材料力学(II)第三章

1、材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 第第 3 章章 能量方法能量方法 3-1 外力功与杆件的应变能外力功与杆件的应变能 3-2 卡氏定理卡氏定理 3-3 莫尔定理（单位力法）莫尔定理（单位力法） 3-4 余能与余能定理余能与余能定理 3-5 用能量法解超静定系统用能量法解超静定系统 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 3-1 外力功与杆件的应变能外力功与杆件的应变能 构件在外力作用下将发生变形，其各点也将产生位移。在 构件在外力作用下将发生变形，其各点也将产生位移。在 外力作用点处产生的沿外力作用方向的位移，称为外力作用点处产生的沿外力作用方向的位移，称为相应位移相应位移， 外力在

2、其相应位移上所做的功称为外力在其相应位移上所做的功称为外力功外力功。杆件因弹性变形而。杆件因弹性变形而 贮存的能量称为贮存的能量称为应变能应变能，也称为，也称为变形能变形能。 WV 根据能量守恒定律，当外力由零开始缓慢增加时，构件始 根据能量守恒定律，当外力由零开始缓慢增加时，构件始 终处于平衡状态，动能的变化及其他能量的损失可以忽略，此终处于平衡状态，动能的变化及其他能量的损失可以忽略，此 时时功能原理功能原理成立：成立： 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 (a) 轴向拉（压）杆轴向拉（压）杆 2 2 N 222 1 l l EA EA lF lFWV 2p p 2 p 2 e e

3、2222 1 l GI GI lT GI lM MWV (b) 扭转扭转 (c) 弯曲弯曲 纯弯曲纯弯曲 EI lM EI lM MWV 222 1 22 e e x EI xM V l d 2 )( 0 2 横力弯曲横力弯曲 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 可以把应变能统一写成可以把应变能统一写成 FWV 2 1 式中，式中，F 为广义力，可以代表一个力，一个力偶，为广义力，可以代表一个力，一个力偶， 一对力或一对力偶等。一对力或一对力偶等。 为广义位移，可以代表一为广义位移，可以代表一 个线位移，一个角位移，一对线位移或一对角位移个线位移，一个角位移，一对线位移或一对角位移 等。

4、等。 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 ii n i nn FFFFWV 1 2211 2 1 2 1 2 1 2 1 ), 2 , 1(ni Fi 为广义力，为广义力， i 为为Fi 的作用点沿的作用点沿Fi 方向的广义方向的广义 位移，它是由所有广义力共同产生的。位移，它是由所有广义力共同产生的。 有有 n 个广义力同时作用时个广义力同时作用时 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 组合变形（用内力形式表示的应变能）组合变形（用内力形式表示的应变能） 小变形时不计小变形时不计FS 产生的应变能，产生的应变能， M(x) 只产生弯曲转角只产生弯曲转角d FN (x) 只产生轴向线

5、位移只产生轴向线位移d T(x) 只产生扭转角只产生扭转角d 杆的应变能为杆的应变能为 llll EI xxM GI xxT EA xxF VV 2 d)( 2 d)( 2 d)( d 2 p 22 N 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 (a) 由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式， 所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生 的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。 小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生小变形时，产生不同

6、变形形式的一组外力在杆内产生 的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。 应变能的特点应变能的特点: (b) 应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒） (c) 应变能恒为正值应变能恒为正值 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 EA aF EA baF V 22 )( 2 2 2 1 EA aFF EA bF V 2 )( 2 2 21 2 1 EAF2 F1 ab 例例 )()()( e21 MVFVFVV F1 F2 Me 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 解解:（1）计算梁的应变能）计算梁的应变

7、能(x轴从轴从A向左向左) 2222 3 ee 0 ( ) 2622 lFM lM l MxF l Vdx EIEIEIEI e 22 3 e ,F,M 62 M lF l VVV EIEI 产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独 作用时产生的应变能之和作用时产生的应变能之和！ 例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算外力所做例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算外力所做 之总功。弯曲刚度为之总功。弯曲刚度为EI。 F Me A MeFxxM )( 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 功能原理

8、的适用范围：功能原理的适用范围：当杆件上只作用一个集中荷载，当杆件上只作用一个集中荷载， 且所求位移就是该荷载作用点处的相应位移时，方可且所求位移就是该荷载作用点处的相应位移时，方可 利用功能原理直接求解。利用功能原理直接求解。若杆件上作用多个荷载，或若杆件上作用多个荷载，或 者虽只有一个荷载，但是是分布荷载，再或者只有一者虽只有一个荷载，但是是分布荷载，再或者只有一 个集中荷载，但所求位移并不是该荷载作用点处的相个集中荷载，但所求位移并不是该荷载作用点处的相 应位移时，就不能利用功能原理直接求解。应位移时，就不能利用功能原理直接求解。 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 C B l x

9、2 x1 F A l 例例: 试计算图示水平面内直角刚架的应变能以及自由端的试计算图示水平面内直角刚架的应变能以及自由端的 挠度。刚架截面为圆形，直径为挠度。刚架截面为圆形，直径为 d，材料弹性模量和剪切模，材料弹性模量和剪切模 量分别为量分别为E和和G。 解：对于图示刚架，弯矩和扭矩解：对于图示刚架，弯矩和扭矩 方程分别为：方程分别为： AB段：段： 11) (FxxM EI lF dx EI Fx dx EI xM V l l 62 )( 2 )( 32 10 2 1 1 1 2 1 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 BC段：段：FlTFxxM 22) ( 2 Vd d 22 2

10、2 l p 22 l 2 2 0 p 2 32 3 p M (x )T l x + 2EI2GI (-Fx )(-Fl) l x + 2EI2GI F lF l 6EI2GI B l x2 x1 F A l 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 2 32 32 3 12 p 2 32 3 p F lF lF l V =V +V=+ 6EI6EI2GI F lF l =+ 3EI2GI 2 32 3 A p F lF l1 +=Fw 3EI2GI2 V V 33 A p 2FlFl w =+ 3EIGI B l x2 x1 F A l 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 图示梁的材料为

11、非线性弹性体，图示梁的材料为非线性弹性体，Fi 为广义力，为广义力， i为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一 比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。 . 卡氏第一定理卡氏第一定理 3-2 卡氏定理卡氏定理 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一 荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。在推导荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。在推导 中并没有涉及到梁的具体性质，故上式适用于一切受中并没有涉及到梁的具体性质，故上式适用于一切

12、受 力状态的弹性体。力状态的弹性体。 i i V F 卡氏第一定理卡氏第一定理 适用于线弹性体和非线性弹性体适用于线弹性体和非线性弹性体 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 卡氏第二定理卡氏第二定理 i i F V 仅适用于线弹性体仅适用于线弹性体 它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上 的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。 它将是研究的重点。它将是研究的重点。 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 弯曲状态下，卡氏第二定理可写作：弯曲状态下，卡氏第二定理可写作： x F xM EI xM

13、l i i d )()( 0 如果在欲求广义位移的点处，没有与之相对应如果在欲求广义位移的点处，没有与之相对应 的广义力作用时，则需在该点处虚设一个与所求位的广义力作用时，则需在该点处虚设一个与所求位 移相应的作用力移相应的作用力Fi，然后列出包括，然后列出包括Fi在内的所有外力在内的所有外力 作用下的弯矩方程，将弯矩方程对虚设力作用下的弯矩方程，将弯矩方程对虚设力Fi求偏导求偏导 后，再令后，再令Fi为零，一起代入上式计算。为零，一起代入上式计算。 用该式计算时，可减少计算工作量。用该式计算时，可减少计算工作量。 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 轴向拉伸（压缩）状态下，卡氏第二定理

14、可写作：轴向拉伸（压缩）状态下，卡氏第二定理可写作： l i i x F xF EA xF 0 NN d )()( 扭转状态下，卡氏第二定理可写作：扭转状态下，卡氏第二定理可写作： x F xT GI xT l i i d )()( 0 p 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 组合变形（不计剪力的影响）时组合变形（不计剪力的影响）时 l i l i l i i x F xF EA xF x F xT GI xT x F xM EI xM 0 NN 0 p 0 d )()( d )()( d )()( 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 解：解： , Mx MxFxx F 3 0 1

15、 d 3 l A Fl wFxxx EIEI 例：例： 用卡氏定理求用卡氏定理求A点挠度点挠度 A w F A l x dx EI xM V l 0 2 2 )( 结果为正，位移方向与集中力结果为正，位移方向与集中力的指向相同的指向相同 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 例：用卡氏定理求图示梁自由端转角，例：用卡氏定理求图示梁自由端转角， 。 F q qlF 2 2 1 )(qxFxmxM 1 )( m xM EI ql dxqxFx EI dx m xM EI xM l l 3 2 )1() 2 1 ( 1)()( 3 0 2 max m m解：在自由端附加一逆时针方向的集中力偶 结

16、果为正，转角方向与集中力偶结果为正，转角方向与集中力偶的转向相同的转向相同 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 图图a所示刚架各杆的弯曲刚度均为所示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪不计剪 力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求 A 截面的铅垂位移截面的铅垂位移 Ay。 (a) F AB l l / 2 l / 2 F C D (FA=F ) (b) x FA A B C D F y1 y2 例例 题题 3-10 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 由于刚架上由于刚架上 A、C 截面的外力均为截面的外力均为F，求，求A截面截面 的铅垂位移时

17、，应将的铅垂位移时，应将A处的力处的力F 和和C处的力处的力F区别开区别开 (图图b)，在应用卡氏第二定理后，令，在应用卡氏第二定理后，令FA=F。 FF A Ay A F V 即即 解解:1. 分析分析 (FA=F ) (b) x FA A B C D F y1 y2 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 AB 段段 M (x)=FA x x F xM A )( l F yM A )( 1 BC 段段 M (y1)=FA l 2. 求求 Ay (FA=F ) (b) x FA A B C D F y1 y2 CD 段段 M (y2)=FA l F y2 l F yM A )( 2 材料力

18、学材料力学(II)能能 量量 法法 令以上各弯矩方程中的令以上各弯矩方程中的 FA=F，由卡氏第二定由卡氏第二定 理得理得 d)(dd 1 2/ 0 22 2 0 2/ 0 1 22 lll Ay ylyFlFylFxFx EI EI Fl 24 35 3 (FA=F ) (b) x FA A B C D F y1 y2 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 图示各杆的直径均为图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数材料的弹性常数 G=0.4E。试用卡氏第二定理求试用卡氏第二定理求 A 端的铅垂位移端的铅垂位移 Az（不计剪力对位移的影响）。（不计剪力对位移的影响）。 F y l C B A

19、l x x y z O 例例 题题 3-11 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 解解:1. 分段列弯矩方程及扭矩方程，并分别对力分段列弯矩方程及扭矩方程，并分别对力F求求 偏导数偏导数 AB段的弯矩方程及其对段的弯矩方程及其对F 的偏导数分别为的偏导数分别为 FxxM )(x F xM )( （0 x l） （0y l） FyyM )(y F yM )( FlyT )(l F yT )( BC段的弯矩和扭矩方程及其对段的弯矩和扭矩方程及其对F 的偏导数分别为的偏导数分别为 例例 题题 3-11 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 A 端的铅垂位移为端的铅垂位移为 lll Az y

20、Fl GI yFyxFx EI 0 2 p 00 22 d 1 dd 1 EI Fl EI Fl GI Fl EI Fl 8 . 03 2 3 2 33 p 33 EI Fl 12 23 3 4 3 3 368 dE Fl 2. 求求 Az 例例 题题 3-11 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 3-3 莫尔定理（单位力法）莫尔定理（单位力法） 回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法 直接计算法直接计算法 ( (画变形图、积分法等画变形图、积分法等) ) 利用功能原理利用功能原理 VW 利用卡氏定理利用卡氏定理 i i F V 不适宜解决复杂问题不

21、适宜解决复杂问题 只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移 只适用于线弹性体只适用于线弹性体 单位力法单位力法：更一般的方法，应用更广泛，更方便。更一般的方法，应用更广泛，更方便。 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指若要确定在荷载作用下杆件上某一截面沿某一指 定方向的实际位移定方向的实际位移 ，可在该处施加一个相应的单位，可在该处施加一个相应的单位 力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载。力，并以此作为单位荷载。即以虚设单位力作为荷载。 由单位力引起的内力记为由单位力引起的内力记为 。

22、 N NM(x) ,F(x) ,T(x)M(x) ,F(x) ,T(x) lll GI xxT xT EA xxF xF EI xxM xM p N N d)( )( d)( )( d)( )( 对于组合变形杆件，略去剪力对变形的影响，对于组合变形杆件，略去剪力对变形的影响， 莫尔定理（单位力法）莫尔定理（单位力法）的一般表达式为：的一般表达式为： 由实际荷载引起的内力记为由实际荷载引起的内力记为 。 )(),(),(xTxFxM N 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 弯曲变形：弯曲变形： l EI xxM xM d)( )( l EA xxF xF d)( )( N N l GI x

23、xT xT p d)( )( 轴向拉伸（压缩）变形：轴向拉伸（压缩）变形： 扭转变形：扭转变形： 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 图示梁受均布荷载图示梁受均布荷载q的作用，梁的弯曲刚度为的作用，梁的弯曲刚度为 EI，不计剪力对位移的影响。试用单位力法求梁不计剪力对位移的影响。试用单位力法求梁 跨截面的挠度跨截面的挠度wC和和 A。 例例 题题 3-17 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 在在C 截面处施加单位力（图截面处施加单位力（图 b），由荷载及），由荷载及 单位力引起的弯矩方程分别为单位力引起的弯矩方程分别为 2 22 )(x q x ql xM (0 x l ) (a

24、) xxM 2 1 )( (0 x l / 2) (b) 解解:1. 求求wC 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 因为因为 均关于均关于C 截面对称，故截面对称，故C 截面的截面的 挠度为挠度为 )()(xMxM、 xxx q x ql EI xxMxM EI w ll C d 2 1 ) 22 ( 2 d)()( 2 2/ 0 2 2/ 0 EI ql 384 5 4 （和单位力方向一致）（和单位力方向一致） 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 A截面处的转角为截面处的转角为 在 在 A 截面处加单位力偶（图截面处加单位力偶（图c），单位力偶），单位力偶 引起的弯矩方程为引起的

25、弯矩方程为 1 1 )( x l xM (0 x l ) (c) 2. 求求 A xx l x q x ql EI xxMxM EI ll A d)1 1 )( 22 ( 1 d)()( 1 0 2 0 EI ql 24 3 （ ）（和单位力偶的转向相反）（和单位力偶的转向相反） 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 例：用莫尔定理求图示梁自由端转角，例：用莫尔定理求图示梁自由端转角， 。 F q qlF 2 2 1 )(qxFxxM EI ql dxqxFx EI dxxM EI xM l l 3 2 )1() 2 1 ( 1 )( )( 3 0 2 max 解：在自由端附加一逆时针方向

26、的单位集中力偶解：在自由端附加一逆时针方向的单位集中力偶 结果为正，转角方向与集中力偶结果为正，转角方向与集中力偶的转向相同的转向相同 1 1)( xM l 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 3-4 余能与余能定理余能与余能定理 对于一般的弹性体（比如非对于一般的弹性体（比如非 线性弹性体），应变能在数值上线性弹性体），应变能在数值上 等于外力功，即等于外力功，即V =W ，但必须，但必须 注意注意F- 以及以及s s- 的非线性关系，的非线性关系， 不能再用线弹性体的公式计算外不能再用线弹性体的公式计算外 力功。力功。 1.轴向拉伸（压缩）应变能为轴向拉伸（压缩）应变能为 1 0 d

27、 FWV （F- 曲线和曲线和 轴之间的面积）轴之间的面积） 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 因为因为F- ，为非线性关系，上，为非线性关系，上 式积分后得不到式积分后得不到1/2 的系数，只能根据的系数，只能根据F=f( ) 的函数关系进行积分。的函数关系进行积分。 式中，式中，Me为扭转力偶矩，为扭转力偶矩， 为扭转角。为扭转角。 注意：注意： 2. 扭转扭转 d 1 0 e MWV 应变能应变能 3. 梁梁 d 1 0 e MWV 应变能应变能 式中，式中， Me为外力偶矩，为外力偶矩， 为弯曲转角。为弯曲转角。 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 余能余能 图图 a为非

28、线性体弹性体为非线性体弹性体 的受拉杆，其的受拉杆，其F - 如图如图b所示。所示。 (1) 余功的定义为余功的定义为 FW F d 1 0 c 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 其大小为曲面其大小为曲面OF1a的面积如图的面积如图d所示。所示。Wc 和外力功和外力功 W 具有相同的量纲，且具有相同的量纲，且Wc 为矩形为矩形OF1aD1 的面积与曲的面积与曲 面面OaD1 的面积（的面积（W）之差（图）之差（图d）,故称故称Wc 为余功。为余功。 Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什 么力作的功为么力作的功为Wc 。 F F1 Wc

29、 a W 1 o (d) 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 Vc V F1 F 1 a (e) o (3) 线弹性体线弹性体(图图e) V 和和 Vc 数值相等，但概数值相等，但概 念和计算方法不同，即念和计算方法不同，即 V = f ( )，Vc = f (F )。 仿照仿照V =W，余能为，余能为FWV F d 1 0 cc (2) 余能余能 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 图示为非线性弹性杆，图示为非线性弹性杆， Fi为广义力，为广义力， i为广义位为广义位 移。各力按简单加载方式移。各力按简单加载方式 作用在梁上。设加载过程中各位移和相应力的瞬时作用在梁上。设加载过程

30、中各位移和相应力的瞬时 值分别为值分别为d di、 fi。 梁的余能为梁的余能为 ),( 21cni FFFFfV 表明表明 (4) 余能定理余能定理 i n i F i fWV i d 1 0 cc d d 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 上式称为上式称为余能定理余能定理。可用于求解非线性弹性结构与。可用于求解非线性弹性结构与 Fi相应的位移。相应的位移。 i i F V c 可推导出可推导出 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 卡氏第一定理和余能定理的比较卡氏第一定理和余能定理的比较 余能定理余能定理 卡氏第一定理卡氏第一定理 ii FWdd c i i F F V Vdd

31、 c c ii FWdd i i V Vdd i i V F (平衡方程平衡方程) i i F V c (变形的几何关系变形的几何关系) 适用于非线性和线性弹适用于非线性和线性弹 性体性体 适用于非线性和线性弹适用于非线性和线性弹 性体性体 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 当结构为线弹性体时，由于力当结构为线弹性体时，由于力F和位移和位移D成正比，成正比， Vc在数值上等于应变能在数值上等于应变能V （如图）。（如图）。 余能定理可改写成余能定理可改写成 i i F V 即即卡氏第二定理卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特，它是余能定理在线弹性情况下的特 殊情况。仅适用于线弹

32、性体。殊情况。仅适用于线弹性体。 Vc F1 F 1 a (e) O V 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 3-5 用能量法解超静定系统用能量法解超静定系统 设某一设某一n次超静定结构，去掉次超静定结构，去掉n个多余约束，代之个多余约束，代之 以以n个多余约束反力个多余约束反力X1、X2Xn，得到内力、变形与，得到内力、变形与 原结构相同的静定结构体系。对于该静定体系，可以原结构相同的静定结构体系。对于该静定体系，可以 用荷载及多余约束反力表示其内力，进而求得用荷载用荷载及多余约束反力表示其内力，进而求得用荷载 和多余约束反力表示的应变能。在一般情况下，各多和多余约束反力表示的应变能。

33、在一般情况下，各多 余约束反力处的相应位移等于零，于是有变形协调条余约束反力处的相应位移等于零，于是有变形协调条 件：件： ，从而可解出各未知力。，从而可解出各未知力。 0 i i F V 材料力学材料力学(II)能能 量量 法法 例：一次超静定梁如图所示，梁的弯曲刚度为例：一次超静定梁如图所示，梁的弯曲刚度为EI。 试作其内力图。试作其内力图。 解解:(1)用卡氏第二定理求解。用卡氏第二定理求解。 将将B支座的约束解除，代之以支座的约束解除，代之以 多余未知力多余未知力X1，得到超静定的，得到超静定的 相当系统，如下图。相当系统，如下图。 X1 2 1 2 1 )(qxxXxM x X xM 1 )( B B l l 1 1 M(x)M(x) M(x)M(x)