抛物线课件(市级比赛)

1、抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 钟凤婷钟凤婷 东莞市道窖镇济川中学数学科组东莞市道窖镇济川中学数学科组 知识与技能知识与技能 : : 掌握抛物线的定义，掌握抛物线的掌握抛物线的定义，掌握抛物线的 四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线，图像。四种标准方程形式，及其对应的焦点、准线，图像。 教学目标教学目标 过程与方法：过程与方法：掌握对抛物线标准方程的推导，进一步掌握对抛物线标准方程的推导，进一步 理解求曲线方程的方法理解求曲线方程的方法坐标法坐标法 。通过。通过几何画板几何画板 演示图形变化，提高学生观察，类比，分析和概括的能力。演示图形变化，提高学生观察，类比，分析和概括的能力。 情

2、感态度与价值观：情感态度与价值观：通过本节的学习，进一步体会通过本节的学习，进一步体会 数形结合的思想。培养学生不断发现、探索新知识的精神数形结合的思想。培养学生不断发现、探索新知识的精神 和善于思考的学习态度，也让学生感受到数学的魅力以及和善于思考的学习态度，也让学生感受到数学的魅力以及 学习数学的乐趣。学习数学的乐趣。 抛物线及其标准方抛物线及其标准方 程是普通高中课程程是普通高中课程 标准实验教科书标准实验教科书 （人教版）选修（人教版）选修2-1 中的第二章第四节中的第二章第四节 的内的内容容 抛物线最早见于初三抛物线最早见于初三 数学，作为二次函数数学，作为二次函数 的图像。高中阶段

3、，的图像。高中阶段， 它在一元二次不等式它在一元二次不等式 的解法、求最大（小）的解法、求最大（小） 值等方面都有重要的值等方面都有重要的 作用。作用。 同时，对抛物线的定同时，对抛物线的定 义，方程的学习能让义，方程的学习能让 学生进一步深化对坐学生进一步深化对坐 标法的认识，也为下标法的认识，也为下 一节用代数方法研究一节用代数方法研究 抛物线的几何性质做抛物线的几何性质做 好铺垫。好铺垫。 教学重点教学重点 抛物线的四种标准方程和抛物线的四种标准方程和p的几何意义的几何意义 抛物线的定义以及焦点，准线抛物线的定义以及焦点，准线 教学难点教学难点 数学图形语言，文字语言，符号语言及其互相转

4、数学图形语言，文字语言，符号语言及其互相转化化 在推导抛物线标准方程的过程中，在推导抛物线标准方程的过程中， 如何选择适当的坐标系如何选择适当的坐标系 通过这部分内容的学习，拓展通过这部分内容的学习，拓展 了学生对抛物线知识的认识。了学生对抛物线知识的认识。 培养学生的比较，归纳，类比培养学生的比较，归纳，类比 的思维能力。的思维能力。 通过建立不同的坐标系，对比通过建立不同的坐标系，对比 所得方程的异同，使学生认识所得方程的异同，使学生认识 到恰当建立坐标系的重要性。到恰当建立坐标系的重要性。 抛物线在生产和科学技术抛物线在生产和科学技术 中有广泛的应用，所以首中有广泛的应用，所以首 先要深

5、刻体会抛物线的定先要深刻体会抛物线的定 义，为今后学习几何性质义，为今后学习几何性质 打下坚实的基础，起到承打下坚实的基础，起到承 上启下的作用。上启下的作用。 教学方法教学方法 互动式讨论互动式讨论 探索式研究探索式研究 反馈式评价反馈式评价 类比图表法类比图表法 启发式小结启发式小结 提供学生的大量参与机会，增提供学生的大量参与机会，增 强参与意识，尤其是思维的参强参与意识，尤其是思维的参 与与,能够暴露思维形成的过程能够暴露思维形成的过程. 教给学生获取知识的途径，思教给学生获取知识的途径，思 考问题的方法，使学生真正成考问题的方法，使学生真正成 为教学主体。为教学主体。 新课改要求教师

6、改变角色，教新课改要求教师改变角色，教 师从课堂知识传授者的角色，师从课堂知识传授者的角色， 逐步向数学学习活动的组织者、逐步向数学学习活动的组织者、 引导者和合作者转换，教与学引导者和合作者转换，教与学 向和谐统一的方向发展。向和谐统一的方向发展。 教师角色的转变，使学生会教师角色的转变，使学生会 视老师为朋友和榜样，学生视老师为朋友和榜样，学生 变的更自主、自尊、自信和变的更自主、自尊、自信和 自豪，在为学生带来愉悦的自豪，在为学生带来愉悦的 同时，也为老师自己带来幸同时，也为老师自己带来幸 福感。福感。 教学辅助手段教学辅助手段 几何画板，几何画板，powerpoint 利用计算机辅助教

7、学，利用计算机辅助教学， 演示图形的动态变化过演示图形的动态变化过 程，激发学生学习兴趣，程，激发学生学习兴趣， 化解了教学难点，弥补化解了教学难点，弥补 了传统教学手段的不足了传统教学手段的不足 之处，符合之处，符合新大纲新大纲 精神。精神。 图形直观是人们理解自然图形直观是人们理解自然 世界和社会现象的绝妙工世界和社会现象的绝妙工 具，特别是随着计算机制具，特别是随着计算机制 图技术的发展，图形直观图技术的发展，图形直观 更是运用到人类生活和社更是运用到人类生活和社 会发展的各个角落。会发展的各个角落。 一、创设情景一、创设情景引入新课引入新课 复习椭圆，双曲线的第二定义，复习椭圆，双曲线

8、的第二定义，“平面内与一个定点平面内与一个定点F F的距离和到一条定直的距离和到一条定直 线的距离的比是常数线的距离的比是常数e e的点的轨迹的点的轨迹” 当当0 0e e 1 1时，是椭圆时，是椭圆; ; 当当e e1 1时，是双曲线。时，是双曲线。 提出：提出： 当当e=1e=1时，它是什么曲线？时，它是什么曲线？ 复习椭圆双曲线的第二复习椭圆双曲线的第二 定义目的是为了从中寻定义目的是为了从中寻 找新知识的生长点找新知识的生长点 鼓励学生积极参与，发挥鼓励学生积极参与，发挥 学生的学习主体作用，从学生的学习主体作用，从 而达到主动学习的目的。而达到主动学习的目的。 使学生角色的转变，从使

9、学生角色的转变，从 “要我学要我学”变成变成“我要我要 学学”。 l FA B C D E K 从特殊到一般，符合学生的认知规律。从一点到三点，再到五点，最后连线从特殊到一般，符合学生的认知规律。从一点到三点，再到五点，最后连线. . 从具体到抽象，从特殊到一般，直观性原则是人认识事物的思维规律从具体到抽象，从特殊到一般，直观性原则是人认识事物的思维规律 F K A B C D E l l FA B C D E K 让学生体验抛物线的形成过程，加深学生对定义的理解和记忆，让学生体验抛物线的形成过程，加深学生对定义的理解和记忆， 突出了本节课的重点。突出了本节课的重点。 在研究抛物线定义的过程中

10、也培养了学生观察、抽象概括能力。在研究抛物线定义的过程中也培养了学生观察、抽象概括能力。 自主探索，得出结自主探索，得出结 论，轨迹为抛物线，论，轨迹为抛物线， 同时是学生收获了同时是学生收获了 自信自信 始终做到学生主始终做到学生主 体，老师主导，体，老师主导， 思维主线思维主线 连线连线 提出：提出：当当e=1时，它是什么曲线？时，它是什么曲线？ 一、创设情景一、创设情景引入新课引入新课 用几何画板画图，如图点用几何画板画图，如图点F F是定点，是是定点，是 定直线。定直线。H H是上的任意一点，过点是上的任意一点，过点H H作，作， 线段线段FHFH的垂直平分线的垂直平分线m m交交MH

11、MH于点于点M M。拖动。拖动 点点H H，观察点，观察点M M的轨迹。的轨迹。 轨迹是美丽的轨迹是美丽的 抛物线抛物线 衔接几何画板课件，在美观、动静结衔接几何画板课件，在美观、动静结 合中展现抛物线使学生对抛物线有着合中展现抛物线使学生对抛物线有着 更加深刻的认识。突出了知识形成的更加深刻的认识。突出了知识形成的 过程，符合学生的认知规律，也增加过程，符合学生的认知规律，也增加 了趣味性。了趣味性。 如何描述如何描述 抛物线的抛物线的 定义呢？定义呢？ 验证的结果与学生的猜想一致，验证的结果与学生的猜想一致， 使学生在学习数学过程中体会到使学生在学习数学过程中体会到 数学探究带来的乐趣，感

12、受数学数学探究带来的乐趣，感受数学 的魅力，达成教学目标，正好反的魅力，达成教学目标，正好反 映出本节课的情感要求。映出本节课的情感要求。 探究一：探究一：如何描述抛物线的定义如何描述抛物线的定义?(直线不经过点直线不经过点F) 平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线（直线不经过定点），和一条定直线（直线不经过定点）， 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 点点F F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。 先由学生口述定义，教师先由学生口述定义，教师 补充。补充。并让学生注意到直并让学生注意到直 线不经过定点线不经过

13、定点F F。 学生口述归纳，培养了学生口述归纳，培养了 学生语言表达能力，也学生语言表达能力，也 对抛物线的认识由感性对抛物线的认识由感性 认识上升到理性认识认识上升到理性认识 二、探索求知二、探索求知 思考：若定点思考：若定点F F在定直线上，则动点的轨迹还是抛物线吗？在定直线上，则动点的轨迹还是抛物线吗？ F ll F 若定点若定点F F在定直线上，在定直线上， 则动点的轨迹是过定则动点的轨迹是过定 点点F F且垂直于定直线的且垂直于定直线的 一条直线一条直线 细节决定成败细节决定成败 联系初三所学二次函数的图像联系初三所学二次函数的图像 是一条抛物线，初三课本没有证明，现在尝试证明。是一

14、条抛物线，初三课本没有证明，现在尝试证明。 以为例以为例，猜想焦点以及准线的位置。，猜想焦点以及准线的位置。 探究二：探究二：如何建立直角坐标系，抛物线方程才能更简单？如何建立直角坐标系，抛物线方程才能更简单？ cbxaxy 2 2 xy 类比椭圆，双曲线的焦点在类比椭圆，双曲线的焦点在 对称轴上，且在椭圆，双曲对称轴上，且在椭圆，双曲 线内部，准线垂直于对称轴，线内部，准线垂直于对称轴， 且在椭圆，双曲线外面。且在椭圆，双曲线外面。 猜想：抛物线亦是如此！猜想：抛物线亦是如此！ ), 0(cF 根据根据0点到焦点的距离等于到直线点到焦点的距离等于到直线x=-c的距离，的距离， 不妨设不妨设F

15、（0，c），直线为），直线为x=-c，并且任取一点，并且任取一点M（1,1） cx d ) 1 , 1 (M 根据根据, 求出求出 4 1 c dMF | 学生学习数学的过程是建立在学生学习数学的过程是建立在 已有的经验基础上的一个主动已有的经验基础上的一个主动 建构的过程，并且能够给学生建构的过程，并且能够给学生 一种轻松自信的感觉，符合中一种轻松自信的感觉，符合中 学生的心理特点，同时体现了学生的心理特点，同时体现了 老师作为老师作为“先行组织者先行组织者”的角的角 色色. 在抛物线上任取一点在抛物线上任取一点P(x,y),证明抛物线上的点也满足证明抛物线上的点也满足 4 1 x ),(y

16、xP ) 4 1 , 0(F d 16 1 2 1 ) 4 1 ()0(| 2222 yyxyxPF 2 xy 又 类比：类比：归纳归纳猜想猜想证明证明 学生思维学生思维 过程过程 享受思考的快乐，享受思考的快乐， 追求幸福课堂，追求幸福课堂， 达到快乐学习，达到快乐学习， 学习快乐的效果。学习快乐的效果。 符合新课标要求。符合新课标要求。 dPF | 探究二：探究二：如何建议直角坐标系，抛物线方程才能更简单？如何建议直角坐标系，抛物线方程才能更简单？ 2 ) 4 1 ( y 16 1 2 1 | 2 yyyPF 16 1 2 1 2 yy dy| 4 1 | 通过探索自己找到结论与之通过探索

17、自己找到结论与之 前的猜想以及计算机验证发前的猜想以及计算机验证发 现轨迹都是一致的。让学生现轨迹都是一致的。让学生 再次体会到学习数学的乐趣，再次体会到学习数学的乐趣， 感受数学的魅力。感受数学的魅力。 x y O x y O x y 猜想：猜想： 焦点在对称轴上，焦点在对称轴上， 准线垂直于对称轴准线垂直于对称轴 x y K F x 考虑以对称轴为坐考虑以对称轴为坐 标轴标轴,KF,KF的中点为原的中点为原 点建立直角坐标系，点建立直角坐标系， 如图如图 以对称轴为坐标以对称轴为坐标 轴，焦点在对称轴，焦点在对称 轴上，准线垂直轴上，准线垂直 于对称轴于对称轴 在原有的知识基础上，类比椭在

18、原有的知识基础上，类比椭 圆和双曲线的焦点如何建立坐圆和双曲线的焦点如何建立坐 标系，并且在教师引导下，学标系，并且在教师引导下，学 生联系二次函数，建立适当的生联系二次函数，建立适当的 坐标系。从而突破本节课的难坐标系。从而突破本节课的难 点点建立适当的坐标系来推建立适当的坐标系来推 导抛物线。导抛物线。 如下图，如下图，类比，椭圆，双曲线，猜想抛物线的焦点和准线在哪儿呢？类比，椭圆，双曲线，猜想抛物线的焦点和准线在哪儿呢？ 如下图，推导出抛物线的标准方程。如下图，推导出抛物线的标准方程。 思考：为什么把对称轴作为坐标轴？思考：为什么把对称轴作为坐标轴？ 因为将缺因为将缺“y y 的一次方的

19、一次方” 项项 思考：为什么把选思考：为什么把选KF的中点为原点？的中点为原点？ 因为常数因为常数 项会为项会为0 0 K O F y x 在抛物线上任取一点在抛物线上任取一点P(x,yP(x,y),), 证明抛物线上的点也满足证明抛物线上的点也满足 如下图如何建立坐标系，使得所建立的抛物线方程更简单？如下图如何建立坐标系，使得所建立的抛物线方程更简单？ 并推导出抛物线的标准方程。并推导出抛物线的标准方程。 K 2 p x O )0 , 2 ( p F y x ,|dPF 2 2 222 4 )0() 2 (|y p pxxy p xPF | 2 | p yd又 dPF | ),(yxP d

20、| 2 | 4 2 2 2 p yy p pxx 22 2 2 ) 2 ( 4 p yy p pxx 44 2 22 2 2 p pxyy p pxx化简得： )0(2 2 ppxy化简得： )0(|ppKF设 最后推导出的方程最后推导出的方程 果然是缺果然是缺“y y的一次的一次 方方”项和常数项为项和常数项为0 0， 使得学生的信心大使得学生的信心大 增，收获良好的数增，收获良好的数 学情感学情感 K 2 p x O )0 , 2 ( p F y x 探究三：探究三：深化理解抛物线标准方程深化理解抛物线标准方程 思考：思考：标准方程中标准方程中P的几何意义，为什么的几何意义，为什么p0？

21、由于学生对数学图形、由于学生对数学图形、 符号、文字三种语言符号、文字三种语言 的相互转化有一定困的相互转化有一定困 难，这一环节教学中难，这一环节教学中 应根据图形培养学生应根据图形培养学生 运用三种语言的能力运用三种语言的能力。 教师引导，学生归教师引导，学生归 纳。增加师生之间纳。增加师生之间 的互动。活跃了课的互动。活跃了课 堂气氛，符合新课堂气氛，符合新课 标的要求。标的要求。 P几何意义是焦点几何意义是焦点 F到准线的距离到准线的距离 （焦准距）。（焦准距）。 探究三：探究三：深化理解抛物线标准方程深化理解抛物线标准方程 思考：思考：如果抛物线的开口方向向下，或向左，或向右如果抛物

22、线的开口方向向下，或向左，或向右 时，又如何建立坐标系，使推导出来的方程最简单呢？时，又如何建立坐标系，使推导出来的方程最简单呢？ 让学生通过观察，让学生通过观察， 类比，数形结合，类比，数形结合， 推导抛物线的其他推导抛物线的其他 形式的标准方程，形式的标准方程， 深化对坐标法的认深化对坐标法的认 识。识。 对称轴作为坐标轴？选对称轴作为坐标轴？选 KF的中点为原点？的中点为原点？ 焦点在对称轴上，焦点在对称轴上， 准线垂直于对称轴准线垂直于对称轴 在归纳总结中提在归纳总结中提 高学生的创造性高学生的创造性 思思 维，有利于个性维，有利于个性 的的 发展。在课堂上发展。在课堂上 给给 予学生

23、更多参与予学生更多参与 的的 机会，使教与学机会，使教与学 共共 同发展。同发展。 y x O O 图像图像 标准方程标准方程焦点焦点准线方程准线方程 y x O y x O y x 探究三：探究三：深化理解抛物线标准方程深化理解抛物线标准方程 )0( 2 2 p pxy )0 , 2 ( p 2 p x )0( 2 2 p pxy )0 , 2 ( p 2 p x )0( 2 2 p pyx ) 2 , 0( p 2 p y )0( 2 2 p pyx ) 2 , 0( p 2 p y 教师引导学生将抛物线的位教师引导学生将抛物线的位 置特征和方程形式结合记忆。置特征和方程形式结合记忆。 让

24、学生切实掌握让学生切实掌握4种抛物线种抛物线 的标准方程，图像，交点坐的标准方程，图像，交点坐 标，开口方向等之间的联系，标，开口方向等之间的联系， 突出了教学重点。突出了教学重点。 在课堂上不断的总结在课堂上不断的总结 发现规律，对新的知发现规律，对新的知 识点，概念举一反三，识点，概念举一反三， 既加强了知识点的理既加强了知识点的理 解，又体现了高效课解，又体现了高效课 堂的新理念。堂的新理念。 始终根据：对始终根据：对 称轴作为坐标称轴作为坐标 轴轴,选选KF的中的中 点为原点？点为原点？ 填表，使知识系统化。教师填表，使知识系统化。教师 要相信学生，充分挖掘学生要相信学生，充分挖掘学生

25、 的自身潜能，培养学生发现的自身潜能，培养学生发现 知识，探求知识的能力。知识，探求知识的能力。 例例1.（1）已知抛物线的标准方程是）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程，求它的焦点坐标和准线方程. （2）已知抛物线的焦点坐标是）已知抛物线的焦点坐标是，求它的标准方程，求它的标准方程. 三、应用新知三、应用新知 1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 2.根据下列条件写出抛物线的标准方程根据下列条件写出抛物线的标准方程 （1）焦点是）焦点是F(3，0)（2）准线方程是）准线方程是 反馈练习反馈练习 2 120yx 2 1 2 2 xy 2 3 250y

26、x 2 480 xy 1 4 x 教师强调首先要将方程化成教师强调首先要将方程化成 标准方程，再判断焦点位置，标准方程，再判断焦点位置， 求得求得p，再写焦点坐标、准，再写焦点坐标、准 线方程。最后教师示范解题线方程。最后教师示范解题 步骤，学生体会标准解题步步骤，学生体会标准解题步 骤，并做适当记录。骤，并做适当记录。 例例1中的题目比较中的题目比较 简单，可以培养学简单，可以培养学 生的自学能力生的自学能力 学生在黑板上板学生在黑板上板 演后，教师点评。演后，教师点评。 通过练习及时了解通过练习及时了解 学生的学习情况。学生的学习情况。 思考思考 二次函数二次函数(a0)的图象为一条抛物线，的图象为一条抛物线， 试指出它的开口方向、焦点坐标和准线方程试指出它的开口方向、焦点坐标和准线方程. xy6 2 )2, 0( F 与二次函数联系与二次函数联系 起来，使学生有起来，使学生有 一种一种“顿悟顿悟”的的 感觉，把新知识感觉，把新知识 化归到原有的知化归到原有的知 识结构中。识结构中。 2 axy 四、抛物线在现实中的应用四、抛物线在现实中的应用 例例2.一种卫星接收天线的轴截面。一种卫星接收天线的轴截面。 卫星波束呈近似平行状态射入轴截面卫星波束呈近似平行状态射入轴截面 为抛物线的接收天线，经反射聚集到为抛物线的接收天线，经反射聚集到 焦点处。已知接收天线的口径为焦点