材料力学第2章-轴向拉压

1、单辉祖-材料力学教程1 第 2 章 轴向拉伸与压缩 本章主要研究： 拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算 单辉祖-材料力学教程2 1 引言 2 轴力与轴力图 3 拉压杆的应力与圣维南原理 4 材料在拉伸与压缩时的力学性能 5 应力集中概念 6 许用应力与强度条件 7 胡克定律与拉压杆的变形 8 简单拉压静不定问题 9 连接部分的强度计算 单辉祖-材料力学教程3 1 引 言 轴向拉压轴向拉压实例实例 轴向拉压轴向拉压及其特点及其特点 单辉祖-材料力学教程4 轴向拉压轴向拉压实例实例 单辉祖-材料力学教程5 轴向拉

2、压及其特点轴向拉压及其特点 外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线外力或其合力作用线沿杆件轴线 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 轴向拉压: : 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式 拉 压 杆: : 以轴向拉压为主要变形的杆件以轴向拉压为主要变形的杆件 单辉祖-材料力学教程6 2 轴力与轴力图 轴力轴力 轴力计算轴力计算 轴力图轴力图 例题例题 单辉祖-材料力学教程7 轴轴 力力 符号规定：拉力为正拉力为正, ,压力为负压力为负 轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力通过横截面形心并沿杆件轴线的内力 单辉祖-材料力学教

3、程8 轴力计算轴力计算 试分析杆的轴力试分析杆的轴力 F FFF 12R FF N1 段： AB FF N2 0 N2 FF 段： BC 要点：逐段分析轴力；设正法求轴力要点：逐段分析轴力；设正法求轴力 （F1=F，F2=2F） 单辉祖-材料力学教程9 轴力图轴力图 表示轴力沿杆轴变化情况的图 线（即 FN-x 图 ）, 称为轴力图 以横坐标以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标表示横截面位置，以纵坐标 FN 表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。 FF N1 FF N2 单辉祖-材料力学教程10 例例 题题 例 21 21 等直杆等直杆BC , 横截面面积为横

4、截面面积为A , 材料密度为材料密度为r r , 画杆画杆 的轴力图的轴力图，求最大轴力求最大轴力 单辉祖-材料力学教程11 3 拉压杆的应力与圣维南原理 拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 拉压杆斜截面上的应力拉压杆斜截面上的应力 圣维南原理圣维南原理 例题例题 单辉祖-材料力学教程12 拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 横线仍为直线 仍垂直于杆轴 横线间距增大 1.1.试验观察试验观察 单辉祖-材料力学教程13 A FN 2. 假设假设 变形后,横截面仍保持平面,仍与杆轴垂 直,仅沿杆轴相对平移 拉压平面假设拉压平面假设 3. .正应力公式正应力公式 横截面上各点处仅存在正

5、应力，并沿横截面均匀分布 公式得到试验证实公式得到试验证实 单辉祖-材料力学教程14 横截面上横截面上 的正应力的正应力 均均匀分布匀分布 横截面间横截面间 的纤维变的纤维变 形相同形相同 斜截面间斜截面间 的纤维变的纤维变 形相同形相同 斜截面上斜截面上 的应力均的应力均 匀分布匀分布 拉压杆斜截面上的应力拉压杆斜截面上的应力 1. 1. 斜截面应力分布斜截面应力分布 单辉祖-材料力学教程15 0 cos , 0F A pFx 2. 斜截面斜截面应力应力计算计算 cos cos 0 A F p 2 0cos cos p 2sin 2 sin 0 p 单辉祖-材料力学教程16 2 0 45 m

6、ax 2 0cos 2sin 2 0 00max 3. 最大应力分析最大应力分析 4. 正负符号规定正负符号规定 ：以以x 轴为始边，逆时针转向轴为始边，逆时针转向者者为正为正 ：斜截面外法线斜截面外法线On沿顺时针方向旋转沿顺时针方向旋转9090 ，与，与 该方向同向之切应力为正该方向同向之切应力为正 最大正应力发生在杆件横截面上，其值为最大正应力发生在杆件横截面上，其值为 0 最大切应力发生在杆件最大切应力发生在杆件45斜截面上斜截面上, 其值为其值为 0/2 单辉祖-材料力学教程17 圣维南原理圣维南原理 杆端应力分布 单辉祖-材料力学教程18 圣维南原理 力作用于杆端的分布方 式，只影

7、响杆端局部范围的 应力分布，影响区约距杆端 12 倍杆的横向尺寸 杆端镶入底座，横杆端镶入底座，横 向变形受阻，应力向变形受阻，应力 非均匀分布非均匀分布 应力均布区应力均布区 应力非应力非 均布区均布区 应力非应力非 均布区均布区 单辉祖-材料力学教程19 例例 题题 例 3-1 已知：已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求：试求：斜斜截面截面 m-m 上的应力上的应力 单辉祖-材料力学教程20 单辉祖-材料力学教程21 例 3-2 以加速度以加速度 a 向上起吊直杆向上起吊直杆, 分析杆的轴力，并求最分析杆的轴力，并求最 大正应力。横截面面积为大正应力。横截面面积为A, 材

8、料密度为材料密度为r r。 重力惯性力(达郎贝尔原理) 单辉祖-材料力学教程22 4 材料在拉伸与压缩时的力学性能 拉伸试验与应力应变图拉伸试验与应力应变图 低碳钢的低碳钢的拉伸力学性能拉伸力学性能 其它材料的其它材料的拉伸力学性能拉伸力学性能 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能 温度对力学性能的影响温度对力学性能的影响 单辉祖-材料力学教程23 拉伸试验与应力应变图拉伸试验与应力应变图 拉伸标准试样 GB/T 228-2002金属材料室温拉伸试验方法金属材料室温拉伸试验方法 dldl5 10 或或 AlAl65. 5 3 .11 或或 单辉祖-材料力学教程24 拉伸试验 试验装置试验装

9、置 单辉祖-材料力学教程25 拉伸试验与应力应变图拉伸试验与应力应变图 AFF/ lll/ 应力应变图应力应变图 单辉祖-材料力学教程26 低碳钢的低碳钢的拉伸力学性能拉伸力学性能 滑移线滑移线 加载过程与力学特性低碳钢低碳钢Q235 单辉祖-材料力学教程27 滑移线滑移线 缩颈与断裂缩颈与断裂 单辉祖-材料力学教程28 b-强度极限强度极限 E = tan - 弹性模量弹性模量 p-比例极限比例极限 s-屈服极限屈服极限 单辉祖-材料力学教程29 卸载与再加载规律 p塑性应变塑性应变 e弹性极限弹性极限 e 弹性应变弹性应变 冷作硬化：冷作硬化：由于预加塑性变形由于预加塑性变形, 使使 e

10、或或 p 提高的现象提高的现象 单辉祖-材料力学教程30 材料的塑性 0 0 0 100 l l 伸长率伸长率 l试验段原长（标距）试验段原长（标距） l0试验段残余变形试验段残余变形 塑性塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力 单辉祖-材料力学教程31 0 0 1 100 A AA 断面收缩率断面收缩率 塑性材料塑性材料： 5 % 5 % 例如结构钢与硬铝等例如结构钢与硬铝等 脆性材料脆性材料： 5 % 5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等例如灰口铸铁与陶瓷等 A 试验段横截面原面积试验段横截面原面积 A1断口的横截面面积断口的横截面面积 塑性与脆性材料塑性与

11、脆性材料 单辉祖-材料力学教程32 其它材料的拉伸力学性能其它材料的拉伸力学性能 /%/% / /MPa 30铬锰硅钢铬锰硅钢 50钢钢 硬铝硬铝 塑性金属材料拉伸 0.2名义屈服极限名义屈服极限 单辉祖-材料力学教程33 灰口铸铁拉伸 断口与轴线垂直断口与轴线垂直 单辉祖-材料力学教程34 纤维增强复合材料拉伸 各向异性各向异性 线弹性线弹性 脆性材料脆性材料 碳纤维碳纤维/环氧树脂基体环氧树脂基体 单辉祖-材料力学教程35 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能 低碳钢压缩 ct EE csts )()( 愈压愈扁愈压愈扁 单辉祖-材料力学教程36 灰口铸铁压缩 ( ( b)c= 3 4

12、 ( b)t 断口与轴线约成断口与轴线约成45o 单辉祖-材料力学教程37 温度对力学性能的影响温度对力学性能的影响 材料强度、弹性常数随温度变化的关系 中炭钢中炭钢硬铝硬铝 单辉祖-材料力学教程38 5 应力集中概念 应力集中与应力集中因数应力集中与应力集中因数 交变应力与材料疲劳概念交变应力与材料疲劳概念 应力集中对构件强度的影响应力集中对构件强度的影响 单辉祖-材料力学教程39 应力集中与应力集中因数应力集中与应力集中因数 由于截面急剧变化引起应力局部增大现象由于截面急剧变化引起应力局部增大现象应力集中应力集中 应力集中 单辉祖-材料力学教程40 应力集中因数 n max K max最大

13、局部应力最大局部应力 n 名义应力名义应力 )( n db F 板厚板厚 单辉祖-材料力学教程41 交变应力与材料疲劳概念交变应力与材料疲劳概念 随时间循环或交替变化的应力随时间循环或交替变化的应力交变或循环应力 连杆连杆 单辉祖-材料力学教程42 N应力循环数应力循环数 / /MPa b s 疲劳破坏 在交变应力作用下，材料或构件产生可见在交变应力作用下，材料或构件产生可见 裂纹或完全断裂的现象裂纹或完全断裂的现象，称为，称为 疲劳破坏 在在循环循环应力作用下应力作用下，虽然小于强度极限，虽然小于强度极限，但经历应但经历应 力的多次循环后，构件将力的多次循环后，构件将产生可见裂纹或完全断裂产

14、生可见裂纹或完全断裂 钢拉伸疲劳断裂钢拉伸疲劳断裂 单辉祖-材料力学教程43 应力集中对构件强度的影响应力集中对构件强度的影响 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大（塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大 对于塑性材料构件，当对于塑性材料构件，当 max达到达到 s 后再增加载荷，后再增加载荷， 分布趋于均匀化，不影响构件静强度分布趋于均匀化，不影响构件静强度 对于脆性材料构件，当对于脆性材料构件，当 max b 时，构件断裂时，构件断裂 单辉祖-材料力学教程44 6 许用应力与强度条件 失效与许用应力失效与许用应力

15、 轴向拉压轴向拉压强度条件强度条件 例题例题 单辉祖-材料力学教程45 失效与许用应力失效与许用应力 断裂与屈服，相应极限应力断裂与屈服，相应极限应力 脆性材料 塑性材料 - - b s u 构件工作应力的最大容许值构件工作应力的最大容许值 n u n 1 安全因安全因数数 脆性材料脆性材料 塑性材料塑性材料 - - b b s s n n 静荷失效 许用应力 单辉祖-材料力学教程46 轴向拉压轴向拉压强度条件强度条件 保证保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件拉压杆不致因强度不够而破坏的条件 校核强度校核强度 已知杆外力、已知杆外力、A与与 ，检查杆能否安全工作检查杆能否安全工作 截面设计截面

16、设计 已知杆外力与已知杆外力与 ，确定确定杆所需杆所需横截面面积横截面面积 maxN, F A N AF 确定承载能力确定承载能力 已知杆已知杆A与与 ，确定杆能承受的确定杆能承受的FN,max 常见强度问题类型 强度条件 变截面变轴力拉压杆变截面变轴力拉压杆 等截面拉压杆等截面拉压杆 单辉祖-材料力学教程47 例例 题题 例 6-1 图示吊环，最大吊重图示吊环，最大吊重 F = 500 kN，许用应力许用应力 = 120 MPa，夹角夹角 = 20。试确定斜杆的直径试确定斜杆的直径 d。 单辉祖-材料力学教程48 单辉祖-材料力学教程49 例 6-2 已知：已知：A1=A2=100 mm2，

17、 t =200 MPa， c =150 MPa 试求：载荷试求：载荷F的许用值的许用值许用载荷 许用载荷 F 单辉祖-材料力学教程50 单辉祖-材料力学教程51 例 6-3 已知：已知： l, h, F（0 x l）, AC为刚性梁为刚性梁, 斜撑杆斜撑杆 BD 的许用应力为的许用应力为 试求：试求：为使杆为使杆 BD 重量最轻重量最轻, q q 的最佳值的最佳值 斜撑杆斜撑杆 单辉祖-材料力学教程52 单辉祖-材料力学教程53 例 6-4 图示立柱，承受轴图示立柱，承受轴 向载荷向载荷 F。立柱的材料密。立柱的材料密 度度为为r r，许用应力为，许用应力为 。 为使各横截面的应力均为使各横截

18、面的应力均 等于等于 , ,试确定横截面试确定横截面 沿立柱轴线的变化规律沿立柱轴线的变化规律. . 立柱立柱 单辉祖-材料力学教程54 7 胡克定律与拉压杆的变形 轴向变形与胡克定律轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比横向变形与泊松比 叠加原理叠加原理 例题例题 胡克定律与杆的轴向变形胡克定律与杆的轴向变形 实验表明：当实验表明：当 p 时，时， 引入比例常数引入比例常数E E 胡克定律 在比例极限内，正应力与正应变成正比在比例极限内，正应力与正应变成正比胡克定律 E弹性模量弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为，其量纲与应力相同，常用单位为GPa MPa 10Pa 10GPa 1 39 G

19、Pa 220200 E钢与合金钢：钢与合金钢：GPa 7270 E铝合金：铝合金： 轴向变形基本公式 A FN l l EA 杆截面的杆截面的 拉压刚度拉压刚度 l 伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负 E 在比例极限内，拉压杆的轴向变形在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l ，与轴与轴 力力 FN 及杆长及杆长 l 成正比，与乘积成正比，与乘积 EA 成反比成反比 胡克定律 轴向变形一般公式 )( d)( )d( N xEA xxF l l x xEA xF ld )( )( N n iii ii AE lF l 1 N n 杆杆段总数段总数 FNi 杆段杆段 i 的的轴力轴力 变截面变轴力杆变

20、截面变轴力杆 阶梯形杆阶梯形杆 横向变形与泊松比横向变形与泊松比 拉压杆的横向变形 bbb 1 b b E 泊松比 试验表明试验表明 ：在比例极限内，：在比例极限内， ，并异号并异号 泊松比泊松比 ) 5 . 00 ( E 叠加原理叠加原理 算例 试分析杆试分析杆 AC 的轴向变形的轴向变形 l 叠加原理 当杆件内力、应力及变形，与外力成正比当杆件内力、应力及变形，与外力成正比 关系时，通常即可应用叠加原理关系时，通常即可应用叠加原理 原理原理 应用应用 例题例题 用叠加法分析内力用叠加法分析内力 几个载荷同时作用所产生的总效果，等几个载荷同时作用所产生的总效果，等 于各载荷单独作用产生的效果

21、的总和于各载荷单独作用产生的效果的总和 例例 题题 例 7-1 已知已知 l = 54 mm, di = 15.3 mm, E200 GPa, 0.3, 拧紧后拧紧后, AB 段的轴向变形为段的轴向变形为 l 0.04 mm。试试求求螺栓横截螺栓横截 面上的正应力面上的正应力 , , 与与螺栓的横向变形螺栓的横向变形 d 叶片叶片 例 7-2 图示涡轮叶片，材料密度为图示涡轮叶片，材料密度为r r ，转速为转速为w w 试试求叶片横截面上的正应力与轴向变形求叶片横截面上的正应力与轴向变形 例 7-3 图示桁架，杆图示桁架，杆1与与2分别用钢与松木制成。分别用钢与松木制成。F = 10 kN；E

22、1 = 200 GPa, A1 = 100 mm2, l1 = 1 m；E2 = 10 GPa, A2 = 4000 mm2。试求试求节点节点 A 的水平与铅垂位移的水平与铅垂位移 例 7-4 F1 = F2 / 2 = F，求截面求截面 A 的位移的位移 Ay 刚体刚体 EA 刚体刚体 EA FF8 N 8 简单拉压静不定问题 静不定问题与静不定度静不定问题与静不定度 静不定问题分析静不定问题分析 例题例题 静不定问题与静不定度静不定问题与静不定度 静静不定问题不定问题 仅由仅由平衡平衡方程不方程不能确定全部未知力的问题能确定全部未知力的问题 静静不定不定度度 未知力数与有效未知力数与有效平

23、衡平衡方程方程数之差数之差 静定静定问题问题 仅由仅由平衡平衡方程方程即可即可确定全部未知力（确定全部未知力（约束反约束反 力与力与内力内力）的问题）的问题 一度静不定一度静不定 静定问题静定问题 静不定问题分析静不定问题分析 分析方法 求解思路求解思路 建立平衡方程建立平衡方程 建立补充方程建立补充方程 各杆的变各杆的变 形间满足形间满足 一定关系一定关系 0),( 321 lllf0),( N3N2N1 FFFF )3 , 2 , 1( N iFl ii 补充方程补充方程 变形协调变形协调方程方程 联立求解联立求解 利用利用变形协调变形协调方程与物理方程，方程与物理方程，建立建立补充方程补

24、充方程 E1A1= E2A2 求解算例 综合考虑三方面综合考虑三方面 外力与外力与 FNi 满足静力平衡方程满足静力平衡方程 各各 li 之间满足变形协调方程之间满足变形协调方程 li 与与FNi 间满足给定物理关系（例如间满足给定物理关系（例如胡克定律胡克定律） （静力、几何与物理）（静力、几何与物理） 静不定问题求解与内力的特点 内力分配与杆件刚度有关内力分配与杆件刚度有关 一般讲，一般讲，EiAi ，FNi 内力特点：内力特点： 例例 题题 例 8-1 求两端固定杆的支反力求两端固定杆的支反力 一度静一度静 不定不定 例 8-2 已知：已知：F = 50 kN， t = 160 MPa， c = 120 Mpa ，A1= A2。试问：试问：A1=? A2=? 例 8-3 试画试画图示静不定桁架的变形图与受力图，图示静不定桁架的变形图与受力图，建立建立 变形协调方程变形协调方程。 例 8-4 图示两端固定杆，试分析当温度升高图示两端固定杆，试分析当温度升高 T 时，横时，横 截面上的应力截面上的应力 T。已知材料的线膨胀系数为已知材料的线膨胀系数为 l。 例 8-5 图示桁架图示桁架, ,结构左右对称结构左右对称, ,杆杆3比设计尺寸短比设计尺寸短 , , 装装 配后将引起应力。配后将引起应力。试建立应力分析的平衡与补充方程。试建立应