材力力学第2章3

1、华中科技大学华中科技大学 力学系力学系 钱钱 勤勤 E-mail： Tel: 87543837(O) 轴向拉伸和压缩杆件横截面轴向拉伸和压缩杆件横截面正应力正应力计算公式计算公式 轴向拉伸和压缩杆件的轴向拉伸和压缩杆件的伸长量伸长量计算公式计算公式 N F l l EA x x l lE 轴向拉伸和压缩杆件的轴向拉伸和压缩杆件的正应变正应变计算公式计算公式 轴向应变轴向应变 x与横向应变与横向应变 y 关系：关系： yx 弹性常数弹性常数 弹性模量：弹性模量：E，泊松比：泊松比： 胡胡 克克 定定 律律 返回总目录返回总目录 进行拉伸实验，首先需要将被试验的材料按国家标准制 成标准试样标准试样

2、(standard specimen);然后将试样安装在试验机上，使 试样承受轴向拉伸载荷。通过缓慢的加载过程，试验机自动记 录下试样所受的载荷和变形，得到应力与应变的关系曲线，称 为应力一应变曲线应力一应变曲线(stress-strain curve)。 为了得到应力一应变曲线，需要将给定的材料作成标准试标准试 样样（specimen）,在材料试验机上，进行拉伸或压缩实验拉伸或压缩实验（tensile test,compression test）。 试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验机通过 上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。 脆性材料拉伸时的 应力应变曲线 塑性金属材料材

3、料拉伸时的应力 应变曲线 工程塑料拉伸时的 应力应变曲线 应力-应变曲线上的初始 阶段通常都有一直线段，称 为线性弹性区，在这一区段 内应力与应变成正比关系， 其比例常数，即直线的斜率 称为材料的弹性模量（杨氏弹性模量（杨氏 模量）模量）（modulus of elasticity or Young modulus），用E 表 示。 切线模量切线模量（tangent modulus）， 即曲线上任一点处切线的斜率，用 Et表示。 对于应力-应变曲线初始阶段的 非直线段，工程上通常定义两种模 量： 割线模量割线模量（secant modulus），即 自原点到曲线上的任一点的直线的 斜率，用Es

4、表示。二者统称为工程 模量。 对于一般结构钢都有明显而 较长的线性弹性区段;高强钢、 铸钢、有色金属等则线性段较短; 某些非金属材料，如混凝土，其 应力-应变曲线线弹性区不明显。 应力一应变曲线上线弹性阶段的应 力最高限称为比例极限(proportional limit)，用p表示。 线弹性阶段之后，应力应变 曲线上有一小段微弯的曲线，这表 示应力超过比例极限以后，应力与 应变不再成正比关系，但是，如果 在这一阶段，卸去试样上的载荷， 试样的变形将随之消失。 这表明这一阶段内的变形都是 弹性变形，因而包括线弹性阶段在 内，统称为弹性阶段。弹性阶段的 应力最高限称为弹性极限(elastic li

5、mit)，用e表示。 大部分塑性材料比例极限与弹性极 限极为接近，只有通过精密测量才能加 以区分。 许多塑性材料的应力一应变曲线中，在 弹性阶段之后，出现近似的水平段，这一阶 段中应力几乎不变，而变形急剧增加，这种 现象称为屈服屈服(yield) 。这一阶段曲线的最 低点的应力值称为屈服应力屈服应力或屈服强度屈服强度 (yield stress)，用s表示。 0.2 对于没有明显屈服阶段的塑 性材料，工程上则规定产生0.2 塑性应变时的应力值为其屈服 应力，称为材料的条件屈服应力条件屈服应力 (offset yield stress)，用0.2表示。 应力超过屈服应力或条 件屈服应力后，要使试

6、样继 续变形，必须再继续增加载 荷 。 这 一 阶 段 称 为 强 化强 化 (strengthening)阶段。这一阶 段应力的最高限称为强度极 限(strength limit)，用b表示。 某些塑性材料(例如低 碳钢和铜)，应力超过强度 极限以后，试样开始发生局 部变形，局部变形区域内横 截面尺寸急剧缩小，这种现 象称为颈缩颈缩(neck)。出现颈 缩之后，试样变形所需拉力 相应减小，应力一应变曲线 出现下降阶段，直至试样被 拉断。 返回返回 返回总目录返回总目录 引入安全系数的原因：引入安全系数的原因： 1 1、作用在构件上的外力常常估计不准确；、作用在构件上的外力常常估计不准确； 2

7、 2、构件的外形及所受外力较复杂，计算时需进行简化，、构件的外形及所受外力较复杂，计算时需进行简化， 因此工作应力均有一定程度的近似性；因此工作应力均有一定程度的近似性； 3 3、材料均匀连续、各向同性假设与实际构件的出入，、材料均匀连续、各向同性假设与实际构件的出入， 且小试样还不能真实地反映所用材料的性质等。且小试样还不能真实地反映所用材料的性质等。 拉压杆件强度条件：拉压杆件强度条件： 等截面拉压杆件强度条件等截面拉压杆件强度条件： ? 可以绕铅垂轴可以绕铅垂轴OO1旋转的吊车中旋转的吊车中 斜拉杆斜拉杆AC由两根由两根50 mm50 mm5 mm的等边角钢组成，水平横梁的等边角钢组成，

8、水平横梁AB由由 两根两根10号槽钢组成。号槽钢组成。AC杆和杆和AB梁的梁的 材料都是材料都是Q235钢，许用应力钢，许用应力 150 MPa。当行走小车位于当行走小车位于A点时点时(小小 车的两个轮子之间的距离很小，小车车的两个轮子之间的距离很小，小车 作用在横梁上的力可以看作是作用在作用在横梁上的力可以看作是作用在 A点的集中力点的集中力)，杆和梁的自重忽略不，杆和梁的自重忽略不 计。计。 求：求：允许的最大起吊重量允许的最大起吊重量FW（包括行走小车和电动机的自重）。（包括行走小车和电动机的自重）。 受力分析受力分析 因为所要求的小车在因为所要求的小车在A点时所能起吊的最大重量，这点时

9、所能起吊的最大重量，这 种情形下，种情形下，AB梁与梁与AC两杆的两端都可以简化为铰链连接。两杆的两端都可以简化为铰链连接。 因而，可以得到吊车的计算模型。其中因而，可以得到吊车的计算模型。其中AB和和 AC都是二力都是二力 杆，二者分别承受压缩和拉伸。杆，二者分别承受压缩和拉伸。 FW 确定二杆的轴力确定二杆的轴力 0sin0 0cos0 N2W N2N1 ， ， FFF FFF y x 2 3 cos 2 1 sin， WN2WN1 2731FFFF,. 以节点以节点A为研究对象，并设为研究对象，并设AB和和AC杆的轴力均为正方杆的轴力均为正方 向，分别为向，分别为FN1和和FN2。根据节

10、点。根据节点A的受力图，由平衡条件的受力图，由平衡条件 FW FW 确定最大起吊重量确定最大起吊重量 对于对于AB杆，由型钢表查得单根杆，由型钢表查得单根10号槽钢的横截面面积号槽钢的横截面面积 为为12.74 cm2，注意到，注意到AB杆由两根槽钢组成，因此，杆横截杆由两根槽钢组成，因此，杆横截 面上的正应力面上的正应力 2 W 1 N1 cm74122 731 . . F A F AB 将其代入强度设计准则，得到将其代入强度设计准则，得到 2 W 1 N1 cm74122 731 . .F A F AB 确定最大起吊重量确定最大起吊重量 由此解出保证由此解出保证ABAB杆强度安全所能承受的

11、最大起吊重量杆强度安全所能承受的最大起吊重量 2 W 1 N1 cm74122 731 . .F A F AB kN 176.7N 10176.7 731 10cm74122 3 42 W1 . . F 将其代入强度设计准则，得到将其代入强度设计准则，得到 2 W 2 N2 cm80342 2 . F A F AC 2 W 2 N2 cm8034. F A F AC 由此解出保证由此解出保证AC杆强度安全所能承受的最大起吊重量杆强度安全所能承受的最大起吊重量 Nk 57.6N 1057.610cm8034 342 W2 .F 对于对于AC杆杆 确定最大起吊重量确定最大起吊重量 确定最大起吊重量

12、确定最大起吊重量 为保证整个吊车结构的强度安全，吊车所能起吊的最大为保证整个吊车结构的强度安全，吊车所能起吊的最大 重量，应取上述重量，应取上述FW1和和FW2中较小者。于是，吊车的最大起中较小者。于是，吊车的最大起 吊重量吊重量: kN 176.7N 10176.7 731 10cm74122 3 42 W1 . . F Nk 57.6N 1057.610cm8034 342 W2 .F FW57.6 kN 本例讨论本例讨论 1 W 1 N1 2 731 A F A F AB . 其中其中 A1 为单根槽钢的横截面面积。为单根槽钢的横截面面积。 根据以上分析，在最大起吊重量根据以上分析，在最

13、大起吊重量FW57.6 kN的情形下，的情形下， 显然显然AB杆的强度尚有富裕。因此，为了节省材料，同时还可杆的强度尚有富裕。因此，为了节省材料，同时还可 以减轻吊车结构的重量，可以重新设计以减轻吊车结构的重量，可以重新设计AB杆的横截面尺寸。杆的横截面尺寸。 根据强度设计准则，有根据强度设计准则，有 1 W 1 N1 2 731 A F A F AB . 其中其中A1为单根槽钢的横截面面积。为单根槽钢的横截面面积。 本例讨论本例讨论 22224 6 3 W 1 cm24mm1024m1024 101202 10657731 2 731 . . F A 由型钢表可以查得，由型钢表可以查得，5号

14、槽钢即可满足这一要求。号槽钢即可满足这一要求。 这种设计实际上是一种等强度的设计，是保证构件与这种设计实际上是一种等强度的设计，是保证构件与 结构安全的前提下，最经济合理的设计。结构安全的前提下，最经济合理的设计。 1 2 C B A 1.5m 2m F 例题例题 图示结构，钢杆图示结构，钢杆1 1：圆形截面，直径：圆形截面，直径d =16=16mm, ,许用许用 应力应力 ；木杆；木杆2 2：方形截面，边长：方形截面，边长a = 100= 100mm, , ,(1) ,(1)当作用在当作用在B B点的载荷点的载荷 F F =2=2吨时，校核强吨时，校核强 度；度；(2)(2)求在求在B B点

15、处所点处所 能承受的许可载荷。能承受的许可载荷。 1 150MPas= 2 4.5MPas= 解：解：一般步骤一般步骤： 外力外力内力内力 应力应力 强度校核强度校核 拉伸与压缩拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算拉（压）时的强度计算 F 1、计算各杆轴力、计算各杆轴力 N1 F N2 F 2 N2 F 1 N1 F N 2 N1N 2 cos sin FF FF a a = = N1 3 , 4 FF=（拉） 解得解得 拉伸与压缩拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算拉（压）时的强度计算 1 2 C B A 1.5m 2mF N 2 5 4 FF=（压） B 2 2、F = 2吨时，校核强度吨时，校核

16、强度 1杆：杆： 3 N1 1 2 1 3 2109.8 4 4 F A d s p 创 = 76.8MPa= 1 2杆：杆： 3 N 2 2 2 2 5 2109.8 4 F Aa s 创 = 2.5MPa= 2 因此该结构强度上是安全的！因此该结构强度上是安全的！ 拉伸与压缩拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算拉（压）时的强度计算 3 3、F 未知，求许可载荷未知，求许可载荷F 各杆的许可内力为各杆的许可内力为 N1,max11 FAs 62 10150 4 d 30.15kN= N2,max22 FAs 62 105.4 a45kN= 两杆分别达到许可内力时所对应的载荷两杆分别达到许可内力时所对应的载荷 maxN1,max 4 3 FF= 4 30.1540.2 kN 3 = 1杆杆 拉伸与压缩拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算拉（压）时的强度计算 N1 3