材料力学第4章_238402081

1、 哪些内力会产生切应力哪些内力会产生切应力? ? x A x FA N d y A x MzA d z A x MyAd y A xy FA Q d A xy zAd z A xz FA Q d x A xz MyA d 第4章 扭转 弯曲 扭转的实例 搅拌器搅拌器 搅拌轴 自行车有哪些扭转构件? 荷兰人口:1600万，但全国自行车拥有量 1700万辆，人均拥有量位居世界第一 工程中承受切应力的构件 请判断哪一杆件 将发生扭转 A B C 扳手 齿轮系 传递功率 A F 发动机 传动轴 工程中承受切应力的构件 请判断哪个截面 将优先发生剪切 破坏? 第4章 切应力的特征 切应力互等定理切应力互

2、等定理 x y z dx dy dz E F G O u切应力的特征切应力的特征 x y z dx dy dz E F G O u切应力的特征切应力的特征 x y z dx dy dz yzxdddxzyddd E F G O u切应力的特征切应力的特征 x y z dx dy dz 在微元体的两个相互垂直的截面上, 垂直于截面交线(棱边) 的切应力数值相等. 切应力方向: 共同指向交线（棱边）, 或共同离开交线（棱边） 第4章 圆轴扭转的变形特征圆轴扭转的变形特征 实验分析 对称性论证 圆轴受扭转后表面的 矩形将发生什么变化？ 圆轴表面画出圆周线 和纵向平行线 变形前 圆周线和纵向平行线将发

3、生什么 变化？ 变形后 圆周线: 形状、大小、间距没变化 纵向平行线： 绕轴线转绕轴线转 水平 倾斜 实验观察到的结果 圆轴受扭转后表面的纵向线和圆周线交叉所圆轴受扭转后表面的纵向线和圆周线交叉所 得到的得到的矩形将发生什么变化？矩形将发生什么变化？ A B C D A B C D 观察到的现象观察到的现象: 矩形变为平行四边形矩形变为平行四边形 此变形是何种应力引起的? A B C D 为什么为什么4个面上都存在切应力个面上都存在切应力? 如果认为： 受扭转的圆杆(轴)内部变形与表面 变形一致 平面假定： 平面平面 横截面大小形状不变 半径直线 横截面: 绕轴线的刚性转动 反对称分析论证，

4、对称面上同一圆周任意两 点CD变形后一定在原来平面上(对称面) 反对称分析论证 反证反证:若若变形后最大圆周变形后最大圆周任意两点任意两点CDCD不在原来平面上不在原来平面上 对称面最大圆周上CD两点变形后保持在原来的 平面内(对称面内)而且在同一圆周上。 反证法的证明反证法的证明 对称面内部的圆周:同一圆周上的任意两点变形 后保持在对称面内而且在同一圆周上。 问题问题: 对称面各点变形后保持在原来的平面内 (对称面内),变形前同一圆周上的点变形后 仍然还在同一圆周上. 对称面内不同圆周上的各点变形的步调怎样 ? 反对称分析论证反对称分析论证: :对称面对称面不同圆周上的各点变形步调是一致的不

5、同圆周上的各点变形步调是一致的 假设平面不是刚性转动，直径 将变成曲线，A端观察者看到的 情形。 假设平面不是刚性转动，直径 将变成曲线，B端观察者看到的 情形。AB两侧观测结果相反，产 生矛盾 不同圆周上的各点变形若假定步调不一致 对称面各点变形后保持在原来的平面内 (对称面内) 变形前同一圆周上的点变形后 仍然还在同一圆周上. 对称面内不同圆周上的各点变形的步调保持 一致 总结论总结论:圆轴扭转时，横截面圆轴扭转时，横截面 保持平面，并且保持平面，并且 截面只发生刚性转动。截面只发生刚性转动。 分析了对称面的情况分析了对称面的情况, 任意截面任意截面? 对于任意截面对于任意截面: 一定可以

6、找到以这个截面为对称面的一段扭转轴一定可以找到以这个截面为对称面的一段扭转轴, 采取同样方法采取同样方法,可证明可证明 圆轴扭转时，横圆轴扭转时，横 截面截面 保持平面，并且保持平面，并且 只能发生刚性转动。只能发生刚性转动。 圆轴扭转变形前的截面，变形后仍保持为平面，圆轴扭转变形前的截面，变形后仍保持为平面， 截面形状和大小不变，直径仍保持为直线截面形状和大小不变，直径仍保持为直线. 圆轴扭转的平面假定圆轴扭转的平面假定 截面仅发生刚性转动截面仅发生刚性转动 如何分析圆轴扭转的变形协调条件如何分析圆轴扭转的变形协调条件? r 假定m-m截面和n-n截面 的相对转角为d m m n n 在扭矩

7、作用下(切出杆微元) 表面上观察到的变形 rdrdx)( xd d ac cc 选取半径为选取半径为 的微圆柱单元的微圆柱单元 在杆微元基础上 xd d ac cc 与半径成正比 dx d 单位长度上的扭转角 应变形式的变形协调方程 物性关系物性关系 G为剪切弹性模量为剪切弹性模量 xd d GG)( 分析: 作用于圆轴表面微元ABCD的四条边上,半径方向线 与ABCD面垂直,也与垂直 分布 方向 x A M).Ad).( 在横截面半径为处取微元:dA 合成的力 （） dA Mx 把作用在微元上，对形心取矩 极惯性矩 单位长度扭转角 P I M x 结论结论: 切应力沿横截面半径线性分布切应力

8、沿横截面半径线性分布, 方向方向:垂直于半径垂直于半径 特殊点的切应力特殊点的切应力: =0, max PP max max W M I M xx max P P I W Wp 扭转截面系数 为什么设计空心截面为什么设计空心截面? 切应力哪些区域较大切应力哪些区域较大? 节省材料节省材料 研究外加力偶矩与功率P和转速n的关系 传动轴的扭矩计算传动轴的扭矩计算 工程计算中,作用于传动轴上的 外力偶通常不直接给出 给出轴传递功率P(KW) 给出转速n(转/分) 每秒钟输入功每秒钟输入功W W=PX1000(Nm) 输入功由扭矩作用在轴上完成输入功由扭矩作用在轴上完成: 扭矩在每秒完成的功为扭矩在每

9、秒完成的功为: 60 2 n T 角位移 1000 60 2 P n T 外加力偶矩T与功率P和转速n的关系 外加力偶矩与功率P和转速n的关系 T=9549 P(kW) n(r/min) (Nm) 已知：实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器已知：实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器 连接传递功率。连接传递功率。 P传7.5kW, n=100r/min, 最大切应力均为 40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。 求求: 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D2。 例 题 1 两轴上最大切应力均等于两轴上最大切应力均等于40MPa. n P Mx=T=9549 两轴转速

10、相同两轴转速相同,传递功率相同传递功率相同,故两轴上作用的故两轴上作用的 扭矩相同扭矩相同. 解： 例 题 1 n P Mx=T=9549 7.5 = 9549 100 =716.2 N m max= WP1 16 MxMx = d13 =40 MPa =0.045 m=45 mmd1= 16 716. 2 40 106 3 实心轴 解： 例 题 1 43 2 x P x max 1 16 D M W M m 1040 2 .71616 3 6 2 4 0.51 D 对于空心轴，根据 =40 MPa 算得 0.046 m46 mm d20.5D2=23 mm 解： 例 题 1 空心轴D246

11、mm d223 mm 实心轴 d1=45 mm 二轴的横截面面积之比为 28. 1 5 . 01 1 1046 1045 1 2 2 3 3 22 2 2 1 2 1 D d A A 二轴的横截面面积之比为 实心 空心 结论结论: 若轴的长度相同若轴的长度相同, 在最大切应力相同的在最大切应力相同的 情况下情况下,实心轴比空心轴所用材料多。空心轴实心轴比空心轴所用材料多。空心轴 可节省材料，降低成本。可节省材料，降低成本。 28. 1 5 . 01 1 1046 1045 1 2 2 3 3 22 2 2 1 2 1 D d A A A1为实心轴，为实心轴，A2为空心轴为空心轴 圆轴扭转的变形

12、特征圆轴扭转的变形特征: 划出与轴线平行和垂直的纵向线和横向线 横截面的横向线变为曲线横截面的横向线变为曲线,发生翘曲发生翘曲 由此可见由此可见:平面保持平面不成立平面保持平面不成立. 由于翘曲由于翘曲, 平面假定不成立，矩形截面平面假定不成立，矩形截面 杆扭转时的切应力与圆截面杆有很大的杆扭转时的切应力与圆截面杆有很大的 差别。差别。 圆截面扭转的切应力公式无法应用. 如何分析矩形截面杆扭转下的切应力如何分析矩形截面杆扭转下的切应力? 弹性力学理论 介绍结论 研究研究: 矩形截面杆扭转,截面角点切应力特点 矩形截面杆扭转,截面边界上各点的切应力 方向有哪些规律? 角点微元角点微元 注意微元各

13、面与杆件的对应关系注意微元各面与杆件的对应关系 角点区域角点区域 前表面 上表面 0 0 zyzx yxyz , 由剪应力互等定律由剪应力互等定律 00 xzxy , 角点切应力等于零角点切应力等于零 0 yxyz 由剪应力互等定律由剪应力互等定律 0 xy A 边缘各点切应力沿边界的切线方向边缘各点切应力沿边界的切线方向 A 研究边界上的切应力 注意微元各面与杆件的对应关系注意微元各面与杆件的对应关系 截面最大切应力发 生在长边中点. 角点切应力等于零; 边缘各点切应力沿 切线方向; 截面最大切应力发 生在长边中点. 2 1 max hbC M x max1max C 长边中点处长边中点处

14、短边中点处短边中点处 b C1、C1见书上表4-1(表5-2,二版) 高度高度h,宽度宽度b, C1,C1与高宽比有关与高宽比有关 h 长短边比长短边比 10 2 1 max hbC M x 长边中点处长边中点处 沿厚度方向近似线性分布 第4章 dx GI M d p x dx GI M d p x B A B A A B l l GI M p x BA 圆轴扭转下两截面相对转角公式： Mx Mx 扭转刚度 l GI M p x BA BA的正负号与Mx正负号相同. 关于关于 BA的正负号规定的正负号规定 A B G2G1 已知固定的圆截面等直杆AB(刚度GIP), 在截面C受到扭转 外力偶m

15、的作用, 试求支座反力偶矩. B 开口与闭口薄壁圆管的扭转切应力 哪个承载能力强? 直径壁厚 直径、壁厚相等的薄壁圆管，承受扭矩直径、壁厚相等的薄壁圆管，承受扭矩T max max 1.5 D 开 闭 题4-6 max max 1.5 D 开 闭 ,10 D max max 15 开 闭 设计中：避免用开口薄壁杆件承受扭矩 补4-1：直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6Nm时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定 凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。试： 1分

16、析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡 ？ 2确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。 两类切应力:扭转,弯曲 关注:分析方法的差别 z z x I yM 在MZ作用下: 截面的厚度方向:z轴 过y轴上任一点作z轴平行线, 各点切应力相等 切应力函数仅与y坐标有关 z Mz y 与圆轴扭转切应力的分析方法不同与圆轴扭转切应力的分析方法不同 确定梁的横截面上任 意点处的弯曲切应力 薄鄙 1 1 2 2 任意形状任意形状开口开口薄壁截面薄壁截面梁梁 壁厚壁厚截面中曲线曲率半径截面中曲线曲率半径 截面中曲线不闭合截面中曲线不闭合 当厚度不断减少,截面收缩为截面的中曲线 薄鄙 薄壁截面梁薄壁

17、截面梁 1 1 2 2 选取长为dx微段 左侧为横截面1-1 右侧为横截面2-2 1 2 12 薄壁截面梁薄壁截面梁 a b 可否求出切应力可否求出切应力? 思考思考:对微段进行平衡分析对微段进行平衡分析 1 2 12 薄壁截面梁薄壁截面梁 a b 由左侧右侧截面内力由左侧右侧截面内力(弯矩弯矩,剪力剪力) 平衡分析平衡分析 平衡方程中仅含弯矩平衡方程中仅含弯矩,剪力剪力 微段进行平衡分析微段进行平衡分析 1 2 12 薄壁截面梁薄壁截面梁 a b 取取1-1,2-2截面构成微元中的一个局部截面构成微元中的一个局部 如画圆圈部分如画圆圈部分,进行平衡分析进行平衡分析 目的:使切应力在平衡方程中

18、出现 1 2 12 薄壁截面梁薄壁截面梁 a b ab c 局部微元特点 a,b为横截面,c纵截面,d为自由表面 d 上下自由表面 薄壁截面梁薄壁截面梁 ab c 讨论局部微元讨论局部微元x方向的平衡方向的平衡: 有贡献的有贡献的a,b,c面面 x 分析微元各面受力对x方向平衡的贡献: 首先在a,b截面上哪些力参与x方向的平衡? d 弯曲正应力 y x 弯曲正应力弯曲正应力 规律:分布规律? 正负号(拉压性质)? z 需要考虑弯矩的正负! 切出兰色微元的左侧和右侧都是拉应力? 左右截面弯矩均为负 拉应力合成轴向力,谁大谁小? dA I yM dAF A z z A x Nx * )( * 左

19、左 左 横截面局部横截面局部a b a,b的面积均为A* 正应力正应力: 作用在横截面局部作用在横截面局部a,b都为拉应力都为拉应力 dA I yM dAF A z z A x Nx * )( * 右 右 右 薄壁截面梁薄壁截面梁 ab c 正应力合成轴力, 左侧截面a: FNx*, 右侧截面b: FNx*+d FNx* 讨论局部微元x方向的平衡 x 1 1 2 2 d ab c x 若局部微元平衡若局部微元平衡: c截面一定存在切应力截面一定存在切应力 ,且沿且沿x轴轴 反方向反方向 d ab c x 由切应力互等定理 横截面靠近BC中点附近一定 存在切应力= 且与 共同指向BC 是横截面上

20、BC中点的切应 力 切应力互等定理: 两个相互垂直的截面上两个相互垂直的截面上, 垂直于截面交线垂直于截面交线(棱边棱边) 的切应力数值相等的切应力数值相等. 切应力方向切应力方向: 共同指向一条棱边共同指向一条棱边,或共同离开一条或共同离开一条 棱边棱边. 1 2 12 薄壁截面梁薄壁截面梁 a b ab c 内力按实际方向标出 Fx=0- ( d x)=0 FNx*+d FNx*-FNx* ab c 为壁厚。 - ( d x)=0 FNx*+d FNx*-FNx* * A x * x A x * x AF,AFdddd NN z z x z z x I yM I yMd d, ab c 由

21、前提假设 x F * x d d1 N * A z z A z z A x * x Ay I dM A I yM AFdd d ddd N z * zQ A z z I SF Ady xd Md I 1 * 为A*对z轴的静矩（一次矩） * z S x F * x d d1 N z z I SF * Q FQ为剪力，Iz为整个截面对z轴惯性矩， 为A*对 z轴的静矩（一次矩）, * z S 为壁厚。 希望大家关注：希望大家关注： 前提前提 进行平衡分析的技巧进行平衡分析的技巧 公式的各参数的含义公式的各参数的含义 研究开口薄壁圆管、角形截面杆研究开口薄壁圆管、角形截面杆、槽形截面杆槽形截面杆

22、在横向载荷作用下的变形在横向载荷作用下的变形 过形心作用在过形心作用在 主轴平面的横主轴平面的横 向载荷下向载荷下 开口薄壁杆件：开口薄壁杆件： 直观感觉如何变形? 为什么向开口方向倒下去? 切应力流 问题:横向载荷作用的开口薄壁杆件 以槽型截面为例以槽型截面为例, , 确定横弯截面中切应力方向确定横弯截面中切应力方向 1 1 2 2 弯矩正负、哪边大？ 应力拉压, 比较：正应力哪边大?轴力? 左 右 y z 第三刀垂直于截面中曲线第三刀垂直于截面中曲线 实际（真实方向）实际（真实方向） 1 1 2 2 轴力哪边大,哪边小?轴力是拉?是压? x y z 思考：中间部分的切应力如何确定？思考：中

23、间部分的切应力如何确定？ 槽型截面切应力方向的槽型截面切应力方向的特征特征: : 翼缘翼缘:切应力与截面切应力与截面 剪力方向不一致剪力方向不一致. 腹板腹板:切应力与截面切应力与截面 剪力方向一致剪力方向一致 翼缘 腹板 头尾相接头尾相接,如管道流水如管道流水-切应力流切应力流 重要的结论重要的结论: 当薄壁截面的周边或周边的切线与剪力平行当薄壁截面的周边或周边的切线与剪力平行 时时,作用在该部分的切应力方向和剪力的方向作用在该部分的切应力方向和剪力的方向 是一致的是一致的. FQ 切应力流是本书中的一个难点切应力流是本书中的一个难点 注意注意:确定切应力流时确定切应力流时,平衡概念的灵活应

24、用平衡概念的灵活应用 平衡的对象选取平衡的对象选取 微元的切法微元的切法?哪一刀最重要哪一刀最重要? 研究开口薄壁截面杆研究开口薄壁截面杆 在横向载荷作用下的变形在横向载荷作用下的变形 过形心横向过形心横向 载荷下载荷下 开口薄壁杆件：开口薄壁杆件： 开口薄壁杆件为什么向开口方向倒开口薄壁杆件为什么向开口方向倒? 如何加载如何加载? 合力合力 向弯曲中心简化结果向弯曲中心简化结果向截面形心简化结果向截面形心简化结果 槽形截面 z z I SF * Q 由弯曲中心的概念,我们可知开口薄壁杆件 在横弯载荷作用下平面保持平面(平面弯曲) 的加载条件: 过弯曲中心 平行形心主轴 开口薄壁杆件平面弯曲的

25、加载条件 实心截面和闭口薄壁截面: 在横力下发生平面弯曲(平面保持平面) 的加载条件: 比较比较: : 过形心平行于形心主轴 第4章 A b h 宽为b, 高为h A* y z z z z bI SF I SF * Q * Q Iz整个面积对z轴(中性轴） 惯性矩， 为截面上距中 性轴为y的横线以外部分 面积对中性轴的静矩 第三刀第三刀:垂直于截面中线切垂直于截面中线切 * z S A b h 宽为b, 高为h A*对中性轴的静矩 ) 4 1( 8 2 22 h ybh y .AS * c * z A* y z * z bI SFQ bh h y FQ xy ) 4 1 (5 . 1 2 2

26、注意注意:切应力沿高度的分布特点切应力沿高度的分布特点 5 . 15 . 1 Q max bh F A b h bh h y FQ xy ) 4 1 (5 . 1 2 2 切应力分布的特点 最大切应力发生在哪? ,)y 4 d ( 3 2 S 2/32 2 * z * Qz z F S I 2 42 1 3 Q xy F y Ad A A FQ max 3 4 A 注意注意:切应力沿高度的分布特点切应力沿高度的分布特点 最大切应力发生在 中性轴上, y=0 z z I SF * Q 求在求在FQ作用下截面最大切应力作用下截面最大切应力 FQ y z max * )( z S max 薄壁圆环的

27、弯曲切应力薄壁圆环的弯曲切应力 , d 若圆环壁厚为, 平均直径为d, 已知直径为d0的半圆对Z轴的静矩 3 0 * ) 2 ( 3 2 d Sz ,d 对半个圆环 2 *33 max 22 ()()() 32322 z ddd S d0为半圆的直径 为圆环壁厚, d为平均直径 FQ y z 半圆环对z轴静矩: * maxQ max () 2.02.02.0 2 QzQ z FSFF IdA 8/)( 64 )( 64 344 dddI z 2 *33 max 22 ()()() 3 223 222 z ddd S 结论：薄壁圆环截面最大切应力为结论：薄壁圆环截面最大切应力为 平均切应力的两倍平均切应力的两倍 * Q max 2.02.02.0 2 QzQ z F SFF I