人教版高中数学选修2-1：3.2.3 直线与平面的夹角课件设计

1、预习导学预习导学3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 高中数学高中数学选修选修2-1人教人教B版版 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 预习导学预习导学3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 学习目标学习目标 1了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成 角的概念角的概念 2了解三个角了解三个角，1，2的意义，会利用公式的意义，会利用公式cos cos 1cos 2求平面的斜线与平面内的直线的夹角求平面的斜线与平面

2、内的直线的夹角 预习导学预习导学3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 知识回顾知识回顾 怎样求两条异面直线所成的角？怎样求两条异面直线所成的角？ 答案答案(1)几何法：即通过平移其中一条几何法：即通过平移其中一条(也可两条同时平也可两条同时平 移移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获 解解 向量法包括了向量法包括了“基向量法基向量法”与与“坐标法坐标法” 预习导学预习导学3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 预习导引预习导

3、引 1线线角、线面角的关系式线线角、线面角的关系式 如图所示，已知如图所示，已知OA是平面是平面的斜线段，的斜线段，O 是斜足，线段是斜足，线段AB垂直于垂直于，B为垂足，则为垂足，则 直线直线OB是斜线是斜线OA在平面在平面内的内的_ _设设OM是是内通过点内通过点O的任一条直的任一条直 线，线，OA与与OB所成的角为所成的角为1，OB与与OM所成的角为所成的角为2，OA 与与OM所成的角为所成的角为，则，则，1，2之间的关系为之间的关系为_ _(*) 在上述公式中，因在上述公式中，因0cos 21，所以，所以cos cos 1. 因为因为1和和都是锐角，所以都是锐角，所以1. 正射正射 影

4、影 cos 1cos 2 cos 预习导学预习导学3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 2最小角定理最小角定理 _和它在平面内的和它在平面内的_所成的角是斜线和这个平面内所成的角是斜线和这个平面内 所有直线所成角中所有直线所成角中_ 3直线与平面的夹角直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角 为为_ (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与 平面的夹角为平面的夹角为_ (3)斜线和它在平面内的斜线

5、和它在平面内的_叫做斜线和平面所叫做斜线和平面所 成的角成的角(或斜线和平面的夹角或斜线和平面的夹角). 斜线斜线射影射影 最小的角最小的角 90 0 射影所成的角射影所成的角 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 知识点一用定义求线面角知识点一用定义求线面角 例例1在正四面体在正四面体ABCD中，中，E为棱为棱AD中点，连中点，连CE，求，求CE和和 平面平面BCD所成角的正弦值所成角的正弦值 解解如图，过如图，过A、E分别作分别作AO平平 面面BCD，EG平面平面BCD，O、G为为 垂足垂足 AO=2GE，AO、G

6、E确定平面确定平面 AOD，连接，连接GC，则，则ECG为为CE和和 平面平面BCD所成的角所成的角 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 ABACAD，OBOCOD. BCD是正三角形，是正三角形， O为为BCD的中心，连接的中心，连接OD并延长交并延长交BC于于F，则，则F为为BC的的 中点中点 令正四面体棱长为令正四面体棱长为1， 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 规律方法规律方法 利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，利用定义

7、法求线面角时，关键是找到斜线的射影， 找射影有以下两种方法：斜线上任一点在平面内的射影必找射影有以下两种方法：斜线上任一点在平面内的射影必 在斜线在平面内的射影上；利用已知垂直关系得出线面垂在斜线在平面内的射影上；利用已知垂直关系得出线面垂 直，确定射影直，确定射影 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 跟踪变式跟踪变式1 如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥PABCD 中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，PD平面平面ABCD. PDDC，E是是PC的中点的中点 求求EB与平面与平面ABCD夹角的余弦值夹角的余

8、弦值 解解取取CD的中点的中点M，则，则EMPD， 又又PD平面平面ABCD，EM平面平面ABCD， BE在平面在平面ABCD上的射影为上的射影为BM， MBE为为BE与平面与平面ABCD的夹角，的夹角， 设设PDDCa， 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 知识点二由公式知识点二由公式cos cos 1cos 2求线面角求线面角 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2

9、.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 规律方法规律方法 公式公式cos cos 1cos 2在解题时经常用到，可用在解题时经常用到，可用 来求线面角来求线面角1，在应用公式时，一定要分清，在应用公式时，一定要分清，1，2，分别，分别 对应图形中的哪个角对应图形中的哪个角 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 跟踪变式跟踪变式2四面体四面体P-ABC，APBBPCCPA 60，则，则PA与平面与平面PBC所成角的余弦值所成角的余弦值() 答案答案D 解析解析如图，设如图，设A在平面在平面BPC内的射影为内的射影为 O，

10、APBAPC. 点点O在在BPC的角平分线上，的角平分线上， OPC30，APO为为PA与平面与平面PBC 所成的角所成的角 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 cosAPBcosAPOcosOPC， 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 知识点三向量法求线面角知识点三向量法求线面角 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂

11、讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 规律方法规律方法 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以 注意计算上不要失误注意计算上不要失误 (2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线 时，可直接确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，时，可直接确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时， 可设出平面法向量的坐标，用解不定方程组的方法来确定法可设出平面法向量的坐标，用解不定方程组的方法来确定法 向量向量 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测

12、当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 跟踪变式跟踪变式3 如图，已知两个正方形如图，已知两个正方形ABCD 和和DCEF不在同一平面内，不在同一平面内，M，N分别为分别为 AB，DF的中点若平面的中点若平面ABCD平面平面 DCEF，求直线，求直线MN与平面与平面DCEF所成角的所成角的 正弦值正弦值 解解 设正方形设正方形ABCD，DCEF的边长为的边长为2，以，以 D为坐标原点，分别以射线为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA 为为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz，如图，如图 则则D(0，0，0)，A(0，0，2)，M(1，0，

13、 2)，N(0，1，0)， 课堂讲义课堂讲义 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 当堂检测当堂检测 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 A30 B60 C120 D150 答案答案A 当堂检测当堂检测 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 2正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，直线中，直线BC1与平面与平面A1BD所成的所成的 角的正弦值为角的正弦值为() 答案答案C 解析解析 建系如图，设正方体的棱长建系如图，设

14、正方体的棱长 为为1，则，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)， B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A(1，0， 0)， 当堂检测当堂检测 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 当堂检测当堂检测 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 A60 B90 C105 D75 答案答案B 当堂检测当堂检测 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 当堂检测当堂检测 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线

15、与平面的夹角直线与平面的夹角 当堂检测当堂检测 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 当堂检测当堂检测 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 1空间向量的具体应用主要体现为两种方法空间向量的具体应用主要体现为两种方法基向量法和基向量法和 坐标法这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图坐标法这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图 形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间 的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果

16、回归的联系，然后进行空间向量的运算，最后把运算结果回归 到几何结论这样就把立体几何问题转化为空间向量来研到几何结论这样就把立体几何问题转化为空间向量来研 究，体现了化归与转化思想究，体现了化归与转化思想 2直线与平面所成角的求法直线与平面所成角的求法 (1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成 角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构 成的直角三角形获解成的直角三角形获解 当堂检测当堂检测 预习导学预习导学课堂讲义课堂讲义当堂检测当堂检测 3.2.3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 3公式公式cos cos 1cos