离散数学代数系统的一般性质-1

1、第第5 5章章 代数系统的一般代数系统的一般 性质性质 代数结构 【引例引例】 （1）在Z集合上，xZ, 则f(x)=-x是将x映为它的相反 数。-x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运 算的结果。这个运算可表示为函数： f ：ZZ （2）在R+集合上，xR+,则f(x)= 1/x是将x映为它的倒数。 1/x是由x唯一确定的，它是对R+中的一个数施行倒数运算 的结果。这个元算可以表示为函数 f : R+ R+。 （3）设a,bR,则f(a,b)=a+b(a-b，ab)是将两个数a， b映为R中的唯一的一个数，它是对R中的两个数施行加 （减，乘）法运算的结果。这个运算可以表示为函数f :

2、 R2 R。 上述例子都是我们熟悉的数与数的运算,它们有一个共 同特征,就是其运算结果都在原来的集合中且运算结果是唯 一的,它们都是函数。 把这种把这种 数集数集 中的代数运算中的代数运算, ,抽象概括推广到抽象概括推广到 一般集合上，就得到代数运算的概念。集合中的一般集合上，就得到代数运算的概念。集合中的 代数运算实质上是集合中的一类函数。代数运算实质上是集合中的一类函数。 二元运算的定义及其实例 定义定义 设设 S 为集合为集合,函数函数 f：SSS 称为称为 S 上的上的 二元运算二元运算, 简称为简称为二元运算二元运算. 也称也称 S 对对 f 封闭封闭. 特点：特点： -变量和函数值

3、的取值限定在同一个集合上。变量和函数值的取值限定在同一个集合上。 例例1 - (1) N 上的二元运算：加法、乘法上的二元运算：加法、乘法. - (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法上的二元运算：加法、减法、乘法. - (3) 非零实数集非零实数集 R* 上的二元运算上的二元运算: 乘法、除乘法、除 法法. - (4) 设设 S = a1, a2, , an, ai aj = ai ， 为为 S 上二元运算上二元运算. 二元运算的实例（续） (5) 设设 Mn(R) 表示所有表示所有 n 阶阶 (n2) 实矩阵的集实矩阵的集 合，即合，即 矩阵加法和乘法都是矩阵加法和乘法都是 Mn(R)

4、 上的二元运算上的二元运算. (6) 幂集幂集 P(S) 上的二元运算：上的二元运算：, . (7) SS 为为 S 上的所有函数的集合：合成运算上的所有函数的集合：合成运算 . 11121 21222 12 ( ), ,1,2,., n n nij nnnn aaa aaa MRaR i jn aaa 一元运算的定义与实例 定义定义 设设 S S 为集合，函数为集合，函数 f f：S SS S 称为称为 S S 上的一元上的一元 运算，简称为运算，简称为一元运算一元运算. . 例例2 (1) 2 (1) Z, Q Z, Q 和和 R R 上的一元运算上的一元运算: : 求相反数求相反数 (2

5、) (2) 非零有理数集非零有理数集 Q Q* *，非零实数集非零实数集 R R* *上的一元上的一元 运算运算: : 求倒数求倒数 (3) (3) 复数集合复数集合 C C 上的一元运算上的一元运算: : 求共轭复数求共轭复数 (4) (4) 幂集幂集 P P( (S S) ) 上上, , 全集为全集为 S S: : 求绝对补运算求绝对补运算 (5) (5) A A 为为 S S 上所有双射函数的集合，上所有双射函数的集合，A A S SS S: : 求反求反 函数函数 (6) (6) 在在 M Mn n( (R R) ( ) ( n n2 )2 )上，求转置矩阵上，求转置矩阵 运算符运算符

6、 为了简化为了简化n元运算的表示，元运算的表示， 引入运算符来代替函数。引入运算符来代替函数。 如符号如符号“。”、“*”、“”、“”、“”等。等。 前缀表示法前缀表示法 *(a)=b *(a1,a2)=b *(a1,a2,a3)=b 非前缀表示，将运算符写于非前缀表示，将运算符写于n个元素之间，如个元素之间，如ZZZ 的加法：的加法： f(2,3)=+(2,3)=2+3=5 通常将通常将f(2,3)写成写成f(2,3)或或2+3. 运算表表示运算 a1 a2 an ai a1 a2 . . . an a 1 a1 a 1 a2 a 1 an a 2 a1 a 2 a2 a 2 an . .

7、. . . . . . . a n a1 a n a2 a n an a1 a2 . . . an a1 a2 . . . an 运算表的实例 例例4 A = P(a, b), , 分别为对称差和绝对补分别为对称差和绝对补 运算（运算（a,b为全集）为全集） 的运算表的运算表 的运算表的运算表 a b a,b X X a b a,b a b a,b a a,b b b a,b a a,b b a a b a,b a,b a b 运算表的实例（续） 例例5 Z5 = 0, 1, 2, 3, 4 , , 分别为模分别为模 5 加法加法 与乘法与乘法 的运算表的运算表 的运算表的运算表 0 1 2

8、3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 2 4 1 3 0 3 1 4 2 0 4 3 2 1 例：设N3=0, 1, 2, 则N3 上的模3 加法+3 可以 使用运算表来表示, 如表4.1 所示。注意到，运 算表是对称的，这表明运算+3 满足交换律。 +3012 0012 1120 2201 定义5.2 设S是集合，n为正整数，函数 -f : SS.SS 称为集合S上的n元运算，整数n称为运算 的阶。 -从n元代数运算的定

9、义可知它有三点涵义: A中任意n个元素都有运算结果; 运算是封闭的,即运算结果仍在A中; 结果是唯一的。 二元运算二元运算的性质的性质 定义5.3-5.11 设“*”，“”均为集合S上的二元运算。 （1）若 x,yS: x*y=y*x， 则称运算“*” 在S上满足交换律。 实数集合上的加法运算；幂集上的交运算。 （2）若x,y,zS: x*(y*z)=(x*y)*z， 则称运算“*”在S上满足结合律。 实数集合上的加法运算；幂集上的交运算。 如果一个表达式中只有一种运算，该运算满足结合律 ，则可去掉标记运算顺序的括号： （x+y）（z+w）x+y+z+w 如果参与运算的是同一个元素，则可以用幂

10、 的形式表示。 x*x*. *x =xn 幂运算的性质(m,n都为正整数，是正整数 上的普通加法，乘是普通乘法)： xm*xn=xm+n (xm)n=xmn （3）若xA，x*x=x,则称“*”运算满足幂等 律 。同时称S中的全体元素都是幂等元。 幂集上的满足幂等律；不满足幂等律，但运 算有一个幂等元。 （4）若x, y, zS： x*(y z)=(x*y) (x* z), 则称“*”运算对“”运算满足左分配律； (yz)*x=(y*x)(z*x)，则称“*”运算对 “ ”运算满足右分配律。 若二者均成立，则称“*”运算对“ ”运算满 足分配律。 (5）设“*”，“”均可交换，若x，yA,有

11、x*(xy)=x x(x*y)=x 则称运算“*”和“”运算满足吸收律。 幂集上的和运算满足吸收律。 Z, Q, RZ, Q, R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；M Mn n(R(R) )为为 n n 阶实阶实 矩阵集合矩阵集合, n, n 2 2；P(B)P(B)为幂集；为幂集；A AA A 为 为 A A上全体函数，上全体函数， |A|A| 2.2. 集合集合运算运算交换律交换律结合律结合律幂等律幂等律 Z, Q, R普通加法普通加法+有有有有无无 普通乘法普通乘法 有有有有无无 Mn(R)矩阵加法矩阵加法+有有有有无无 矩阵乘法矩阵乘法 无无有有无无 P(B)并并

12、 有有有有有有 交交 有有有有有有 相对补相对补 无无无无无无 对称差对称差 有有有有无无 AA函数函数复复合合 无无有有无无 集合集合 运算运算分配律分配律吸收律吸收律 Z, Q, R普通加法普通加法 + 与乘法与乘法 对对 + 可分配可分配 无无 + 对对 不分配不分配 Mn(R)矩阵加法矩阵加法 + 与乘法与乘法 对对 + 可分配可分配 无无 + 对对 不分配不分配 P(B)并并 与交与交 对对 可分配可分配 有有 对对 可分配可分配 交交 与对称差与对称差 对对 可分配可分配无无 对对 不分配不分配 例3 设A=a,b, A上的运算“*”、“。”分 别如表所示。 *a b a b a

13、b b a 从“*”运算表可知，“*”是可交换的。 因为 (a*a)*b=a*b=b a*(a*b)=a*b=b (a*b)*b=b*b=a a*(b*b)=a*a=a 所以“*”是可结合的。 a b a b a a a b 从“”运算表可知， “”是可交换的。 因为 (aa)b=ab=a a(ab)=aa=a (ab)b=ab=a a(bb)=ab=a 所以“”是可结合的。 （1）b(a*b)=bb=b (ba)*(bb)=a*b=b （2）a(a*b)=ab=a , (aa)*(ab)=a*a=a b(a*a)=ba=a , (ba)*(ba)=a*a=a b(b*b)=ba=a , (b

14、b)*(bb)=b*b=a a(a*a)=aa=a , (aa)*(aa)=a*a=a a(b*b)=aa=a , (ab)*(ab)=a*a=a 所以“”对“*”是可分配的。（由于“”运算 满足交换律成立，因此右分配也成立。） （3）b*(ab)=b*a=b (b*a)(b*b)=ba=a 故“*”对“”是不可分配的。 又由b*(bb)=b*a=a可知“”和“*”不满足吸收律。由 运算表可知，“”满足幂等律，而“*”不满足幂等律。 消去律 定义定义 设设 为为V上二元运算，上二元运算， x, y, z V， 若若 x y = x z,且且 x不是零元，则不是零元，则 y = z 若若 y x

15、 = z x,且且 x 不是零元，则不是零元，则 y = z 那么称那么称 运算满足运算满足 消去律消去律. 实例: - Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. - Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律;幂集P(S)上满足 消去律 -Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于 -模 n乘法满足消去律. 当 n 为合数时关于模 n 乘 法不满足消去律. 二元运算的特异元素二元运算的特异元素 单位元单位元 定义 设 为S上的二元运算,如果存在el（或er）S，使 得对任意xS 都有 el x =x (或xer =x)， 则称el(或er )是S中关于 运算的左(或右)幺元（单位 元

16、）. 若eS关于 运算既是左单位元又是右单位元，则称 e为S上关于 运算的幺元. 例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1 Mn(R)上加法的么元是0矩阵，乘法的幺元是单位阵 P(S)上的么元是 ， 的幺元是S 例：R*是非零实数集，是R*上的二元运算，对R*中任 意a,b, 有aba 则运算不存在左幺元，存在无数个右幺元， 因此不存在幺元 定理定理5.1 设为S上的二元运算，el和er分别为S 中关于运算的左和右幺元，则el=er=e，且e为S 上关于 运算的惟一的幺元. 证：el=eler=eler=er 所以el=er , 将这个幺元记作e. 假设e也是S中的幺元，则有e=ee= e. 惟

17、一性得证. 零元零元 设 为S上的二元运算,如果存在l（或r）S，使 得对任意 xS 都有 l x=l(或x r =r )， 则称l (或r)是S 中关于 运算的左(或右)零元. 若S关于 运算既是左零元又是右零元，则称 为 S 上关于运算 的 零元. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理（定理类似地可以证明关于零元的惟一性定理（定理 5.25.2）. . 例：N上乘法的零元是0，加法没有零元 Mn(R)上乘法的零元是0矩阵，加法没有零元 P(S)上的零元是S ， 的零元是 【例4.3.5】 在实数集 R 中，对加法“+”运算，没有零元； 在实数集 R 中，对乘法运算，0是零元； 对于全集E的子

18、集的并运算，E是零元； 对于全集E的子集的交运算，是零元; 可逆元素及其逆元可逆元素及其逆元 令e为S中关于运算 的幺元.对于xS，如果存在 yl（或yr）S 使得 ylx=e（或xyr =e）， 则称yl(或yr)是x的左逆元(或右逆元 ). 关于运算，若yS既是x的左逆元又是x的右逆元， 则称y为x的逆元. . 如果如果 x x 的逆元存在，就称的逆元存在，就称 x x 是可逆的是可逆的. . 例：N上加法运算，只有0有逆元，为0 Z上加法运算，任何整数都存在逆元，为其相反数 Mn(R)上乘法，只有可逆矩阵存在逆元，为其逆矩阵 P(S)上运算，只有存在逆元，为 实例分析实例分析 集合集合运

19、算运算幺元幺元零元零元逆元逆元 Z, Q, R 普通加法普通加法+0无无X 的逆元的逆元 x 普通乘法普通乘法 10X 的逆元的逆元 x 1 (x-1属于给定集合属于给定集合) Mn(R)矩阵加法矩阵加法+n阶全阶全0矩阵矩阵无无X逆元逆元 X 矩阵乘法矩阵乘法 n阶单位阶单位 矩阵矩阵 n阶全阶全0 矩阵矩阵 X的逆元的逆元 X 1 （X是可逆矩阵）是可逆矩阵） P(B)并并 B 的逆元为的逆元为 交交 BB 的逆元为的逆元为 B 对称差对称差 无无X 的逆元为的逆元为 X 定理定理 设设为为S S上上可结合可结合的二元运算的二元运算, e, e为该运算为该运算 的幺元的幺元, ,对于对于x

20、SxS如果存在左逆元如果存在左逆元y yl l 和右逆元和右逆元y yr r , , 则有则有y yl l=y=yr r=y,=y,且且y y是是x x的惟一的逆元的惟一的逆元. 证 由ylx=e 和xyr =e得 yl =yle=yl (xyr) =(ylx)yr=eyr =yr 令yl =yr=y,则y是x的逆元. 假若yS 也是x的逆元, 则 y=y e=y (xy)=(yx)y=ey=y 所以y是x惟一的逆元. 说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只 有惟一的逆元，记作 x1. 小结：小结： 对于给定的集合和二元运算，幺元、零元、 逆元不同。 如果幺元和零元存在，一定是唯一的。

21、逆元是与集合中的某个元素相关的，有的 元素有逆元，有的元素没有逆元，不同的元素 对应不同的逆元。 注意：当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元 也是零元. 例题分析例题分析 解 (1) 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x, 任取x, y, zQ, (x y) z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz 例6 设 运算为 Q 上的二元运算

22、， x, yQ, x y = x+y+2xy, (1) 运算是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 运算的幺元、零元和所有可逆元. 给定给定 x，设设 x 的逆元为的逆元为 y, 则有则有 x y = 0 成立，即成立，即 x+y+2xy = 0 (x = 1/2) 因此当因此当 x 1/2时，时， 是是 x 的逆元的逆元. x x y 21 x x y 21 (2) 设 运算的幺元和零元分别为 e 和 ，则对于任意 x 有 x e = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 运算可交换，所以 0 是幺元. 对于任意 x 有 x = 成立，即 x+2 x = x + 2

23、 x = 0 = 1/2 例题分析（续）例题分析（续） 例7 (1) 说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的. (2) 求出运算的幺元、零元、所有可逆元素的逆元. a b c a b c a b c a b c c a b a b c b c a a b c a a a b b b c c c a b c a b c b c c c c c 解 (1) 满足交换、结合律； 满足结合、幂等律； 满足交换、结合律. (2)的幺元为b,没零元，a1=c,b1=b, c1=a 的幺元和零元都不存在，没有可逆元素. 的幺元为a，零元为c,a1=a. b, c不可逆. 例8 设 A = a, b, c , 构造 A 上的二元运 算* 使得 a*b =c, c*b = b, 且*运算是幂等的、 可交换的，给出关于*运算的一个运算表，说明它 是否可结合，为什么？ * a b c a b c a c c b b cb 根据幂等律和已知条件根据幂等律和已知条件a*b =c, c*b = b 得到运算表得到运算表 根据交换律得到新的运算表根据交换律得到新的运算表 方框 可以填入a, b, c中任 一选定的符号,完成运算表 不结合，因为 (a*b)*b = c*b = b, a*(b*b) = a*b =