工程中关于公差模型的数学方法

1、公差模型的数学方法 报告人：刘娇 目录 CONTENTS 1 2 建立公差模型的数学方法研究 面向刚性、柔性装配的公差分析方法 目录 CONTENTS 1 2 建立公差模型的数学方法研究 面向刚性、柔性装配的公差分析方法 1 2 5 漂移公差带模型 虚拟边界模型 齐次变换矩阵法 建立公差模型的数学方法研究 3 矢量空间模型（圆度公差数学模型） 4 基于积分映射的轮廓度公差建模 1 2 5 漂移公差带模型 虚拟边界模型 齐次变换矩阵法 建立公差模型的数学方法研究 3 矢量空间模型（圆度公差数学模型） 4 基于积分映射的轮廓度公差建模 1 漂移公差带模型 闵科夫斯基和（Minkowski sum）

2、 是两个欧几里得空间（一个特别的度量空间它使我们能够对 其的拓扑性质加以调查）的点集的和，以德国数学家闵可夫 斯基命名。点集A与B的闵可夫斯基和就是 A + B=a+b|aA,bB。例如，平面上有两个三角形， 其坐标分别为A = (1, 0), (0, 1), (0, 1)及B = (0, 0), (1, 1), (1, 1)，则其闵可夫斯基和为A + B = (1, 0), (2, 1), (2, 1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2)。 例： += MMC：Maximum Material Condition 最大实体条件MMC

3、=A +B LMC：Least Material Condition 最小实体条件 LMC=A-B 公差带公差带可以认为是处于MMC和LMC状态下的 两个实体的差集，只不过该集合使用漂移技 术得到的 如图所示，移动一个半径为如图所示，移动一个半径为r的圆盘，其圆心位于图的圆盘，其圆心位于图(a)所示矩所示矩 形边上，所扫过的空间区域如图形边上，所扫过的空间区域如图 (b)所示，它是图所示，它是图(a)矩形的扩矩形的扩 展型，即矩形和圆盘的闵可夫斯基和；类似的，可得如图展型，即矩形和圆盘的闵可夫斯基和；类似的，可得如图(c) 所示的图所示的图(a)中矩形的缩减型；求扩展型和缩减型的差，便得中矩形

4、的缩减型；求扩展型和缩减型的差，便得 图所示的公差带。图所示的公差带。 （a）一个矩形）一个矩形 （b）扩展形）扩展形 （c）收缩型）收缩型 MMC LMC （d）公差带）公差带 漂移模型(offettingmodel) 这个模型用点集形式来表示，实体这个模型用点集形式来表示，实体S是欧氏空间的一个正则子集，用点集定义了是欧氏空间的一个正则子集，用点集定义了 其上特征其上特征 ，公差的数学表达：，公差的数学表达： i F S为所需添加公差的实体为所需添加公差的实体 i F为该名义实体的边界为该名义实体的边界 ij A 是公差要求是公差要求 上述定义的公差经过漂移，得到漂移实体上述定义的公差经过

5、漂移，得到漂移实体 =( ,)oS : ( , )P d p S 0 * (, * )SoC S0 ( ,) iij TSFA 为漂移量为漂移量(与公差有关与公差有关) -* 为正规差为正规差 C* 为正规补为正规补 ( , )d p S点点p到实体到实体S的距离的距离 漂移公差带模型 （a）一个矩形）一个矩形 （b）扩展形）扩展形 （c）收缩型）收缩型 （d）公差带）公差带 假定一个实体假定一个实体S，它的正漂移，它的正漂移a0定义为定义为S*a，相当于，相当于 在实体在实体S外加上一层与实体外加上一层与实体S边界的距离值小于等于边界的距离值小于等于a的所的所 有的点（图有的点（图b）；）；

6、a0为负漂移，定义为为负漂移，定义为S*|a|,相当于除相当于除 去实体去实体S上与实体上与实体S边界的距离值小于边界的距离值小于a的所有的点（图的所有的点（图c） 国标和国标和ISO采用极限尺寸判采用极限尺寸判 断原则：断原则： （1）孔和轴的作用尺寸不）孔和轴的作用尺寸不 允许超过允许超过最大实体尺寸。最大实体尺寸。孔，孔， 作用尺寸应不小于最小尺寸；作用尺寸应不小于最小尺寸； 轴，不应大于最大极限尺寸。轴，不应大于最大极限尺寸。 （2）在任何位置上实际尺）在任何位置上实际尺 寸不允许超过寸不允许超过最小实际尺寸最小实际尺寸。 孔，实际尺寸应不大于最大孔，实际尺寸应不大于最大 尺寸；轴，不

7、应小于最小极尺寸；轴，不应小于最小极 限尺寸。限尺寸。 1 2 5 漂移公差带模型 虚拟边界模型 齐次变换矩阵法 建立公差模型的数学方法研究 3 矢量空间模型（圆度公差数学模型） 4 基于积分映射的轮廓度公差建模 2虚拟边界模型 定义：定义：R.J和和V.S在在漂移理论漂移理论上，将装配件的功上，将装配件的功 能要求描述为能要求描述为虚拟表面虚拟表面的功能要求刚性集合。的功能要求刚性集合。 这种用虚拟表面或虚拟半空间的边界的刚性这种用虚拟表面或虚拟半空间的边界的刚性 集合来描述的功能要求的方法称为集合来描述的功能要求的方法称为虚拟表面法虚拟表面法 或虚拟边界要求法或虚拟边界要求法(VBRS)。

8、 装配要求装配要求 材料体积要求材料体积要求 VBRS 相当于对材料增加量相当于对材料增加量 的限制，即对孔而言的限制，即对孔而言 限制其最小极限尺寸，限制其最小极限尺寸， 对轴而言限制其最大对轴而言限制其最大 极限尺寸极限尺寸 相当于对零件材料减相当于对零件材料减 少量的限制，即对孔少量的限制，即对孔 而言限制其最大极限而言限制其最大极限 尺寸，对轴而言限制尺寸，对轴而言限制 其最小极限尺寸其最小极限尺寸 装配要求：（在两个零件之间建立指定的空间关系） 柱销和垫片的装配要求柱销和垫片的装配要求 柱销柱销应满足的集合约束关系采应满足的集合约束关系采 用用虚拟表面刚性集合虚拟表面刚性集合表述：表

9、述： （1）Vs-1位于法兰面的非位于法兰面的非 材料边材料边 (2)法兰面与法兰面与Vs-1紧密接触紧密接触 （3） Vs-2包容圆柱面包容圆柱面 垫片垫片应满足的集合约应满足的集合约 束关系采用束关系采用虚拟表面虚拟表面 刚性集合刚性集合表述：表述： （1） Vs-1存在于基存在于基 面的非材料边面的非材料边 (2)基面与基面与Vs-1紧密紧密 接触接触 （3） Vs-2被垫片的被垫片的 圆柱孔表面包围圆柱孔表面包围 材料体积要求： 功能要求功能要求:圆筒圆柱壁材料所占的体积包容由规定直圆筒圆柱壁材料所占的体积包容由规定直 径和壁厚所确定的空心圆柱体积。径和壁厚所确定的空心圆柱体积。 关键

10、部位的材料几何特性称为关键部位的材料几何特性称为材料体积要求材料体积要求，只与，只与 材料量有关，与零件个部分之间的空间关系无关。材料量有关，与零件个部分之间的空间关系无关。 虚拟表面刚性集合虚拟表面刚性集合表表述：述： （1）Vs-outer位于外圆柱的位于外圆柱的 材料边且被外圆柱包围材料边且被外圆柱包围 （2）Vs-inner存在于内圆柱存在于内圆柱 的材料边且包容内圆柱的材料边且包容内圆柱 虚拟边界实际上是满足公差定义的零偏差的虚拟边界实际上是满足公差定义的零偏差的极值极值 边界边界，所以虚拟边界模型可用于，所以虚拟边界模型可用于极值公差分析极值公差分析， 但不适用于尺寸链复杂的装配体

11、。但不适用于尺寸链复杂的装配体。 1 2 5 漂移公差带模型 虚拟边界模型 齐次变换矩阵法 建立公差模型的数学方法研究 3 矢量空间模型（圆度公差数学模型） 4 基于积分映射的轮廓度公差建模 3 矢量空间模型 Hoffman认为几何实体由三维欧氏空间的认为几何实体由三维欧氏空间的点矢量点矢量构成，公差模型定义为一系构成，公差模型定义为一系 列以点矢量为参数的公差函数族。满足公差要求就是满足下式：列以点矢量为参数的公差函数族。满足公差要求就是满足下式：( )Lf xU x 为零件的参数矢量为零件的参数矢量f为公差函数为公差函数L、U为公差域的上、下界为公差域的上、下界 Turner扩展了这一模型

12、。首先需要定义扩展了这一模型。首先需要定义公差变量公差变量、设计变量设计变量和和模型变量模型变量 公差变量：公差变量：表示零件名义尺寸的偏差表示零件名义尺寸的偏差 设计变量：设计变量：由设计者确定，用以表示最终装配件的多目标优化函数由设计者确定，用以表示最终装配件的多目标优化函数 模型变量：模型变量：控制零件各个公差的独立变量控制零件各个公差的独立变量 由于旋转偏差是非线性的，用模型变量表示旋转偏差旋转方向上的矢量顶点由于旋转偏差是非线性的，用模型变量表示旋转偏差旋转方向上的矢量顶点 特点：特点：1.参数矢量必须独立，否则就不能保证线性独立和矢量叠加的可替换性参数矢量必须独立，否则就不能保证线

13、性独立和矢量叠加的可替换性 2.即使是一个简单的零件会产生大量参数矢量，如平面上两个圆的尺寸即使是一个简单的零件会产生大量参数矢量，如平面上两个圆的尺寸 公差就需要定义至少公差就需要定义至少36个参数矢量个参数矢量 3.为把公差约束转换成参数矢量，需要对公差约束做一些近似处理，导为把公差约束转换成参数矢量，需要对公差约束做一些近似处理，导 致过大的误差积累致过大的误差积累 圆度公差数学模型圆度公差数学模型 （1） 假假 设设 圆圆 度公度公 差差 带带 局局 部坐标系部坐标系 的原的原 点取点取 在在 圆心圆心 定向矢量定向矢量 带入（带入（1）1 0 0 T d C 圆度公差带最大位移情况圆

14、度公差带最大位移情况 当 处于最大值 时，圆 过 ，圆 过 代入（3）（4） y d ,maxy d , ( , ) cir e Cy z(,0) 2 ei r , ( , ) cir i Cy z (,0) 2 es r 由（7）（8）得 1 2 5 漂移公差带模型 虚拟边界模型 齐次变换矩阵法 建立公差模型的数学方法研究 3 矢量空间模型（圆度公差数学模型） 4 基于积分映射的轮廓度公差建模 4齐次变换矩阵法 常用常用齐次坐标齐次坐标来实现三维空间中的点从一个坐标到另一个来实现三维空间中的点从一个坐标到另一个 坐标的变换，坐标点坐标的变换，坐标点 的齐次坐标变换可写成的齐次坐标变换可写成(

15、 , , ) T XY Z ( , , ,1) T X Y Z 1 11 11 1 . . . 11.1 k jk jjk jj h j xxx yyy A zzz 1 11 11 1 . . . 11.1 ij ij iij i c i xxx yyy A zzz 1 11 11 1 . . . 11.1 k jk jjk jj f j xxx yyy A zzz 零件零件A从理想位姿从理想位姿 变换到实际位变换到实际位 的齐次坐标变换：的齐次坐标变换： ， 综合的表示了沿各坐标轴的综合的表示了沿各坐标轴的平动平动 和绕各坐标轴的和绕各坐标轴的旋转旋转 0 A 1 A 1 100 ATA (

16、,) xyz (,) xyz 平动平动 100 010 001 0001 x y z T 1 0T 1000 0 cos()sin() 0 0 sin()cos() 0 0001 xx x xx R cos()0 sin() 0 0100 sin() 0 cos() 0 0001 xx y xx R cos()sin() 0 0 sin()cos()0 0 001 0 000 1 xx xx z R sin() cos()1 由于影响机械加工精度的由于影响机械加工精度的 几何变动量相对零件的名几何变动量相对零件的名 义尺寸是义尺寸是微小量微小量 简化简化 旋转旋转 100 010 001 00

17、01 x y T z 1000 010 010 0001 x x x R 100 0100 010 0001 y y y R 100 100 0010 0001 z z z R 1 0 xyz T T RRR 1 0 1 1 1 0001 Zy Zx yx x y T z 1 1000 d w ATATA 0 dmf mfww T T T TA d m T 机床工作台相对于刀具的齐次坐机床工作台相对于刀具的齐次坐 标变换（机床的几何精度）标变换（机床的几何精度） m f T 夹具相对于机床工作台的齐次坐标夹具相对于机床工作台的齐次坐标 变换（夹具在机床上的定位误差）变换（夹具在机床上的定位误差

18、） f wT 工件相对夹具的齐次坐标变换（工件工件相对夹具的齐次坐标变换（工件 在夹具上的定位误差）在夹具上的定位误差） 工件本身几何变动工件本身几何变动 w T 1 2 5 漂移公差带模型 虚拟边界模型 齐次变换矩阵法 建立公差模型的数学方法研究 3 矢量空间模型（圆度公差数学模型） 4 基于积分映射的轮廓度公差建模 5基于积分映射的轮廓度公差建模 ( , )zr x y 自由曲面自由曲面 空间平面空间平面 P Z=h ( , ) D vr x y dxdy p p D vhdxdy 假设假设 则对则对曲面曲面的的 积分可以通过对积分可以通过对平面平面积分求解得到积分求解得到 v p v (

19、 , ) a zr x y变动要素变动要素 a 公差上限公差上限 u ( , ) u zr x y 理想要素理想要素 n ( , ) n z r x y 公差下限公差下限 l ( , ) l zr x y ( , ) aa D vr x y dxdy ( , ) nn D vr x y dxdy ( , ) uu D vr x y dxdy ( , ) ll D vr x y dxdy ( , )( , )( , ) lau r x yr x yr x y ( , )( , )( , ) lau DDD r xydxdyr xydxdyr xydxdy lau vvv lau lau vvv hhh sss 设映射平面设映射平面 变化大小为变化大小为 a P p t pul thh ( , )( , ) ul tr x yr x y ul pul vv thh ss 11 ( , )( , ) ul DD r x