正投影的基本知识朱

1、实际工程中的各种技术图样，都是按一定的投影方法实际工程中的各种技术图样，都是按一定的投影方法 绘制的，机械工程图样通常是用正投影法绘制。绘制的，机械工程图样通常是用正投影法绘制。本章首先学本章首先学 习介绍投影法的基本知识和物体三视图，再讨论点、线、面习介绍投影法的基本知识和物体三视图，再讨论点、线、面 等几何元素的投影原理，为学习后面的内容奠定基础。等几何元素的投影原理，为学习后面的内容奠定基础。 概述： 2-1 2-1 投影法的基本概念投影法的基本概念 2-3 2-3 点点 的的 投投 影影 2-4 2-4 直直 线线 的的 投投 影影 2-22-2 三视图及其对应关系三视图及其对应关系

2、2-62-6基基 本本 几几 何何 体体 的的 投投 影影 2-72-7几几 何何 体体 的的 尺尺 寸寸 注注 法法 2-52-5几几 何何 体体 的的 轴轴 测测 图图 2-52-5平平 面面 的的 投投 影影 如图，建立一个平面如图，建立一个平面P P和不和不 在该平面内的一点在该平面内的一点S S，在平面，在平面P P 和点和点S S之间放一物体之间放一物体A A。过点。过点S S 发射一束光线发射一束光线SASA，SASA与平面与平面P P的的 交点交点a a称为物体称为物体A A在平面在平面P P上的上的 投影。这种确定空间物体投影的方法，称为投影法。投影。这种确定空间物体投影的方

3、法，称为投影法。 1.1.投影法投影法 2-1 投影法的基本概念 图图2-1 2-1 投影法投影法 2.2.投影法分类投影法分类 中心投影法中心投影法 ：投影线汇交一点的投影法。：投影线汇交一点的投影法。 平行投影法平行投影法 ：所有投影线相互平行的投影法。：所有投影线相互平行的投影法。 斜投影法：投影线与投影面相倾斜的平行投影法。斜投影法：投影线与投影面相倾斜的平行投影法。 正投影法正投影法：投影线与投影面相垂直的平行投影法：投影线与投影面相垂直的平行投影法。 A C b a B c AC B B C A c b aa b c S投影中心 投影面P 投影方向 投影面P 投影面P 投影方向 投

4、影线 中心投影法中心投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法 图图2-2 2-2 投影法分类投影法分类 3.3.平行投影法的投影特性平行投影法的投影特性 类似性（同形性）类似性（同形性）: :当直线或平面图当直线或平面图 形不平行、也不垂直投影面时，形不平行、也不垂直投影面时，直线的直线的 投影仍为直线，平面图形的投影是原图投影仍为直线，平面图形的投影是原图 形的类似形。正投影时，形的类似形。正投影时，其投影小于实其投影小于实 长或实形长或实形。 实形性（真迹性）实形性（真迹性）：线段或平面图线段或平面图 形平行于投影面，其投影反映实形或形平行于投影面，其投影反映实形或 实长。实长。 积聚性：积

5、聚性：直线或平面图形平行于投直线或平面图形平行于投 射线，其投影积聚成点或直线。射线，其投影积聚成点或直线。 定比性：定比性：两平行线段长度之比，等于其投影长之比。两平行线段长度之比，等于其投影长之比。 直线上两线段长度之比，等于其投影长之比。直线上两线段长度之比，等于其投影长之比。 平行性：平行性：两相互平行直线，其投影平行。两相互平行直线，其投影平行。 从属性：从属性：直线上的点或平面上的点和直线，其投影必在直线或平面的直线上的点或平面上的点和直线，其投影必在直线或平面的 投影上。投影上。 V 投影面投影面 正投影正投影 投影线投影线 A B P R C D 图图2-3 2-3 平行投影法

6、的投影特性平行投影法的投影特性 注意：投影不等于影子 图图2-4 2-4 影子和投影影子和投影 仅有一个投影是不能准确、真实地表达物体的形状。 图图2-5 2-5 不同物体得同一投影不同物体得同一投影 1.1.三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律 主视图主视图 俯视图俯视图 左视图左视图 正面投影面正面投影面V V面面 水平投影面水平投影面H H面面 侧面投影面侧面投影面W W面面 （正面投影）（正面投影） （水平投影）（水平投影） （侧面投影）（侧面投影） 视图：视图：把互相平行的投影把互相平行的投影 线当作人的视线，用正投线当作人的视线，用正投 影法所得物体的图形称为影法所得物

7、体的图形称为 视图。视图。 图图2-6 2-6 三视图三视图 2-1 三视图及其对应关系 图图2-7 2-7 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律 图图2-7 2-7 三视图的形成及其投影规律三视图的形成及其投影规律 2.三视图之间的对应关系三视图之间的对应关系 度量对应关系：度量对应关系： 主、俯视图主、俯视图-长对正长对正 主、左视图主、左视图-高平齐高平齐 俯、左视图俯、左视图-宽相等宽相等 方位对应关系：方位对应关系： 主视图主视图物体的上、下和左、右物体的上、下和左、右 俯视图俯视图物体的前、后和左、右物体的前、后和左、右 左视图左视图物体的上、下和前、后物体的上、下和前

8、、后 图图2-8 2-8 三视图之间的对应关系三视图之间的对应关系 一、点的一个投影一、点的一个投影 2-3 点 的 投 影 图图2-9 2-9 点的单面投影点的单面投影 1.1.三面投影体系三面投影体系 二、点的三面投影及投影特性二、点的三面投影及投影特性 图图2-10 2-10 三面投影体系三面投影体系 V W H 第一角第一角 第三角第三角 2.2.点的三面投影点的三面投影 图图2-11 2-11 点的三面投影立体图点的三面投影立体图 ayH az x z o a a a ax 图图2-12 2-12 点的投影图点的投影图 yH yW ayW 3.3.点的投影规律点的投影规律 aa ox

9、 a a oz z aax x= = a az z 图图2-13 2-13 点的投影规律点的投影规律 4.根据点的两投影求第三投影根据点的两投影求第三投影 x z a a a x z a a a 图图2-14 2-14 已知点的两投影求第三投影已知点的两投影求第三投影 方法一：直接量取法方法一：直接量取法 方法二：方法二：4545 斜线法斜线法 z a a x O yH yW yH yW yH yW 5.点的投影与坐标之间的关系点的投影与坐标之间的关系 A A点坐标点坐标 （X XA A，Y YA A，Z ZA A），）， A A点投影点投影 a，a, a 投影投影 a 坐标坐标 X XA A

10、 ， Y YA A a X XA A , Z , ZA A a Y YA A , Z , ZA A 结论：若点的两个投影已知，则其空间位置确定，其第三投结论：若点的两个投影已知，则其空间位置确定，其第三投 影也就唯一确定。影也就唯一确定。 图图2-15 2-15 点的投影与坐标之间的关系点的投影与坐标之间的关系 三、两点的相对位置与重影点三、两点的相对位置与重影点 1.两点的相对位置两点的相对位置 Za-b Xa-b Ya-b 图图2-16 2-16 两点的相对位置两点的相对位置 2.重影点重影点 图图2-17 2-17 重影点重影点 思考: 空间点A（15，20，10），空间点B在点A 的正

11、后方5mm处，求做两点的三面投影。 ayH az x z o a a a ax yH yW ayW 5mm b b（b ） b x z a b a b a b 2-4 直 线 的 投 影 一、直线一、直线 图图2-18 2-18 直线的投影直线的投影 yH yW 二、直线的投影二、直线的投影 1.1.三种位置直线三种位置直线 投影面平行线：投影面平行线： 平行于某一个投影面而对另外两个平行于某一个投影面而对另外两个 投影面倾斜的直线。投影面倾斜的直线。 投影面垂直线投影面垂直线 ： 垂直于某一个投影面的直线。垂直于某一个投影面的直线。 一般位置直线：一般位置直线：对三个投影面都是倾斜的直线。对

12、三个投影面都是倾斜的直线。 图图2-19 2-19 直线相对于投影面的位置直线相对于投影面的位置 2.2.各种位置直线的投影及投影特性各种位置直线的投影及投影特性 平行线平行线 水平线：水平线： 正平线：正平线： 侧平线：侧平线： 图图2-20 2-20 投影面平行线投影面平行线 投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性 ba a z x a b b 图图2-21 2-21 投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性 yH yW b a ba b a ba b a a b b a b a a b 图图2-21 2-21 投影面平行线的投影特性（续）投影面平行线的投影特性（续） 投影面平行

13、线投影特性：投影面平行线投影特性： 在其平行的投影面上的投影反映实长，且投影与投在其平行的投影面上的投影反映实长，且投影与投 影轴的夹角分别反映直线对另两个投影面的夹角；影轴的夹角分别反映直线对另两个投影面的夹角； 另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴， 且长度比空间直线短。且长度比空间直线短。 垂直线垂直线 铅垂线：铅垂线： 正垂线：正垂线： 侧垂线侧垂线: : 图图2-22 2-22 投影面垂直线投影面垂直线 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性 ba ba z x a(b) 图图2-23 2-23 投影面垂直线的投影特性投影面

14、垂直线的投影特性 yH yW a b a b a(b) a(b) a(b) a b ab ba ba 图图2-23 2-23 投影面垂直线的投影特性（续）投影面垂直线的投影特性（续） 投影面垂直线投影特性：投影面垂直线投影特性： 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点；在其垂直的投影面上的投影积聚为一点； 另外两个投影面上的投影反映空间线段的实另外两个投影面上的投影反映空间线段的实 长，且分别垂直于相应的投影轴。长，且分别垂直于相应的投影轴。 一般位置直线一般位置直线 a b a b a b z x 图图2-24 2-24 一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性 投影特性：投影特性： 三个投

15、影为倾斜线，三个投影为倾斜线， 均小于实长；均小于实长； 各投影与投影轴的夹各投影与投影轴的夹 角不反映直线对投影角不反映直线对投影 面的夹角。面的夹角。 yH yW a b a b a b三、直线上取点的投影三、直线上取点的投影 z x k k k 图图2-25 2-25 直线上点的投影直线上点的投影 投影特性：投影特性： 直线上点的投影必在该直线上点的投影必在该 直线同面投影上；直线同面投影上； 同直线上两线段长度比同直线上两线段长度比 等于其投影长度比。等于其投影长度比。 AK : KB = ak : kb = ak : kb = ak : kb yH yW 解：解：分析：分析：CDCD

16、为侧平线，为侧平线，K K在直线上，必在直线在直线上，必在直线ABAB的同面投影上，的同面投影上， 作图：作图： X c d O d k c X c d O d k c k 例例2-12-1已知直线已知直线CDCD的正面投影和水平投影和的正面投影和水平投影和K K点的水平投影点的水平投影 ，求，求K K点的正面投影。点的正面投影。 图图2-26 2-26 求直线上点的投求直线上点的投 影影 l2 l1 l2 l1 k1 d1 X a b O b m a m z b a m 例例2-2 2-2 已知直线已知直线ABAB和和M M点的正面投影和水平投影，问点的正面投影和水平投影，问M M 点是否在

17、直线上？点是否在直线上？ 解：解：分析：分析：ABAB为侧为侧 平线，平线，M M在直线上，在直线上， 必在直线必在直线ABAB的同面的同面 投影上，并满足定投影上，并满足定 比规律。比规律。 作图：作图： 方法一方法一 分割线段成定比分割线段成定比 方法二方法二 画第三投影画第三投影 图图2-27 2-27 判断点是否在直线上判断点是否在直线上 结论：结论：M M点不在直线上。点不在直线上。 yH yW 四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉。空间两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉。 1.1.平行平行 图图2-28 2-28 两直线的平行

18、两直线的平行 图图2-29 2-29 判断两直线是否平行判断两直线是否平行 例例2-3 2-3 判断两直线是否平行？判断两直线是否平行？ 结论：结论：两直线不平行两直线不平行 O X Z YH YW e d f e f c d d c e f c 2.2.相交相交 图图2-30 2-30 两直线相交两直线相交 图图2-31 2-31 判断两直线是否相交判断两直线是否相交 例例2-4 2-4 判断两直线是否相交？判断两直线是否相交？ 结论：两直线不相交。结论：两直线不相交。 O X Z YH YW a d b a b c d d c a b c k k k 3.3.交叉交叉 图图2-32 2-3

19、2 两直线交叉两直线交叉 例例2-5 2-5 判断两直线是否交叉？判断两直线是否交叉？ O X c d d c a b a b 结论：两直线交叉。结论：两直线交叉。 O X c d d c a b a b 一、平面的表示法一、平面的表示法 2.2.平面的视图表示法平面的视图表示法 1.1.平面的几何表示法平面的几何表示法 2-5 平 面 的 投 影 二、平面的投影特性二、平面的投影特性 1.1.平面对投影面的投影特性平面对投影面的投影特性 投影面垂直面：投影面垂直面： 只垂直于某一个投影面而对另只垂直于某一个投影面而对另 外两个投影面倾斜的平面。外两个投影面倾斜的平面。 投影面平行面：投影面平

20、行面： 平行于某一个投影面的平面。平行于某一个投影面的平面。 一般位置平面：一般位置平面： 对三个投影面都倾斜的平面。对三个投影面都倾斜的平面。 图图2-33 2-33 平面相对于投影面的位平面相对于投影面的位 置置 2.2.各种位置平面的投影及投影特性各种位置平面的投影及投影特性 投影面平行面：投影面平行面： 侧平面侧平面 水平面水平面 正平面正平面 a bc a b c a b c z x 图图2-34 2-34 投影面平行面投影面平行面 yH yW b c b cb a a c b a cb a c a c b c c b a a a bca b 图图2-35 2-35 投影面平行面的投

21、影特性投影面平行面的投影特性 投影面平行面的投影特性：投影面平行面的投影特性： 在其平行的投影面上的投影反映平面实形；在其平行的投影面上的投影反映平面实形； 另外两个投影面上的投影积聚为直线，且平行于相另外两个投影面上的投影积聚为直线，且平行于相 应的投影轴。应的投影轴。 a b c a b c a b c 投影面垂直面投影面垂直面 铅垂面铅垂面 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 x z 图图2-36 2-36 投影面垂直面投影面垂直面 yH yW c b a c b c b a a xx x c b b c a b c a b c a c b a a a b c 图图2-37 2-37 投影面垂直

22、面的投影特性投影面垂直面的投影特性 投影面垂直面的投影特性：投影面垂直面的投影特性： 在其垂直的投影面上的投影积聚成与该投影面内在其垂直的投影面上的投影积聚成与该投影面内 的两根投影轴倾斜的直线；的两根投影轴倾斜的直线； 另外两个投影面上的投影为空间平面的类似形另外两个投影面上的投影为空间平面的类似形。 一般位置平面一般位置平面 一般位置平面的投影特性：一般位置平面的投影特性： 平面与三个投影面都倾斜，三个投影为类似形平面与三个投影面都倾斜，三个投影为类似形 各投影不反映平面对投影面倾角的大小各投影不反映平面对投影面倾角的大小 图图2-38 2-38 一般位置平面的投影特性一般位置平面的投影特

23、性 三、平面上的点和直线 直线在平面上的条件：直线在平面上的条件： l通过平面内两点；通过平面内两点； l或通过平面内一点，且平行于平面内一直线。或通过平面内一点，且平行于平面内一直线。 点在平面上的条件：点在平面上的条件： l点在平面内的某一直线上点在平面内的某一直线上 故要在平面内取点，必须先在平面内取直线。故要在平面内取点，必须先在平面内取直线。 1.1.平面内取点平面内取点 x b a c b a z a c b c e e e 图图2-39 2-39 平面内取点平面内取点 yH yW mnm 2.2.平面内取线平面内取线 b a a xo z x c c b c a b 2 n m

24、2 1 21 1 a f e f en c b a c b 2 1 2 1 图图2-40 2-40 平面内取线平面内取线 yW yH 例2-5已知一平面ABCD，判别K点是否在平面上；已知平 面上一点E的水平投影 e，作出其正面投影。 图图2-41 2-41 例例5 5题图题图 a X b c O k ec d a b k d 解：分析：要找K点在不在平面内，先找 过K点的直线在不在平面内。 作图： f 结论：结论： K K点不在平面内点不在平面内 a X b c O k c d a b k d f a b c ec d a b d 分析：点E在平面内，必在平面内某一条直线上。 作图方法一：用

25、过点E的任一辅助线作图。 e XO 作图方法二：用/直线BC的辅助线作图 a b c ec d a d b e XO 回 目 录 概述: 立体包含基本立体和组合体。柱、锥、球立体包含基本立体和组合体。柱、锥、球 、圆环等几何体是组成机件的、圆环等几何体是组成机件的基本体基本体，基本体，基本体 的组合称的组合称组合体组合体，本章着重研究基本体、切割，本章着重研究基本体、切割 体和相贯体的形体特征，立体的投影与作图方体和相贯体的形体特征，立体的投影与作图方 法，在立体表面上作点、作线的方法与三视图法，在立体表面上作点、作线的方法与三视图 的画法的画法。 2-6 基本几何体的投影 平面立体平面立体-

26、由若干个平面围成的实体由若干个平面围成的实体 工程上常用的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）工程上常用的平面立体是棱柱（主要是直棱柱） 和棱锥（棱台）。和棱锥（棱台）。 平面立体侧表面的交线称为平面立体侧表面的交线称为棱线棱线。 若平面立体所有棱线互相平行，称为若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱棱柱。 若平面立体所有棱线交于一点，称为若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥棱锥。 棱台棱台棱柱棱柱棱锥棱锥 图图2-42 平面立体平面立体 绘制平面立体的投影，即是绘制平面立体上所有 平面的投影，也就是绘制平面立体上各平面间的 交线(棱线)和各顶点(棱线的交点)的投影。 平面体的投影特征：平面体的投影特

27、征： 体的三面投影图之间保持三等关系，适应整体和每一体的三面投影图之间保持三等关系，适应整体和每一 局部。局部。 体上各组成平面的投影，一般表现为一个封闭的线框，体上各组成平面的投影，一般表现为一个封闭的线框， 特殊积聚为一直线。特殊积聚为一直线。 投影图上各线框的分界线，表示物体表面发生变化投影图上各线框的分界线，表示物体表面发生变化 （凹、凸或转折）（凹、凸或转折） 直棱柱直棱柱-顶面和底面是两个全等且相互平行的多边形顶面和底面是两个全等且相互平行的多边形 （特征面），各侧面为矩形。（特征面），各侧面为矩形。 正棱柱正棱柱-顶面和底面为正多边形的直棱柱。顶面和底面为正多边形的直棱柱。 一、

28、 棱柱棱柱 1. 1. 棱柱的投影棱柱的投影 作图作图: : 1. 棱柱的投影 分析分析: :正六棱柱正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。由顶面、底面和六个侧棱面组成。正六棱柱正六棱柱的的 顶面、底面为顶面、底面为水平面水平面，在俯视图中反映实形。，在俯视图中反映实形。 (a) 直观图 (b) 投影图 图图2-43 正六棱柱的投影正六棱柱的投影 由于棱柱的由于棱柱的表面都是平面表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与，所以在棱柱的表面上取点与 在在平面上取点平面上取点的方法相同。的方法相同。 2. 棱柱表面上点的投影 (a) 直观图 M A B D C 点的可见性判别：点的可见性判别： 若点所

29、在平面的若点所在平面的 投影可见，点的投影投影可见，点的投影 可见；若平面的投影可见；若平面的投影 积聚成直线，点的投积聚成直线，点的投 影也可见。影也可见。 已知六棱柱已知六棱柱ABCD侧表面上点侧表面上点M的的V面投影面投影m， 求该点的求该点的H面投影面投影m和和W面投影面投影m 。 (b) 投影图 m (a) 直观图 a(d) b(c) a d b c M A B D C m m 平面立体投影可见性的判别规律平面立体投影可见性的判别规律： （1)1)在平面立体的每一投影中，其在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线都是可外形轮廓线都是可 见的。见的。 （2)2)在平面立体的每一投影中，外形

30、轮廓线内的直线在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的直线 的可见性，相交时可利用交叉两直线的的可见性，相交时可利用交叉两直线的重影点重影点来判别来判别 。 （3)3)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，若多在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，若多 条棱线交于一点，且条棱线交于一点，且交点可见交点可见，则这些，则这些棱线均可见棱线均可见， 否则均不可见。否则均不可见。 （4)4)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，两可两可 见表面相交，其交线为可见见表面相交，其交线为可见。两不可见表面的交线为。两不可见表面的交线为 不可见。不可见。 1. 1. 棱锥的

31、投影棱锥的投影 二、二、 棱锥棱锥 棱锥棱锥-底面是多边形，各侧面为若干具有公共顶点的底面是多边形，各侧面为若干具有公共顶点的 三角形。三角形。 正棱锥正棱锥-底面为正多边形底面为正多边形, ,各侧面是全等的等腰三角各侧面是全等的等腰三角 形的棱锥。形的棱锥。 A S B C 1. 1. 棱锥的投影棱锥的投影 分析分析: :正三棱锥正三棱锥由底面和三个侧棱面组成。由底面和三个侧棱面组成。正三棱锥正三棱锥的底面为的底面为水平面水平面， 在俯视图中反映实形。在俯视图中反映实形。后侧棱面为后侧棱面为侧垂面侧垂面，在左视图中积聚为一斜线。，在左视图中积聚为一斜线。 左、右侧棱面是左、右侧棱面是一般位置

32、平面一般位置平面，在三个投影面上的投影为，在三个投影面上的投影为类似形类似形。 作图作图: : Y X Z s S s b c A C Bb a b c s a a O (c) (a) 直观图 (b) 投影图 a b a b c c a (c) b 图图2-44 正正三棱锥三棱锥的投影的投影 s s s A S C B a s c b a b c s a (c) b s b a s c s a b c (c)a b s O Z X 已知棱面已知棱面SAB上点上点M的正面投影的正面投影m和棱面和棱面SAC上点上点N的的 水平投影水平投影n。求作。求作M、N两点的其余投影。两点的其余投影。 2.

33、2. 棱锥表面上点的投影棱锥表面上点的投影 采用什么方法？采用什么方法？ 平面上取点法平面上取点法 (a) 直观图 (b) 投影图 m m m M n (n ) n m 作图方法作图方法1 1 m m 已知棱面已知棱面SAB上点上点M的正面投影的正面投影m和棱面和棱面SAC上点上点N的的 水平投影水平投影n。求作。求作M M、N N两点的其余投影。两点的其余投影。 2. 2. 棱锥表面上点的投影棱锥表面上点的投影 m m (a) 直观图 (b) 投影图 作图方法作图方法2 2 注意：注意： 分清直线所在表面，分清直线所在表面， 求出与所有棱线的交点。求出与所有棱线的交点。 A S C B a

34、s c b a b c s a (c) b s b a s c s a b c (c)a b s O Z X m m M m m 3. 3. 棱锥台棱锥台 棱锥台棱锥台-由平行于棱底的平面截去锥顶一部分形成由平行于棱底的平面截去锥顶一部分形成 的立体的立体, ,顶面与底面是相互平行的相似多边形顶面与底面是相互平行的相似多边形, ,各侧面各侧面 为等腰梯形。为等腰梯形。 正棱锥台正棱锥台-由正棱锥截得的棱台。由正棱锥截得的棱台。 四棱锥台的投影图四棱锥台的投影图 (a) 直观图(b) 投影图 图图2-45 四棱锥台的投影四棱锥台的投影 小小 结结 1. 1.平面立体投影的作图可归结为绘制平面平面

35、立体投影的作图可归结为绘制平面 （立体表面）和（棱）线投影的作图。（立体表面）和（棱）线投影的作图。 如果点或直线在特殊位置平面内如果点或直线在特殊位置平面内，则作图时，则作图时， 可充分利用平面投影有可充分利用平面投影有积聚性积聚性的特点，由一个投的特点，由一个投 影求出其另外两个投影；影求出其另外两个投影； 2.2.在立体表面上取点、取线的方法与在平面在立体表面上取点、取线的方法与在平面 上取点、取线的方法相同。上取点、取线的方法相同。 如果点或直线在一般位置平面内如果点或直线在一般位置平面内，则需过已，则需过已 知点的一个投影知点的一个投影作辅助线作辅助线，求出其它投影。，求出其它投影。

36、 曲面立体曲面立体-由回转面或回转面和平面围成的立体由回转面或回转面和平面围成的立体 一动线绕一定线回转一周后形成的曲面一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为称为回转面回转面。 形成回转面的定线称为形成回转面的定线称为轴线轴线, ,动线称为动线称为母线母线, ,母线在母线在 回转面上任意位置称为回转面上任意位置称为素线素线。 (a) 轴线轴线 母线母线 图图2-46 回转体和回转面的形成回转体和回转面的形成 (b) 工程上常见的回转体有圆柱、圆锥、球、圆环等。 l绘制回转体的投影，即是绘制回转体的回转面和平绘制回转体的投影，即是绘制回转体的回转面和平 面的投影，也就是绘制回转体的轮廓线、尖顶的

37、投面的投影，也就是绘制回转体的轮廓线、尖顶的投 影以及转向轮廓线。影以及转向轮廓线。 (a) 圆柱圆柱 (b) 圆锥圆锥 (c) 圆球圆球 (d) 圆环圆环 图图2-47 常见的常见的回转体回转体 一、圆柱-由圆柱面、顶面、底面围成 圆柱面圆柱面-一直线绕与它平行一直线绕与它平行 的轴线回转而成。的轴线回转而成。 圆柱立体分析圆柱立体分析: :当圆柱的轴线当圆柱的轴线 是铅垂线时是铅垂线时, ,圆柱面上的所圆柱面上的所 有素线都是铅垂线有素线都是铅垂线, ,顶面和顶面和 底面为水平面。底面为水平面。 图图2-48 圆柱的形成圆柱的形成 1.圆柱的投影 圆柱的投影分析圆柱的投影分析: 顶面、底面

38、的水平投影重顶面、底面的水平投影重 合为一圆，正面投影和侧合为一圆，正面投影和侧 面投影分别重影为两直线；面投影分别重影为两直线； 圆柱面的水平投影积聚为圆柱面的水平投影积聚为 一圆，正面投影和侧面投一圆，正面投影和侧面投 影分别画出转向轮廓素线影分别画出转向轮廓素线 的投影。的投影。 转向轮转向轮 廓素线廓素线 图图2-49 圆柱的投影圆柱的投影 作圆柱投影图 圆柱的投影特性圆柱的投影特性: 回转轴线用点划线表示；回转轴线用点划线表示； 水平投影积聚为一圆；水平投影积聚为一圆； 正面投影和侧面投影均正面投影和侧面投影均 为矩形。为矩形。 图图2-50 圆柱的投影圆柱的投影 2.圆柱面上取点

39、已知圆柱面上M点和N点的正面投影，求水平投影和侧面投影。 m m m 分析分析：点在圆柱面上，利：点在圆柱面上，利 用水平投影积聚性，可以用水平投影积聚性，可以 求出点求出点M和点和点N的水平投的水平投 影。影。 作图作图： ( ) n n (n) 图图2-51 圆柱面上取点圆柱面上取点 二、圆锥-由圆锥面、底面围成 圆锥面圆锥面-一直线绕与它相一直线绕与它相 交的轴线回转而成。交的轴线回转而成。 圆锥立体分析圆锥立体分析: :当圆锥的轴当圆锥的轴 线是铅垂线时线是铅垂线时, ,底面为底面为 水平面，圆锥面上的所水平面，圆锥面上的所 有素线都是通过锥顶的有素线都是通过锥顶的 直线。直线。 图图

40、2-52 圆锥的形成圆锥的形成 1.圆锥的投影 转向轮转向轮 廓素线廓素线 圆锥的投影分析圆锥的投影分析: 底面的水平投影反映实形底面的水平投影反映实形 为一圆，正面投影和侧面为一圆，正面投影和侧面 投影分别重影为一直线；投影分别重影为一直线； 圆锥面的水平投影为一圆，圆锥面的水平投影为一圆， 正面投影和侧面投影分别正面投影和侧面投影分别 画出转向轮廓素线的投影。画出转向轮廓素线的投影。 图图2-53 圆锥的投影圆锥的投影 作圆锥投影图 圆锥的投影特性圆锥的投影特性: 回转轴线用点划线表示；回转轴线用点划线表示； 水平投影为一圆（底面轮廓水平投影为一圆（底面轮廓 线），无积聚性；线），无积聚性

41、； 正面投影和侧面投影为相同的正面投影和侧面投影为相同的 等腰三角形。等腰三角形。 图图2-54 圆锥的投影圆锥的投影 2.圆锥面上取点 已知圆锥面上点A的正面投影，求水平投影和侧面投影。 作图方法一：辅助纬圆法 a a a A 辅助纬圆辅助纬圆 图图2-55 圆锥面上取点圆锥面上取点 (a) (b) a 作图方法二：辅助素线法 a s 辅助素线辅助素线 A b a (c) 图图2-56 圆锥面上取点圆锥面上取点 (d) bb 三、圆球-由球面围成 球面球面-半圆绕其直径为轴半圆绕其直径为轴 线回转一周而成。线回转一周而成。 图图2-57 圆球的形成圆球的形成 1.球的投影 图图2-58 圆球

42、的投影圆球的投影 图图2-59 圆球的投影圆球的投影 (a)(b) (c) (d) 作球的投影图 球的投影特性球的投影特性 三个投影均为平行于投三个投影均为平行于投 影面的最大圆的投影影面的最大圆的投影 （转向轮廓线的投影）；（转向轮廓线的投影）； 圆的直径圆的直径= =球的直径；球的直径； 三个圆均无积聚性。三个圆均无积聚性。 图图2-60 圆球的投影圆球的投影 a 2.球面上取点 已知球面上点A的正面投影，求水平投影和侧面投影。 用辅助纬圆法作图 a A a 辅助纬圆 图图2-61 球面上取点球面上取点 (a) (b) a 用辅助正平圆作图 辅助纬圆 A a a 图图2-62 球面上取点球

43、面上取点 (c)(d) 四、不完整曲面立体的投影 图图2-57 不完整曲面立体不完整曲面立体的投影的投影 四、不完整曲面立体的投影 图图2-57 不完整曲面立体不完整曲面立体的投影的投影 尺寸基准：尺寸基准： 定位尺寸标注的起点，在长、宽、高三个方向上至少选定位尺寸标注的起点，在长、宽、高三个方向上至少选 定一个。定一个。 能作尺寸基准的有对称中心线、底面、主要的端平面、能作尺寸基准的有对称中心线、底面、主要的端平面、 轴线或主要轴线。轴线或主要轴线。 2-7 几何体的尺寸注法 1.1.平面立体的尺寸注法平面立体的尺寸注法 图图2-58 平面立体的尺寸注法平面立体的尺寸注法 2.曲面立体的尺寸

44、注法： 图图2-59 曲面立体的尺寸注法曲面立体的尺寸注法 2-8 几何体的轴测图 轴测图属于单面平行投影图，能反映轴测图属于单面平行投影图，能反映 物体三个方向的形状，直观性好，在工物体三个方向的形状，直观性好，在工 程上常用作辅助图样。主要学习绘制轴程上常用作辅助图样。主要学习绘制轴 测图的基本方法，对发展空间思维和想测图的基本方法，对发展空间思维和想 象能力会有很大的促进。象能力会有很大的促进。 图图a是用正投影的方法绘制的是用正投影的方法绘制的三面投影图三面投影图。它不仅能够确定物体的形状。它不仅能够确定物体的形状 和大小，而且画图简便。但由于这种图立体感不强，缺乏读图能力的人很和大小

45、，而且画图简便。但由于这种图立体感不强，缺乏读图能力的人很 难看懂。难看懂。 图图b是用平行投影法在一个投影面绘制的是用平行投影法在一个投影面绘制的轴测图轴测图。它能同时反映出物体长、。它能同时反映出物体长、 宽、高三个方向的尺度，直观性好，立体感强。但度量性差，不能确切表达物宽、高三个方向的尺度，直观性好，立体感强。但度量性差，不能确切表达物 体原形，所以，它在工程上只作为辅助图样使用。体原形，所以，它在工程上只作为辅助图样使用。 1、轴测图的基本知识 图图2-60 2-60 三面投影图与轴测图的对比三面投影图与轴测图的对比 V H XO Z Y O X Y Z Y C X O Z A B

46、O1 X1 Z1 Y1 A1 B1 C1 轴测投影面轴测投影面 轴测图轴测图 轴测轴：轴测轴：O O1 1X X1 1、O O1 1Y Y1 1、O O1 1Z Z1 1 轴间角：轴间角：XX1 1O O1 1Y Y1 1、X X1 1O O1 1Z Z1 1 YY1 1O O1 1Z Z1 1 轴向伸缩系数：轴向伸缩系数： X X轴向伸缩系数轴向伸缩系数p p1 1= O= O1 1A A1 1 OAOA Y Y轴向伸缩系数轴向伸缩系数 q q1 1= O= O1 1B B1 1 OBOB Z Z轴向伸缩系数轴向伸缩系数r r1 1= O= O1 1C C1 1 OCOC 轴测图就是将物体连

47、同其参考直角坐标系一起轴测图就是将物体连同其参考直角坐标系一起，沿不平行任一坐标面的方向，沿不平行任一坐标面的方向， 投影法将其平行投射在单一投影面上所得到的图形。投影法将其平行投射在单一投影面上所得到的图形。用用平行平行 一、轴测图的形成 图图2-61 2-61 轴测投影的形成轴测投影的形成 V H XO Z Y O X Y Z Y C X O Z A B O1 X1 Z1 Y1 A1 B1 C1 轴测图按投射方向对轴测投影面轴测图按投射方向对轴测投影面 正轴测图正轴测图 斜轴测图斜轴测图 垂直垂直或倾斜分为：或倾斜分为： 轴测图按轴测图按三个轴的轴向伸缩系数三个轴的轴向伸缩系数 是否相同又

48、分为：是否相同又分为： 正正( (斜斜) )等轴测图，等轴测图，p p1 1= =q q1 1= =r r1 1; ; 正正( (斜斜) )二轴测图，二轴测图，p p1 1= =q q1 1r r1 1或或 q q1 1= =r r1 1p p1 1或或r r1 1= =q q1 1q q1 1; ; 正正( (或斜或斜) )三轴测图，三轴测图，p p1 1q q1 1r r1 1。 平行性：平行性： 平行与坐标轴的线段，轴测图中仍然平行平行与坐标轴的线段，轴测图中仍然平行轴测轴。轴测轴。 测图中仍然互相平行。测图中仍然互相平行。物体上互相平行的线段，轴物体上互相平行的线段，轴 三、轴测图的分

49、类 四、轴测图的四、轴测图的投影特性投影特性 图图2-62 2-62 轴测投影的形成轴测投影的形成 p Y Z1 X1 O1 1 Y X Z O 投射方向垂直P面 轴测投影面轴测投影面 4-2 正等轴测图 一、正等测图的形成一、正等测图的形成 物体物体 正等轴测投影正等轴测投影 图图2-63 2-63 正等轴测图的形成正等轴测图的形成 XX1 1O O1 1Y Y1 1= X= X1 1O O1 1Z Z1 1=Y=Y1 1O O1 1Z Z1 1=120=120 p p= =q q= =r r11 二、正等轴测图的画图参数 图图2-64 2-64 正等轴测图的画图参数正等轴测图的画图参数 Z

50、1 O1 Y1 X1 120120 120 r r1 1 q q1 1 p p1 1 根据立体表面上各顶点的坐标值，沿轴线方向定出它们在轴测图中根据立体表面上各顶点的坐标值，沿轴线方向定出它们在轴测图中 的位置的位置 , , 利用轴测图的投影特性利用轴测图的投影特性平行性平行性作图。作图。 例例4-4-1 1 作出如图所示的正六棱柱的正等轴测图作出如图所示的正六棱柱的正等轴测图 o x x Y1 y o z1 z x1 o1 三、正等轴测图的画 法1. 1. 平面立体的正等测图平面立体的正等测图 第一步：第一步：在正投影在正投影 图中定出原点和坐图中定出原点和坐 标轴的位置标轴的位置 第二步：

51、第二步：画出坐标画出坐标 轴的轴测投影轴的轴测投影 第三步：第三步：在轴测图在轴测图 中截取六边形的六中截取六边形的六 个顶点，连接六点个顶点，连接六点 得正六边形顶面。得正六边形顶面。 第四步：第四步：根据平行根据平行 性截取正六棱柱高，性截取正六棱柱高， 定出底面上的点，定出底面上的点， 并顺次连线。并顺次连线。 图图2-65 2-65 正六棱柱的正等轴测正六棱柱的正等轴测 图图 第五步：第五步：擦去作图擦去作图 线，加深轮廓线，线，加深轮廓线， 完成轴测图。完成轴测图。 例例4-4-1 1 作出如图所示的正六棱柱的正等轴测图作出如图所示的正六棱柱的正等轴测图 o x x y o z 图图

52、2-65 2-65 正六棱柱的正等轴测图（续）正六棱柱的正等轴测图（续） y z x o x o a b c s ab c s X1 Y1 o1 z1 A C B S 例4-2 求作图示三棱锥的正等测图 图图2-66 2-66 三棱锥的正等轴测图三棱锥的正等轴测图 例例4-2 4-2 求作图示三棱锥的正等测图求作图示三棱锥的正等测图 x x y z o o a b c s ab c s A C B S 图图2-67 2-67 三棱锥的正等轴测图（续）三棱锥的正等轴测图（续） x o y x o z O1 Z1 X1 Y1 例4-3 求作图示平面立体的正等测图 图图2-68 2-68 平面立体的

53、正等轴测图平面立体的正等轴测图 例例4-3 4-3 求作图示平面立体的正等测图求作图示平面立体的正等测图 图图2-69 2-69 平面立体的正等轴测图（续）平面立体的正等轴测图（续） y y x x 基本投影面上圆的正等测投影均为椭圆，基本投影面上圆的正等测投影均为椭圆，为了简化作图，通为了简化作图，通 常采用常采用四段圆弧组成的扁圆代替椭圆四段圆弧组成的扁圆代替椭圆四心法近似画法四心法近似画法 o o x x1 z z1 y y1 o o1 2. 曲面立体的正等轴测图 水平圆的正等轴测图水平圆的正等轴测图 图图2-70 2-70 水平圆的正等轴测图水平圆的正等轴测图 平行于正面的轴测图 平行

54、于侧面的轴测图 Z X Y 1 1 1 1O 平行于水平面的的轴测图 平行于水平面的平行于水平面的椭圆：椭圆： 短轴短轴O O1 1Z Z1 1. .长轴长轴O O1 1Z Z1 1 平行于正平面的平行于正平面的椭圆：椭圆： 短轴短轴O O1 1Y Y1 1. .长轴长轴O O1 1Y Y1 1 平行于侧平面的平行于侧平面的椭圆：椭圆： 短轴短轴O O1 1X X1 1. .长轴长轴O O1 1X X1 1 平行于三个坐标面的圆的正等轴测图 图图2-71 2-71 平行于三个坐标面的圆的正等轴测图平行于三个坐标面的圆的正等轴测图 z z1 o o y y oo x x ZZ x x1 y y1

55、 o o1 xx 圆圆 弧弧 公公 切切 线线 例4-4 作如图所示的圆柱体的正等轴测图。 图图2-72 2-72 圆柱体的正等轴测图圆柱体的正等轴测图 例例4-4 4-4 作如图所示的圆柱体的正等轴测图。作如图所示的圆柱体的正等轴测图。 图图2-73 2-73 圆柱体的正等轴测图（续）圆柱体的正等轴测图（续） o x z x o y X1 Y1 Z1 O1 圆圆 弧弧 公公 切切 线线 例4-5 作如图所示带圆角的长方体的正等轴测图。 图图2-74 2-74 带圆角长方体的正等轴测图带圆角长方体的正等轴测图 例例4-5 4-5 作如图所示带圆角的长方体的正等轴测图作如图所示带圆角的长方体的正

56、等轴测图 图图2-75 2-75 带圆角长方体的正等轴测图（续）带圆角长方体的正等轴测图（续） A1 1 2 3 4 A R o x z y 圆圆 弧弧 公公 切切 线线 31 11 21 41 圆弧公切线圆弧公切线 Z Y 1 1 Z Y o 1 X1X11 xo 例4-6 作出如图所示支架的正等轴测 图图2-76 2-76 支架的正等轴测图支架的正等轴测图 R1 R1 R1 R1 例例4-6 4-6 作出如图所示支架的正等轴测作出如图所示支架的正等轴测 Z Y 1 1 Z Y 1 X1X11 R o x z y xo R1 R1 R1 R1 o 图图2-77 2-77 支架的正等轴测图（续

57、支架的正等轴测图（续1 1） 例例4-6 4-6 作出如图所示支架的正等轴测作出如图所示支架的正等轴测 R 图图2-77 2-77 支架的正等轴测图（续支架的正等轴测图（续2 2） p 轴测投影面轴测投影面 斜二等轴测投影斜二等轴测投影 物体物体 z x y o 一、斜二轴测图的形成一、斜二轴测图的形成 图图2-78 2-78 斜二轴测图斜二轴测图 Z1 X1 O1 Y1 XX1 1O O1 1Y Y1 1= = YY1 1O O1 1Z Z1 1= =135135 XX1 1O O1 1Z Z1 1= =9090 p p1 1= =r r1 1= =1 1q q1 1= =0.50.5 二、斜二轴测图的画图参数 图图2-79 2-79 斜二轴测图的画图参数斜二轴测图的画图参数 X1 O1 Z1 Y1 p=1 r=1 q=0.5 135 135 90 三、斜二等轴测图的画法 平行平行X X1 1O O1 1Z Z1 1面，为圆；面，为圆； 平行平行X X1 1O O1 1Y Y1 1面