聊聊微积分的产生

1、聊聊天 微积分的产生17、18、19世纪的微积分. 很久很久以前, 在很远很远的一块古老的土地上, 有一群智者 开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、 格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、 牛顿、莱布尼茨、 . 任何研究工作的开端，几乎都是极不完美 的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目 的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝 试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将 正确的途径示以他人。可以这样说，为了 寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败的。 狄德罗 任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或 几百年以前，函数的概念也是如此。直到17世 纪，人们对函数才有了明确的理解。函数概念的 提

2、出，与伽利略和格雷戈里有关。格雷戈里将函 数定义为这样一个量： 它是其他的量经过一系列代数运算而得到的， 或者经过任何其他可以想象到的运算而得到的。 因为这个定义太窄，所以很快就被遗忘了，并 被陆续出现的其它关于函数的定义替代。但即使是 最简单的函数也会涉及到实数。而无理数在17世纪 时并不被人们充分了解，于是，人们在处理数值时 就跳过逻辑，对函数也是如此。在1650年以前，无 理数就一直被人们随心所欲地使用着。 紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是 继欧几里德几何之后，全部数学中的一个最伟大的 创造。虽然在某种程度上，它是已被古希腊人处理 过的那些问题的解答，但是，微积分的创立，首先 还

3、是为了处理十七世纪主要的科学问题的。 哪些主要的科学问题呢? 有四种主要类型的问题. Archimedes 第一类问题 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式， 求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知 物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距 离。 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 第一类问题 求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好

4、几个方面：纯几何问 题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体 在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 第二类问题 第二类问题 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个 没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。 第三类问题 求函数的最大最小值问题。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角 发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。 45 困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。 第三类问题 第四类问题 求曲线的长度、曲

5、线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于 另一个物体上的引力。 困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和 体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用 了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法 缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。 穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而 被根本修改了。 第四类问题 微积分不仅使用了函数概念，还引入 了两个全新的且更为复杂的概念：微分和 积分。这样，除了用来处理数值所需要的 基础外，还需要逻辑方面的基础。 微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。 这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经 有人考虑过（在阿基米

6、德工作中达到高峰），而在 十六世纪和十七世纪，更是越来越受到人们的重 视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始 的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先 驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去 一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是 彼此互逆的联系着。 公正的历史评价，是不能把创建微积分归功于 一两个人的偶然的或不可思议的灵感的。许多人， 例如，费马、伽利略、开普勒、巴罗等都曾为科学 中的这些具有革命性的新思想所鼓舞，对微积分的 奠基作出过贡献。 事实上，牛顿的老师巴罗，就曾经几乎充分认 识到微分与积分之间的互逆关系。牛顿和莱布尼茨 创建的系统的微积分就是基于这一基本思想。

7、 如果我们考虑用小球下落中时间间隔来代替时 刻，用它在这一段时间间隔内下降的距离除以所用时 间，就得到这一间隔中小球的平均速度。我们可以计 算从第四秒起，间隔为 1/2 秒，1/4 秒，1/8 秒， 内的平均速度。显然，时间间隔越短，计算出来的平 均速度就越接近第四秒时的速度。这就是说，我们有 了一个方案：首先计算不同时间间隔内的平均速度， 然后研究当时间间隔越来越小时，它们会趋近于哪一 个数。这个数就是要求的小球在第四秒时第瞬时速 度。 假设一个小球正向地面落去，我们想知道下落后 第 4 秒时小球的速度（瞬时速度）。 小球下落的运动状态可用下面的公式描述： )( 16 2 英尺td 费马所在

8、时代用 的是英制单位 , 256416 4 2 dt时，当 设任意一个时间增量是 h ，在第（4 + h）秒时， 小球会下降 256 英尺加上距离增量 k : 16128256)4(16256 22 hhhk 即 16128 2 hhk 在 h 秒内（时间间隔）的平均速度为 16128 16128 2 h h hh h k 幸好费马作 了这个现在看来 并不合理的除法 运算， 令 h = 0 ，得到小球在第四秒时的下落速度 128 d ) (是牛顿发明的记号 d ? 0 的运算。同除以时，才能对方程两边作只有当hh 16128 16128 2 h h hh h k 即 0 时才正确。只有当h 这

9、样就不能令 h = 0 而得出结论。此外, 对于 16 2 td 这样简单的函数, 可以进行上述化简工作, 而对于更为 复杂的函数, 就不一定可以进行这样的化简工作了, 一 般只能导出如下的关系式： h hf h k)( , 这样，当 h = 0 时，k / h 就是 0 / 0 了，这是没有意义的。 费马一直没能证明他所做的这些，也 没有把这项工作非常深入地进行下去，但 他坚信最终可以得到一个合理的几何证明。 尽管如此，事实上我们必须承认他是微积 分学的创始人之一。 这里的问题是，当把非均匀变化的问题 看成均匀变化时，能表示为两个量的商的形 式，则此时处理非均匀变化问题，可以采 用 ？ 2

10、轴与坐标轴计算抛物线xxy Ox y 1 2 xy S 10 间所围成的面积。在 x Ox y 2 x 2 xy hh 2 y 1 x hyhyS 21 * 1 y Ox y 3 x 2 xy h 3 y hh 1 x 2 x hyhyhyS 321 * 1 y 2 y Ox y n x 2 xy h n y hyhyhyhyS nn 121 * i x i y 如何求此面积的精确值？ 17世纪的数学家们解决这个问题的方法是 让 n 变成无穷大。然而，无穷大的含义本身就 不清楚。它是一个数吗？如果是，怎么对它进 行计算呢？如果它不是一个数，那它又是什么 呢？ 费马在推导求面积的公式时，发现当

11、n 为 无穷大时，包含的 1/n 和 1/n2 项可以忽略不计。 卡瓦列里将上面讨论的面积看成无限多个他称 之为不可分量（牛顿称之为终结不可分量）的 总和。这个终结不可分量到底是什么？当时没 有人能将它说清楚。牛顿后来甚至重申他已经 放弃了终结不可分量，而卡瓦列里只是说，把 一块面积分割为越来越小的小矩形时，最终就 会得到终结不可分量，面积就是由这些终结不 可分量组成的。 这里的问题是，当把非均匀变化的问题 看成均匀变化时，能表示为两个量的积的形 式，则此时处理非均匀变化问题，可以采 用 ？ 实际上在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之 前，微积分的大量知识已经积累起来了。甚至在巴 罗的一本书里就能

12、看到求切线的方法、两个函数的 积和商的微分定理、x 的幂的微分、求曲线的长度、 定积分中的变量代换、隐函数的微分定理等等。 于是人们惊问，在主要的新结果方面，还有什 么有待于发现呢？问题的回答是，方法的较大普遍 性以及从特殊问题里已建立起来的东西中认识其普 遍性。 数学的真正划分不是分为几何和算术，而是分 成普遍的和特殊的。这普遍的东西是由两个包罗万 象的思想家，牛顿和莱布尼茨提供的。 数学和科学中的巨大进展，几乎总是建立在 几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上 的。需要有一个人来走那最高和最后的一步，这 个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理 出前人的有价值的想法，有足够想象力地把

13、这些 碎片重新组织起来，并且能足够大胆地制定一个 宏伟的计划。在微积分中，这个人就是牛顿。 牛顿（16421727年），英国数学家、 物理学家、天文学家、自然哲学家。生于英 格兰林肯郡伍尔索普的一个小村庄里。他的 母亲在那里管理着丈夫遗留下来的农庄，他 父亲是在他出生前两个月去世的。 少年时期，牛顿在一个低标准的地方学校接 受教育，而且是一个除了对机械有兴趣以外，没 有特殊才华的青年人。 1661年他进入了剑桥大学的三一学院，安静 而没有阻力地学习着自然哲学。1665年牛顿刚结 束他的大学课程，学校就因为伦敦地区鼠疫流行 而关闭。他离开剑桥，回到家乡，在那里开始了 他在机械、数学和光学上的伟大

14、工作，于1665- 1666年间做出流数术、万有引力和光的分析三大 发明，年仅23岁。 1667年牛顿回到剑桥，获得硕士学位，成为三 一学院的研究员。1669年牛顿接替他的数学老师巴 罗的职位，担任卢卡斯数学教授。他不是一个成功 的教师，听他课的学生很少。 他提出的创造性的材料也没有受到同事们的注 意，只有巴罗及天文学家哈雷认识到他的伟大，并 给他以鼓励。牛顿涉猎的学科很多，知识面很广。 他从事过光学、天体力学、数学、化学、流体静力 学、流体动力学、物理学方面的研究工作，还自己 动手制作实验装置，甚至自己制作了两台反射望远 镜（制作出做架子用的合金、浇铸框架、做底座、 磨光镜头等。） 他在数学

15、上以创建微积分而著称，其流数法（即 物质的变化率）始于1665年，系统叙述于流数法和 无穷级数（1671年完成，1736年出版），首先发表 在自然哲学之数学原理 （1687）中。其中借助 运动学中描述的连续量及其变化率阐述他的流数理 论，并创用字母上加一点的符号表示流动变化率（即 导数符号）。 讨论的基本问题是：已知流量间的关系，求它们 的流数的关系以及逆运算，确立了微分与积分这两类 运算的互逆关系，即微积分基本定理。他用级数处理 微分和积分，已对级数的收敛和发散有所认识。他也 研究微分方程、隐函数微分、曲线切线、曲线曲率、 曲线的拐点和曲线长度等。 此外他还论述了有理指数的二项定理（1664

16、年） 以及数论、解析几何、曲线分类、变分法等中的有关 问题。 他在物理学上发现了万有引力定律（1666-1684 年），并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因。1666 年用三棱镜实验光的色散现象，1668年发明并亲手制 作了第一架反射望远镜。 他在哲学上深信物质、运动、空间和时间的客观 存在性，坚持用观察和实验方法发现自然界的规律， 力求用数学定量方法表述的定律说明自然现象，其科 学研究方法支配后世近300年的物理学研究。 莱布尼茨（16461716年）是在建立微积分中唯 一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩 了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。1666年 以论文论组合的艺术获得阿尔特

17、道夫大学哲学 博士学位，同时获得该校的教授席位。 1671年，他制造了他的计算机。1672年3月作为 梅因兹的选帝侯大使，政治出差导巴黎。这次访问 使他同数学家和科学家有了接触，激起了他对数学 的兴趣。可以说，在此之前（1672年前）莱布尼茨 基本上不懂数学。 1673年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学 家，促使他更加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠 做外交官生活，卷入各种政治活动，但他的科学研 究工作领域是广泛的，他的业余生活的活动范围是 庞大的。 除了是外交官外，莱布尼茨还是哲学家、法学 家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家，他在 逻辑学、力学、数学、流体静力学、气体学、航海 学和计算机方

18、面做了重要工作。虽然他的教授席位 是法学的，但他在数学和哲学方面的著作被列于世 界上曾产生过的最优秀的著作中。他用通信保持和 人们的接触，最远的到锡兰（Ceylon）和中国。 他于1669年提议建立德国科学院，从事对人类有 益的力学中的发明和化学、生理学方面的发现（1700 年柏林科学院成立）。 莱布尼茨从1684年开始发表论文，但他的许多成 果以及他的思想的发展，实际上都包含在他从1673年 起写的，但从未发表过的成百的笔记本中。从这些笔 记本中人们可以看到，他从一个课题跳到另一个课 题，并随着他的思想的发展而改变他所用的记号。有 些是它在研究格雷戈里、费马、帕斯卡、巴罗的书和 文章时，或是

19、试图将他们的思想纳入自己处理微积分 的方式时所出现的简单思想。 1714年莱布尼茨写了微分学的历史和起源， 在这本书中，他给出了一些关于自己思想发展的记 载，由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃 罪名，所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源 的记载。不管他的笔记本多么混乱，都揭示了一个最 伟大的才智，怎样为了达到理解和创造而奋斗。 特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到，微 分与积分（看作是和）必定是相反的过程；1676年6 月23日的手稿中，他意识到求切线的最好方法是求 dy/dx ，其中dy，dx 是变量的差，dy/dx 是差的商。莱 布尼茨的工作，虽然富于启发性而且意义深远，但它

20、 是十分零乱不全的，以致几乎不能理解。幸好贝努利 兄弟将他的文章大大加工，并做了大量的发展工作。 微积分是能应用于许多类函数的一种新的 普遍的方法，这一发现必须归功于牛顿和莱布 尼茨俩人。经过他们的工作，微积分不再是古 希腊几何的附庸和延展，而是一门独立的科 学，用来处理较以前更为广泛的问题。 任何一件新事物出现时，一般不可能是十 分完美的。如果牛顿和莱布尼茨想到过连续函 数不一定有导数而这却是一般情形那 么微分学就决不会被创造出来。 毕卡 在这两个人死了很久以后，调查证明：虽然牛顿 的大部分工作是在莱布尼茨之前做的，但是莱布尼茨 是微积分思想的独立发明者。两个人都受到巴罗的很 多启发。 创建

21、微积分优先权的争论 因此，看来现代的数学家们象从事科学 的人们那样，在应用他们的原理方面费的心 血比在了解这些原理方面多得多。 贝克莱 主教 十七世纪最伟大的成就就是微积分。由此起源 产生了数学的一些主要的新分支，如微分方程，无 穷级数，微分几何，变分法，复变函数等等。其中 某些工作的萌芽确实在牛顿和莱布尼茨的工作中就 已经出现了。十八世纪，人们大量地致力于这些分 析分支的发展。但是在这一发展完成之前，首先必 须扩展微积分本身。 牛顿和莱布尼茨创造了基本方法，但也留下了 许多要做的事情：必须清楚地认识或造出许多新的 一元函数和多元函数；微分和积分的技巧必须推广 到某些已经存在或别的有待引入的函

22、数；此外还缺 少微积分的逻辑基础。当然，第一目标是扩展微积 分的主要内容。 十八世纪，人们的确扩展了微积分，并创立了一 些新的分析分支。数学家们对微积分以及随后产生的 分析分支做了纯形式的处理。在这个经受了挫折、错 误、不完全和混乱的处理过程中，虽然他们的技巧是 很高超的，但却不是由明确的数学思想指导的，而是 由直观和物理见解指引的。这些形式的努力经受了后 来的批判性检查的考验，并产生了伟大的思想线索。 人们深深感受到，数学新领域的征服有时超过军事上 的征服。它大胆地闯入敌人的领土，攻占要塞，然 后，就必须由更广阔，更彻底，更谨慎的行动来扩大 和支持这些入侵，以保卫那些仅仅暂时地、不牢固地 控

23、制了的东西。 十八世纪的数学家和思想家们，没有意识到需 要极限的概念。又因为他们没有看出使用无穷级数 而产生的问题，所以他们天真地认为微积分只是代 数的推广。对于即使稍微复杂一点的代数函数，基 本的积分法还是把函数表示成级数形式（沿用牛顿 的方法），再逐项积分。数学家们只是将积分技巧 从一种有限形式发展到另一种有限形式，仅把积分 当作导数或微分的的逆运算。他们从来就不问一个 积分的存在性。好在十八世纪出现的大部分应用问 题中，积分都能被明确地求出来，因而也就不会发 生积分存在与否的问题。 在十八世纪初期，就已经出现了两个和三个变 量的函数的微积分（多元函数的微积分）。通常的 导数与偏导数的区别

24、在一开始并未被人们明确地认 识，因而对两者使用相同的记号。而物理意义又要 求人们在多个自变量的函数中，考虑只有一个自变 量变化的导数。 两个或多个变量的函数的偏导数研究的主要动 力来自偏微分方程方面的工作。偏导数的演算是由 欧拉研究流体力学问题的一系列文章提供的。达朗 贝尔在1744年前后，推广了偏导数的演算。 在十八世纪，虽然数学家们致力于在微积分中注 入严密性，但由于时代的局限性，这项工作显得十分 混乱。其中比较有代表性的思想是达朗贝尔的工作。 他在一篇论文中说道：“极限，极限论是微积分的真 正抽象，它决不是微分学中的无穷小量的一个问 题：它独特地是有限量的极限问题。这样，无穷大量 和无穷

25、小量相互间较大，较小的空谈，对微分学来说 是全然无用的。”无穷小量仅仅是一种说法，用以避 免冗长的极限术语的描述。事实上，达朗贝尔给出了 极限正确定义的一个极好的近似：一个变量趋近一个 固定量，趋近的程度小于任何给定量。可惜他没有能 结合并利用他的基本准正确思想作出微积分形式的阐 述。 告诫学习微积分的学生们： 坚持坚持, , 你就会有信心你就会有信心. . 达朗贝尔 尽管几乎十八世纪的每位数学家都在微积分的 逻辑上做了努力，或至少表示了他们的看法，其中 也有一、两个走对了路的，但他们所有的努力都是 没有多大用处的。任何棘手的问题都被有意避开或 是漠然视之，人们很难区别很大的数与无穷数，数 学

26、家们在有限与无限之间随意通行。微积分被称为 “计算与度量一个其存在性是不可思议的事物的艺 术”。尤其是欧拉、拉格朗日这样的大师对微积分 微积分严格化的努力的最终结果，是误导了他们的 同代人以及后来者，并且搞乱了他们的思想。总的 来说，他们那么明目张胆地犯错误，以致于人们对 数学家能否能清楚他们涉及到的逻辑感到绝望。 十八世纪的思想家们所采取的论据的一个奇怪 地特点是他们求助于“形而上学”，用它来暗示数 学领域之外还存在一个真理体系，虽然这个真理体 系究竟是什么还不清楚，但如果需要的话，可以用 它来检验人们所做的工作。莱布尼茨、欧拉等数学 家都曾借助于形而上学得出过错误的结论。例如， 莱布尼茨曾证明过级数 的和为1/2, 实际上，该级数无和。 1111 一般说来，当十七、十八世纪的数学家们不能 为一个观点提供更好的证明时，他们就惯于说这其 中的理由是形而上学的。因此，在十八世纪结束之 际，微积分和建立在微积分基础上的分析的其它分 支的逻辑处于一种完全混乱的状态之中。可以说， 1800年微积分基础方面的状况比1700年的更差。数 学巨匠，尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻 辑基础。因为他们是权威，他们的许多同事接受了 并不加批判地重复这些观点，甚至将它们进一步发 展。他们被引上了一条错误的路。 历史进入十九世纪，