变化的电磁场

1、1 变化的电磁场变化的电磁场 Electromagnatic field changed 第9章 (8) 2 9-1 电磁感应的基本定律电磁感应的基本定律 首先介绍几种简单的电磁感应现象。首先介绍几种简单的电磁感应现象。 Ii Ii 共同点：共同点：当一个闭合回路面积上的当一个闭合回路面积上的磁通量磁通量发生发生变化变化 时，回路中便产生感应电流。这就是电磁感应现象。时，回路中便产生感应电流。这就是电磁感应现象。 下面我们来研究感应电流方向和大小。下面我们来研究感应电流方向和大小。 I(t)Ii 图9-1 3 一一.楞次定律楞次定律 (lenz law) 闭合导体回路中感应电流的方向闭合导体回

2、路中感应电流的方向,总是总是企图企图使它自使它自 身产生的通过回路面积的磁通量身产生的通过回路面积的磁通量,去去阻碍阻碍原磁通量的原磁通量的 改变。这一结论叫做改变。这一结论叫做楞次定律楞次定律。 阻碍阻碍的意思是：的意思是： 感应电流感应电流Ii与与 原磁场原磁场B的的反反方向成右手螺方向成右手螺 旋关系。旋关系。 BB Ii 若若 m增加增加,感应电流的磁感应电流的磁 力线与力线与B反向反向; 若若 m减少减少,感应电流的感应电流的 磁力线与磁力线与B同向同向; 感应电感应电 流流Ii与原磁场与原磁场B的的正正方向方向 成右手螺旋关系。成右手螺旋关系。 Ii 4 企图企图 感应电流总是感应

3、电流总是企图企图用它产生的磁通用它产生的磁通,去去阻碍阻碍原磁通原磁通 的改变，但又无法阻止原磁通的变化，因而感应电流的改变，但又无法阻止原磁通的变化，因而感应电流 还是不断地产生。还是不断地产生。 楞次定律是能量守恒定律的必然结果。楞次定律是能量守恒定律的必然结果。 要想维持回要想维持回 路中电流，必须有外力不断作路中电流，必须有外力不断作 功。这符合能量守恒定律。功。这符合能量守恒定律。 则不需则不需 外力作功，导线便会自动运动下去，从而不断获得电外力作功，导线便会自动运动下去，从而不断获得电 能。这显然违背能量守恒定律能。这显然违背能量守恒定律。 按楞次定律，按楞次定律， 如果把楞次定律

4、中的如果把楞次定律中的“阻碍阻碍”改为改为“助长助长”， fm fm 5 对闭合导体回路而言对闭合导体回路而言, 感应电动势的方向感应电动势的方向和和感感 应电流的方向是相同的。应电流的方向是相同的。 i 因而回路中感应电动势的方向因而回路中感应电动势的方向,也用楞次定律来也用楞次定律来 判断。判断。 应当指出，只要一个回路（导体）中的磁通量应当指出，只要一个回路（导体）中的磁通量 发生变化，这个回路中便一定有感应电动势存在，。发生变化，这个回路中便一定有感应电动势存在，。 是否有感应电流，那就要看回路是否闭合。是否有感应电流，那就要看回路是否闭合。 I 6 二二 .法拉第电磁感应定律法拉第电

5、磁感应定律 法拉第从实验中总结出法拉第从实验中总结出回路中的感应电动势回路中的感应电动势 (induced emf)为为 dt d m i (9-1) 1. m 是通过回路面积的磁通量；是通过回路面积的磁通量； “-”的意义：的意义：负号负号是是楞次定律楞次定律的数学表示。的数学表示。 s m cosBds 对匀强磁场中的平面线圈：对匀强磁场中的平面线圈： cosBS m 2.用法拉第电磁感应定律解题的步骤如下：用法拉第电磁感应定律解题的步骤如下： (i)首先求出回路面积上的磁通量首先求出回路面积上的磁通量(取正值取正值)： (ii)求导：求导： dt d m i 7 用用楞次定律楞次定律或如

6、下或如下符号法则符号法则判定感应电动势的方向判定感应电动势的方向: 若若 i 0, 则则 i 的方向与原磁场的的方向与原磁场的正正方向组成右手螺方向组成右手螺 旋关系；旋关系； 若若 i 0, i 的方向与原磁场的的方向与原磁场的正正方向组成右手螺方向组成右手螺 旋关系旋关系,即顺时针方向。即顺时针方向。 由由楞次定律可知，此时圆线楞次定律可知，此时圆线 圈内感应电动势的方向应是顺时针的。圈内感应电动势的方向应是顺时针的。 因因t=0.01s时时,函数函数sin100 t是减是减 小的小的,所以所以通过线圈面积上的磁通量通过线圈面积上的磁通量 m也也 是减小的。是减小的。 i 11 例题补充例

7、题补充2 一长直螺线管横截面的半径为一长直螺线管横截面的半径为a, 单位单位 长度上密绕了长度上密绕了n匝线圈，通以电流匝线圈，通以电流I=Iocos t(Io、 为为 常量常量)。一半径为。一半径为b、电阻为电阻为R的单匝圆形线圈套在螺的单匝圆形线圈套在螺 线管上，如图线管上，如图9-3所示。求圆线圈中的感应电动势和所示。求圆线圈中的感应电动势和 感应电流感应电流。 解解 由由 m=BScos 得得 m=onI b2 a2 dt d N m i tsinIan oo 2 tsinIan RR I oo i i 2 1 图9-3 BI a b 如果如果b0, 则则 i 的方向与的方向与dl 同

8、向；同向； 若若 i 0, 所以所以 i 的方向与的方向与l 同向同向,即由即由a到到b。 (1)三垂直三垂直( B 直导线直导线l )。 lB i )( ab=l 大小大小: i= Bl a b B B dl 方向方向: 由由b到到a。 a b B 图9-10 - + l =- Blsin cos(90 + ) lB i )( l dB b a i )( 27 (2)任意形状的导线在任意形状的导线在匀强匀强磁场中磁场中平移平移时，时， a b 图9-11 B dl l 在在匀强匀强磁场中磁场中,弯曲导线平移弯曲导线平移时所产生的动生时所产生的动生 电动势等于电动势等于从起点到终点的从起点到终

9、点的直导线直导线所产生的动生所产生的动生 电动势电动势 。 lB )( ab=l l dB b a i )( )(B b a dl 28 ab=bc=l, 求求 Va-Vc= ? d abc= adc= ad = Bl(1-cos ) 电动势的方向由电动势的方向由c指向指向 a; a点比点比c点电势高。点电势高。 所以所以 Va-Vc= Bl(1-cos ) 导线在匀强磁场中运动，导线在匀强磁场中运动， B。 lB i )( ab= Bl B ab bc= Bl , cb cos , ba c Va-Vc= Bl(1-cos ) 图9-12 a bc l 图9-12 a bc l 29 求求

10、Va-Vb= ? Va-Vb= ab=ab =BR 2 45 45 图9-13 R b a o BR 2 ab Va-Vc=+ Blsin d abc= dc a bc Va-Vc= ? = Blsin 30 例题补充例题补充9 如图如图9-14所示，均匀磁场被限制在两所示，均匀磁场被限制在两 平面之间，一边长为平面之间，一边长为l的正方形线圈匀速的正方形线圈匀速 自左側无场自左側无场 区进入均匀磁场又穿出，进入右側的无场区。下列区进入均匀磁场又穿出，进入右側的无场区。下列 图形中哪一个符合线圈中的电流随时间的变化关系？图形中哪一个符合线圈中的电流随时间的变化关系？ (设逆时针为电流的正方向，

11、不计线圈的自感设逆时针为电流的正方向，不计线圈的自感)(D) 当线圈各边都在磁场中时，当线圈各边都在磁场中时，Va-Vb=问题：问题： a b +Bl 图9-14 I t o (A) I t o (C) I t o (B) I t o (D) 31 解解: l 0 xBdx = 2 2 1 lB 负号说明：负号说明： i的方向由的方向由p指向指向o， o点电势高点电势高。 2 2 1 lBVV po 请记住这个转动公式请记住这个转动公式: 2 2 1 lB i 例题补充例题补充10 一条金属细直棒一条金属细直棒op(长为长为l)绕绕o点以角点以角 速度速度 在垂直于匀强磁场在垂直于匀强磁场B的

12、平面内匀速转动的平面内匀速转动,求求Vo- Vp=? o p 图9-15 B x dx 导导线线 )cos(sin(l d ,BB,Bdl i 32 Ao=l1, oC=l2 VA-VC= ACo )( 2 1 2 2 2 1 llB 若若l1l2, 则则A点电势高；点电势高； 若若l10,所以所以 AB的方向由的方向由A指向指向B，B点电势高。点电势高。 dlcos dl r 导导线线 )cos(sin(l d ,BB,Bdl i 34 i =Bl R Bl R I i i cos Ii 例题补充例题补充12 有一很长的长方的有一很长的长方的U形导轨形导轨,与水平面与水平面 成成 角角,裸导

13、线裸导线ab可在导轨上无摩擦地下滑可在导轨上无摩擦地下滑,导轨位于磁导轨位于磁 感应强度为感应强度为B的的垂直向上的均匀磁场中垂直向上的均匀磁场中,如图如图9-19所示。所示。 设导线设导线ab的质量为的质量为m,长度为长度为l,导轨上串接有一电阻导轨上串接有一电阻R， 导轨和导线导轨和导线ab的电阻略去不计的电阻略去不计,abcd形成电路形成电路, t=0, =0; 试求试求: 导线导线ab下滑的速度下滑的速度 与时间与时间t的函数关系。的函数关系。 解解 导线导线ab在安培力和重力在安培力和重力 作用下，沿导轨斜面运动。作用下，沿导轨斜面运动。 cos R a b c d 图9-19 B

14、知知: lB i )( 由由 35 Fm=IilB, R lB cos 22 沿斜面方向应用牛顿第沿斜面方向应用牛顿第 二定律：二定律： dt d m R lB mg 222 cos sin sin )cos( 2 g mR Bl d - dt R Bl I i cos Ii R a b c d 图9-19 B B mg Fm maFmg m cossin 36 t mR Bl eCg mR Bl 2 )cos( 2 2 sin )cos( 1 2 2 )sin )cos( ln( )cos( Ctg mR Bl Bl mR sin )cos( 2 g mR Bl d - dt 由由 t=0,

15、 =0, 得得C2=-gsin )1( )cos( sin 2 )cos( 2 t mR Bl e Bl mgR 37 导体不动导体不动, 磁场磁场随时间随时间变化变化,导体中便产生感应电导体中便产生感应电 动势动势感生电动势感生电动势(induced emf)。 9-3 感生电动势感生电动势 涡旋电场涡旋电场 1.现象现象 2.原因原因 当螺线管中电流发生变化，引起螺线管中的磁场当螺线管中电流发生变化，引起螺线管中的磁场 变化时，套在外边的圆环中便产生电动势。变化时，套在外边的圆环中便产生电动势。 是什么力驱使导线中是什么力驱使导线中 的电荷运动，从而产生电的电荷运动，从而产生电 动势呢？动

16、势呢？ 不是静电力。不是静电力。 也不是洛仑兹力。也不是洛仑兹力。 图9-20 BI a b 38 麦克斯韦的这个假设已为实践所证实，是麦克斯麦克斯韦的这个假设已为实践所证实，是麦克斯 韦电磁理论的基本原理之一。韦电磁理论的基本原理之一。 麦克斯韦认为：麦克斯韦认为：变化的磁场变化的磁场要在其周围的空间要在其周围的空间激激 发发一种电场一种电场,叫做叫做感生电场感生电场(涡旋电场涡旋电场)(induced electric field)Ei。 圆环导线中的感生电动势正是圆环导线中的感生电动势正是感生电场感生电场对自由电对自由电 子作用的结果。子作用的结果。 图9-20 BI a b 39 静电

17、场：静电场：由电荷产生，是保守力场；电场线起于正由电荷产生，是保守力场；电场线起于正 电荷，止于负电荷，不形成闭合曲线。电荷，止于负电荷，不形成闭合曲线。 感生电场：感生电场：由变化的磁场激发，是非保守力场；其由变化的磁场激发，是非保守力场；其 电场线是闭合曲线电场线是闭合曲线, 故又称为涡旋电场故又称为涡旋电场。 3.计算公式计算公式 按电动势的定义：按电动势的定义： dt d m (9-8) i l 感生电场的方向可用感生电场的方向可用楞次定律楞次定律来确定。来确定。 4.感生电场与静电场的比较感生电场与静电场的比较 dlEi 感生电场感生电场Ei的电力线是的电力线是围绕磁力线围绕磁力线的

18、的闭合曲线闭合曲线； 40 例题补充例题补充13 一半径为一半径为R的圆柱形空间区域内存的圆柱形空间区域内存 在着由无限长通电螺线管产生的均匀磁场在着由无限长通电螺线管产生的均匀磁场,磁场方向磁场方向 垂直纸面向里，如图垂直纸面向里，如图9-21所示。当磁感应强度以所示。当磁感应强度以dB/dt 的变化率均匀减小时的变化率均匀减小时,求圆柱形空间区域内、外各点求圆柱形空间区域内、外各点 的感生电场。的感生电场。 由楞由楞 次定律判定，感生电场的方向是次定律判定，感生电场的方向是 顺时针的，顺时针的， R 图9-21 r =Ei 2 r rR: dt dBr Ei 2 Ei 2 r dt RBd

19、)( 2 dt dB r R Ei 2 2 Ei 2 r dt rBd)( 2 rR: 你能完成这个积分吗？不你能完成这个积分吗？不 妨试试。妨试试。 B A i dlE i i E 图9-22a R AB o dlEi B A cos r i E dl 43 连接连接oA、oB组成回路。组成回路。 2 4 1 RB m dt d m i dt dBR 4 2 由楞次定律知，回路电动势方向为逆时针，因此由楞次定律知，回路电动势方向为逆时针，因此 导线导线AB中的感生电动势由中的感生电动势由A指向指向B。B点电势高。点电势高。 由于由于oA和和oB不产生电动势不产生电动势, 故回路电动势就是导线

20、故回路电动势就是导线AB中的中的 电动势。电动势。 dlEi A o i cos =0 i E 图9-22b R AB o 44 AB AB (填填、或或=) dt )Bs(d i 连接连接oA、oB组成回路组成回路,由由 o. AB dt dB s (2)对直导线对直导线AB和弯曲的和弯曲的 导线导线AB： 问题问题: 圆柱形空间区域内圆柱形空间区域内 存在着均匀磁场，求存在着均匀磁场，求(1)如图如图 所示的长直导线中的感生电所示的长直导线中的感生电 动势动势: dt R Bd i ) 2 ( 2 o. R 图9-23 dt dBR 2 2 45 5. 电子感应加速器电子感应加速器 大型电

21、磁铁的两极间安放一个环形真空室。电磁铁大型电磁铁的两极间安放一个环形真空室。电磁铁 用强大的交变电流来励磁用强大的交变电流来励磁,使环形真空室处于交变的磁使环形真空室处于交变的磁 场中，从而在环形室内感应出很强的涡旋电场。用电场中，从而在环形室内感应出很强的涡旋电场。用电 子枪将电子注入环形室子枪将电子注入环形室,它们在洛仑兹力的作用下沿圆它们在洛仑兹力的作用下沿圆 形轨道运动，同时又被涡旋电场加速形轨道运动，同时又被涡旋电场加速,，能量可达到几，能量可达到几 百百Mev。这种加速器常用在医疗、工业探伤中。这种加速器常用在医疗、工业探伤中。 图9-24 46 图16-24 l i Ee ld

22、k E dt d e m l i dlEe dt d eE m k 47 一一.自感现象自感现象 自感系数自感系数 9-4 自感和互感自感和互感 现象：由于回路电流变化，引起现象：由于回路电流变化，引起自已自已回路的回路的磁通磁通 量变化量变化，而在回路中激起感应电动势的现象叫做，而在回路中激起感应电动势的现象叫做自感自感 现象现象。相应的电动势叫做。相应的电动势叫做自感电动势自感电动势。 设回路有设回路有N匝线圈，通过线圈面积上的磁通量为匝线圈，通过线圈面积上的磁通量为 m,则通过线圈的磁通链数则通过线圈的磁通链数: 式中比例系数式中比例系数L,叫做线圈的叫做线圈的 自感系数自感系数,简称自

23、感。简称自感。 对对非非铁磁质铁磁质, L是常量是常量,大小大小与线圈的形状大小及磁与线圈的形状大小及磁 介质有关。对铁磁质介质有关。对铁磁质, L不再是常量不再是常量(与电流有关与电流有关)。 B I 图9-25 N m I N m =LI(9-9) 48 自感电动势为自感电动势为 dt )LI(d dt )N(d m L 如果线圈自感系数如果线圈自感系数L为常量为常量,则则 dt dI L L (9-10) 在在SI制中制中,自感自感L的单位为亨利的单位为亨利,简称亨简称亨(H)。 由上可得计算自感系数的方法：由上可得计算自感系数的方法： , I N L m dt dI L L N m =

24、LI 49 补补: 例题例题1 一单层密绕、长为一单层密绕、长为l、截面积为、截面积为S的长的长 直螺线管直螺线管,单位长度上的匝数为单位长度上的匝数为n, 管内充满磁导率为管内充满磁导率为 的均匀磁介质。求该长直螺线管的自感系数。的均匀磁介质。求该长直螺线管的自感系数。 解解 设在长直螺线管中设在长直螺线管中 通以电流通以电流I，则，则 B= n I m =BS= nIS I N L m Sl=V VnL 2 最后得最后得 问题：问题：如何用线绕方法制作纯电阻？如何用线绕方法制作纯电阻？ 双线并绕。双线并绕。 图9-26 50 例题例题9-7 求同轴电缆单位长度上的自感。求同轴电缆单位长度上

25、的自感。 解解 r I B 2 (R1rR2) s m Bdscos m R R Il 1 2 ln 2 R R Il L m 1 2 ln 2 dr r b a dr r Il 2 图9-27 I R1 R2 I l 通过两圆筒之间通过两圆筒之间L L长的长的 截面的总磁通量为截面的总磁通量为: : 自感为自感为: : 离开轴线距离为离开轴线距离为r的磁感应强度的磁感应强度: 51 补补:例题例题2 一矩形截面螺线环，共一矩形截面螺线环，共N匝，如图匝，如图9-28 所示，求它的自感所示，求它的自感。 解解 r NI B 2 s m Bdscos 图9-28 dr r m 1 2 ln 2R

26、 RNIh 1 2 2 ln 2R RhN I N L m 2 1 R R r NI 2 hdr 52 二二 .互感现象互感现象 互感系数互感系数 现象：由于一个线圈中电流发生变化而在附近的现象：由于一个线圈中电流发生变化而在附近的 另外一个线圈中产生感应电动势的现象叫做另外一个线圈中产生感应电动势的现象叫做互感互感现象。现象。 这种感应电动势叫做这种感应电动势叫做互感电动势互感电动势。 N2 21=M1I1 N1 12=M2I2 在非铁磁介质的情况下在非铁磁介质的情况下,互感系数互感系数M与电流无关，与电流无关， 仅仅与两线圈的形状大小、相对位置及周围的磁介仅仅与两线圈的形状大小、相对位置及

27、周围的磁介 质有关。在铁磁质中质有关。在铁磁质中, M将受线圈中电流的影响。将受线圈中电流的影响。 实验证明，实验证明，M1=M2=M。 比例系数比例系数M,叫做两线圈的叫做两线圈的 互感系数互感系数, 简称互感。简称互感。 (9-11) I1 12 图9-29 B 53 当当M不变时，互感电动势为：不变时，互感电动势为： , 1 21 dt dI M dt dI M 2 12 (9-12) 由上可得计算互感系数的方法：由上可得计算互感系数的方法： , I N M 1 212 dt dI M 1 21 , I N L m dt dI L L 计算自感系数的方法：计算自感系数的方法： 比较！比较

28、！ N2 21=MI1N1 12=MI2 54 例题补充例题补充18 一无限长直导线与一矩形线框在同一无限长直导线与一矩形线框在同 一平面内，如图一平面内，如图9-30所示。当矩形线框中通以电流所示。当矩形线框中通以电流 I2=Iocos t(式中式中Io和和 为常量为常量)时，求时，求长直导线中的感长直导线中的感 应电动势。应电动势。 解解 假定长直导线中通以电流假定长直导线中通以电流I1, 则则 r I B o 2 1 sBdscos 21 dr r 21 c baIo ln 2 1 c ba I N M o ln 2 1 212 b c r I o 2 1 adr c b a 图9-30

29、 I2 55 dt dI M 2 12 tI c ba o o sinln 2 问题：问题：两线圈怎样放置，两线圈怎样放置，M =0？ c ba I N M o ln 2 1 212 M =0 dr r c b a 图9-30 I2 56 例题补充例题补充19 一长直磁棒上绕有自感分别为一长直磁棒上绕有自感分别为L1和和L2 的两个线圈，如图的两个线圈，如图9-31所示。在理想耦合的情况下，所示。在理想耦合的情况下， 求它们之间的互感系数。求它们之间的互感系数。 解解 设自感设自感L1长长l1、N1匝，匝，L2长长l2、N2匝，并在匝，并在 L1 中通以电流中通以电流I1。考虑到理想耦合的情况

30、，有。考虑到理想耦合的情况，有 sIn 1121 1 212 I N M 21sN n 21 11 1 1 Nsl lN N n 1 2 1 2 1 N N Vn , 11I nB , 1 2 11 VnL 1 2 1 N N LM 1 234 S 图9-31 L1L2 57 同理，若在同理，若在 L2 中通以电流中通以电流I2，则有，则有 , 2 1 2 N N LM 前已求出：前已求出： 1 2 1 N N LM 得得 21L LM 必须指出必须指出,只有在理想耦合只有在理想耦合 的情况下的情况下,才有才有 的关的关 系系;一般情形时一般情形时, , 而而0k1,k称为耦合系数称为耦合系数

31、,视视 两线圈的相对位置而定。两线圈的相对位置而定。 21L LM 21L LkM 1 234 S 图9-31 L1L2 58 问题：问题： 1.将将2、3端相连接，这端相连接，这 个线圈的自感是多小？个线圈的自感是多小？ IL 1 设线圈中通以电流设线圈中通以电流I，则，则 穿过线圈面积的磁通链为穿过线圈面积的磁通链为 21L LM , I L 2121 2LLLLL 2.将将2、4端相连接，这端相连接，这 个线圈的自感是多小？个线圈的自感是多小？ 2121 2LLLLL IL2 MI2 1 234 S 图9-32 L1L2 1 234 S 图9-32 L1L2 59 9-6 磁场能量磁场能

32、量 一一 .自感磁能自感磁能 IR dt dI L tIt RdtILIdIIdt 000 2 电源发出电源发出 的总功的总功 电源反抗电源反抗 自感的功自感的功 电阻上的电阻上的 焦耳热焦耳热 2 2 1 LI 图9-34 K R L RI dt dI LII 2 9-5 暂态电流暂态电流(自学自学 ) 1 .通电线圈中的磁能通电线圈中的磁能 60 电源反抗自感作功过程，也是线圈中磁场的建立电源反抗自感作功过程，也是线圈中磁场的建立 的过程。可见，电源克服自感电动势所作的功，就的过程。可见，电源克服自感电动势所作的功，就 转化为转化为线圈线圈L中的磁能中的磁能: 2 2 1 LIwm (9-

33、13) 2.磁场能量密度磁场能量密度 设螺线管单位长度上设螺线管单位长度上n匝，体积为匝，体积为V，其中充满磁，其中充满磁 导率为导率为的均匀磁介质的均匀磁介质, L= n2V, B= nI= H 2 2 1 LIwm VHV B 2 2 2 1 2 1 61 因为长直螺线管内磁场是均匀的因为长直螺线管内磁场是均匀的,所以磁场能量所以磁场能量 的分布也是均匀的。于是的分布也是均匀的。于是磁场能量密度磁场能量密度为为 式式(13-14)虽然是从载流长直螺线管为例导出的虽然是从载流长直螺线管为例导出的, 但可以证明该式适用于一切磁场但可以证明该式适用于一切磁场(铁磁质除外铁磁质除外)。 2 2 2

34、 1 2 1 H B m (9-14) VHV B wm 2 2 2 1 2 1 62 二二 .互感磁能互感磁能 设有两个自感分别为设有两个自感分别为L1和和L2的线圈的线圈, 互感为互感为M, 计算电流分别达到计算电流分别达到I1和和I2时的系统的总磁能。时的系统的总磁能。 首先将首先将L2断开断开, L1中通以电流中通以电流I1, L1中的磁能是中的磁能是: 2 11 2 1 IL 然后接通然后接通L2使电流达到使电流达到 I2, 此时此时L2中的磁能是中的磁能是: 2 22 2 1 IL 但在但在L2中的电流由图示连中的电流由图示连 接从零增大到接从零增大到I2的过程中的过程中,由于由于

35、 互感有使互感有使I1减小的趋势。减小的趋势。 L1L2M 图9-35 S I1I2 63 为保持为保持L1中的电流中的电流I1不变，调整电阻，使电源进不变，调整电阻，使电源进 一步供电。一步供电。 dtI 112 t 0 dt dI M 2 12 而而 所以在在所以在在L2中的电流由中的电流由 零增大到零增大到I2的过程中的过程中, L1中中 的电源提供的能量是的电源提供的能量是 dtI 112 t 0 2 0 I 21dI MI 21I MI 这部分能量称为这部分能量称为互感磁能互感磁能。 电源提供的能量用于克服互感电动势作功：电源提供的能量用于克服互感电动势作功： L1L2M 图9-35

36、 S I1I2 64 于是当于是当L1和和L2中的电流分别达到中的电流分别达到I1和和I2时系统的时系统的 总磁能为：总磁能为： m W 2 11 2 1 IL 2 22 2 1 IL 21I MI (9-15) 如果两线圈反向连接，如果两线圈反向连接， 则系统的总磁能应为：则系统的总磁能应为： m W 2 11 2 1 IL 2 22 2 1 IL 21I MI (9-16) L1L2M 图9-35 S I1I2 65 例题补充例题补充20 一细螺线环有一细螺线环有N=200匝，匝，I=1.25A, 通过环截面积的磁通量通过环截面积的磁通量 m=510-4wb, 求求螺线环中螺线环中 储存的

37、磁能。储存的磁能。 解解 =0.125J 图9-36 I N L m m NI 2 1 2 2 1 LIwm 66 例题补充例题补充21 一根长直同轴电缆由两个同轴薄圆一根长直同轴电缆由两个同轴薄圆 筒构成筒构成, 其半径分别为其半径分别为R1和和R2,流有大小相等、方向相流有大小相等、方向相 反的轴向电流反的轴向电流I,两筒间为真空，如图两筒间为真空，如图9-37所示。试计所示。试计 算电缆单位长度内所储存的磁能。算电缆单位长度内所储存的磁能。 解解 r I B o 2 (R1rR2) o m B 2 2 22 2 8r Io m w r drI R R o 2 14 2 1 2 2 ln

38、4R RIo 也可用也可用 计算。计算。 2 2 1 LIwm 2 1 R R m rdr 2 I 图9-37 I R1 R2 1 dr r 67 例题补充例题补充22 假定电子是一个假定电子是一个 半径为半径为Ro的空心球。计算电子以的空心球。计算电子以 速度速度 ( c)运动时的磁场运动时的磁场能量。能量。 解解 2 4r eq B ro 2 sin 4r e B o o 2 1 2 2 ) sin 4 ( r eo o m B 2 2 dddsin 2 rr o R 2 0 0 r 图9-38 .p m W d r dre o R o o o 3 2 22 sin 16 o o R e

39、12 22 68 前面讲到，变化的磁场激发电场前面讲到，变化的磁场激发电场(感生电场感生电场)。那么，。那么， 会不会有相反的情况：变化的电场也会激发磁场？会不会有相反的情况：变化的电场也会激发磁场？ 9-6位移电流位移电流 电磁场理论电磁场理论 1.位移电流的概念位移电流的概念 在在稳恒电流稳恒电流条件下条件下,安培环路定律为安培环路定律为 式中式中: I内 内是穿过以闭合回路 是穿过以闭合回路l为边界的任意曲面为边界的任意曲面S 的的传导电流传导电流的代数和。的代数和。 l Il dH 内内 (9-26) 一、位移电流一、位移电流 69 在非稳恒的条件下在非稳恒的条件下,情况又如何？情况又

40、如何？ I (圆面圆面) 0 (曲面曲面S) 可见，在非稳恒的条件下可见，在非稳恒的条件下, 式式(9-26)所示的安培环路定律不所示的安培环路定律不 再适用再适用,必须加以修正。必须加以修正。 在图在图9-39中，电路是不闭合，中，电路是不闭合， 电荷沿导线运动，它运动到哪里电荷沿导线运动，它运动到哪里 去了呢？去了呢？ 结果我们发现，电荷在电容器的结果我们发现，电荷在电容器的极板上堆积极板上堆积起起 来了。来了。 下面我们来研究导体下面我们来研究导体 中的传导电流和电场变化的关系。中的传导电流和电场变化的关系。 l dlH 而两极板间出现了电场。而两极板间出现了电场。 图9-39 k I

41、l E S 70 dt dq I (q为极板上的电量为极板上的电量) 传导传导 电流强度及电流密度分别为电流强度及电流密度分别为 , dt d S I J S q 两极板间两极板间，没有电荷运动没有电荷运动， 但但有变化的电场有变化的电场： , o E , ED o qSDS e I dt dq dt d e 电位移通量电位移通量 e对时间的变化率对时间的变化率 (极板中的传导电流强度极板中的传导电流强度) J dt d dt dD (极板中的传导电流密度极板中的传导电流密度) 金属板中有传导电流金属板中有传导电流， 图9-39 k I l E +q-q 71 位移电流密度：位移电流密度： 位

42、移电流强度：位移电流强度： dt d I e d (9-28) 即即:电场中某点的电场中某点的位移电流密度位移电流密度等于该点等于该点电位移矢量电位移矢量 对时间对时间的变化率的变化率；通过电场中某面积的；通过电场中某面积的位移电流强度位移电流强度 等于通过该面积的等于通过该面积的电位移通量电位移通量对时间对时间的变化率的变化率。 把把电场的变化电场的变化看作看作是一种电是一种电 流流，这就是麦克斯韦位移电流的，这就是麦克斯韦位移电流的 概念。麦克斯韦指出：概念。麦克斯韦指出： t D J d (9-29) 图9-39 k I l E +q-q 72 全电流全电流=传导电流传导电流+运流电流运

43、流电流+位移电流。位移电流。 全电流总是连续的。全电流总是连续的。 麦克斯韦指出：麦克斯韦指出：位移电流位移电流(电场的变化电场的变化)与传导与传导 电流一样，也要在周围的空间激发磁场电流一样，也要在周围的空间激发磁场。 因此因此,在非稳恒情况下在非稳恒情况下,安培环路安培环路 定律定律的一般形式为的一般形式为 位移位移 电流电流 d l IIl dH (9-30) 图9-39 k I l E +q-q 2.全电流定律全电流定律 传导传导 +运流运流 73 比较比较： 位移电流：位移电流：仅仅意味着仅仅意味着电场的变化电场的变化；可存在；可存在 于任何介质于任何介质(包括真空包括真空)中；无焦

44、耳热。中；无焦耳热。 传导电流：传导电流：电荷的运动电荷的运动；只存在于导体中；只存在于导体中； 有焦耳热。有焦耳热。 74 例题例题1 平行板电容器的电容平行板电容器的电容C=20 F，两板上电，两板上电 压变化率为压变化率为dU/dt=1.50 105V.s-1，求两板间的位移电，求两板间的位移电 流强度。流强度。 解解 CUq dt dU C dt dq dt dU C dt dq I =3A I 75 例题例题2 如图如图14-40所示所示, 一电量为一电量为q的点电荷的点电荷, 以以 匀角速度匀角速度 作半径作半径R的圆周运动。设的圆周运动。设t=0时，时，q所在点所在点 的坐标为的

45、坐标为(R,0),求圆心求圆心o处的位移电流密度。处的位移电流密度。 解解 , t D J d 2 4 R q ED o 0 t D J d , 4 2 R q E o t D J d t D J d )sincos( 4 2 tjti R q )( 4 2 r e R q D )cossin( 4 2 tjti R q x y R 图14-40 o q t r e 76 例题例题3 一圆形极板的平行板电容器一圆形极板的平行板电容器,极板半径极板半径 R=0.1m, 板间为真空。给电容器充电的过程中板间为真空。给电容器充电的过程中,板间电板间电 场对时间的变化率场对时间的变化率dE/dt=1.

46、01013V/m.s, 求求:(1)两板间两板间 的位移电流强度；的位移电流强度；(2)离中心离中心r(rR)处的磁感应强度。处的磁感应强度。 解解 (1) 位移电流密度的大小为位移电流密度的大小为 dt dE dt dD J od 图9-41 R 两板间的位移电流强度：两板间的位移电流强度： dt dE RRJI odd 22 =2.78A 由于由于E ，所以，所以位移电位移电 流密度流密度 与与E的方向相同，的方向相同， 即从正极流向负极。即从正极流向负极。 dt Ed J od 77 B.2 r = oJd. r2 dt dE dt dD J od r dt dE B oo 2 r 5

47、10 18 1 (2)电流呈柱形分布，磁场电流呈柱形分布，磁场 方向如图中的圆周切线。方向如图中的圆周切线。 由安培环路定律得由安培环路定律得 图9-41 R r B l lo Il dB 内内 78 例题例题4一圆形极板的真空平行板电容器，板间距离一圆形极板的真空平行板电容器，板间距离 为为d，两极板之间有一长宽分别为，两极板之间有一长宽分别为a和和b的矩形线框的矩形线框,矩矩 形线框的一边与圆极板的中心轴线重合，如图形线框的一边与圆极板的中心轴线重合，如图9-42所所 示。两极板上加上电压示。两极板上加上电压U12=Uocos t，求，求矩形线框的矩形线框的 电压电压U=? 解解 板间电场：板间电场： t d U d U E o cos 12 dt dE dt dD J od t d U oo sin 位移电流密度：位移电流密度： 图9-42 d U=?