 711.kN I 20a 例：例：图示图示工字钢梁工字钢梁, l =8m , Iz=2370cm4, Wz=237cm3 , f = l500 , E=200GPa , =100MPa。 试：试：根据根据梁梁的的刚度条件刚度条件, 确定确定梁梁的的许可载荷许可载荷 P， 并并校核强度校核强度。 满足满足强度条件强度条件 31 7-5 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影响影响梁梁弯曲变形弯曲变形的的因素因素不仅与不仅与梁梁的的支承支承和和载荷情况载荷情况有关有关, 而且还与而且还与梁梁的的材料材料、截面尺寸截面尺寸、形状形状和和梁梁的的跨度跨度有关。有关。 所以所以,

19、要想要想提高提高弯曲刚度弯曲刚度, 就应从上述就应从上述各种因素各种因素入手。入手。 一一. 增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度 EI； 二二. 减小跨度或增加支承；减小跨度或增加支承； 三三. 改变加载方式和支座位置。改变加载方式和支座位置。 32 解除解除多余约束多余约束, 以代以代多余约束反多余约束反力力, 保持保持多余约束处多余约束处原有原有 的的变形条件变形条件, 就得到一个与就得到一个与原静不定梁原静不定梁完全等效完全等效的的静定梁静定梁, 该该梁梁称为称为原静不定梁原静不定梁的的静定基本系统静定基本系统。 7-6 用用变形比较法变形比较法解静不定梁解静不定梁 一一. 静不定梁的静不

20、定梁的基本解法基本解法 静不定梁静不定梁 静定基本系统静定基本系统 33 解解: 将将支座支座 B 看成看成多余约束多余约束， 变形协调条件变形协调条件为：为： ”“0 B BRBqB yyy 0 83 43 EI ql EI lR B Rql B 3 8 二二. 用用变形比较法变形比较法解静不定梁解静不定梁 例例: 求图示求图示静不定梁静不定梁的的支反力支反力。 解除解除多余约束多余约束, 以代以代多余约束反力多余约束反力, 根据根据叠加原理叠加原理, 把把多余约束处多余约束处的的变形变形看成由看成由载荷载荷和和多余约束反力多余约束反力共同共同 作用下作用下引起的引起的, 比较比较多余约束处多余约束处的的