第09讲 点的应变状态

1、第三章第三章 金属塑性变形的力学基础金属塑性变形的力学基础 第二节第二节 应变分析应变分析 第二讲第二讲 点的应变状态分析点的应变状态分析 体积不变条件体积不变条件 应变状态分析应变状态分析 应变增量应变增量 简单应变简单应变 塑性变形时的体积不变条件塑性变形时的体积不变条件 设单元体初始边长为设单元体初始边长为 dx,dy,dzdx,dy,dz 变形前的体积变形前的体积dxdydzV 0 变形后边长变形后边长 dzdydx zyx )1 ( ;)1 ( ,)1 ( 变形后的体积变形后的体积)1)(1)(1 ( 1zyx dxdydzV 展开，略去高阶微量展开，略去高阶微量)1 ( 1zyx

2、dxdydzV 体积变化率体积变化率 zyx V VV 0 01 在弹性变形中，在弹性变形中，可正可负，在塑性变形中，认为体积不变可正可负，在塑性变形中，认为体积不变为零。为零。 体积不变条件为体积不变条件为0 zyx 塑性变形时，三个线应变分塑性变形时，三个线应变分 量不可能全部同号，绝对值量不可能全部同号，绝对值 最大的应变分量永远和另外最大的应变分量永远和另外 两个应变分量的符号相反。两个应变分量的符号相反。 塑性变形时的体积不变条件塑性变形时的体积不变条件 对数应变表示的体积不变条件对数应变表示的体积不变条件: : 0ln lnlnln 000 111 0 1 0 1 0 1 hbl

3、hbl h h b b l l hbl 例:一块长、宽、厚为120mm36mm 0.5mm的平板，拉伸后在长度方 向均匀伸长至144mm，若宽度不变时，求平板的最终尺寸。 根据变形条件可求得长、宽、厚方向上的主应变（用对数应变表示)为： 120 144 lnl 0 36 36 lnb 0 ln h h h 由体积不变条件 0 hbl 得 lh 所以 120 144 lnln 0 h h 即 144 120 0 h h )(417. 05 . 0 144 120 144 120 0 mmhh 所以，平板的最终尺寸为 144mm36mm 0.417mm 塑性变形时的体积不变条件塑性变形时的体积不变

4、条件 点的应变状态与应力状态相比较点的应变状态与应力状态相比较 点的应变张量与应力张量不仅在形式上相似，而且其性质和特性 也相似。因此，在研究应变状态理论时，一些公式不需再推导，直接 由与应力张量相似性得到，只要将应变张量中的线应变分量和切应变 分量分别与应力张量中的正应力分量和切应力分量相对应即可。 1、主应变、应变张量不变量、主切应变和最大切应变、主应变简图 （1）主应变 过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向(也称应变 主轴)，该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。用1, 2, 3表示 在主轴坐标系统中，应变张量为 3 2 1 00 00 00 ij （2）应变张量不变量

5、 应变状态特征方程 0 32 2 1 3 III 321 222 3 133221 222 2 3211 )(2 )()( xyzzxyyzxzxyzxyzyx zxyzxyxzzyyx zyx I I I 应变张量不变量 （3）主切应变和最大切应变 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 1331 3223 2112 )( 2 1 31max 若123,则 (4)主应变简图 用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图，简 称为主应变简图或主应变图。 a)压缩类变形 1321 , 0 b)剪切类变形(平面变形) 312 , 0 c)伸长类变形 特征应变为负应变，另外 两个应变为正

6、应变。 一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。 特征应变为正应变，另外两个应变为负正应变。 1321 , 0 2、八面体应变 八面体线应变 3 )( 3 1 )( 3 1 1 3218 I mzyx 八面体切应变 )(6)()()( 3 1 )()()( 3 1 222222 2 13 2 32 2 218 zxyzxyxzzyyx 3、应变偏张量和应变球张量 mijij m m m mzzyzx yzmyyx xzxymx zzyzx yzyyx xzxyx ij 00 00 00 4、等效应变 取八面体切应变绝对值的倍所得之参量称为等效应变，也称广义 应变或应变强度。 2 )(6)

7、()()( 3 2 )()()( 3 2 2 222222 2 13 2 32 2 218 zxyzxyxzzyyx )(6)()()( 2 1 )()()( 2 1 2 3 222222 2 13 2 32 2 218 zxyzxyxzzyyx 比较 等效应变的特点 1)是一个不变量； 2)在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的 线应变。 应变增量和应变速率张量应变增量和应变速率张量 1、速度分量和速度场 速度分量：质点在单位时间内的位移称位移速度，位移速度在三 个坐标轴上的投影称位移速度分量，简称速度分量。 ),( ),( ),( tzyxww tzyxvv tzyxuu

8、 t w w t v v t u u 位移速度是坐标的连续函数，又是时间的函数， 或),(tzyxuu ii 2、位移增量和应变增量 位移增量:物体在变形过程中，在一个极短的时间dt内，其质点产 生极小的位移变化量称为位移增量,记为dui v全量应变和应变增量的概念 全量应变:在变形的某过程或过程的某阶段终了时的应变 应变增量：变形过程中某极短阶段的无限小应变 速度分量： dt dw w dt dv v dt du u 或 dt du u i i 位移增量分量：dtudu ii 应变增量： dtudu ii 代入几何方程 )( 2 1 i j j i ij x u x u )()( 2 1 j

9、 i i j ij du x du x d 即 z du x dw d z dw d y dw z dv d y dv d x dv y du d x du d xzzxz zyyzy yxxyx )()( 2 1 d )( )()( 2 1 d )( )()( 2 1 d )( 一点的应变增量也是二阶对称张量，称应变增量张量 z yzy xzxyx ij d dd ddd d 注意：dij中的d不是微分符号， dij不表示ij的微分。 3、应变速率张量 应变速率：单位时间内的应变称为应变速率 将dtudu ii 代入 )()( 2 1 j i i j ij du x du x d )()(

10、2 1 dtu x dtu x d j i i j ij 两边同除以时间dt i j j i ij x u x u 2 1 或 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 z u x w z w y w z v y v x v y u x u xzzxz zyyzy yxxyx 注意： 是应变增量dij对时间 dt的微商，不是ij对时间的导 数。 ij 应变速率表示变形程度的变化快 慢，它不但取决于成形工具的运 动速度，而且与变形体的形状尺 寸及边界条件有关，所以不能仅 仅用工具或质点的运动速度来衡 量物体内质点的变形速度。 例一：矩形柱体在无摩擦的光滑平板间压缩。 设：u,v,w线性分布,压下

11、量H: bazw 当z=0时，w=0, z=H时，w= -H 所以： H H ab , 0 例题 z H H w 由体积不变条件： 设压下量为H时，长宽方向伸长2L )()2( 22 HHLLHL 展开，略去高阶微量 HLHLLHLLHLLHHLHL 22222 4444 H HL L 4 设：u=cx+d 当x=0时，u=0, 得 d=0 当x=L/2时， L L cLu 2 ,得得 x H H x L L u 2 2 同理：y H H v 2 H1 = ()=0 2H2 H1 = ()=0 2H2 H1 =- ()=0 H2 xxyyx yyzzy zzxxz uuv xyx vvw yz

12、y wwu zxz H wz H 2 H ux H y H H v 2 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 z u x w z w y w z v y v x v y u x u xzzxz zyyzy yxxyx . V wz H . V 2 ux H . 2 V vy H )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 z u x w z w y w z v y v x v y u x u xzzxz zyyzy yxxyx V1 = ()0 2H2 V1 = ()0 2H2 V1 =- ()0 H2 xxyyx yyzzy zzxxz uuv xyx vvw yzy wwu zxz 平面

13、应变平面应变 v概念概念 如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形，而如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形，而 在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形或平面在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形或平面 应变。发生变形的平面称塑性流平面。应变。发生变形的平面称塑性流平面。 yx 特点：特点： 、z z 为主方向，各分量与为主方向，各分量与z z无关，对无关，对z z的偏导数为零的偏导数为零 、塑性变形时体积不变、塑性变形时体积不变 0,01 zxzyz 、 平面应变平面应变 v几何方程几何方程 x v y u y v x u xy yx 2 1 , )(

14、2 1 )( 2 1 )( 2 1 z u x w z w y w z v y v x v y u x u xzzxz zyyzy yxxyx 平面应变平面应变 v应力特点应力特点 myxz )( 2 1 )( 2 1 21 1)1)由于平面变形时，物体内与由于平面变形时，物体内与z z轴垂直的平面轴垂直的平面 始终不会倾斜扭曲，所以始终不会倾斜扭曲，所以z z平面上没有切应力平面上没有切应力 分量，为应力主方向。分量，为应力主方向。 z 为平均应力，是不变量 xyyx , 平面应变平面应变 v应力特点应力特点 ) )(00 0)(0 00)( 000 0)(0 00)( )(00 00 00

15、 212 1 212 1 212 1 212 1 212 1 212 1 2 1 ij 平面变形的应力状态是平面变形的应力状态是 纯切应力状态叠加一球纯切应力状态叠加一球 应力状态。应力状态。 平面应变平面应变 v应力特点应力特点 3)平面变形时，由于z是不变量，而且其它应力分量 都与z轴无关，所以应力平衡微分方程和平面应力状态 下的应力平衡微分方程是一样的，即 0 0 yx yx yxy yx x 平面应变平面应变 平面应力和平面应变状态的共同点 1) 某向（如z向）无切应力 0 zyzx ，z为主方向； 2) z或为零（平面应力）或为m（平面应变），只有三个独立分量， xyyx , ，所以都叫平面问题； 3) 各应力分量与z无关，对z的偏导数为零，平衡微分方程相同。 工程应用工程应用 v绝对变形量绝对变形量 锻造和轧制时锻造和轧制时 压下：压下： 展宽：展宽： 管材拉拔时管材拉拔时 减径：减径： 减壁：减壁： hHh BbB 10 DDD 10 ttt 1 1、特殊工艺，特殊的方向、特殊工艺，特殊的方向 2 2、不能表示变形程度、不能表示变形程度