球和它的性质公开课

1、赣州市第九中学 刘敏华刘敏华 2007.4 课程目标课程目标 2 大圆小圆大圆小圆球的概念球的概念截面性质截面性质球面距离球面距离 地球经纬地球经纬球的画法球的画法例题讲解例题讲解课堂练习课堂练习课堂小结课堂小结 封底封底 退出退出 书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 勤 奋、守 纪、自 强、自 律！ 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 观察现实生活中的各种球形观察现实生活中的各种球形 网球网球 保龄球保龄球 木星木星 地球仪地球仪 足球足

2、球 篮球篮球 主菜单主菜单上一张下一张 球的概念 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 球体球体 观察球的形成过程观察球的形成过程 球的概念 模模 拟拟 演演 示示 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 1.球的定义球的定义 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲 面叫做球面面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体球面所围成的几何体叫做球体. 与定点与定点(圆心圆心)的距离等于或小于定长的距离等于或小于定长(半径半径) 的点的集合叫做球体，简称球的点的集合叫做球体，简称球. 球的旋转定球的旋转定 义义 球的集合定义球的集合定义 主菜单上一

3、张下一张 球的概念 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华D D 2.球的有关概念球的有关概念 球体与球面的区别球体与球面的区别 球面：半圆以它的直径为旋转轴球面：半圆以它的直径为旋转轴, ,旋转所成的曲面旋转所成的曲面. . 球球( (即球体即球体):):球面所围成的几何体球面所围成的几何体. . 它包括它包括球面和球面所包围的空间球面和球面所包围的空间. . D D 半圆的圆心叫做半圆的圆心叫做球心球心. 一个球用它的球心字母一个球用它的球心字母 来表示，例如来表示，例如 球球O. 连结球心和球面上任意一点的连结球心和球面上任意一点的 线段叫做球的线段叫做球的（线段（线段OP).

4、 连结球面上两点并经过球心的连结球面上两点并经过球心的 线段叫做球的线段叫做球的直径直径（线段（线段AB). O A B P 主菜单上一张下一张 球的概念 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 观察球的截面的形状？观察球的截面的形状？ 模 拟 演 示 主菜单上一张下一张 截面性质 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 用一个平面去截一个球用一个平面去截一个球, ,截面是圆面截面是圆面( (黄色圆面黄色圆面).). 2.2.球心到截面的距离球心到截面的距离d d与球的与球的 半径半径R,R,小圆半径小圆半径 r ,r ,有下面有下面 的关系的关系: : 1.1.球心和截面

5、圆心的连线垂直于该截面球心和截面圆心的连线垂直于该截面. . 截面的性质：截面的性质： 截面的定义：截面的定义： 22 dRr r d R O 主菜单上一张下一张 截面性质 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 r d R O 球心到截面的距离球心到截面的距离d d与球的与球的 半径半径R R和截面半径和截面半径r r有下面的有下面的 关系关系: : 22 rRd 主菜单上一张下一张 截面性质 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 模 拟 演 示 主菜单上一张下一张 大圆小圆 观察球被平面所截发生的现象观察球被平面所截发生的现象 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学

6、 刘敏华 大小圆的定义大小圆的定义 1.1.大圆：大圆：球面被球面被经过球经过球 心心的平面截得的圆叫做大的平面截得的圆叫做大 圆圆.如如 O(浅蓝色圆面）浅蓝色圆面）. o O 2.2.小圆：小圆：球面被球面被不经过球不经过球 心心的平面截得的圆叫做小的平面截得的圆叫做小 圆圆. 如如 O(黄色圆面）黄色圆面）. 主菜单上一张下一张 大圆小圆 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 假如你要乘坐从北京直飞纽约的飞机假如你要乘坐从北京直飞纽约的飞机, ,设设 想一下想一下, ,它需要沿着怎样的航线飞行呢它需要沿着怎样的航线飞行呢? ?航程大航程大 约是多少呢约是多少呢? ? 球面距离

7、 (3)这无数条弧长哪条最短这无数条弧长哪条最短? (1)北京和纽约间的距离是一条线段的长吗北京和纽约间的距离是一条线段的长吗? -不是不是,是一端圆弧的长是一端圆弧的长. (2)经过球面上的这两点有多少条弧呢经过球面上的这两点有多少条弧呢? -无数条无数条. 我们不妨先看一个例子！我们不妨先看一个例子！ 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 例例1.已知地球半径为已知地球半径为R,A、B两点均位于北纬两点均位于北纬45度度 线上，其经度差为线上，其经度差为90度度. 求求(1)在北纬在北纬45度圈上劣弧度圈上劣弧 的长度的长度; (2) 在经过在经过A、B两地的大圆上劣弧两地的大

8、圆上劣弧 的长度的长度. AB 主菜单上一张下一张 球面距离 AB O O1 AB m ,90 )1( 1 1 ROBBOO BOO 中，中，解：在解：在 . 2 2 ,45 11 RBOOBO , ,90 1 1 RAB BAO ABO 中中，在在 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 AB纬圆中纬圆中 的长度为的长度为 RR 4 2 2 2 . 2 主菜单上一张下一张 O O1 AB m 球面距离 3 R . 3 R 劣弧的长度为劣弧的长度为大圆中大圆中 60 )2( AOB RABOBAO AOB 中，中，在在 A 大圆中劣弧大圆中劣弧 的长度为的长度为 AmB 9.11球和

9、它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 大圆中大圆中 的的 长度小于纬圆长度小于纬圆 中中 长度长度 AmB AB 主菜单上一张下一张 天哪天哪!原原 来如此来如此! O O1 AB m 球面距离 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 球面上两点之间的最短连线的长球面上两点之间的最短连线的长 度，就是经过这两点的大圆在这度，就是经过这两点的大圆在这 两点间的一段劣孤的长度两点间的一段劣孤的长度. 即：球面距离是球面上过即：球面距离是球面上过 两点的大圆在这两点之间两点的大圆在这两点之间 的劣弧的长度的劣弧的长度. P P Q Q O 主菜单上一张下一张 1.1.定义定义 球面距离 9

10、.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 2.两点的球面距离公式两点的球面距离公式 飞机、轮船都是尽可能以飞机、轮船都是尽可能以 大圆弧为航线航行大圆弧为航线航行. . RPQ的长度的长度 P P Q Q O 主菜单上一张下一张 球面上两点距离不能通过球面上两点距离不能通过 解三角形直接求得，一般地解三角形直接求得，一般地 是先求出大圆半径是先求出大圆半径R R和这两和这两 点在大圆上的劣弧所对的圆点在大圆上的劣弧所对的圆 心角心角，再求出弧长，再求出弧长L=RL=R. . 球面距离 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 结合平面几何知识:在以两个定点为端点的弧中，半 径越大

11、弧长越小.(见右图）显然，在球面上北京、纽约 间的最短距离是过这两点的大圆上劣弧的长. P P Q Q 球面距离 .理论根据理论根据 O O1 AB m 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 模拟演示模拟演示 纬度的定义纬度的定义经度的定义经度的定义 主菜单上一张下一张 经度纬度 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 由地理知识知：由地理知识知： AOBAOB为为P P点所在经线的经度点所在经线的经度. . 某点的经度是经过这点某点的经度是经过这点 的经线和地轴确定的半平的经线和地轴确定的半平 面与面与0度经线度经线(本初子午线本初子午线) 和地轴确定的半平面所成和地轴

12、确定的半平面所成 二面角的度数二面角的度数. 地球的经线就是球面上从地球的经线就是球面上从 北极到南极的半个大圆北极到南极的半个大圆. 1.地球的地球的经度经度 本本 初初 子子 午午 线线 地地 轴轴 赤赤 道道 北极北极 P A B O 主菜单上一张下一张 经度纬度 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 2.地球的纬度地球的纬度 赤道是一个大圆，赤道是一个大圆， 其它的纬线都是小圆其它的纬线都是小圆. 某点的纬度就是经某点的纬度就是经 过这点的球半径与赤过这点的球半径与赤 道面所成角的度数道面所成角的度数. 由地理知识知：由地理知识知： AOPAOP的度数的度数为为P P点纬度

13、点纬度. . 地地 轴轴 赤赤 道道 北极北极 P A O 主菜单上一张下一张 经度纬度 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 例例1.1.我国首都靠近北纬我国首都靠近北纬4040纬线。求北纬纬线。求北纬4040纬线纬线 的长度约等于多少的长度约等于多少kmkm（地球半径约为（地球半径约为6 370km6 370km）. . O A B 轴截面轴截面 B O K 40 A 主菜单上一张下一张 例题讲解 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 解：解：如图，如图，A A是北纬是北纬4040纬线上的一点，纬线上的一点，AKAK是它的半径是它的半径 ，所以，所以OKAK.OKA

14、K.设设c c是北纬是北纬4040的纬线长，因为的纬线长，因为 AOB=OAK=40AOB=OAK=40，所以，所以 c =2AK 答：北纬答：北纬40纬线长约等于纬线长约等于3.066104km. C3.066104（km）. 23.14263700.7660， = 2OAcosOAK A B O K 40 由计算器算得由计算器算得 40cos2OA 主菜单上一张下一张 例题讲解 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 （1 1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲）半圆以其直径为轴旋转所成的曲 面叫球面叫球. . （ ） （2 2）在空间，到定点的距离等于定长）在空间，到定点的距离等于定

15、长 的所有点的集合叫球的所有点的集合叫球. . （ ） （3 3）球的小圆的圆心与球心的连线垂）球的小圆的圆心与球心的连线垂 直于这个小圆所在平面直于这个小圆所在平面. . （ ） 1.1.判断正误判断正误：（对的打（对的打，错的打，错的打. .） 主菜单上一张下一张 课堂练习 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 1.1.判断正误：判断正误：（对的打（对的打，错的打，错的打. .） (5)(5)球半径是球半径是5 5，截面圆半径为，截面圆半径为3,3,则球心则球心到截到截 面圆所在平面的距离为面圆所在平面的距离为4.4. （ ） （4 4）经过球面上不同的两点只能作一个大圆）经过球面上不同的两点只能作一个大圆. . ( )( ) 主菜单上一张下一张 课堂练习课堂练习 9.11球和它的性质球和它的性质高二数学 刘敏华 （2）设地球的半径为设地球的半径为R R，在北纬，在北纬30 30 圈上有圈上有A A、B B 两点，它们的经度相差两点，它们的经度相差180 180 ，则，则A A、B B两