材料力学第八章 能量法

1、第八章 能量法作业 8-1 （b）、（d） 8-2 （b）、（d） 8-3 （b）、（d） 8-4 8-6 8-10 8-11 （a）、（b） 8-12 （a）、（b） 8-15 第八章第八章 能量法能量法 8.1 8.1 杆件的变形能杆件的变形能 8.3 8.3 虚功原理虚功原理 互等定理互等定理 8.28.2克拉贝隆原理克拉贝隆原理 卡氏定理卡氏定理 8.48.4 单位力法单位力法 图乘法图乘法 8.6 8.6 冲击应力冲击应力 动载强度计算动载强度计算 8.58.5 超静定问题超静定问题 力法正则方程力法正则方程 第八章第八章 能量法能量法 基于能量守恒原理，外力功在数值上等于存储在基于

2、能量守恒原理，外力功在数值上等于存储在 弹性体内的变形能。弹性体内的变形能。 即即 U=W 8.1 8.1 杆件的变形能杆件的变形能 例如，图示悬臂梁，在自由端受到集中力例如，图示悬臂梁，在自由端受到集中力P P作用作用。 外力功：PW 2 1 UUU 变形能： 或 QM UUU 在数值上，U=W 外力功的表达式外力功的表达式 思考：外力功在思考：外力功在P- 曲线上的几何意义曲线上的几何意义? 线弹性小变形下的外力功线弹性小变形下的外力功 PPdW 2 1 0 0 PdW 观察加载过程，加载路径与外力功关系？观察加载过程，加载路径与外力功关系？ 载荷载荷- -位移位移( (P-P-)曲线曲线

3、 静加载下的外力功静加载下的外力功 内力功（变形能）的表达式内力功（变形能）的表达式 应力应力- -应变应变( ( - -e) e)曲线曲线 思考思考:材料力学性能、加载路径与变形能的关系？材料力学性能、加载路径与变形能的关系？ 思考思考:计算弹性比能时，什么时候需要沿加载路径积分？计算弹性比能时，什么时候需要沿加载路径积分？ 线弹性材料的弹性比能线弹性材料的弹性比能 e 2 1 u 弹性材料的弹性比能弹性材料的弹性比能 e e 0 du 平面弯曲直梁平面弯曲直梁 *以上分析，杆件均为以上分析，杆件均为线性弹性线性弹性材料制成材料制成* *而且只考虑了弯曲正应力产生的变形能而且只考虑了弯曲正应

4、力产生的变形能* 长为长为L的等直杆，横截面弯曲刚度为的等直杆，横截面弯曲刚度为EI 。 当弯矩当弯矩M=常数时，杆的变形能为常数时，杆的变形能为 EI LM 2 2 2 )( 2 y EIL M 2 1 A LdA E U 2 2 1 ) LL dxy EI EI dxxM U 2 2 22 )( L M EI dxxM U 2 )( 2 EI LM U M 2 2 n i Lii ii i IE dxM U 1 2 2 U=W= 当弯矩当弯矩M=M(x)时，杆的变形能为时，杆的变形能为 A dAy I M E L 22 )( 2 EI LM 2 2 直杆的轴向拉伸与压缩直杆的轴向拉伸与压缩

5、 以上分析，杆件均为线性弹性材料制成以上分析，杆件均为线性弹性材料制成 长为长为L的线弹性直杆，其截面抗拉压刚度为的线弹性直杆，其截面抗拉压刚度为EA 。 当轴力当轴力N=常数时，杆的变形能为常数时，杆的变形能为 U=W= EA LN 2 2 2 2 l L EA lN 2 1 EA LN AL EA N A N VU 2 )( 2 1 2 1 2 e ) LL dxxl L EA EA dxxN U 2 2 )( 22 )( L N EA dxxN U 2 )( 2 EA LN U N 2 2 n i ii ii AE LN U 1 2 2 当轴力当轴力N=N(x)时，杆的变形能为时，杆的变

6、形能为 圆轴扭转圆轴扭转 *以上分析，杆件均为以上分析，杆件均为线性弹性线性弹性材料制成材料制成* *而且杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）而且杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）* 长为长为L的等截面圆杆，其截面扭转刚度为的等截面圆杆，其截面扭转刚度为GIp 。 当扭矩当扭矩MT=常数时，杆的变形能为常数时，杆的变形能为 U=W= p T GI LM 2 2 2 2 L GI p T M 2 1 p T Ap T A GI LM dA I M G L LdA G U 2 )( 22 1 2 222 LL p p T dx dx d GI GI dxxM U 2 2 22 )( L p T

7、M GI dxxM U T 2 )( 2 p T M GI LM U T 2 2 n i pii iTi IG LM U 1 2 2 当扭矩当扭矩MT=MT(x)时，杆的变形能为时，杆的变形能为 基本变形杆件的变形能计算公式基本变形杆件的变形能计算公式 lP 2 1 T M 2 1 M 2 1 EA LN 2 2 p T GI LM 2 2 EI LM 2 2 变形能 =内力功= (内力2)*杆件长度 2*(杆件刚度) e WU V udVU V dV G 2 2 1 V dV E 2 2 1 V dV E 2 2 1 EA LN 2 2 p T GI LM 2 2 EI LM 2 2 变形能

8、=弹性比能*杆件的体积 弯曲切应力产生的变形能弯曲切应力产生的变形能 一般而言，在细长梁、刚架等构件中，一般而言，在细长梁、刚架等构件中， 弯曲切应力产生的变形能可以忽略不计。弯曲切应力产生的变形能可以忽略不计。 2 2 42 y h I Q GA LP bdyy h GI LQ LdA G U h hA Q 5 3 482 2 2/ 2/ 2 2 2 2 22 例题：图示矩形悬臂梁，在自由端受到集例题：图示矩形悬臂梁，在自由端受到集 中力中力P P作用，求作用，求弯曲切应力产生的变形能弯曲切应力产生的变形能。 解：解：在梁的长度方向上，在梁的长度方向上，Q=P;0 xLQ=P;0 x4h,L

9、4h, 1.04687510h,L10h, 1.00752)根均匀直杆组成的平面汇交杆系，如图所示。根均匀直杆组成的平面汇交杆系，如图所示。 已知每根杆长已知每根杆长l li，横截面面积，横截面面积Ai，杆材料的弹性模量，杆材料的弹性模量Ei以及以及 杆轴线与杆轴线与X轴正向的夹角轴正向的夹角 i。当。当A点发生水平位移点发生水平位移u和垂直和垂直 位移位移v时，计算结构的变形能。时，计算结构的变形能。 解：分析第解：分析第i根杆的变形，根杆的变形， iii vulsincos 由胡克定律可知由胡克定律可知, , )sincos( ii i ii i iii i vu l AE l lAE N

10、 第第 i根杆的变形能，根杆的变形能，2 2 )sincos( 22 ii i ii ii ii i vu l AE AE lN U 结构的总变形能，结构的总变形能， n i ii i ii n i i vu l AE UU 1 2 1 )sincos( 2 结构的自由度结构的自由度杆件的变形杆件的变形杆件的内力杆件的内力 杆件杆件/结构的结构的 变形能变形能 GA LQ k EI dxxM GI dxxM EA dxxN U LL p T L 22 )( 2 )( 2 )( 2222 对于一般的线弹性体，变形能为对于一般的线弹性体，变形能为 ， 小 结 长长L的等直杆，承受拉（压）、弯曲、扭

11、转组合变形的等直杆，承受拉（压）、弯曲、扭转组合变形 。 1）杆件弹性变形能计算式为）杆件弹性变形能计算式为 *以上分析，杆件均为以上分析，杆件均为线性弹性线性弹性材料制成材料制成* *而且而且扭转扭转杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）* ) V dV E U 133221 2 3 2 2 2 1 2 2 1 杆件承受外载荷杆件承受外载荷P作用，沿作用，沿P 的作用方向上的作用方向上发生位移发生位移 。 PWU 2 1 2）用功能原理计算杆件的变形）用功能原理计算杆件的变形 一般而言，线弹性杆件一般而言，线弹性杆件i承受外载荷承受外载荷Pi作用，发生位移作

12、用，发生位移 i 。 ),;,( 2 1 2121 1 nn n i ii PPPUPU 3）既可以用杆件系统所受外力，也可以用结构的位移表示）既可以用杆件系统所受外力，也可以用结构的位移表示 杆件系统的变形能。杆件系统的变形能。 结构的自由度结构的自由度 杆件杆件/结构的结构的 变形能变形能 杆件的变形杆件的变形杆件的内力杆件的内力 结构所受外力结构所受外力杆件的内力杆件的内力杆件的变形杆件的变形 ),( 21n PPPUU 力力 法法 ),( 21n UU 位移法位移法 在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条 件下，存储在弹性体内的变形能可以表

13、示为，件下，存储在弹性体内的变形能可以表示为， n i iinn PPPPU 1 2211 2 1 2 1 2 1 2 1 8.2 8.2 克拉贝隆原理克拉贝隆原理 卡氏定理卡氏定理 即，在上述三个条件下，弹性体内的变形能与外即，在上述三个条件下，弹性体内的变形能与外 力加载的次序（加载路径）无关。力加载的次序（加载路径）无关。 P1和和P2同时比例加载同时比例加载 2211 2 1 2 1 PPU 首先，加载首先，加载P1，然后施加，然后施加P2 1111 2 1 PU 1212222 2 1 PPU 在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条件在线弹性范围内，外力按比例加载以及小变形条件

14、下，下，弹性体内的变形能与外力加载的次序无关弹性体内的变形能与外力加载的次序无关。 21 UUU 按照按照克拉贝隆原理克拉贝隆原理， 线弹性结构的变形能对于任一独立广义外力的偏导数线弹性结构的变形能对于任一独立广义外力的偏导数 等于相应于该力的广义位移等于相应于该力的广义位移 ，即卡氏第二定理，即卡氏第二定理 线弹性结构的变形能对于任一独立广义位移的偏导数线弹性结构的变形能对于任一独立广义位移的偏导数 等于相应于该力的广义力等于相应于该力的广义力 ，即卡氏第一定理，即卡氏第一定理 ),.,( 21n UU i i d P U dU ii ddW i i P U 设应变能以广义力为自变量的形式表

15、示设应变能以广义力为自变量的形式表示 给定一个载荷增量给定一个载荷增量 dPi ，则应变能增量：，则应变能增量： 同时同时 ，则外力功增量：，则外力功增量： 由功能原理由功能原理 dU=dW， 得：得： ),.,( 21n UU设应变能以广义位移为自变量的形式表示设应变能以广义位移为自变量的形式表示 如上述类似地证明，如上述类似地证明， i i U P 例例6-1 悬臂梁悬臂梁AB如图所示，自由端如图所示，自由端A有一集中横力有一集中横力P和一力和一力 偶矩偶矩M0 =PL作用，作用，EI是常数。求梁是常数。求梁A端的挠度端的挠度yA和转角和转角 A 解：按内力功计算梁的变形能，但不计剪力作的

16、功解：按内力功计算梁的变形能，但不计剪力作的功 。 梁的弯矩方程为梁的弯矩方程为M(x) = - (M0+ Px) EI LM EI LPM EI LP dxPxM EI U l 226 )( 2 1 2 0 2 0 32 0 2 0 )( 6 5 23 32 0 3 EI PL EI LM EI PL P U yA )( 2 3 2 2 0 2 0 EI PL EI LM EI PL M U A 事实上，事实上，查表查表3-2和运用叠加原理，容易得到与上式一致的结果。和运用叠加原理，容易得到与上式一致的结果。 8.3 8.3 虚功原理虚功原理 互等定理互等定理 在外力作用下处于平衡的梁，任意

17、给它一个虚位移，在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚位移， 则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁的内力在虚则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁的内力在虚 变形上所作的虚变形功（或内力虚功），这便是虚功变形上所作的虚变形功（或内力虚功），这便是虚功 原理。原理。 ei WW ei WU 外力虚功外力虚功= =内力虚功内力虚功 外力虚功外力虚功= =虚应变能虚应变能 P (实际载荷实际载荷)(单位载荷单位载荷) xdx 内力： 变形： MMQN T l 变形： 0000 MMQN T 0000 l 内力： N l Q T M M 0000 MddMQdlNddW Ti dMdMdQldNdU

18、Ti 0000 1 e W 内力虚元功内力虚元功 虚应变元能虚应变元能 外力虚功外力虚功 P (实际载荷实际载荷)(单位载荷单位载荷) xdx N l Q T M M l Ti MddMQdlNdW 0000 ) l Ti dMdMdQldNU 0000 1 e W 内力虚功内力虚功 虚应变能虚应变能 外力虚功外力虚功 在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚 位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于 梁的内力在虚变形上所作的虚变形功（或内力梁的内力在虚变形上所作的虚变形功（或内力 虚功），这便是虚功），这便是虚功

19、原理虚功原理。 ll T ll MddMQdlNd 0000 1 虚功原理的适用范围如何？虚功原理的适用范围如何？ EI dxM d GI dxM d GA dxkQ d EA dxN ld p T 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , 线弹性、小变形条件下线弹性、小变形条件下 llp TT ll EI dxMM GI dxMM GA dxkQQ EA dxNN 0000 即线弹性、小变形条件下的莫尔定理（莫尔积分）即线弹性、小变形条件下的莫尔定理（莫尔积分） 例例 设在任一弹性体上作用有一对等值反向的力设在任一弹性体上作用有一对等值反向的力P，如图所示，力的如图所示，力的 作用点间距为

20、作用点间距为H，求该弹性体的体积变化。，求该弹性体的体积变化。 解：利用功的互等定理，需要设计另一个加载情形。假设弹性体解：利用功的互等定理，需要设计另一个加载情形。假设弹性体 受静水压力受静水压力p（ 1= 2= 3=-p)作用的情景（图作用的情景（图b），以），以 H表示在压力表示在压力 p作用下作用下P力作用点间的相对位移，以力作用点间的相对位移，以 V表示在一对力表示在一对力P作用下的体作用下的体 积改变量。根据功的互等定理，有积改变量。根据功的互等定理，有 P H = p V 以下求图以下求图b中的中的 H )21 ()( 1 e E p ppp E )21 (e E pH HH )

21、21 ( E PH H p P V 讨论：外力愈大或两力相距愈远则其体积变化愈大；材料的弹性模讨论：外力愈大或两力相距愈远则其体积变化愈大；材料的弹性模 量愈大，即材料愈硬，则其体积变化愈小；如果量愈大，即材料愈硬，则其体积变化愈小；如果 =0.5，其体积变，其体积变 化为零，就成为不可压缩材料。化为零，就成为不可压缩材料。 例6-3 图示简支梁的中点受到集中力P作用，EI=常数。求变形前后 梁轴线所夹的面积A。 解：假设简支梁受均布载荷q作用的情景（图b）。由互等定理， l c xyqdxPy)()( 注意到：因为q 为常数， ll qAdxxyqxyqdx)()()( 式中，A即为所求之面

22、积。 EI ql yC 384 5 4 EI Pl yC 384 5 q P A 4 8.4 8.4 单位力法单位力法 图乘法图乘法 llp TT ll EI dxMM GI dxMM GA dxkQQ EA dxNN 0000 线弹性、小变形条件下的莫尔定理（莫尔积分）线弹性、小变形条件下的莫尔定理（莫尔积分） 其中最常用于计算梁的变形的莫尔积分其中最常用于计算梁的变形的莫尔积分 l EI dxMM 0 对于一段同材料等截面（等刚度）梁，则对于一段同材料等截面（等刚度）梁，则 l dxMM EI 0 1 下面介绍一种由图形互乘代替积分的方法下面介绍一种由图形互乘代替积分的方法 单位力法单位力

23、法 图乘法图乘法 设设M0(x)=ax+b（一段斜线），积分项（一段斜线），积分项 )( 0 C xM 即当即当M0图中为一段斜线时，莫尔积分图中为一段斜线时，莫尔积分 项等于项等于M图的面积与图的面积与M0图中与图中与M图形图形 心坐标对应的函数值。心坐标对应的函数值。 当当M图中为一段斜线时，上述结论应该怎样？图中为一段斜线时，上述结论应该怎样？ dxMM l 0 0 dxbaxM l 0 )( dxMbdxMxa ll 00 )(baxC 常见图形的形心和面积常见图形的形心和面积 b b/3 3b/8 b b/4 b 直角三角形 二次抛物线 二次抛物线 顶点顶点顶点顶点 面积=bh/2面

24、积=2bh/3面积=bh/3 例题例题 图示梁，求中点图示梁，求中点C的挠度。的挠度。 解：画出弯矩图解：画出弯矩图M(图图b)和和M0(图图c). )( 384 5 48 5 823 22 4 2 EI ql lqll EI yC 例题例题 图示梁，求载荷作用点的挠度。图示梁，求载荷作用点的挠度。 解：画出弯矩图解：画出弯矩图M(图图b)和和M0(图图c). EI Pl lPlllPll EI yC 243 4 9 2 3 2 9 2 32 1 9 2 3 2 9 2 3 2 2 11 3 22 例例 图乘法求图示外伸梁图乘法求图示外伸梁A端转角端转角 A 解：解：1. .叠加法作叠加法作M

25、图图 1 1 C M 3 2 2 C M 2 1 3 C M M2. .作作 图图 a A B q C l F 1 A B C Faa 2 1 1 2 1 2 1 Fa Fal 2 1 2 Fla 2 1 2 83 2 2 3 ql l 12 3 3 ql 3.求解求解 A EI M EI M EI M CCC A 332211 2 1 123 2 2 1 1 2 11 3 2 ql FlaFa EIEI ql a l EI Fa 2432 1 32 Fa ql 8 C1 C2 C3 1 3 2 MC1 MC2MC3 8.5 8.5 超静定结构的基本解法超静定结构的基本解法 1. .确定超静定

26、次数，选定静定基确定超静定次数，选定静定基 ) ) nm FFFFUU R1R1 , 2. .作出相当系统作出相当系统 3. .写出相当系统的应变能写出相当系统的应变能 4. .根据多余约束处的根据多余约束处的位移条件位移条件， 0 1R F U 0 2R F U 0 R n F U 1 F 2 F m F 1 n 2 原结构原结构 静定基静定基 1 F 2 F m F 1 n 2 相当系统相当系统 R1 F R2 FRn F 5. .联立求解补充方程，得到全部多余约束力联立求解补充方程，得到全部多余约束力 6. .按静定结构求其余约束力、内力、应力和位移按静定结构求其余约束力、内力、应力和位

27、移 应用卡氏定理列出补充方程应用卡氏定理列出补充方程 例例 图示超静定梁的图示超静定梁的EI为常量，试求多余约束力。为常量，试求多余约束力。 解：解： 一次超静定一次超静定 1 1. .取取静定基静定基 2 2. .作作相当系统相当系统 4. . 求解求解变形协调方程变形协调方程 ) ) 2 R 2 1 qxxFxM B 3. .列变形协调方程列变形协调方程 ) ) x F xM B R ) ) ) ) x F xM EI xM F U B l B d R R xxx q xF EI l B d 2 1 2 R 83 1 43 R qllF EI B 0 q l AB 原结构原结构 A B静定

28、基 静定基 FRB q A B 相当系统相当系统 x qlF B 8 3 R 5. .讨论讨论 求求MA 利用变形能利用变形能 可以求得可以求得 q AB MA 相当系统相当系统 x 0 A M U 2 8 1 qlM A q l AB 原结构原结构 A B静定基 静定基 FRB q A B 相相当当系系统统 x 例题例题 悬臂梁悬臂梁AB如图所示，如图所示，A、B端固支。端固支。 问题为三次超静定。除掉问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到端固支，得到 包含未知反力的静定结构，称为静定基。包含未知反力的静定结构，称为静定基。 利用叠加原理，分别画出外载荷（图利用叠加原理，分别画出外载荷（图b

29、); 支反力支反力X1和和X2（图（图b和图和图c)单独作用图。单独作用图。 0 23 2 2 3 1 EI LX EI LX yy APA 0 2 2 2 1 EI LX EI LX APA 式中，式中， 分别表示外载荷在静定基中分别表示外载荷在静定基中 X1和和X2方向上产生的位移。方向上产生的位移。 APAP y, 力法正则方程力法正则方程 按照归一化要求，改写按照归一化要求，改写 0 0 22221122 12211111 XX XX P P 式中，式中， 为为Xi 方向上的总位移；方向上的总位移； i 为外载荷为外载荷(P)在静定基中在在静定基中在Xi 方向上的位移；方向上的位移；

30、P i 为未知反力为未知反力Xj =1在静定基中在静定基中 作用在作用在Xi 方向上的位移；方向上的位移； ij 上式称为上式称为力法正则方程力法正则方程， 称为柔度系数。称为柔度系数。 ij l jiij l i p iP dxMM EI dxMM EI 00 0 1 1 利用莫尔积分，正则方程中的柔度系数写为：利用莫尔积分，正则方程中的柔度系数写为： 对二次静不定问题要作几个弯矩图，用莫尔图乘法，要对二次静不定问题要作几个弯矩图，用莫尔图乘法，要 作几次图乘？三次静不定问题呢作几次图乘？三次静不定问题呢? 运用前面的知识，证明柔度系数具有对称性运用前面的知识，证明柔度系数具有对称性 ij=

31、 ji 例题例题 悬臂梁悬臂梁AB如图所示，如图所示，A、B端固支。求支反力。端固支。求支反力。 解：画解：画静定基静定基（图（图a),分别画弯矩图分别画弯矩图b-d; EI PlllPl EI P 48 5 ) 6 5 )( 222 1 ( 1 3 1 EI PllPl EI P 8 )1)( 222 1 ( 1 2 2 EI ll l l EI3 ) 3 2 )( 2 ( 1 3 11 EI l l EI )1)(1( 1 22 EI l l l EI2 )1)( 2 ( 1 2 12 0 82 0 48 5 23 2 2 2 1 32 2 3 1 EI Pl EI l X EI l X

32、EI Pl EI l X EI l X 代入力法正则方程，得代入力法正则方程，得 )( 8 )( 2 2 1 P X P X 解联立方程组得解联立方程组得 例题例题 内力为一次静不定桁架如图内力为一次静不定桁架如图6-15(a)所示，设各杆所示，设各杆EI相同，求相同，求 两种情况下的各杆轴力：两种情况下的各杆轴力：(1) 在力在力P的作用下；的作用下；(2) P = 0，但杆，但杆5升温升温 T，已知材料膨胀系数，已知材料膨胀系数 。 解解：(1) 断开杆断开杆5，加一对约束内力，加一对约束内力X1即得静定基如图即得静定基如图6-15(b)所示。所示。 杆号 i杆长Li轴力Ni轴力N0i 1

33、aP 2aP 3a0 4aP 501 61P2 a2 a2 2/1 2/1 2/1 2/1 6 1 00 11 )222( i iii EA a EA lNN 6 1 0 1 ) 2 423 ( i iiPi P EA Pa EA lNN PX 4 22 1 (2) 仅有杆仅有杆5升温，正则方程为升温，正则方程为 11 X1+ 1T = 0 1T = l5 T是因杆是因杆5升温而引起的相对位移升温而引起的相对位移 由表中数据计算，得到由表中数据计算，得到 代入正则方程代入正则方程 11 X1+ 1P = 0 得得 P TEA X )21 (2 2 1 ，其余各杆的内力请读者自行算之。，其余各杆

34、的内力请读者自行算之。 在既受到外载荷作用，又有温度变化时，如何求解此问题？在既受到外载荷作用，又有温度变化时，如何求解此问题？ 载荷对称性：载荷关于结构的对称轴对称或反对称。载荷对称性：载荷关于结构的对称轴对称或反对称。 * *利用对称性条件简化计算利用对称性条件简化计算 EI EI 2EI EI EI 2EI EI 2EI 2EI 对称结构对称结构非对称结构非对称结构 利用对称性简化计算，要选择恰当的静定利用对称性简化计算，要选择恰当的静定 基。基。 0d 0 3 0 1 3113 x EI MM L EIEI EI EI EI EI EI X2X2 X1X1 X3X3 X1=1 X2=1

35、 X3=1 0 3223 0 0 0 3333 2222121 1212111 F F F X XX XX 0 0 0 3333232131 2323222121 1313212111 F F F XXX XXX XXX M10：M20：M30： * *对称性条件简化正则方程的计算对称性条件简化正则方程的计算 若载荷也具有对称性，则计算还可再简化。若载荷也具有对称性，则计算还可再简化。 0d 0 3 3 x EI MM L F F MF： X1=1 X2=1 X3=1 0 333 2222121 1212111 X XX XX F F M10：M20：M30： 0 3 X 对称结构受对称载荷时

36、，对称对称结构受对称载荷时，对称 轴截面上反对称内力等于零。轴截面上反对称内力等于零。 F FFF 对称性条件简化正则方程的计算对称性条件简化正则方程的计算 若载荷也具有对称性，则计算还可再简化。若载荷也具有对称性，则计算还可再简化。 0d 0 1 1 x EI MM L F F MF： X1=1 X2=1 X3=1 F X XX XX 3333 222121 212111 0 0 M10：M20：M30： 00 21 XX 对称结构受反对称载荷时，对对称结构受反对称载荷时，对 称轴截面上对称内力等于零。称轴截面上对称内力等于零。 F FFF 0d 0 2 2 x EI MM L F F 对称

37、性条件简化正则方程的计算对称性条件简化正则方程的计算 一般载荷的对称化处理：一般载荷的对称化处理： F F F X XX XX 3333 2222121 1212111 F q q / 2 F/2F/2 F/2 q / 2 q / 2 F/2 0 333 2222121 1212111 X XX XX F F F X XX XX 3333 222121 212111 0 0 333322221111 XXXXXXXXXXXX 对称性条件简化正则方程的计算对称性条件简化正则方程的计算 动荷系数动荷系数K Kd d s d s d s d d P P K 式中，式中，Ps 为静载荷（接触前动能为零

38、）为静载荷（接触前动能为零）, Pd 为动载荷；为动载荷； d 、 s 分别为动应力和静态应力；分别为动应力和静态应力； d 、 s 分别为（撞击点）的动位移和静位移。分别为（撞击点）的动位移和静位移。 冲击过程中体系的响应是线性的冲击过程中体系的响应是线性的 自由落体冲击的动荷系数自由落体冲击的动荷系数 冲击前能量冲击前能量： )mg(hUT d , 0 冲击结束时能量：冲击结束时能量： ddd Phmg 2 1 )( 由能量守恒，由能量守恒， dd PUT 2 1 , 0 注意：注意： s d s d ds P P KmgP , 022 s 2 h dsd ) 2 11 ( s sd h

39、s d h K 2 11 冲击前能量冲击前能量： 0 , 2 1 2 UmvT 冲击结束时能量：冲击结束时能量： dd Pmv 2 1 2 1 2 由能量守恒由能量守恒 dd PUT 2 1 , 0 注意注意 s d s d ds P P KmgP , s sd g v 2 s d g v K 2 例例6-10 图图6-18a 与图与图6-18b 分别表示不同支承方式的钢梁，承受相分别表示不同支承方式的钢梁，承受相 同的重物冲击。已知支承弹簧的刚度同的重物冲击。已知支承弹簧的刚度k=100N/mm，l=3m， H=50mm，G =1kN，钢梁的，钢梁的I =3.40 107mm4，W=3.09

40、 105mm3， E=200GPa，试比较两者的冲击应力，试比较两者的冲击应力 。 对于图对于图 (b) mm EI Gl s 2 73 333 1027. 8 1040. 31020048 )103(1000 48 78.35 0827. 0 502 11 s K 解：解： 对于图对于图 (a) mm k G EI Gl s 08. 5 1002 1000 1027. 8 248 2 3 50. 5 0827. 5 502 11 s K )(43. 2 1009. 34 31000 4 )( 7 max MPa W Gl W M s 对于图对于图 (b) )(44.8643. 278.35)

41、()( maxmax MPaK sdd 对于图对于图 (a)最大应力最大应力 )(5 .1343. 255. 5)()( maxmax MPaK sdd 制动冲击制动冲击 )( 2 2 sd P g Pv VT 例：钢吊索的下端悬挂一重物例：钢吊索的下端悬挂一重物 P=20kN ，并以等速度，并以等速度 v=1m / s 下降，当吊索长度为下降，当吊索长度为 l =20m 时，滑轮时，滑轮 D 突然被卡住突然被卡住, 求吊索冲击应力。已知吊索求吊索冲击应力。已知吊索E=170GPa, A =414mm2, 滑轮和吊索的重量略去不计。滑轮和吊索的重量略去不计。 解：制动冲击问题，冲击物的能量减少

42、全部转解：制动冲击问题，冲击物的能量减少全部转 换为被冲击物的应变能换为被冲击物的应变能 冲击物的能量减少：冲击物的能量减少： EA Pl EA lP s d d 被冲击物被冲击物(吊索吊索)的应变能增加：的应变能增加： sdd PPU 2 1 2 1 s s d s s d PPP 22 2 1 2 1 2 1 s s d sd P g v P 22 2 1 2 012 2 2 2 s s dsd g v d P l D s MPaMPaKd d 1 .253)(31.4824. 5 例：钢吊索的下端悬挂一重物例：钢吊索的下端悬挂一重物 P=20kN ，并以等速度，并以等速度 v=1m /

43、s 下降，当吊索长度为下降，当吊索长度为 l =20m 时，滑轮时，滑轮 D 突然被卡住突然被卡住, 求吊索冲击应力。已知吊索求吊索冲击应力。已知吊索E=170GPa, A =414mm2, 滑轮和吊索的重量略去不计。滑轮和吊索的重量略去不计。 d P l D s 31.48)( 414 1020 3 MPa A P 24. 5 2010208 . 9 1041410170 111 3 69 gPl EA vKd s ds s d g v K g v 22 11 012 2 2 2 s s dsd g v 制动冲击制动冲击 MPaMPaKd d 8 .105)(31.4819. 2 例：钢吊索的下端悬挂一重物例：钢吊索的下端悬挂一重物 P=20kN ，并以等速度，并以等速度 v=1m / s 下降，当吊索长度为下降，当吊索长度为 l =20m 时，滑轮时，滑轮 D 突然被卡住突然被卡住, 求吊索冲击应力。已知吊索求吊索冲击应力。已知吊索E=170GPa, A =414mm2, 滑轮和吊索的重量略去不计。滑轮和吊索的重量略去不计。 19. 2 07235.