第8章 广义单自由度体系-23

1、高等结构动力学 第八章第八章 高等结构动力学 广义单自由度体系 高等结构动力学 高等结构动力学 高等结构动力学 高等结构动力学 高等结构动力学 高等结构动力学 高等结构动力学 高等结构动力学 D D fD1 fi1 fs1 fD2 fi2 fs2 E B F G DEBFG P1 高等结构动力学 111 222 . 111 . 22 . 11 2 . 2 10 . 22 1 3 ()( ) 4 1 ()( ) 3 1 ()( ) 4 ( ) 11 ( )( )2( ) 22 14 ( )( )( ) 44123 2 ( ) 3 8( ) s s D D I fkE Ek Zt fkG Gk Z

2、t dD D fcc Zt dt fcZt fmZtm LZta m Zt m L L IZtZtam Zt aa fmZt pp aft 外 荷 载 力 为 M 高等结构动力学 D D fD1 fi1 fs1 fD2 fi2 fs2 E B F G DEBFG P1 ()f tm 高等结构动力学 Z . 121 . 2 2 . 2 331( ) ( )*( )* 443344 4 ( )2( )( ) 234 2( ) 22 8( )( ) 333 ZZ tZ Wk Z tZk Z tc ZZ c Z tZamZ ta mZ t a Z tZ mpaf tZa 高等结构动力学 . 12 22

3、1 449 () ( ) () ( ) () ( ) 3916169 16 ( )( ) 3 ck mam Z tc Z tkZ t pa f tc . 1 22 2 1 4 () ( ) () ( ) 3916 916 () ( )( )0( ) 1693 cam amm Z tc Z t kpa kZ tf tZb Z 高等结构动力学 . * ()()()()mZt c ZtkZtp t * 1 22 * 2 1 44 391 6 91 6 ( ) 1 693 c mm amcc kp a kkpft 高等结构动力学 ( )Z t ( )Z t 高等结构动力学 e 1 e2 e 1 ()

4、4 Z eZ a 2 () 3 Z eZ a ( ) 12 7 12 t Z eeZ a 7 () 12 N NZ WZd a e 高等结构动力学 * k * 12 7917 ( ) 1216912 NN kkkke aa 高等结构动力学 12 917 0 16912 cr N kk a 12 274 ()( ) 2821 cr Nkk af * k 高等结构动力学 高等结构动力学 fI1 fI2 fs p(t) r=质 量 /面 积 高等结构动力学 . 1 22 . 2 1 ( )( ) 2 1 ( )( ) 212 s b fkZ tfrab Z t a bab frabZ trabZ t

5、 aa M 12 ( ) 22 s aa f bffp t a M 222 . 222 11 (1) ( )( )( ) 1244 bbb rabZ tkZ tp t aaa 高等结构动力学 . * ( )( )( )m Z tk Z tpt 2 * 2 2 * 2 (1) 3 ( )( ) rabb m a b kkp tp t a 高等结构动力学 高等结构动力学 ( , )v x tx Z t ( , )v x t x Z t 2 0 1 ( , ) 2 L Tm xv x tdx 高等结构动力学 2 0 1 ( , ) 2 L t VEI x vx tdx 2 0 1 ( , ) 2 L

6、 e tv x tdx 2 0 ( , ) 2 L N N Vv x tdx 22 11 0 tt nc tt TV dtW dt 2 1 00 0 , ( , )( )0 tLL tt t L eff m x vx tv dxEI x vx tvx dx Nv x tvdxptv dt 高等结构动力学 t g vvv vZ vZ vZ t vv vZ vZ vZ 2 1 2 00 2 2 000 ( )( ) ()( )0 tLL g t LLL g Z Zm xdxZv tm xdx Z ZEI xdxNZ Zdxvm xZdx dt vZ 高等结构动力学 2 1 * ( )0 t gef

7、f t m Zk Zk ZptZdt *2 0 L mm xdx 广义质量 * 2 0 () L kEI xdx 广义刚度 2 * 0 L g kNdx 广义几何刚度 * 0 ( )( ) L effg ptvm xdx 广义等效荷载 * ( )( )( )( ) eff m Z tc Z tk Z tpt * g kkk 高等结构动力学 2 * 2 00 ()0 LL gcr kkkEI xdxNdx 2 0 2 0 () L cr L EI xdx N dx 高等结构动力学 1 cos 2 x x l 2 2 x x l 2 2 4 c r E I N L 2 3 c r E I N L

8、高等结构动力学 * ( )( )( )( )m Z tc Z tk Z tp t ,( )v x tx Z t 2 *22 0 0 L iiii mm xxdxmI 2 *2 0 L ii cc xxdxc 22 * 00 LL kk xxdxEI xxdx 高等结构动力学 * 0 ( )( , ) L ii p tp x tx dxp * k * G k*-k 2 * 0 L G kNxdx 2 * 0 L G kN xxdx 22 0 ( )( ) L ii kN xxdx 高等结构动力学 高等结构动力学 高等结构动力学 , ,w x y tx y Z t ,sinsin xy x y a

9、b 高等结构动力学 2 *2 , Aii mm x yx ydAm 2 22222 * 2222 2 1 A kDdA xyxyx y 2 * , Aii pm x yx ydAp 32 /12 1DEh 板的弯曲刚度 高等结构动力学 需要推导一个简单的方法，以计算单自由度体系的需要推导一个简单的方法，以计算单自由度体系的 振动频率，最有用的振动频率，最有用的Rayleigh法。法。 m k 这个表达式可直接用于具有弹簧刚度这个表达式可直接用于具有弹簧刚度k和质量和质量m的简单弹簧的简单弹簧-质量体系，质量体系， 也可以用于因假定位移形状也可以用于因假定位移形状而变为单自由度体系的任意结构。在

10、后一情况而变为单自由度体系的任意结构。在后一情况 中，方程（中，方程（8-21）中的量代表方程（）中的量代表方程（2-37*）和）和(（2-39*）所定义的广义刚度）所定义的广义刚度 k*和广义质量和广义质量m*。 高等结构动力学 图图 8-5 无阻尼单自由度结构的自由振动：无阻尼单自由度结构的自由振动： (a)单自由度结构；单自由度结构；(b)位移；位移；(c)速度速度 高等结构动力学 这个体系的位能完全由弹簧的应变能表达这个体系的位能完全由弹簧的应变能表达 可以利用广义坐标的概念近似地确定任意结构振动频率，但也需要用可以利用广义坐标的概念近似地确定任意结构振动频率，但也需要用 Raylei

11、gh创设的另一个观点来进行频率分析。创设的另一个观点来进行频率分析。Rayleigh法的基本概念为法的基本概念为能能 量守恒定律。量守恒定律。如果没有阻尼力消耗能量的话，在自由振动的体系中，如果没有阻尼力消耗能量的话，在自由振动的体系中， 能量应保持常量。考察如图能量应保持常量。考察如图8-5(a)所示的无阻尼弹簧所示的无阻尼弹簧-质量体系的自由振动运质量体系的自由振动运 动。如适当选取时间坐标原点，位移可表示为动。如适当选取时间坐标原点，位移可表示为(图图8-5b) tvvsin 0 而速度而速度图图8-5(c)为为 tvvcos 0 tkvkvV 2 2 0 2 sin 2 1 2 1 此

12、时质量的动能为此时质量的动能为 tmvvmT 22 2 0 2 cos 2 1 2 1 高等结构动力学 因此，如果振动体系中全部能量保持常数（在无阻尼自由振动中必须如此），因此，如果振动体系中全部能量保持常数（在无阻尼自由振动中必须如此）， 则最大动能必须等于最大位能，则最大动能必须等于最大位能，Vmax=Tmax；亦即；亦即 现讨论现讨论t=T/4=/2时的情况：图时的情况：图8-5或由方程或由方程(8-23)表明，此时动能为零，表明，此时动能为零， 而位能达到它的最大值：而位能达到它的最大值： 同样，当时间同样，当时间 t=T/2=/时，位能消失而动能为最大时，位能消失而动能为最大 由此可

13、得由此可得 2 0max 2 1 kvV 2 2 0max 2 1 mvT 2 2 0 2 0 2 1 2 1 mvkv m k 2 显然，所得的这个表达式和以前所述的一样，但现在它却是从最大应变能应显然，所得的这个表达式和以前所述的一样，但现在它却是从最大应变能应 等于最大动能的等于最大动能的Rayleigh概念而导得。概念而导得。 高等结构动力学 如上所述，对于弹簧如上所述，对于弹簧-质量体系的振动分析质量体系的振动分析 来说，应用来说，应用Rayleigh法看不出有什么好处，它的法看不出有什么好处，它的 主要用处是对多自由度体系进行近似的频率分主要用处是对多自由度体系进行近似的频率分 析

14、。作为例子，考察如图析。作为例子，考察如图8-6所示的非均匀简支所示的非均匀简支 梁。这根梁实际上应视为具有无限自由度的体梁。这根梁实际上应视为具有无限自由度的体 系，这就是说，它可以有无限种位移曲线形式。系，这就是说，它可以有无限种位移曲线形式。 为了应用为了应用Rayleigh方法，必须假定出梁在其方法，必须假定出梁在其 基本振型中的变形形状。如在第二章对所假定的形状函数讨论中所说明的那基本振型中的变形形状。如在第二章对所假定的形状函数讨论中所说明的那 样，这个假定可以用方程（样，这个假定可以用方程（2-23*）来表达，或者注意到在自由振动时广义坐）来表达，或者注意到在自由振动时广义坐 标

15、为谐振变化，即，标为谐振变化，即， 图图 8-6 非均匀梁的振动非均匀梁的振动 tZxtxvsin)(),( 0 其中其中(x)为形状函数，它表示任意一点为形状函数，它表示任意一点x的位移与广义坐标的位移与广义坐标Z(t)的比值。方程的比值。方程 （8-25）等于假定梁在振动过程中其形状不随时间而改变，仅仅是运动的幅）等于假定梁在振动过程中其形状不随时间而改变，仅仅是运动的幅 值在变化，而且在自由振动条件下呈简谐变化。值在变化，而且在自由振动条件下呈简谐变化。 高等结构动力学 形状函救的假定使梁有效地简化为一单自由度体系。因此，振动频率可形状函救的假定使梁有效地简化为一单自由度体系。因此，振动

16、频率可 由运动方程中最大应变能与最大动能相等而求得。在这个弯曲体系中其应变由运动方程中最大应变能与最大动能相等而求得。在这个弯曲体系中其应变 能由下式给出：能由下式给出： L dxxvxEIV 0 222 )( 2 1 因此，把方程（因此，把方程（8-25）所假定的形状函数代入上式并取位移振幅的最大值，）所假定的形状函数代入上式并取位移振幅的最大值， 则可得则可得 dxxxEIZV L 0 22 0max )()( 2 1 而非均匀分布质量的动能为而非均匀分布质量的动能为 L dxvxmT 0 2 )( 2 1 因此，方程（因此，方程（8-25）对时间求导而获得速度，且使其幅值达到它的最大值时

17、，）对时间求导而获得速度，且使其幅值达到它的最大值时， 则则 dxxxmZT L 0 2 2 2 0max )()( 2 1 高等结构动力学 最后，使最大位能等于最大动能，则求得的频率为最后，使最大位能等于最大动能，则求得的频率为 在这一点上可以看出，方程（在这一点上可以看出，方程（8-30）的分子不过是这样假定位移形状时）的分子不过是这样假定位移形状时梁梁 的广义刚度的广义刚度k*参看方程参看方程(2-39)，而分母为，而分母为广义质量广义质量m*参看方程参看方程 (2-37*)。因此，。因此，Rayleigh法直接导法直接导)致方程（致方程（8-21）的广义形式这是意料中的，）的广义形式这

18、是意料中的， 因为这个方法利用了广义坐标概念，把实际体系简化为单自由度体系。因为这个方法利用了广义坐标概念，把实际体系简化为单自由度体系。 dxxxm dxxxEI L L 0 2 0 2 2 )()( )()( 高等结构动力学 由由Rayleigh法所获得的振动频率的精度，完全依赖于所假设法所获得的振动频率的精度，完全依赖于所假设 的表示振型的形状函数的表示振型的形状函数(x)。原则上，只要满足梁的几何边界条件，原则上，只要满足梁的几何边界条件， 形状函数可以任意选取，亦即形状函数仅需和具体的支承条件一致。但是，形状函数可以任意选取，亦即形状函数仅需和具体的支承条件一致。但是， 对不是真实振

19、型的任意形状函数，为了保持平衡就必须有附加的外部约束作对不是真实振型的任意形状函数，为了保持平衡就必须有附加的外部约束作 用，这些附加约束将使体系变得刚硬，使它的应变能增加，从而使计算频率用，这些附加约束将使体系变得刚硬，使它的应变能增加，从而使计算频率 增大。由此可见，用真实振型所得的频率是用增大。由此可见，用真实振型所得的频率是用Rayleigh法所求得的频率中最法所求得的频率中最 低的一个。因此，对用这个方法所求得的近似结果加以选择时，其中频率最低的一个。因此，对用这个方法所求得的近似结果加以选择时，其中频率最 低的一个总是最好的近似值。低的一个总是最好的近似值。 例题例题E8-4 为了

20、说明这一点，假定图为了说明这一点，假定图8-6所示的梁具有均匀的质量和刚度。所示的梁具有均匀的质量和刚度。 作为频率分析的第一次近似，假定振型为抛物线：作为频率分析的第一次近似，假定振型为抛物线：(x)=(x/L)(x/L-1)，因，因 此此 ，而，而 2 2)(Lx 3 2 0 0 2 2 2 0max 4 2 12 2 1 L EI Zdx L EIZV L 高等结构动力学 此时此时 302 1 1 2 1 2 2 0 0 2 2 2 0max Lm Zdx L x L x mZT L 由此可得由此可得 4 max 2 max 2 120 1 Lm EI T V 如果形状函数假定为正弦曲线

21、如果形状函数假定为正弦曲线 ，用同样的方法分析，最，用同样的方法分析，最 后可得后可得 L x x sin)( 43 24 44 2 97.41 2 EILEIEI mLmLmL 显然，第二个频率比第一个小很多（大约小显然，第二个频率比第一个小很多（大约小20%左右），是较好的近似左右），是较好的近似 值。事实上，因为假设的正弦曲线的形状函数为匀质等截面简支梁的真实振值。事实上，因为假设的正弦曲线的形状函数为匀质等截面简支梁的真实振 型，所以它可以说是精确的答案。对第一个假定，不可能期望得到非常正确型，所以它可以说是精确的答案。对第一个假定，不可能期望得到非常正确 的结果。因为所假设的抛物线形

22、状意味着在整个梁的跨度内弯矩是不变的，的结果。因为所假设的抛物线形状意味着在整个梁的跨度内弯矩是不变的， 这显然不符合梁端的简支条件。所以虽然它是一个有根据的形状这显然不符合梁端的简支条件。所以虽然它是一个有根据的形状因为它因为它 满足端点位移为零的几何条件，但却不是一个符合实际的假定。满足端点位移为零的几何条件，但却不是一个符合实际的假定。 高等结构动力学 现在出现了这样一个问题，为了保证在使用现在出现了这样一个问题，为了保证在使用Rayleigh法时法时(或较早所述的或较早所述的 等效广义坐标近似法等效广义坐标近似法)能获得较正确的结果，应该怎样选取合理的挠曲形状能获得较正确的结果，应该怎

23、样选取合理的挠曲形状? 选择振动形状时可应用如下概念：自由振动中的位移是由惯性力作用引起，选择振动形状时可应用如下概念：自由振动中的位移是由惯性力作用引起， 而惯性力（它为质量和加速度的乘积）又是和质量分布及位移幅值成正比的。而惯性力（它为质量和加速度的乘积）又是和质量分布及位移幅值成正比的。 因此，正确的振动形式因此，正确的振动形式 为正比于为正比于 的的荷荷载载 所引起的挠曲线。所引起的挠曲线。 当然，要推测精确的当然，要推测精确的 的形式是不可能的，但是实践证明，根据荷载的形式是不可能的，但是实践证明，根据荷载 如图如图8-7所示，其中所示，其中 为真实形状任何合理的近似为真实形状任何合

24、理的近似所算得的所算得的 挠曲线形状将使解答具有极高的精度。挠曲线形状将使解答具有极高的精度。 )(x c )()(xxm c )(tP c )()()(xxmtp)(x )(x c 高等结构动力学 图图 8-7 由假设形状惯性荷载所引起的挠曲线形状由假设形状惯性荷载所引起的挠曲线形状 高等结构动力学 一般来说，上述方法的计算工作量多于一次近似分析所需的工作量。为一般来说，上述方法的计算工作量多于一次近似分析所需的工作量。为 此，稍降低些要求，一般仅假定惯性荷载此，稍降低些要求，一般仅假定惯性荷载 (参看图参看图8-7)为梁的重量，亦为梁的重量，亦 即即 ，其中，其中m(x)为质量分布，而为质

25、量分布，而g为重力加速度。实践证明，这样为重力加速度。实践证明，这样 做后做后Rayleigh法仍能给出很好的精度，此时频率的计算将根据静止的重量荷法仍能给出很好的精度，此时频率的计算将根据静止的重量荷 载所引起的挠曲线形状载所引起的挠曲线形状vd(x)进行。在这种情况下，由于所贮存的能量必须等进行。在这种情况下，由于所贮存的能量必须等 于体系上所作用荷载做的功，因此，最大应变能可以很简单地求得：于体系上所作用荷载做的功，因此，最大应变能可以很简单地求得： )(xp gxmxp)()( max0 00 1 ( )( )( ) ( ) 22 LL d g Vp x vx dxZm xx dx 动

26、能仍由方程动能仍由方程(8-29)给出，其中给出，其中 为根据静荷载算出的形状函数。为根据静荷载算出的形状函数。 因此，使应变能和动能的表达式相等，则求得的频率为因此，使应变能和动能的表达式相等，则求得的频率为 0 )()(Zxvx d dxxvxm dxxvxm g dxxxm dxxxm Z g L d L d L L 0 2 0 0 2 0 0 2 )()( )()( )()( )()( 方程方程(8-32)常用于任何形式体系频率的近似分析。由这个方程可看出，如果振常用于任何形式体系频率的近似分析。由这个方程可看出，如果振 型由无量纲的形状函数型由无量纲的形状函数(x)给出，则在表达式中

27、必须包含参考振幅给出，则在表达式中必须包含参考振幅Z0；如果；如果 用静荷载下的挠曲线，则表达式中将不包含用静荷载下的挠曲线，则表达式中将不包含Z0 。 高等结构动力学 计算方程计算方程(8-32)中静止重量挠度中静止重量挠度vd(x)时，所用的荷载时，所用的荷载 实际上是重力荷实际上是重力荷 载，故它仅适用于主要振动沿竖直方向运动的情况。对于如图载，故它仅适用于主要振动沿竖直方向运动的情况。对于如图8-8(a)所示那样所示那样 的竖向悬臂结构，其主要的运动是水平的，荷载必须如图所示，在横向施加。的竖向悬臂结构，其主要的运动是水平的，荷载必须如图所示，在横向施加。 为此，必须假定重力水平地为此

28、，必须假定重力水平地作用在结构上。为了近似表示图作用在结构上。为了近似表示图8-8(b)刚架刚架 )(xp 图图 8-8 由静荷载引起的假设形状由静荷载引起的假设形状 高等结构动力学 的对称振动频率，可施加如图所示的竖直重力荷载的对称振动频率，可施加如图所示的竖直重力荷载作用而获得合理的挠曲线。作用而获得合理的挠曲线。 但是这类结构的基本振型仍然是水平方向的。为了获得求横向振动频率的近但是这类结构的基本振型仍然是水平方向的。为了获得求横向振动频率的近 似形状似形状(x)，应使重力横向作用于刚架。此外，在图，应使重力横向作用于刚架。此外，在图8-8(c)所示的两跨梁的基所示的两跨梁的基 本振型中

29、，两跨的挠度方向相反。因此，为了获得这种情况的挠曲线形状，本振型中，两跨的挠度方向相反。因此，为了获得这种情况的挠曲线形状， 重力应在相反方向施加。如两跨荷载的方向均同时向下，则所引起的挠曲线重力应在相反方向施加。如两跨荷载的方向均同时向下，则所引起的挠曲线 形状将产生较高的振动频率。形状将产生较高的振动频率。 必须注意，为了计算非常精确的挠曲线形状，将消耗太多的时间。必须注意，为了计算非常精确的挠曲线形状，将消耗太多的时间。 Rayleigh法的优点，是提供既简单又可靠的近似固有频率。使用任何假设的法的优点，是提供既简单又可靠的近似固有频率。使用任何假设的 合理形状，差不多都能得出有用的结果

30、。合理形状，差不多都能得出有用的结果。 高等结构动力学 如前所述，在如前所述，在Rayleigh法分析中，应用了由惯性荷载引起的挠曲线形状，法分析中，应用了由惯性荷载引起的挠曲线形状， 这一观点也可应用来系统地对方法本身进行改进。标淮的分析方法包括任意这一观点也可应用来系统地对方法本身进行改进。标淮的分析方法包括任意 选取选取个满足结构几何边界条件的形状函数，为讨论方便起见，这个最初选个满足结构几何边界条件的形状函数，为讨论方便起见，这个最初选 取的形状用上角标取的形状用上角标(0)来表示：来表示： 根据此形状求得的最大位能和动能由下式给出：根据此形状求得的最大位能和动能由下式给出： tZxt

31、xvsin)(),( )0( 0 )0()0( dxxEI Z dx x v xEIV LL 2 0 )0( 2 )0( 0 2 0 2 )0(2 max )( 2 )( 2 1 dxxm Z dxvxmT LL 2 0 )0(2 2 )0( 0 0 2)0( max )( 2 )( 2 1 高等结构动力学 称为称为R00法的标准法的标准 Rayleigh 频率表达式为：频率表达式为： R00法法 dxxm dxxEI L L 0 2 )0( 0 2 )0( 2 )( )( 但是，当结构发生挠曲时，若使用与假定挠曲线有关的惯性力所作的功但是，当结构发生挠曲时，若使用与假定挠曲线有关的惯性力所作

32、的功 来计算位能，则可以获得更好的频率近似值。分布惯性力来计算位能，则可以获得更好的频率近似值。分布惯性力(在发生最大位移在发生最大位移 时时)为为 )0(2 )0( 0 )0(2)0( )()()(xmZvxmxp 而这个荷载作用下所产生的挠度可写作而这个荷载作用下所产生的挠度可写作 )1( 0 )1(2 2 )1( 0 )1( 2 2 )1( 2)1( Z Zv v 其中其中 为未知频率。在方程为未知频率。在方程(8-37)和和(8-38)中，它均可被视作比例系数，因中，它均可被视作比例系数，因 为它的值是未知的，故没有包括在表达式内。这个荷载所产生的应变能由下为它的值是未知的，故没有包括

33、在表达式内。这个荷载所产生的应变能由下 式给出：式给出： 2 (0)(1) (0)(1)4(0)(1) 00 max 00 1 ( ) 22 LL ZZ Vpv dxm xdx 高等结构动力学 使这个位能表达式和根据原来假定形状得出的动能表达式使这个位能表达式和根据原来假定形状得出的动能表达式式式(8-35)相等相等, 就可得到改进的就可得到改进的Rayleigh 频率表达式频率表达式,它被命名为为它被命名为为R01法：法： R01法法 这个式子较这个式子较(8-36)式好，因此，常常被推荐使用，因为它逐免了标准公式所式好，因此，常常被推荐使用，因为它逐免了标准公式所 需的微分运算。一般来说，

34、对应于假设挠曲线形状的曲率需的微分运算。一般来说，对应于假设挠曲线形状的曲率 ，不如使用，不如使用 形状函数形状函数 计算精度高，因此，不包含导数项的方程计算精度高，因此，不包含导数项的方程(8-39)，其精度得到，其精度得到 改善。改善。 但是，如用计算所得的形状但是，如用计算所得的形状 计算动能，而不是用初始的形状计算动能，而不是用初始的形状 计算，计算， 则虽然增加很少的计算工作量，但却能获得一个更好的近似值。在此情况下则虽然增加很少的计算工作量，但却能获得一个更好的近似值。在此情况下 动能为动能为 2 (0) (0) 2 00 (1) (0)(1) 0 0 ( ) ( ) L L m xdx Z Z m xdx )(x )(x ) 1 ( v )0( v dxxmZdxvxmT LL 2 0 )1( 2 )1( 0 6 0 2)1( max )( 2 1 )( 2 1 高等结构动