高等数学2010-1201H

1、目录 上页 下页 返回 结束 1 无穷级数无穷级数 无穷级数无穷级数 表示函数表示函数 研究性质研究性质 数值计算数值计算 数项级数数项级数 幂级数幂级数 傅氏级数傅氏级数 第十二章第十二章 无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具 目录 上页 下页 返回 结束 2 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 *三三、柯西审敛原理、柯西审敛原理 第十二章第十二章 第一节第一节 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质 目录 上页 下页 返回 结束 3 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用

2、圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正依次作圆内接正),2,1,0(23 n n 边形边形, 这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 A . 0 a 1 a 2 a n a 设设 a0 表示表示 ,时时 n 即即 n aaaaA 210 内接正三角形面积内接正三角形面积, ak 表示边数表示边数 增加时增加的面积增加时增加的面积, 则则圆内接正圆内接正 边形面积为边形面积为 n 23 第十二章第一节第十二章第一节 目录 上页 下页 返回 结束 4 引例引例2. 小球从小球从 1 m 高处自由落下高处自由落下, 每次跳起的高度减每次跳起的高度减 问小球是否会在某时刻停止运动问小球是否会

3、在某时刻停止运动? 说明道理说明道理. 由自由落体运动方程由自由落体运动方程 2 2 1 tgs 知知 g s t 2 则小球运动的时间为则小球运动的时间为 1 tT 2 2t 3 2t g 2 1 2 1 2 2 )2( 1 21 2 g 12 63. 2 ( s ) (此式计算用到此式计算用到 后面的例后面的例1) 少一半少一半, 设设 tk 表示第表示第 k 次小球落地的时间次小球落地的时间, 第十二章第一节第十二章第一节 目录 上页 下页 返回 结束 5 定义：定义： 给定一个数列给定一个数列, 321n uuuu 1n n u n uuuu 321 称称 其中其中 n u叫做级数的叫

4、做级数的一般项一般项, n k kn us 1 称为级数的称为级数的部分和部分和. n uuuu 321 ,lim存在存在若若ssn n 收敛收敛 , 则称无穷级数则称无穷级数 并称并称 s 为级数的为级数的和和, 记作记作 第十二章第一节第十二章第一节 1n n us 为为无穷级数无穷级数， 说明：说明： 级数级数 等价于数列等价于数列 n n u 1 n s n n u 1 级数和级数和 等价于数列等价于数列 的极限的极限 n s 目录 上页 下页 返回 结束 6 当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值 21nnnn uuSSr 为级数的为级数的余项余项. ,lim不存在不存在若若 n

5、n S 则称无穷级数则称无穷级数发散发散 . 显然显然 0lim n n r 第十二章第一节第十二章第一节 目录 上页 下页 返回 结束 7 例例1. 讨论等比级数讨论等比级数 (又称几何级数又称几何级数) )0( 2 0 aqaqaqaaqa n n n ( q 称为公比称为公比 ) 的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若若,1 q 12 n n qaqaqaas q qaa n 1 时，时，当当1 q, 0lim n n q由于由于从而 q a n n s 1 lim 因此级数收敛因此级数收敛 , ; 1 q a ,1时时当当 q,lim n n q由于由于从而从而 ,lim n n s 则

6、部分和则部分和 因此级数发散因此级数发散 . 其和为其和为 第十二章第一节第十二章第一节 目录 上页 下页 返回 结束 8 2). 若若,1 q ,1时时当当 qansn 因此因此级数发散级数发散 ; ,1时时当当 q aaaaa n 1 )1( 因此因此 n s n 为奇数为奇数 n 为偶数为偶数 从而从而 n n s lim 综合综合 1)、2)可知可知,1 q时时, 等比级数等比级数收敛收敛 ; 1 q时时, 等比级数等比级数发散发散 . 则则 , 级数成为级数成为 ,a ,0 不存在不存在 , 因此因此级数发散级数发散. )0(, 0 aqa n n 第十二章第一节第十二章第一节 目录

7、 上页 下页 返回 结束 9 例例3. 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性 1 )1( 1 n nn 解解: 第十二章第一节第十二章第一节 )1( 1 43 1 32 1 21 1 nn sn 2 1 1 1 1 1 n ） n(1 所以级数所以级数 收敛收敛, 其和为其和为 1 . 3 1 2 1 4 1 3 1 1 11 nn 技巧技巧: 利用利用 “拆项相消拆项相消” 求和求和 )3)(1( 1 1 nnn 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性练习练习. 目录 上页 下页 返回 结束 10 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1. 若级数若级数 1n n u 收敛于收敛于

8、s , 1 n n us则各项则各项 乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数 1n n uc 也收敛也收敛 , 证证: 令令, 1 n k kn uS则则 n k kn uc 1 , n Sc n n limSc 这说明这说明 1n n uc收敛收敛 , 其和为其和为 c S . n n Sc lim 说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 即即 其和为其和为 c s . 第十二章第一节第十二章第一节 目录 上页 下页 返回 结束 11 性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数, 1 n n us 1n n v 则级数则级数)( 1 n n

9、n vu 也收敛也收敛, 其和为其和为. s 第十二章第一节第十二章第一节 说明说明: )( 1 n n n vu 必发散必发散 . (1) 性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减表明收敛级数可逐项相加或相减 . 收敛收敛 收敛收敛 1n nn vu反证法：反证法： 1n n v 11 )( n n n nn uvu (2) 若若 收敛，收敛， 发散发散 , 则则 1n n u 1n n v (3)但若二级数都发散但若二级数都发散 ,)( 1 n n n vu 不一定发散不一定发散. 例如例如, ,)1( 2n n u 取取,)1( 12 n n v 0 nn vu而而 目录 上页 下页 返

10、回 结束 12 第十二章第一节第十二章第一节 证证: 令令, 1 n k kn uS, 1 n k kn v 则则 )( 1 k n k kn vu nn S )( nS 这说明级数这说明级数)( 1 n n n vu 也收敛也收敛, 其和为其和为. S 目录 上页 下页 返回 结束 13 性质性质3. 在级数前面加上或去掉在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数不会影响级数 的敛散性的敛散性. 证证: 将级数将级数 1n n u的前的前 k 项去掉项去掉, 1n nk u 的部分和为的部分和为 n l lkn u 1 knk ss nkn s 与与 ,时时由于由于 n 数敛散性相同数

11、敛散性相同. 当级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为. k ss 类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况 . 极限状况相同极限状况相同, 故新旧两级故新旧两级 所得新级数所得新级数 第十二章第一节第十二章第一节 目录 上页 下页 返回 结束 14 性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和的和. 证证: 设收敛级数设收敛级数, 1 n n us若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧, )()( 54321 uuuuu 则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 ), 2 , 1( m m 为原级数部分和为原级

12、数部分和 序列序列 ),2,1( nsn 的一个子序列的一个子序列, n n m m s limlim s 推论推论: 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散则原级数必发散. 注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. ,0)11()11( 但但 1111发散发散. 因此必有因此必有 例如例如， 用反证法可证用反证法可证 例如例如 第十二章第一节第十二章第一节 目录 上页 下页 返回 结束 15 性质性质5. (级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件) 设收敛级数设收敛级数 , 1 n n uS 则必有则必有.0lim n n u

13、证证: 1 nnn SSu 1 limlimlim n n n n n n SSu0 SS 可见可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 . 例如例如, 1 )1( 5 4 4 3 3 2 2 1 1 n n n 其一般项为其一般项为 1 )1( 1 n n u n n 不趋于不趋于0,因此这个级数发散因此这个级数发散. n un,时时当当 第十二章第一节第十二章第一节 目录 上页 下页 返回 结束 16 注意注意:0lim n n u并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件. 例如例如, 调和级数调和级数 nn n 1 3 1 2 1 1 1 1

14、虽然虽然 ，0 1 limlim n u n n n 但此级数发散但此级数发散 . 事实上事实上 , 假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 s , 则则 0)(lim 2 nn n ss n n 2 nnnn2 1 3 1 2 1 1 1 但但 nn ss2 矛盾矛盾! 所以假设不真所以假设不真 . 2 1 第十二章第一节第十二章第一节 目录 上页 下页 返回 结束 17 1. 级数：级数： 1n n u部分和：部分和： n i in us 1 ,limssn n 级数收敛：级数收敛：. 1 n n us收敛和：收敛和： n n s lim不存在不存在, ,级数发散级数发散: : 2. 性质性

15、质( (5个个) ) su n n 1 )1(; 1 ksku n n ,)2( 1 su n n 1n n v ; 1 svu n nn (3)去掉、加上或改变去掉、加上或改变有限项有限项, ,保持敛散性不变；保持敛散性不变； (4)增加增加括号括号, ,保持收敛性不变保持收敛性不变( (去掉去掉括号括号, ,保持保持 小结小结 发散性不变发散性不变). 目录 上页 下页 返回 结束 18 )0( 0 aqa n n 时，时，当当1 q q a s 1 ,1时时当当 q级数发散级数发散. 几何级数几何级数 级数收敛级数收敛, , su n n 1 )5(; 0lim n n u , 1 1

16、发散发散调和级数调和级数 n n 3. 作业作业 1-2 目录 上页 下页 返回 结束 19 e 0 级数发散级数发散. . n n n nn n u 1 limlim解解 . 2 1 1 收敛收敛 n n n nn 1 1lim . 2 1 发散发散 n n . 2 2 1 2 1 n n n ; 1 1 1 n n n n 练习练习1 1 判别级数的敛散性：判别级数的敛散性： 原级数发散原级数发散. . 目录 上页 下页 返回 结束 20 练习练习2：判别下列级数的判别下列级数的敛散性敛散性 ; 1212 1 75 1 53 1 31 1 1 nn ; 9 8 1 9 8 9 8 9 8

17、2 3 3 2 2 n n n ; 3 1 9 1 6 1 3 1 3 n 1 001. 0 4 n n ) 3 1 2 1 ( 5 1 nn n n s ), 12 1 1( 2 1 n2 1 lim n n s , 1 9 8 | q 11 3 11 nn nn 发散发散发散发散 1lim n n u0 3 1 , 2 1 11 都收敛，都收敛， n n n n 收敛收敛 1 3 1 2 1 n nn 目录 上页 下页 返回 结束 21 思考：思考： 1.若若 1n n u发散发散, , 则则 1n n ku（k为常数）为常数） 发散发散还是还是收敛收敛? ? 发散发散, ,2. .若若 11n n n n vu 、则则 1n nn vu发散发散还是还是收敛收敛? ? （K=0时收敛）时收敛） （不一定，如（不一定，如 ） n v n u nn 1 , 1 取取 （发散）（发散） 发