北京航空航天大学材料力学课件-刘华-7第七章弯曲变形

1、第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page 1 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page 2 目的目的: : 1 1、 解决梁的刚度问题解决梁的刚度问题 2 2、 求解静不定梁求解静不定梁 3 3、 为研究稳定问题打基础为研究稳定问题打基础 拉压杆的变形：伸长或缩短拉压杆的变形：伸长或缩短 (D Dl) ) 圆轴扭转的变形：相对转动圆轴扭转的变形：相对转动 ( (扭转角扭转角j j ) ) 弯曲变形：怎样描述？弯曲变形：怎样描述？ 回顾：回顾： 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page 3 挠曲轴是挠曲轴是一条一条连续、光滑曲线连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对称弯曲

2、时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交 挠曲轴挠曲轴 轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴挠曲轴， 弯曲变形的特点弯曲变形的特点 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page 4 梁变形的表示方法：梁变形的表示方法： 描述梁的位移描述梁的位移: 1、截面形心在垂直于梁轴方向的线位移截面形心在垂直于梁轴方向的线位移 挠度挠度 w 2、横截面的角位移横截面的角位移 转角转角 挠度随坐标变化的方程挠度随坐标变化

3、的方程挠曲轴方程挠曲轴方程 w= w(x) 忽略剪切变形忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小梁的转角一般很小 l x F x w d d tan A B l x )(xw )(x )(x 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page 5 w 挠曲轴的近似微分方程挠曲轴的近似微分方程变形与载荷的关系：变形与载荷的关系： 中性层曲率表示的弯曲变形公式中性层曲率表示的弯曲变形公式 由高等数学知由高等数学知 曲线曲线w w (x)上任意点的曲率上任意点的曲率 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 EI xM x )( )( 1 EI M 1 3/2 2 1 )( 1 w w x EI xM w w)( 1 3/2

4、2 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page 6 方程简化方程简化 EI xM xw xw 23 2 )(1 )( 小变形时小变形时：1 2 w 2 2 d wM(x) = dxEI 正负号确定正负号确定确定坐标系确定坐标系: w向上为正，向上为正， 逆时针为正逆时针为正 EI xM x w)( d d 2 2 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page 7 DCxdx EI xM w C、D为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。 EI xM w Cdx EI xM dx dw 一、梁的挠曲轴方程一、梁的挠曲轴方程 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 P

5、age 8 DCxdx EI xM w 位移边界条件位移边界条件 w = 0w = 0 w = 0 = 0 二、位移边界条件与连续条件二、位移边界条件与连续条件 自由端：无位移边界条件。自由端：无位移边界条件。 位移连续与光滑条件位移连续与光滑条件 A C D M F B $挠曲轴在挠曲轴在B、C 点连续且光滑点连续且光滑 连续：连续：wB左 左= wB右右 光滑：光滑： B B左 左 = B B右右 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page 9 写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件例：例： AB CD F E 0, 0 AA w 可动铰可动铰0 C w

6、 自由端：自由端：无位移边界条件无位移边界条件 固定端固定端 连续条件：连续条件： 边界条件：边界条件： 右右左左右右左左右右左左 EEEEBB wwww 右右左左右右左左 CCCC ww 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page10 已知已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程建立该梁的挠曲轴方程 0 M wx EI A B x 0 M 0 M w xx C EI 2 0 2 M w xxCxD EI 解解: 2、挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程 0 MxM 1、弯矩方程弯矩方程: : 例：例： 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page11 A B x 0 M 3、积分常数的确定积分常数的确定

7、 0 2 0 2 M wxxC EI M w xxCxD EI w(0) = 0D = 0 w(0) = 0C = 0 200 , 2 MM w xxxx EIEI 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page12 0 1 Mx w EI l 已知已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程建立该梁的挠曲轴方程 0 2 1 Mx w EIl 3 0 11 6 Mx wC xD EI l 32 0 22 62 Mxx wC xD EIl 2/ l2/ l 0 M A C lM / 0 lM / 0 解解: 计算约束反力，建立坐标系。计算约束反力，建立坐标系。 AB段段BC段段x l M xM 0 )( 0 0

8、 )(Mx l M xM 例例: x B 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page13 边界和连续条件边界和连续条件: : 12 22 ll ww 12 22 ll ww 22 0 1 4 24 M x wxxl lEI 1 00w 2 0wl 四个方程定四个方程定4 4个常数个常数 2/ l2/ l 0 M A C lM / 0 lM / 0 x B 3 0 11 6 Mx wC xD EI l 32 0 22 62 Mxx wC xD EIl 1 2 232 000 2 11 62248 MM lxM lxx w EIlEIEI 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page14 a 2 qa

9、AD aa q B C 绘制挠曲轴的大致形状：绘制挠曲轴的大致形状： 4 3qa 4 qa 1. 绘制弯矩图。绘制弯矩图。 2. 绘制挠曲轴的大致形状绘制挠曲轴的大致形状 凹凹 凸凸 凹凹 直线直线 挠曲轴大挠曲轴大 致形状致形状 4 3qa + _ 4 qa Fs 4 2 qa + 32 2 qa M EI xM x w 2 2 d d 弯矩图过零点处为挠曲轴拐点，弯矩图过零点处为挠曲轴拐点， 弯矩弯矩M0的梁段，挠曲轴为直线的梁段，挠曲轴为直线 支座性质定该处线和或角位移，支座性质定该处线和或角位移， 在分段处满足位移连续条件在分段处满足位移连续条件 弯矩图符号定挠曲轴凹凸性弯矩图符号定挠

10、曲轴凹凸性 拐点 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page15 叠加法叠加法 逐段分析求和法逐段分析求和法 两种方法比较两种方法比较 例题例题 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page16 一、一、 叠加法叠加法 M(x)为载荷为载荷(F, q, Me)的线性齐次函数的线性齐次函数 2 2、梁的变形很小；梁的变形很小；( (不影响其它载荷的作用效果不影响其它载荷的作用效果) ) 1 1、应力不超过比例极限；应力不超过比例极限；( (线弹性线弹性) ) 梁的变形与载荷成线性关系梁的变形与载荷成线性关系 , M x w EI 积分后，积分后，w和和w仍然是载荷仍然是载荷( (F, q, Me) )

11、 的线性齐次函数的线性齐次函数 2 )( 2 x qFxxM 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page17 例例：EI EI = =常数，常数， 求求 A w ， A 载荷由集中力载荷由集中力F F，均布力，均布力q q和力偶和力偶M M0 0构成，分别查构成，分别查 表表（请熟记（请熟记P377P377附录附录E E中中 1 1，3 3，4 4，6 6，8 8，9 9各梁各梁 的挠度和转角）的挠度和转角），然后将各个载荷在，然后将各个载荷在A A端引起的端引起的 位移叠加。位移叠加。 A l 0 M F q 分析方法：分析方法： 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page18 查表查表, ,p

12、 377377 234 0 ( ) 238 A M lFlql w EIEIEI A l 0 M A l F A l q A l 0 M F q 223 0 26 A M lFlql EIEIEI ( ) A w M l EI 0 M l EI 0 2 2 ql EI 3 6 ql EI 4 8 0 M F q A EI Fl 2 2 EI Fl 3 3 叠加：叠加： 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page19 例：例：载荷集度载荷集度为为 l x qxq 2 cos 0 ，求自由端挠度求自由端挠度 B w d ( )qd x q0 B l F a B al EI Fa w F B 3 6

13、2 分析方法：分析方法： 将任意分布载荷看作无将任意分布载荷看作无 穷微集中力的叠加。穷微集中力的叠加。 注意注意(1)a 取为变量取为变量 22载荷向上为正载荷向上为正 2 20 3 6 cos3 62 B dF dwl EI q ld EIl 查表查表P 377(2): 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page20 例：例：载荷集度载荷集度为为 l x qxq 2 cos 0 ，求自由端挠度求自由端挠度 B w 20 00 43 0 4 cos3 62 224 3 ll BB q wdwld EIl q l EI d dq)( 0 x q0 B l F a B 20 cos3 62 B q

14、 dwld EIl 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page21 4 0 15 2768 ac cc wwq l EI A C B 2 l 2 l q0 (a) + q0 (b) B A C 2 l 2 l q0 (c) 分析：分析： ab cc ww abc ccc www 4 5 384 c c wql EI 故：故： 为什么？为什么？ 例：例：EI=常值，求常值，求 c w 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page22 例：例：矩形截面梁斜弯曲问题矩形截面梁斜弯曲问题计算自由端形心计算自由端形心C的位移。的位移。 cosFFy sinFFz z y y EI lF w 3 3 y z z

15、 EI lF w 3 3 22 3 22 sincos 3 y z z zy I I EI Fl www 方位角方位角 tg I I arctg w w arctg y z y z 一般一般 ，弯曲变形不发生在外力作用面内。弯曲变形不发生在外力作用面内。 y C z l F 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page23 A B x 0 M 挠曲轴大致形状的绘制挠曲轴大致形状的绘制 P A CP aaa （1） （2） 凸 直线 AC 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page24 l A a q B C 例：例：求图示外伸梁求图示外伸梁C点的挠度和转角点的挠度和转角 二、二、逐段分析求和法逐段分

16、析求和法： EI qa EI qa y CC 68 3 1 4 1 EI lqa ay EI lqa BCB 66 3 2 2 l A a q B C 仅考虑仅考虑BCBC段变形：段变形： 仅考虑仅考虑ABAB段变形：段变形： l A a B C qa qa2/2 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page25 例：E常数,12 2II C w ， C ,求 2 I 1 I P A B C 刚化刚化AB段：段： B BC段刚化：段刚化： PaM PF A B C A B C P 仅考虑仅考虑BCBC段变形：段变形： 1 3 1 3EI Pa wC 1 2 1 2EI Pa C 仅考虑仅考虑ABA

17、B段变形：段变形： awww BMBFBC ,2 MBFBBC,2 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page26 例2：EI=常数，GIp=常数，求 A w 。 pp BA GI lPa a GI Pal aw 2 2 jBCBC扭转扭转: : BCBC弯曲弯曲: : EI Pl ww BA 3 3 3 l a A B C P A B C 1A w BC刚化刚化: P B C A B j P Pa AB刚化刚化: w3 )( 3 3 1 EI Pa w A ABAB弯曲：弯曲： EI Pa EI Pl GI lPa wwww p AAAA 33 332 321 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形

18、Page27 例：例：E常数,12 2II C w ， B ,求 2 I 1 I F AB C 1 I EF AB C C w F/2 2 I1 IC F B 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page28 A a C B a q B A a C a q/2 A a C a q/2 反对称：反对称：中点挠度为中点挠度为0 0，弯矩，弯矩0 0铰支铰支 对称：对称： 4 11 5 (2 ) 0, 768 CC qa w EI 思路：思路：载荷分解载荷分解 a C q/2 例：例：利用对称性求利用对称性求 , CC w 2 3 2 0 224 C C w qa EI 3 12 48 CCC qa E

19、I ( ) 4 12 5 48 CCC ql www EI () 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page29 C 左左/ /右右 A q l CB l 3 1 6 q l E I A B 1 2 C 2 C w l 梁挠曲轴如图梁挠曲轴如图 CBCB保持直线保持直线 4 8 C ql w EI 3 12 7 24 C ql E I 左左 / / 右右 ACAC悬臂梁悬臂梁 q A CB R=0 RR 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page30 2 1 2 CB ww 问题分析：采用逐段分析求和法问题分析：采用逐段分析求和法 例：例：组合梁组合梁/刚架各处刚架各处EI, EA, B处梁间活动

20、铰，求处梁间活动铰，求 C w AB C F 1C w 刚化刚架刚化刚架BDH, AB为简支梁，为简支梁， 刚化梁刚化梁AB， 12CCC www 3 1 48 C Fa w EI 2C w B w 2aa a A B H D 2a C F B H D F/2 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page31 解：解： 1. 1. 求求 B w a a B H D F/2 2 w 1 w 3 w （1 1）刚化）刚化DH，BD相当于悬臂梁相当于悬臂梁 （2 2）刚化）刚化BD 33 1 236 B FaFa w EIEI 23 2 22 BD FaFa waa EIEI DH弯曲 3 2 BDH

21、Fa wl EI D D DH压缩 A 3 123 2 32 BBBB FaFa wwww EIEI A ( (如果题意没有要求如果题意没有要求) )， 拉压与弯曲共同作用拉压与弯曲共同作用 时，拉压引起的位移时，拉压引起的位移 可以忽略。可以忽略。 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page32 静不定度与静不定度与多余约束多余约束 多于维持平衡所必须的约束多于维持平衡所必须的约束 与多余约束相应的支反力或支力偶矩与多余约束相应的支反力或支力偶矩 支反力（力偶）数有效平衡方程数支反力（力偶）数有效平衡方程数 静不定度多余约束数静不定度多余约束数 5-3=2 5-3=2 度静不定度静不定 6-3

22、6-3 = = 3 3 度静不定度静不定 ( )q x M ( )q x F 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page33 相当系统：受力与原静不相当系统：受力与原静不 定梁相同的静定梁定梁相同的静定梁 相当系统的选择不是唯一相当系统的选择不是唯一 的的 相当系统相当系统1 1 相当系统相当系统2 2 相当系统相当系统 q AB AB RB q A B q 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page34 AB 静定基静定基:一个静不定系统解除多余一个静不定系统解除多余 约束后所得的静定系统约束后所得的静定系统(左下左下) 相当系统：相当系统：作用有原静不定梁载荷作用有原静不定梁载荷 与多余约束反

23、力的基本系统与多余约束反力的基本系统(右下右下) A B 静定基与相当系统静定基与相当系统 q AB AB RB q A B q 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page35 静不定问题分析例：静不定问题分析例： A B C F q FA FBFC 平面问题有三个平衡方程；平面问题有三个平衡方程； 水平方向不受力，两个水平方向不受力，两个 有效平衡方程；有效平衡方程； 有三个未知力，一度静不定。有三个未知力，一度静不定。 A B C F q FB wB = 0 问题问题 分析：分析： 可以以支座可以以支座A A、B B、C C任意一个任意一个 的铅垂约束作为多余约束。的铅垂约束作为多余约束。

24、求解：求解： 解除多余约束，代以约束反力，利用相应变形协解除多余约束，代以约束反力，利用相应变形协 调条件求解。例如解除约束调条件求解。例如解除约束B B，变形协调条件为，变形协调条件为 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page36 例：例：求支反力求支反力 1.1. 静不定度：静不定度：6-3=3 2. 2. 选取相当系统：右中、选取相当系统：右中、 下图都合适。选右中图。下图都合适。选右中图。 小变形，轴向变形可忽略小变形，轴向变形可忽略 HA= HB=0。两多余未知力两多余未知力 q A B HA HB RB RA MB MA AB MA MB q A B RB MB 3. 3. 建立变

25、形协调条件建立变形协调条件 0 0 B B w 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page37 4. 4. 联立求解联立求解 0,0 BB w 324 0(1) 328 RMqBB BBBB R lM lql wwww EIEIEI 23 0(2) 26 RMqBB BBBB R lM lql EIEIEI q A B RB MB 2 2 24 B B ql R ql M 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page38 3. 建立变形协调条件建立变形协调条件 4. 联立求解联立求解 0 0 B A )2(0 2436 3 EI ql EI lM EI lM BAq B M B M BB BA )1

26、(0 2463 3 EI ql EI lM EI lM BAq A M A M AA BA 第二种相当系统：第二种相当系统： AB MA MB q 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page39 例：例：求求A A点的垂直方向的位移，点的垂直方向的位移，A处梁间活动铰。处梁间活动铰。 a A D RA A w AA w w 33 0 33 A AA MR a aR aR a a EIEIEI 组合梁组合梁/刚架静不定问题的分析刚架静不定问题的分析 a a a A B C D M0 方法：将铰链拆开，建立铰方法：将铰链拆开，建立铰 链处的变形协调条件链处的变形协调条件 a B C A w M0 a

27、 RA 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page40 一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 max max w 许用挠度，许用挠度， 许用转角许用转角 一般用途轴：一般用途轴： = (5/100003/10000)l 重要轴：重要轴： = (2/100001/10000)l 起重机大梁：起重机大梁： = (1/7001/1000)l 土建工程中的梁：土建工程中的梁： = (2/100001/10000)l 安装齿轮或滑动轴承处：安装齿轮或滑动轴承处： =0.001rad 第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 Page41 二、梁的合理刚度设计二、梁的合理刚度设计 1. 1. 与梁的合理强度设计相似点与梁的合理强度设计相似点 让材料远离截面中性轴，例如工字形与盒形薄壁截面让材料远离截面中性轴，例如工字形与盒形薄壁截面 合理安排约束与加载方式（分