材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)

1、 第七章第七章 弯曲应力弯曲应力 CL8TU1 FF const=0= S MF， 纯弯曲纯弯曲： 00，MFS 横力弯曲横力弯曲： F F aa l CD AB F S F F MFa 7-17-1纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 一一. . 纯弯曲纯弯曲： 在横截面上，只有法向内力元素在横截面上，只有法向内力元素dA才能合成弯才能合成弯 矩矩M，只有切向内力元素，只有切向内力元素dA才能合成剪力才能合成剪力FS S dAM S FAd M S F CL8TU2 dA dA dA S F M aa bb mn mn MM M M 变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静

2、力学关系静力学关系 三个方面三个方面: : 一一. .几何变形几何变形 ( (1)aa、bb弯成弧弯成弧 线，线，aa缩短，缩短，bb伸伸 长长 ( (2)mm、nn变形后仍变形后仍 保持为直线，且仍与保持为直线，且仍与 变为弧线的变为弧线的aa，bb正正 交；交； (3)(3)部分纵向线段缩短部分纵向线段缩短 ，另一部分纵向线段，另一部分纵向线段 伸长。伸长。 jastin4.swf 1.1.平面假设平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.2.

3、单向受力假设单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。处于单向受拉或受压的状态。 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不一层纵向纤维既不伸长也不 缩短缩短, ,保持原来的长度保持原来的长度，这一纵向纤维层称为，这一纵向纤维层称为中性层中性层. . 中性层中性层 中性轴中性轴 中性层中性层 中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性中性轴轴 一一. .几何方程几何方程 二二. . 物

4、理关系物理关系 d dd)( d d y x x d y y E E y 一点的正应力与它到中性层的距离成正比。一点的正应力与它到中性层的距离成正比。 dx xd y z dx yy 三三. .静力学方程静力学方程 A AFd N A y AzMd A z AyMd 0 0 M 0d N A AF0d A A y E 0d A Ay E 0 z A SydA 必过截面形心中性轴Z 横截面对横截面对Z Z轴的静矩轴的静矩 设中性轴为zdA y z M y E 0d A y AzM0d AA zydA E A y zE 0 yz A IzydA MAyM A z d MA y yE A d z E

5、I M 1 z A IdAy 2 截面的惯性积（截面的惯性积（ y y为对称轴）为对称轴） 截面对截面对z z轴的惯性矩轴的惯性矩 中性层的曲率公式中性层的曲率公式 2.横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力 t Z M y I 1 max21 yyy若 当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时： ,c Z My I 2 max ct 则 M W Z max max M y I Z 1.1.正应力正应力 Z I yM Wz 称为抗弯截面模量称为抗弯截面模量W I y z z max 1 1）沿）沿y y轴线性分布，同一轴线性分布，同一 坐标坐标y y处，正应力相等。中处，正应力

6、相等。中 性轴上正应力为零。性轴上正应力为零。 2 2）中性轴将截面分为受）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。拉、受压两个区域。 3 3）最大正应力发生在距）最大正应力发生在距 中性轴最远处。中性轴最远处。 3.简单截面的抗弯模量简单截面的抗弯模量 h bh h I W z z 2 122/ 3 y yd (1)(1)矩形：矩形： 2 6 1 bhWz y (2)(2)圆：圆： 32)2/(64 34 D D D W z (3)(3)圆环圆环 )1 ( 32)2/(64 )( 4 344 D D dD WZ y x D d Z y 0 D D d 式中 7-2 7-2 横力弯曲时的正应力及

7、正应力强度条件横力弯曲时的正应力及正应力强度条件 z I yxM 一一. .横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 二二. .梁弯曲正应力强度条件梁弯曲正应力强度条件 上式是在上式是在平面假设平面假设和和单向受力假设单向受力假设的基础上推的基础上推 导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 对于横力弯曲，由于对于横力弯曲，由于剪力剪力的存在，横截面产生剪的存在，横截面产生剪 切变形，使切变形，使横截面发生翘曲横截面发生翘曲，不再保持为平面。理，不再保持为平面。理 论证明在论证明在L/h大于大于5时该式的精度能满足工程要求。时该式的精度能满足工程要求。 ma

8、x Z I yM 利用上式可以进行三方面的强度计算：利用上式可以进行三方面的强度计算： max max M WZ 已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度；已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度； 已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸; ; 已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷 max M Wz z WM 三三. .算例算例 例例7-17-1：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同，：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同， 但放置分别如图但放置分别如图(a)(a)、(b)(b)。按弯曲正应力强度条。按弯曲正应力强度

9、条 件确定两者许可载荷之比件确定两者许可载荷之比 P P1 1P P2 2？ l 解：解： 6/ 2 1 1 1max 1max bh lP W M z 6/ 2 2 2 2max 2max hb lP W M z 由得 maxmax : 12 P P h b 1 2 例例7-27-2主主梁梁ABAB，跨度为，跨度为l，采用加副梁，采用加副梁CDCD的方法提高承的方法提高承 载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副 梁的最佳长度梁的最佳长度a为多少？为多少？ 解解： a 2 a 2 l 2 l 2 P AB CD 4/ )( max al

10、PM AB 主梁主梁AB:AB: M M P la ABmax () 4 2P AB 2 / )( al2 / )( al 2P P a C D 副梁副梁CD:CD: M Pa CDmax 4 P la Pa 44 () 由由 CDAB MM)()( maxmax 得得a l 2 M 4 P )(M CDmax a 例例7-37-3受均布载荷的外伸梁材料许用应力受均布载荷的外伸梁材料许用应力 校核该梁的强度。校核该梁的强度。 解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见 MPa160 Mmax20kN m 2m4m 10kN/m 100 200 45kN 15kN S F 20 25 15 t z M W

11、 max 6/2 . 01 . 0 1020 2 3 MPa30 t 该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全 M 20 25.11 例例7-47-4图示铸铁梁，许用拉应力图示铸铁梁，许用拉应力t t =30MPa =30MPa，许，许 用压应力用压应力c c =60MPa, =60MPa,z z=7.63=7.631010-6 -6m m4 4，试校核此 ，试校核此 梁的强度。梁的强度。 9kN 4kN 1m1m1m A B CD M 25 . kN105 . kN Cz 52 88 C C截面截面 B B截面截面 2.5 4 MPa8 .28 885 . 2 z t I t MPa17

12、 525 . 2 z c I c MPa27 524 z t I t MPa46 884 z c I c 注：强度校核（选截面、荷载）注：强度校核（选截面、荷载） （1） ct ct （等截面）只须校核（等截面）只须校核Mmax处处 （2）（等截面）（等截面） (a)对称截面情况只须校核对称截面情况只须校核Mmax处使处使 cctt , maxmax (b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与与 M-max两处。两处。 例例4-14 图示简支梁由图示简支梁由56a号工字钢制成，已知号工字钢制成，已知 F=150kN。试求危险截面上的最大正应力。

13、试求危险截面上的最大正应力max 和同和同 一横截面上翼缘与腹板交界处一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力点处的正应力 a 。 B 5 m 10 m A F C FA FB 12.5 21 166 560 z a 375 kN.m M 解：解：1、作弯矩图如上，、作弯矩图如上，mkN375 4 max Fl M 2、查型钢表得、查型钢表得 3 cm2342 z W 4 cm65586 z I MPa160 mm102342 mmN10375 33 6 max max z W M MPa148 mm1065586 mm21 2 560 mmN10375 44 6 max z a a I yM

14、 56号工字钢号工字钢 3、求正应力为、求正应力为 12.5 21 166 560 z a 或根据正应力沿梁高的线性分布关系的或根据正应力沿梁高的线性分布关系的 MPa160 max MPa148MPa160 2 560 21 2 560 max max y ya a 12.5 21 166 560 z a 例例4-16 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简 图。钢的许用弯曲正应力图。钢的许用弯曲正应力 =152 MPa 。试选择。试选择 工字钢的号码。工字钢的号码。 AB FFF=75kN 2.5m2.5m2.5m2.5m 10 m FB FA 解：解：1

15、、支反力为、支反力为kN5 .102 2 3 FFF BA 作弯矩图如上。作弯矩图如上。 281 375 单位：单位： kNm 2、根据强度条件确定截面尺寸、根据强度条件确定截面尺寸 此时此时 z W M max 33 6 max mm102460 MPa152 mmN10375 M Wz 333 mm102447cm2447 z W 查型钢表得查型钢表得56b号工字钢的号工字钢的Wz比较接近要求值比较接近要求值 mkN375 max M MPa153 z max max W M 误差小于5%，可用 例例4-17 跨长跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许

16、用拉应力的许用拉应力 t =30 MPa，许用压应力，许用压应力 c =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁字形梁 横截面的尺寸横截面的尺寸d ，并校核梁的强度，并校核梁的强度 。 解：解： c t 2 1 y y 根据截面最为合理的要求根据截面最为合理的要求 3 1 90 30 mm210 2 yy 1m 2m B A F=80 kN C y1y2 z 60 220 y O 280 d 210 21 yy 即即 mm24d 得得 46 2 3 2 3 mm102 .99 )21030280(22060 12 60220 )110210(2202

17、4 12 22024 z I 截面对中性轴的惯性矩为截面对中性轴的惯性矩为 y1y2 z 60 220 y O 280 d 210 60220)60280( 2/ )60280()60280(25060220 d d y mkN40 4 280 4 max Fl M MPa7 .84 mm102 .99 mm210mmN1040 46 6 2max max c, z I yM c 梁上的最大弯矩梁上的最大弯矩 于是最大压应力为于是最大压应力为 即梁满足强度要求。即梁满足强度要求。 y1y2 z 60 220 y O 280 d O c,max t,max z MPa23.28 max, t t

18、 例例4-18 图示槽形截面铸铁梁，已知：图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截，截 面对中性轴的惯性矩面对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许铸铁的许 用拉应力用拉应力 t =30 MPa，许用压应力，许用压应力 c =90 MPa。 试求梁的许可荷载试求梁的许可荷载F 。 解：解：1、梁的支反力为、梁的支反力为 z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 B F C b q=F/b D bb A FB FA FFB 4 7 4 F FA 据此作出梁的弯矩图如下据此作出梁的弯矩图如下 4 max Fb M 2 max Fb M 发生在截面发生在截面

19、C 发生在截面发生在截面B z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 Fb/2 Fb/4 B F C b q=F/b D bb A 2、计算最大拉、压正应力、计算最大拉、压正应力 可见：压应力强度条件由可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度截面控制，拉应力强度 条件则条件则B、C截面都要考虑。截面都要考虑。 z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 Fb/2 Fb/4 C截面截面 B截面截面 压应力压应力 拉应力拉应力 拉应力拉应力 压应力压应力 MPa30 mm105493 mm86mm1022/ 43 3 2 maxt, F I yM

20、z B 考虑截面考虑截面B ： MPa90 mm105493 mm341mm1022/ 44 3 1 maxc, F I yM z B kN2 .19F kN8 .73F z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 Fb/2 Fb/4 考虑截面考虑截面C： 因此梁的强度由截面因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制上的最大拉应力控制 MPa30 mm105493 mm134mm1024/ 44 3 1 maxt, F I yM z C kN2 .19F kN6 .24F z y C 形心形心 86134 20 40180 120 20 Fb/2 Fb/4 MPa90 mm1

21、05493 mm86mm1024/ 44 3 2 maxc, F I yM z C 解：解： ( ) ( ) 1 2 1 2 得： y y t c t z t My I max 1 c z c My I max 2 ( ) 1 ( )2 例例7-57-5图示梁的截面为图示梁的截面为T T形，材料的许用拉应力和许形，材料的许用拉应力和许 用压应力分别为用压应力分别为t t和和c c，则，则 y1和和 y2 的最佳的最佳 比值为多少？（为截面形心）比值为多少？（为截面形心） CL8TU9 P C y1 y2 z M -PL 例例7-67-6简支梁简支梁ABAB，在截面下边缘贴一应变片，在截面下边缘贴一应变片， 测得其应变测得其应变= 610-4，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E=200GPaE=200GPa ，求载荷，求载荷P的大小。的大小。 04 . m05 . m 1m