北京航空航天大学材料力学课件-刘华-6第六章弯曲应力

1、Page1 Page2 F F Page3 F F B B C C A A 伽利略：伽利略：关于力学和局部运关于力学和局部运 动的两门新科学的对话和数动的两门新科学的对话和数 学证明，学证明，1638.1638. 历史回顾历史回顾 Page4 Fs M 弯曲正弯曲正 应力应力 弯曲切弯曲切 应力应力 dA dA FS M 弯曲时横截面上的应力弯曲时横截面上的应力 Page5 对称弯曲对称弯曲纯弯曲纯弯曲 外力作用在纵外力作用在纵 向对称面上向对称面上 横截面上横截面上 只有弯矩只有弯矩 纵向对称面纵向对称面 M MM 对称弯曲与纯弯曲对称弯曲与纯弯曲 Page6 横截面上的内力与应力的关系：横

2、截面上的内力与应力的关系： A MydA 弯曲应力问题是一个弯曲应力问题是一个静不定问题静不定问题 研究思路研究思路 静不定问题的分析方法静不定问题的分析方法 几何、物理、静力学几何、物理、静力学三方面分析三方面分析 l几何方面几何方面 观察观察外部外部变形变形方法：方法： 假设假设内部内部变形变形 建立几何方程建立几何方程 Page7 实验观测与假设实验观测与假设（动画）（动画） 横线：横线： 仍为直线仍为直线 仍与纵线正交仍与纵线正交 两横线相对转动两横线相对转动 纵线：纵线： 变为曲线变为曲线 上缩短，下伸长上缩短，下伸长 横截面：横截面：上宽度变宽，上宽度变宽， 下宽度变窄。下宽度变窄

3、。 1、平面假设：、平面假设： 变形后，横截面仍为平面，变形后，横截面仍为平面， 且仍与纵线正交且仍与纵线正交 2、单向受力假设：、单向受力假设： 梁内各纵向纤维仅受轴向应力梁内各纵向纤维仅受轴向应力内部变形内部变形 Page8 推论推论： MM 一侧伸长，一侧缩短一侧伸长，一侧缩短 存在既不伸长，也不缩短的面存在既不伸长，也不缩短的面 中性层中性层 中性层中性层 中性轴中性轴 中性层中性层 中性轴：中性层与横截面的交线中性轴：中性层与横截面的交线 Page9 建立几何方程建立几何方程： 考察线段考察线段ab的变形：的变形： abdxd 变形前：变形前： 变形后：变形后：()a by d a

4、babyd ydy dxd zx ab y o1o2 ab y dx 中性层中性层 o2o1 x d a b o1o2 dxy Page10 2、物理方面、物理方面： 由胡克定律和单向受力假设：由胡克定律和单向受力假设： y EE y y 偏离中性轴的坐标值偏离中性轴的坐标值 中性层的曲率半径中性层的曲率半径 中性轴位置中性轴位置？ 的大小的大小? y E Page11 3、静力学方面、静力学方面： 0 A dA A ydAM 0 A ydA 确定中性确定中性 轴位置轴位置 确定中性层确定中性层 的曲率半径的曲率半径 2 A E y dAM 2 z A Iy dA 1 z M EI 定义定义

5、y y E Iz: 截面对截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩 EIz: 梁截面的弯曲刚度梁截面的弯曲刚度 A ydA y A C M dA z y z M y I Page12 z M y I max max max / zz MyM IIy z z I W y 定义定义 max z M W （抗弯截面系数）（抗弯截面系数） 正应力沿截面如何分布？正应力沿截面如何分布？ Page13 3 4 1 32 D 4 64 D 4 4 1 64 D 3 32 D 3 1 12 bh 2 1 6 bh 截面截面 z I z W Dz y o D z y o d h z y o b ()d D 典型截面的惯性矩

6、与抗弯截面系数典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 Page14 截面的几何性质：与截面形状和几何尺寸有关的量。截面的几何性质：与截面形状和几何尺寸有关的量。 拉压拉压：, FFl l AEA 扭转：扭转： m ax , PPP TTTl IWGI 弯曲：弯曲：max , zz MyM IW A, IP, WP, Iz, Wz表征截面几何性质的量表征截面几何性质的量 我们已经学习了哪些截面的几何性质？我们已经学习了哪些截面的几何性质？ Page15 一、一、 静矩静矩 z A y A SydA SzdA z y o y z dA 积分积分 分别称为对坐标轴分别称为对坐标轴z和和y的静矩的静矩 或一次

7、矩。或一次矩。 静矩的量纲：静矩的量纲： 3 L Page16 二二. . 形心形心 z y o y z dA C zc yc , zy AA SydASzdA 静矩静矩： 回顾形心的计算公式：回顾形心的计算公式： zcyc SyASzA A S A ydA y zA c 若坐标轴通过形心时，截面若坐标轴通过形心时，截面 对该轴的静矩为零，反之，对该轴的静矩为零，反之， 若截面对某轴的静矩为零，若截面对某轴的静矩为零， 该轴必通过截面形心。该轴必通过截面形心。 Page17 三、三、 组合截面的静矩与形心组合截面的静矩与形心 z A AAA ccc SydA ydAydAydA yAyAyA

8、3 12 123 123 123 z y o A1 A2 A3 11 i nn ici zii c SyA S y AAA z y o A1 A2 ()() zzz SSS 整整孔孔 ()() ()() zz c SS y AA 整整孔孔 整整孔孔 负面积法负面积法 Page18 例：例： 确定下图所示截面的形心位置确定下图所示截面的形心位置 60 10 50 10 y zA1 A2 1122 12 cc c yAyA y AA 解：解：将截面分为两部分，将截面分为两部分， 利用组合截面的公式：利用组合截面的公式： ASyzc/ yC1=5mm yC2=10+60/2=40mm Page19

9、z y o y z dA 22 , zy AA Iy dAIz dA 2 p A IdA 一、一、 截面对截面对o点的极惯性矩或二次极矩点的极惯性矩或二次极矩 二、二、 截面对截面对z轴或轴或y轴的惯性矩轴的惯性矩 或二次轴矩或二次轴矩 三、三、 一个恒等式一个恒等式 222 () pzy IIIzy Page20 z y o y z dA 五、五、 截面对截面对z轴或轴或y轴的惯性半径轴的惯性半径 , y z yz II ii AA 四、四、 截面对截面对z轴与轴与y轴的惯性积轴的惯性积 yz A IyzdA 六、六、 惯性矩与惯性积的组合截面公式惯性矩与惯性积的组合截面公式 z y o A

10、1 A2 A3 y 111 , nnn zziyiyzyzi iii IIIIII Page21 22 0 22 00 () (2) z AA A Iy dAya dA yaya dA 22 , zy AA Iy dAIz dA yz A IyzdA 一、一、 惯性矩的平行轴定理惯性矩的平行轴定理 Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系 Oyz任意直角坐标系任意直角坐标系 二者平行二者平行 2 00 d z A IyA 0 0 d A yA 0 2 zz IIa A 同理同理: 0 2 yy IIb A Page22 Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系 Oyz任意直角坐标系任意直角坐标系

11、d yz A Iyz A 00 00 00 d, d0,d0 y z A AA Iy zA yAzA 00 d yz A IaybzA 二者平行二者平行 二、二、 惯性积的平行轴定理惯性积的平行轴定理 00 ,yayzbz 0 0 yzy z IIAab Page23 例：例： 求下图所示截面对求下图所示截面对z方向形心轴的惯性矩方向形心轴的惯性矩 y z 100 100 10 10 20 20 1、求全截面形心轴位置、求全截面形心轴位置 4 1 i ci i c yA y A 2、求对个部分自身形心、求对个部分自身形心 轴的惯性矩轴的惯性矩 A4 A1 A2 A3 z0 0 44 2 11

12、() zziz iii ii IIIa A 解：解：方法一，如图将截面划分四块方法一，如图将截面划分四块 2 ,1,2,3,4 zii A Iy dAi 3、求对全截面形心轴惯性矩、求对全截面形心轴惯性矩 方法二：负面积法。方法二：负面积法。 自行完成自行完成 Page24 思考：思考：下列计算是否正确？下列计算是否正确？ 其中其中C是截面形心。是截面形心。 21 2 ZZ IIAa 解：解：不正确。不正确。 因为因为 Z1 不是形心轴不是形心轴 C a 1 z 2 z Page25 一些易混淆一些易混淆的的概念概念 对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横

13、 向外力时向外力时 的受力与变形形式的受力与变形形式 纯纯 弯弯 曲杆段各截面的弯矩为常数、剪力为曲杆段各截面的弯矩为常数、剪力为 零的内力状态零的内力状态 中性轴横截面受拉与受压区的分界线中性轴横截面受拉与受压区的分界线 形心轴通过横截面形心的坐标轴形心轴通过横截面形心的坐标轴 弯曲刚度弯曲刚度EI代表梁截面抵抗弯曲变形的能力代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数抗弯截面系数Wz代表梁截面几何性质对弯曲代表梁截面几何性质对弯曲 强度的影响强度的影响 中性轴中性轴与与形心轴形心轴 对称弯曲对称弯曲与与纯弯曲纯弯曲 截面弯曲刚度截面弯曲刚度与与抗弯截面系数抗弯截面系数 Page26 例例:

14、: l=1m,b=30m,t=5mm, = - 0.001, = 0.0005, E=200GPa, 求求 D上 上 D下 下 t b 1 h 2 h h z t C A B CD q /2l/4l x /4l 1 1、梁内的绝对值、梁内的绝对值 最大正应力；最大正应力； 2 2、梁底部纵向总、梁底部纵向总 伸长量伸长量； 3、高度高度h的大小；的大小； 4、载荷载荷q之值。之值。 Page27 解：解：1 1、计算梁内绝对、计算梁内绝对 值最大正应力值最大正应力 （1 1）画梁的剪力弯矩图）画梁的剪力弯矩图 （2 2）由梁的弯曲公式）由梁的弯曲公式 max maxmax My E I 知正应

15、力、正应变与知正应力、正应变与 弯矩成正比弯矩成正比, ,其最大其最大 值发生在值发生在H H截面。截面。 2 9 128 ql 1 8 ql 2 1 32 ql 3 8 ql s F M HD x x 3l/8 A B CD q /2l/4l x /4l Page28 HD HD MM max,max, : 上上上上 HH EMPa 5 max,max, 2 100.00225450 上上上上 2 9 128 ql 1 8 ql 2 1 32 ql 3 8 ql s F M HD x x 3l/8 （3 3）绝对值最大正应变）绝对值最大正应变 HH D D M M max, 9 ( 0.00

16、01) 4 0.00225 上上上上 1 Page29 2 2、计算底部纵向总伸长、计算底部纵向总伸长 （1 1）弯矩方程）弯矩方程 xx M xqlxqxqlxl ll x M xqllxl l 222 2 3111 ( )3( ) 4( )0 8282 11 ( )(1) 82 （2）底部应变底部应变由于由于 与与MM成正比，可设成正比，可设 xx xCxl ll x xClxl l 2 1 2 1 ( )3( ) 4( )0 2 1 ( )(1) 2 下下 下下 分析：由分析：由 需求应变方程，从应变与弯矩需求应变方程，从应变与弯矩 成正比，可先求弯矩方程。成正比，可先求弯矩方程。 ld

17、x 1 2 3 ()0.00050.002 4 ( )( )0.002 22 lC ll C 下下 下下左左下下右右 由由， 得得 由由，得得 2 1 Page30 3 3、计算高度、计算高度h h My EI 由由 知形心知形心C与顶和底面的与顶和底面的 距离与顶和底面的应变成正比距离与顶和底面的应变成正比 DD h h 12 : 上上下下 DD 0.0010.0005 上上下下 ， hhh 12 21 hh, hh 33 12 由截面对形心轴的静矩为零由截面对形心轴的静矩为零 代入：代入：b=30mm,t=5mm (). () h5 51040 81mm h5 5- 10 mm （舍去）（

18、舍去） 解得：解得： t b 1 h 2 h h z t 2 22111 1 ()() 36322 3 hthbththtt Page31 4 4、计算载荷、计算载荷q D2 DD M h E I 下下下下 2 9 128 ql 2 1 32 ql M HD x D M hql h EIEI 2 2 96 D D 下下 EI qN m l h 2 96 12568.8/ D D下下 th t Ih tt h t h bt tbt h mm 32 1 32 2 4 ()()() 122 () 122 53430.5 t b 1 h 2 h h z t a1 Page32 Fs M 弯曲正弯曲正

19、应力应力 弯曲切弯曲切 应力应力 dA dA FS M 决定切应力分布的原则决定切应力分布的原则：（由于变形分析困：（由于变形分析困 难，所以直接使用力学知识推理、假设，然难，所以直接使用力学知识推理、假设，然 后由实践加以证实）。后由实践加以证实）。 Page33 一、矩形截面梁一、矩形截面梁( (hb)的弯曲切应力的弯曲切应力 （2 2）截面高而窄，在距中性）截面高而窄，在距中性 轴同一高度（轴同一高度（y）上，）上， 是相是相 等的。等的。 （儒拉夫斯基假设）（儒拉夫斯基假设） 周边，周边，根据切应力互等，根据切应力互等，的合力是的合力是（因为（因为/,/ SS FF （1 1） 。于于

20、上上下下边边缘缘切切应应力力可可能能等等平平行行于于截截面面的的两两侧侧边边，而而0 S F 思考思考: 能否假设能否假设 (y) 沿截面高度均匀分布沿截面高度均匀分布? Page34 由图示微体平衡：由图示微体平衡： x F b y d d1 )( bI SF y z z )( )( S Sz( )面积面积 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩 l dAFl x M bI S y z z d d)( )( l d* Ay I M z z z I MS)( x F 0, )( z SydA 12 12 MMdM S F y S F *y x dx mn 12 1 mn mn FFdF b dx

21、()y dFFbdxF y*) *y I M z Page35 S () ( ) z z F S y I b l 1 ( ) 22 2 z hh Sbyy 2 2 S 4 1 2 3 )( h y bh F y A FS max 2 3 z bh I 3 12 bh y 2 2 24 S F C z y 2h 2h 2b2b y O max 截面静矩与惯性矩截面静矩与惯性矩 l 最大切应力发生在中性轴最大切应力发生在中性轴 l Page36 截面翘曲与非纯弯推广截面翘曲与非纯弯推广 O max 平截面假设不再严格成立平截面假设不再严格成立矛盾解法矛盾解法 切应力利用纯弯正应力切应力利用纯弯正应

22、力 公式推导公式推导 纯弯正应力公式依据平截面假设纯弯正应力公式依据平截面假设 切应力非均匀分布引起截面翘曲切应力非均匀分布引起截面翘曲 但当但当l h时，纯弯正应力公式用于横时，纯弯正应力公式用于横 力弯曲仍然相当精确力弯曲仍然相当精确 Page37 22 max 6 6 bh Fl bh Fl bh F 2 3 max h l F bh bh Fl 4 3 26 2 max max 当当 l h 时，时， max max 横截面上各点假设：横截面上各点假设： / /侧边侧边，或，或/剪力剪力 沿截面宽度方向沿截面宽度方向均匀分布均匀分布 h h/ /b b值对解的影响：值对解的影响： F

23、h/ /b越大，解越精确。越大，解越精确。(h/b2时，时，足够精确足够精确) ) F l b z y h C 弯曲正应力与弯曲切弯曲正应力与弯曲切 应力比较应力比较 Page38 s F s F A 例：例：画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向 注意注意A A处剪流的方向。处剪流的方向。 Page39 ( ) ( ) sz z F S I t 22 1 ( )() 8 1 () 2 () ( ) 4 z s z SHh tHh F Hh I 翼翼缘缘 2 222 2 2222 2 2 22 max 2 ( )()() 82 2 ( ) ()(4) 8 () 8 z

24、 s z s z tbh SHhy F yb Hht hy I t F bHb t h I t 腹腹板板 s F b Hh 1 t y z 2 t max 工字形截面梁的弯曲切应力工字形截面梁的弯曲切应力 Page40 40, s FkNaa计计算算处处弯弯曲曲切切应应力力及及最最大大切切应应力力 , z a S 解：解： 33 74 11 100 20080 180 1212 2.779 10 z I mm , 53 50 10 75 2 80 10 95 1.51 10 z a S mm ,max 53 100 10 50 2 80 10 95 1.76 10 z S mm 45 , 7

25、,max max 4 101.51 10 10.85 220 2.779 10 12.65 2 sz a a z sz z FS MPa tI FS MPa tI s F 100 a 10 50 100 a 100 Page41 一、梁危险点处的应力状态一、梁危险点处的应力状态 矩形截面梁矩形截面梁: : 危险点：危险点：a, c 点处点处: : 单向应力；单向应力； b 点处点处: : 纯剪切纯剪切 Cz y a b c ,maxC ,maxt max a b c ,maxC ,maxt max Page42 薄壁截面梁薄壁截面梁: : C y z 1 max a b c d ,maxC ,

26、maxt 1 max O y a b c ,maxC ,maxt max d 1 1 1 1 c , d 点处点处: : 单向应力单向应力a 点处点处: : 纯剪切纯剪切 b 点处点处: : , , 联合作用联合作用 危险点：危险点： Page43 二、梁的强度条件二、梁的强度条件 弯曲弯曲正应力正应力强度条件：强度条件： 弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件： , , 联合作用强度条件联合作用强度条件（详见第（详见第9 9章强度理论）章强度理论） max max z W M max max, max z zS I SF max：最大弯曲正应力：最大弯曲正应力 ：材料单向应力许用应力材料单向

27、应力许用应力 max ： 最大弯曲切应力最大弯曲切应力 ： 材料纯剪切许用应力材料纯剪切许用应力 Page44 三、梁强度条件的选用三、梁强度条件的选用 F 细长非薄壁梁：细长非薄壁梁： F 短粗梁、薄壁梁与短粗梁、薄壁梁与 M 小小 FS大的梁：大的梁： maxmax max max max MM 有时需考虑有时需考虑 , , 联合作用的强度条件联合作用的强度条件 maxt, maxc, t c 梁梁强度问题的分析步骤：强度问题的分析步骤： 1 1、内力分析、内力分析确定危险截面确定危险截面 2 2、应力分析、应力分析确定危险点确定危险点 3 3、根据强度条件进行强度校核。、根据强度条件进行

28、强度校核。 Page45 例例 4-1 简易吊车梁，简易吊车梁，F =20 kN，l = 6 m， = 100 MPa ， = 60 MPa，选择工字钢型号选择工字钢型号 Page46 S () ( ), lF F l FFF (0) SmaxS, ( )1,MF l 4 max Fl M 2. 按弯曲按弯曲 条件选截面条件选截面 4 Fl Wz 查教材查教材P367, 附录附录F 型钢表：选型钢表：选 22a, Wz=3.0910-4 m4 3. 校核梁的剪切强度校核梁的剪切强度 max max ,z z S I F MPa 1114 . 44 m 1003 . 解：解：1. 内力分析内力分

29、析 Page47 1m A BCD 3 m1m 20kN 20kN 例：例：已知已知40MPa 100MPa 校核梁的强度校核梁的强度 200 170 C y 30 z 30 1 y b a 讨论：危险截面是否一定讨论：危险截面是否一定 是弯矩绝对值最大的截面？是弯矩绝对值最大的截面？ Page48 解：解：画弯矩图画弯矩图 10kN m 20kN m M 图: 1m A BCD 3 m1m 20kN 20kN 可能危险截面分析：可能危险截面分析： C C截面：弯矩绝对值最大。截面：弯矩绝对值最大。a a点拉点拉 应力，应力，b b点压应力可能达危险值。点压应力可能达危险值。 B B截面：正弯

30、矩最大，截面：正弯矩最大，b b点点 拉应力可能达危险值。拉应力可能达危险值。 200 170 C y 30 z 30 1 y b a MC a b MB a b Page49 截面形心：截面形心： 64 139 40.3 10 C z ymm Imm C C截面：截面： 6 1 6 6 6 201061 40.310 30.240 2010139 40.310 69100 C a z aa CC b z aa My I MPMP My I MPMP B B截面：截面： 6 6 10 10139 34.5 40.3 10 BC ba z M y MP I 强度足够强度足够 1m A BCD 3

31、 m1m 20kN 20kN 200 170 C y 30 z 30 1 y b a Page50 让材料远离中性轴让材料远离中性轴 腹板壁厚小，但不能太小。腹板壁厚小，但不能太小。 一、梁的合理截面形状一、梁的合理截面形状 C y z 依据：依据： z )( I My y z W M max z z S I SF)( Page51 脆性材料梁脆性材料梁 ,maxC ,maxt C y z C y t y t c 截面上下不对称的脆性材料梁截面上下不对称的脆性材料梁 c c tt y y 截面等强设计截面等强设计 Page52 b a 例：例：若载荷可在梁上任若载荷可在梁上任 意移动，则铸铁梁

32、意移动，则铸铁梁b 端端 朝上还是朝下合理？朝上还是朝下合理？ 5 m1m F A BC 问题分析：问题分析： z M y I (1).(1). ， 截面截面b b端离中性轴端离中性轴 最远，最大应力发生在此处。最远，最大应力发生在此处。 (2).(2).铸铁抗压不抗拉，应该使最大弯铸铁抗压不抗拉，应该使最大弯 矩处矩处b b端受压。端受压。 (3).(3).梁梁ABAB中点出现绝对值最大正弯矩，中点出现绝对值最大正弯矩， b b端朝上合理。端朝上合理。 Page53 答答: :位置位置1 1合理。合理。 例例2 2：从拉压强度考虑从拉压强度考虑, , 图示铸铁工字梁截面图示铸铁工字梁截面,

33、, 跨中腹板钻一个孔跨中腹板钻一个孔, ,哪哪 一个是合理位置一个是合理位置? ? F 1 2 3 问题分析：问题分析：因为铸铁抗压不抗因为铸铁抗压不抗 拉，合理的位置是使最大拉应拉，合理的位置是使最大拉应 力减小，最大压应力可增加。力减小，最大压应力可增加。 Page54 二、二、变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁 )( )( xW xM 弯曲等强条件弯曲等强条件 FxxM )( 6 )( )( 2 xbh xW 6 )( b Fx xh )(2 )(3 S xbh xF 1 2 3 )(h b F xh FxF )( S 等强度梁等强度梁各截面具有同样强度的梁各截面具有同样强度的梁 剪切

34、等强条件剪切等强条件 Page55 三、梁的合理受力三、梁的合理受力 合理安排约束合理安排约束 l q M x 2 8ql 3 5l q M x 2 40ql 5l5l 2 50ql 2 50ql Page56 合理安排加载方式合理安排加载方式尽量分散载荷尽量分散载荷 l qF l M x 8Fl 2l F M x 4Fl 2l3l F M x 6Fl 3l6l6l Page57 加配重加配重 laa FPP M Fl/4 + M Fl/4-Pa PaPa + - laa F la Page58 帮帮忙：帮帮忙：桥式起重机的最大起重为桥式起重机的最大起重为100kN，怎么改进可，怎么改进可 以

35、吊起以吊起150kN的重量？的重量？ Page59 4 3 32 (1) (1 3 ) 12 2 (1) (1 (0,1), 3 2 1 , 9 ) 1 z z z z a Ixx W I x x ax W 在区间无极值 当有极大值 1 () 9 1.053497,5.35% (1) z z W W 可 提 高 z a ax (1) x a I Iz z与与W Wz z的区别的区别 Page60 非对称弯曲 双对称截面梁双对称截面梁 非对称弯曲非对称弯曲 非对称截面梁非对称截面梁 非对称弯曲非对称弯曲 Page61 弯曲正应力分析 z z y y I yM I zM 矢量沿坐标轴正矢量沿坐标轴正 向的弯矩向的弯矩M为正为正 利用叠加法分利用叠加法分 析内力与应力析内力与应力 弯曲正应力沿横截面线性分布 Page62 0 y z z y I yM I zM y z tan y z z y M M I I 0)0 , 0( z z y y I yM I zM 中性轴为通过横截面形心的直线中性轴为通过横截面形心的直线 中性轴位置与方位 0 z z y y I