第15章-压杆稳定

1、 赠言赠言 惟有道者能备患于未形也。惟有道者能备患于未形也。 管子管子 牧民牧民 见微知著，睹始知终。见微知著，睹始知终。 袁康袁康越绝书越绝书 越绝德序外传记越绝德序外传记 15.1 15.1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念 15.2 15.2 两端铰支细长压杆的临界力两端铰支细长压杆的临界力 15.3 15.3 两端约束不同时的临界力两端约束不同时的临界力 15.4 15.4 临界力、经验公式、临界力总图临界力、经验公式、临界力总图 15.5 15.5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核 15.6 15.6 压杆稳定计算的折减系数法压杆稳定计算的折减系数法 15.7 15.7 提高压杆稳定性的

2、措施提高压杆稳定性的措施 15.1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念 构件的承载能力构件的承载能力 工程中有些工程中有些 构件具有足够的构件具有足够的 强度、刚度，却强度、刚度，却 不一定能安全可不一定能安全可 靠地工作靠地工作 强度强度 刚度刚度 稳定性稳定性 P 一、稳定平衡与不稳定平衡一、稳定平衡与不稳定平衡 不稳定平衡不稳定平衡 稳定平衡稳定平衡 平衡刚性圆球平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；受干扰力，刚球离开原位置； 干扰力撤消：干扰力撤消： （1）稳定平衡稳定平衡 凹面上，刚球回到原位置凹面上，刚球回到原位置 （2）不稳定平衡不稳定平衡 凸面上，刚球不回到原位置，凸面上，刚球不

3、回到原位置， 而是偏离到远处去而是偏离到远处去 （3）随遇平衡随遇平衡 平面上，刚球在新位置上平衡平面上，刚球在新位置上平衡 理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线）理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线） 作用作用压力压力P，给一，给一横向干扰力横向干扰力，出现类似现象：，出现类似现象： （1）稳定平衡稳定平衡 若干扰力撤消，直杆能回到原若干扰力撤消，直杆能回到原 有的直线状态有的直线状态 ，图，图 b 压力压力P P小小 类似类似凹面凹面作用作用 （2）不稳定平衡不稳定平衡 若干扰力撤消，直杆不能回若干扰力撤消，直杆不能回 到原有直线状态，图到原有直线状态，图 c 压力压力

4、P P大大类似类似凸面凸面作用作用 二、压杆失稳与临界压力二、压杆失稳与临界压力 1.1.理想压杆：材料绝对纯，轴线绝对直理想压杆：材料绝对纯，轴线绝对直, ,压力绝对沿轴线压力绝对沿轴线 2.2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡压杆的稳定平衡与不稳定平衡 P 横向扰动 100P 横向扰动 哪个杆哪个杆会有会有 失稳现象？失稳现象？ 斜撑杆斜撑杆 3.3.压杆失稳压杆失稳 4.4.压杆的临界压力压杆的临界压力 干扰力是随机出现的，大小也不确定干扰力是随机出现的，大小也不确定 抓不住的、来去无踪抓不住的、来去无踪 如何显化它的作用呢？欧拉用如何显化它的作用呢？欧拉用13年的功夫，悟年的功夫，悟 出了一

5、个捕捉它、显化它的巧妙方法出了一个捕捉它、显化它的巧妙方法 用用干扰力干扰力产生的产生的初始变形初始变形代替它代替它 干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤 走了，但它产生的变形还在，若这种变形：走了，但它产生的变形还在，若这种变形： 1 1、还能保留还能保留，即，即 随遇平衡随遇平衡 或或 不稳定平衡不稳定平衡 2 2、不能保留不能保留，即，即 稳定平衡稳定平衡 横向干扰力产生横向干扰力产生2 2种初始变形种初始变形, ,在轴力作用下在轴力作用下 要保持平衡要保持平衡, ,截面截面有力矩有力矩 M , ,得到同一方程得到同一方程 P y x y x

6、P P M PyM 为得到压杆变形方程，为得到压杆变形方程，回忆回忆M与挠曲线的关系与挠曲线的关系 y y y EI M 2/3 2 )(1 1 由由2 2式得到式得到压杆变形微分方程压杆变形微分方程 0 EI Py y x x y y P P P M )( yPM 15.2 两端铰支压杆的临界力两端铰支压杆的临界力 PyM 图示横向干扰力产生的初始变形图示横向干扰力产生的初始变形, ,在轴力作用下在轴力作用下 要保持平衡要保持平衡, ,截面必然截面必然有力矩有力矩 M y EI P EI M y 0 2 ykyy EI P y EI P k 2 其中 PP x P x y P M kxBkx

7、Aycossin 0)()0(Lyy 0cossin 00 : kLBkLA BA 即 0kLsin nkL 临界力临界力 Pcr 是微弯下的最小压力是微弯下的最小压力，故只能取，故只能取n=1 且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲 2 min 2 L EI Pcr EI P L n k 22 )( EI L n Pcr 2 )( 此公式的应用条件：此公式的应用条件： 1.理想压杆理想压杆 2.线弹性范围内线弹性范围内 3.两端为球铰支座两端为球铰支座 两端铰支压杆临界力的欧拉公式两端铰支压杆临界力的欧拉公式 2 2 L EI Pcr min 15.3 压杆两端约束不同的临界力

8、压杆两端约束不同的临界力 （Critical Load) 其它支承情况下，压杆临界力为其它支承情况下，压杆临界力为 长度系数（或约束系数）长度系数（或约束系数） 即压杆临界力欧拉公式的一般形式即压杆临界力欧拉公式的一般形式 2 2 )( min L EI Pcr 两端约束不同的情况，分析方法与两端铰支的相同两端约束不同的情况，分析方法与两端铰支的相同 各种支承条件下等截面细长压杆临界力欧拉公式各种支承条件下等截面细长压杆临界力欧拉公式 支承情况支承情况 失稳时挠曲线形状失稳时挠曲线形状 临界力临界力Pcr 欧拉公式欧拉公式 长度系数长度系数 两端铰支两端铰支 Pcr A B l 2 2 l E

9、I P cr =1 2 2 )7 . 0(l EI P cr l 一端固定一端固定 另端铰支另端铰支 0.7 Pcr A B 0.7l C C 挠曲挠曲 线拐点线拐点 Pcr l 一端固定一端固定 另端自由另端自由 2 2 )2( l EI P cr =2 2l l 两端固定但可沿两端固定但可沿 横向相对移动横向相对移动 2 2 l EI P cr =1 0.5l Pcr C 挠曲线拐点挠曲线拐点 l C、D 挠挠 曲线拐点曲线拐点 0.5l 两端固定两端固定 2 2 )5 . 0(l EI P cr =0.5 A B C D cr P 但是含义不同，对于梁弯曲：但是含义不同，对于梁弯曲： 虽

10、然梁弯曲与柱稳定都用了虽然梁弯曲与柱稳定都用了 EI M y EI xM y )( 力学上力学上 载荷直接引起了弯矩载荷直接引起了弯矩 数学上数学上 求解是一个积分运算问题求解是一个积分运算问题 对于柱屈曲（压杆稳定）：对于柱屈曲（压杆稳定）： EI yM y )( 力学上力学上 载荷在横向干扰力产生的变形上引起载荷在横向干扰力产生的变形上引起 了弯矩了弯矩 数学上数学上 是一个求解微分方程的问题是一个求解微分方程的问题 欧拉圆满地处理了干扰力的作用欧拉圆满地处理了干扰力的作用, ,值得注意的值得注意的5点：点： 1、轴向压力轴向压力和和横向干扰力横向干扰力的区别的区别 强度、刚度、疲劳等，载

11、荷为外因强度、刚度、疲劳等，载荷为外因 压杆稳定中，压杆稳定中，载荷为内因载荷为内因，横向干扰力为外因，横向干扰力为外因 2、横向干扰力横向干扰力不直接显式处理，不直接显式处理，化为受压柱的初化为受压柱的初 始变形予以隐式地处理始变形予以隐式地处理 （干扰力作用后即撤销，用其变形去推导有道理）（干扰力作用后即撤销，用其变形去推导有道理） 3、轴向压力轴向压力同干扰力产生的同干扰力产生的横向变形横向变形的的共同效应共同效应， 产生了一个纯轴压时不存在的产生了一个纯轴压时不存在的弯矩弯矩，该弯矩决定，该弯矩决定 了平衡的稳定或不稳定了平衡的稳定或不稳定 4、显示了、显示了量变引起质变量变引起质变的

12、道理、的道理、内因与外因内因与外因的关系的关系 5、近代科学的、近代科学的混沌混沌、分岔分岔学科的极好的开端学科的极好的开端 P M kykyEI 22 MPyxMyEI )( EI P k 2 :令 kxdkxcysincos 0,; 0, 0 yyLxyyx 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为 边界条件为边界条件为 例例 导出下述两种细长压杆的临界力公式导出下述两种细长压杆的临界力公式 P L x P M0 P M0 P M0 x P M0 nkL nkL,d, P M c并并20 2 2 2 2 2 4 )/L( EI L EI P cr 2kL 为

13、为了求了求最小临界最小临界力力，“k”应取的最小应取的最小正值正值，即，即 故临界力为故临界力为 nkL 2 = 0.5 压杆的临界力压杆的临界力 例例 求下列细长压杆的临界力求下列细长压杆的临界力 , hb I y 12 3 =1.0， 解解：绕绕 y 轴，两端铰支轴，两端铰支： 2 2 2 L EI P y cry , 12 3 bh I z =0.7， 绕绕 z 轴，左端固定，右端铰支轴，左端固定，右端铰支： 2 1 2 )7 . 0(L EI P z crz ) , min( crzcrycr PPP y z h b y z L1 L2 x 4912 3 1017410 12 1050

14、 m.Imin 2 1 min 2 )(l EI P cr 48 10893m.II zmin 2 2 min 2 )(l EI P cr 例例 求下列细长压杆的临界力求下列细长压杆的临界力 解：图解：图(a) 图图(b) kN. ).( . 1467 5070 200174 2 2 kN. ).( . 876 502 2003890 2 2 图图(a) 图图(b) 30 10 P L P L (45 45 6) 等边角钢等边角钢 y z 15.4 临界应力、经验公式、临界应力总图临界应力、经验公式、临界应力总图 A Pcr cr 一一.临界应力和柔度临界应力和柔度 1.临界应力：压杆处于临界

15、状态时横截面上的平均应力临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力 3.柔度：柔度： 2 2 2 2 2 2 E )i/L( E A)L( EI A P cr cr 2.细长压杆的细长压杆的临界应力：临界应力： 惯性半径惯性半径 A I i ）杆的柔度（或长细比杆的柔度（或长细比 i L 2 2 E cr 即：即： 同长度、截面性质、支撑条件有关同长度、截面性质、支撑条件有关 二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围 着眼点着眼点 临界应力在线弹性内（小于比例极限）临界应力在线弹性内（小于比例极限） Pcr E 2 2 界力细杆）用欧拉公式求临时称为大柔度杆（或长 P P P E 2

16、能用欧拉公式求临界力的杆为中小柔度杆，不 P 三、经验公式、临界应力总图三、经验公式、临界应力总图 1.直线型经验公式直线型经验公式 P S 时：时： scr ba s s b a 界应力用经验公式求的杆为中柔度杆，其临 Ps ba cr 界应力为屈服极限的杆为小柔度杆，其临 S S 时：时： scr cr i L 2 2 E cr 临界应力总图临界应力总图 ba cr P S b a s s P P E 2 2.抛物线型经验公式抛物线型经验公式 2 11 ba cr S c . E .AA 560 43016 2 53 ，锰钢：锰钢：钢和钢和钢、钢、对于对于 时时，由由此此式式求求临临界界应

17、应力力 c 我国建筑业常用：我国建筑业常用： P s 时：时： 2 1 c scr s 时：时： scr 对于临界应力的理解对于临界应力的理解 （1）它的实质）它的实质： 象强度中的比例极限、屈服极限类似，除以象强度中的比例极限、屈服极限类似，除以 安全因数安全因数就是就是稳定中的应力极限稳定中的应力极限 （2）同作为常数的）同作为常数的比例极限、屈服极限不同，比例极限、屈服极限不同， 变化的变化的临界应力临界应力依赖压杆自身因素而变依赖压杆自身因素而变 对于临界应力总图形成的不同见解对于临界应力总图形成的不同见解 （1）书中思路）书中思路： 大柔度大柔度 b a s 0中柔度（中柔度（a，b

18、） 小柔度小柔度 （2）我猜想的历史发现过程）我猜想的历史发现过程： 大柔度大柔度发现不安全发现不安全 插进中柔度插进中柔度小柔度小柔度 拍脑袋拍脑袋确定中柔度最低限确定中柔度最低限 0 0.6 P cr i L 2 2 E cr P S P 0 baba cr ，中中的的待待定定 根据中柔度最低限根据中柔度最低限 0 算出算出a，b cr i L 2 2 E cr P S P 0 ),(),( sps 与与由由 0 ba cr s ba 0 p pba )/()(b )/()(a ppssp ppss 00 0 例例 两端铰支杆长两端铰支杆长L=1.5m，由两根，由两根 56 56 8 等边

19、等边A3角角 钢组成，压力钢组成，压力P=150kN，求求临界压力和安全因数临界压力和安全因数 4 1 2 1 63233678cm.I ,cm.A y zy II cm. . . A I i min 681 36782 2647 1233 .89 68.1 150 c i l 解：一个角钢：解：一个角钢： 两根角钢组合之后两根角钢组合之后 4 1 2647632322cm.III yymin 所以，应由抛物线公式求所以，应由抛物线公式求临界压力临界压力 y z MPa.) . (.)(. c scr 718 123 389 43012354301 22 kN.AP crcr 3041071811036782 64 022 150 304 . P P n cr 安全因数安全因数 15.5 压杆的稳定校核压杆