固体物理第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动

1、第五章：晶体中电子在电场和磁场中的运动第五章：晶体中电子在电场和磁场中的运动 在前面四章基本理论的基础上，从本章开始研究晶体的在前面四章基本理论的基础上，从本章开始研究晶体的 电学、磁学和光学性质等。后面几章的内容属于专题和应用的电学、磁学和光学性质等。后面几章的内容属于专题和应用的 性质。本章从内容上分为：性质。本章从内容上分为： 4-1 准经典运动准经典运动 4-2 恒定电场电场作用下电子的运动恒定电场电场作用下电子的运动 4-3 导体、半导体和绝缘体的能带论解释导体、半导体和绝缘体的能带论解释 4-4 恒定磁场中电子的运动恒定磁场中电子的运动 *4-5 回旋共振回旋共振 *4-6 德德.

2、哈斯哈斯-范范.阿尔芬效应阿尔芬效应 5.1 准经典运动准经典运动 晶体中电子的运动严格地讲是量子的，但在这里采取准经典近似晶体中电子的运动严格地讲是量子的，但在这里采取准经典近似。 1. 波包和电子速度：波包和电子速度： 在量子力学中一个态的经典描述近似成立，用量子力学中一个态的经典描述近似成立，用波包波包来代表该态。来代表该态。 所有动量和坐标有近似数值，由测不准原理限制。所有动量和坐标有近似数值，由测不准原理限制。 波包是指该粒子空间分布在波包是指该粒子空间分布在r0附近附近 r范围范围, 动量取值在动量取值在 附附 近近 范围内，范围内， ，波包中心，波包中心r0为粒子的位置，为粒子的

3、位置， 中心中心 称粒子的动量。称粒子的动量。 晶体中用晶体中用Block波组成波包，包含不同波组成波包，包含不同E态，态，Bloch波表示为：波表示为： 用用k0附近的附近的k组成波包，令组成波包，令k=k0+k, k很小，很小， E(k)按按k展开：展开： 0 k k 2/rk 0 k E ( k ) ik rt kk ( r, t)eu( r ) 0 0kk E(k )E(k )k (E) 组成波包时组成波包时k限制在限制在 , 波包函数为：波包函数为： 其中其中 事实：事实： 22 k 000 kk 00 0 0 222 xyzkkkkk 222 (E)t E(k ) ikrtik r

4、 222 kxyz 222 (r,t)dkdkdk(r,t) u(r)u(r) u(r)edkdkdk e 取 0 222 2 2 6 k sinusinvsinw ( r, t)u( r ) uvw t k E xu k x 0 )( 1 t k E zw k z 0 )( 1 t k E yv k y 0 )( 1 在此，公式中可以没有在此，公式中可以没有 ！,只是为了表示的方便？只是为了表示的方便？ 0 k x 11E ux()t 2k 0 k y 11E vy()t 2k 0 k z 11E wz()t 2k 波函数主要集中在波函数主要集中在u = v = w = 0，即，即 波包中心

5、在波包中心在 把波包看作一个粒子，其速度为：把波包看作一个粒子，其速度为： 前面前面 很小，指远小于布里渊区的很小，指远小于布里渊区的 线度线度 2 /a, 则波包线度则波包线度2 / 远大于远大于 原胞尺度，只有在这个限度内把电原胞尺度，只有在这个限度内把电 子看作准经典粒子。子看作准经典粒子。 因子因子 只使得波包出现精细结构。只使得波包出现精细结构。 电子看作准经典粒子，其速度为电子看作准经典粒子，其速度为k0时的平均速度。带顶和带时的平均速度。带顶和带 底电子速度为零底电子速度为零, 不同于自由电子速度随不同于自由电子速度随k增大单调增大。增大单调增大。 1 sin , 0 x x x

6、当当 t)E(r kk 0 1 0 00 1 kkk )E(v 2 k )r(u 0 2. 外力作用下状态的变化和准动量外力作用下状态的变化和准动量 外力在外力在dt内对电子做的功为：内对电子做的功为： ,引起电子内能的变化为：引起电子内能的变化为： ，则：，则： 将将 代入，得：代入，得： 在平行在平行vk方向，方向， 在垂直方向有类似的关系在垂直方向有类似的关系 ，则，则 在恒定外力作用下，在恒定外力作用下，电子在电子在k 空间做匀速运动空间做匀速运动，与经典规律相比，与经典规律相比， 具有动量具有动量 性质，称准动量，不同于动量，因不是动量算符性质，称准动量，不同于动量，因不是动量算符

7、的本征值。的本征值。 基本的方程基本的方程: 3. 加速度和有效质量加速度和有效质量 A. 加速度加速度dv/dt为：为： k Fv d t k Edk kk E dkFv dt kk Ev k d k (F )v0 d t d k F d t d (k )F d t k kkk 1 v(E ) d (k )F d t 2 2 dk dvd1E(k )1E(k )1 ()()FE(k ) dtdtkdtkkkk 与牛顿定律类比：与牛顿定律类比： 二阶张量代替二阶张量代替 称二阶张量为倒有效质量张量。引入有称二阶张量为倒有效质量张量。引入有 效质量张量：效质量张量： 若若 沿主轴方向，沿主轴方向

8、， 倒有效质倒有效质 量量对角化，有效质量是张对角化，有效质量是张 量，加速度与外力方向可量，加速度与外力方向可 以不同，有效质量把周期以不同，有效质量把周期 性势场的影响包含性势场的影响包含 在其中。在其中。 有效质量在带顶和带底化有效质量在带顶和带底化 为为标量标量。 z y x zyzxz zy y xy zxyxx z y x F F F k E kk E kk E kk E k E kk E kk E kk E k E v v v 2 222 2 2 22 22 2 2 2 1 d v1 F d tm 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 0 0 0 / 0 0 0 / 0 0 0

9、 0 0 0 y y x zz yy xx k E k E k E m m m 2 *2 E m, ,= x , y , z kk * 1 m 5.2 恒定电场作用下晶体中电子的运动恒定电场作用下晶体中电子的运动 以紧束缚近似为例，一维简单近似下：以紧束缚近似为例，一维简单近似下： 如果如果J10, k = 0点为带底点为带底 k = /a点为带顶点为带顶 电子速度电子速度 有效质量有效质量 kaJJkE i i cos2)( 10 ka aJ dk dE kvsin 21 )( 1 12 1 2 1 2 2 2* )cos2( )()( kaaJ dk Ed km n在恒定电场作用下：在恒定

10、电场作用下： ）电子在）电子在k空间做匀速运动，空间做匀速运动， 设力沿轴正方向。经典理论中电设力沿轴正方向。经典理论中电 子运动限制在带内，子运动限制在带内，E(k)随时间随时间 周期变化周期变化 ）电子速度随时间振荡）电子速度随时间振荡 ）m*0, 外力大于周期外力大于周期 势场的作用，外力使势场的作用，外力使 电子速度增大电子速度增大 m*0, 外力小于周期势场的作用，电子速度减小外力小于周期势场的作用，电子速度减小 m,外力与周期场作用力相等，加速度为零，电子速度最大外力与周期场作用力相等，加速度为零，电子速度最大 ）速度振荡意味着电子在实空间振荡）速度振荡意味着电子在实空间振荡 外力

11、作用在周期势场上附加了一部分，发生能带的倾斜。外力作用在周期势场上附加了一部分，发生能带的倾斜。 d k F d t d Eg )()2( 2/1 2 qE E mE g g Ee B 5.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释导体、绝缘体和半导体的能带论解释 1. 满带不导电满带不导电 能带对称性中能带对称性中 En(k)=En(-k) ， 则：则：v(k)=-v(-k) 在满带中，每个电子有电流在满带中，每个电子有电流i = -qv(k),但但k和和-k态电子的电流态电子的电流 抵消，总电流为零。抵消，总电流为零。 一维晶体在外场中，电子在力一维晶体在外场中，电子在力F=-qE下以相同速度下

12、以相同速度 在轴上运动，从在轴上运动，从B.Z.一端移走的电子一端移走的电子 从另一端移进，带总是从另一端移进，带总是 满带满带 满带不能导电！满带不能导电！ 2. 导体和非导体的模型导体和非导体的模型 部分填充的带，没有外电场平衡时部分填充的带，没有外电场平衡时 电流相互抵消，在外电场下分布不对称，电流相互抵消，在外电场下分布不对称， 产生电流。产生电流。 电场不对称的原因电场不对称的原因? 外电场的方向外电场的方向: E d kF d th kkk 1 v(E ) * 非导体非导体 电子恰好填满最底的一系列能带，再电子恰好填满最底的一系列能带，再 高的能带全空，非导体分为半导高的能带全空，

13、非导体分为半导 体和绝缘体，取决于带隙宽度。体和绝缘体，取决于带隙宽度。 *导体导体 除全部填满的一系列能带，还除全部填满的一系列能带，还 存在部分填充能带存在部分填充能带 * 半金属：半金属：导带和价带交叠或导带底价带顶重合导带和价带交叠或导带底价带顶重合 3. 近满带和空穴近满带和空穴 1）近满带的电流）近满带的电流 满带缺少少量电子，要处理大量电子运动很麻烦，但处理电子满带缺少少量电子，要处理大量电子运动很麻烦，但处理电子 空位就要容易得多。假设只有一个空位就要容易得多。假设只有一个k态没有电子，满带电子的电态没有电子，满带电子的电 流流 为零为零, 显然近满带的电流为显然近满带的电流为

14、k态对应电子电流的负值：即：态对应电子电流的负值：即： I=qv(k) 。 近满带的电流相当于带正电近满带的电流相当于带正电q的粒子，速度为空态的粒子，速度为空态k 电子速度引起的。这就是所谓电子速度引起的。这就是所谓空穴空穴的概念！（空的状态）的概念！（空的状态） 2）电磁场的作用）电磁场的作用 假设向近满带放入一个电子形成满带。电磁场作用下满带电流假设向近满带放入一个电子形成满带。电磁场作用下满带电流 仍为零，则仍为零，则 作用在作用在k态电子的外力为：态电子的外力为： 则：则： 空态空态k 常在满带顶附近，对应电子的有效质量常在满带顶附近，对应电子的有效质量 m*0, 将上式：将上式：

15、近满带电流的变化相当于带正电荷近满带电流的变化相当于带正电荷q具有正效质量为具有正效质量为 的的 粒子，这个假想的粒子称空穴。电子和空穴通称载流子。空穴粒子，这个假想的粒子称空穴。电子和空穴通称载流子。空穴 为为K空间电子空的空间电子空的状态状态。不同于晶格中的。不同于晶格中的空位空位。 d I (k )d qv (k ) d td t FqEv(k)B 2 * dI(k )q Ev(k )B dtm * d I ( k )1 q q Eq v ( k )B d t m * m 5.4 在恒定磁场中晶体中电子的运动在恒定磁场中晶体中电子的运动 两种描述方式：（两种描述方式：（1）准经典理论：图

16、象清晰，分析问题方便）准经典理论：图象清晰，分析问题方便 （2）量子理论：给出量子结果）量子理论：给出量子结果, 求解磁场存在时的薛定谔方程求解磁场存在时的薛定谔方程, 但存在很大的难度，因为周期性势场的存在使问题复杂！但存在很大的难度，因为周期性势场的存在使问题复杂！ 1. 恒定磁场中准经典运动恒定磁场中准经典运动 基本运动方程：基本运动方程： 分析得：沿磁场方向分析得：沿磁场方向k分量不变分量不变 电子在电子在k空间等能面上运动，空间等能面上运动， E(k)不随时间变化不随时间变化 以自由电子为例：以自由电子为例： kkk 1 v(E ) (k ) dk q(vB) dt m k E k

17、2 22 选选B沿沿kz方向，方向， B=(0,0,B),则运动方程：则运动方程： Kz保持不变，在保持不变，在Kxky平面做匀速圆周运动平面做匀速圆周运动 回转角频率：回转角频率： 在实空间电子做螺旋运动。在实空间电子做螺旋运动。 m k v k 2 )( dkq v(k )B dtm 0 dt dk k m qB dt dk k m qB dt dk z x y y x mqB / 0 x y y x z d vq B v d tm d v q B v d tm d v 0 d t 2 22 22 mm p H 2 )( 2 1 qAp m H AB )( 2 1 2222 zy ppqB

18、yp m H x x ipx z ip z zzxx kpkp , )( )( ye zkxki zx EH 则，则， (y)满足的方程为：满足的方程为： 可以简化为谐振子方程：可以简化为谐振子方程： 及：及： 简化为简谐振动方程：简化为简谐振动方程： 其中：其中： )()()()( 2 1 2 2 2 2 22 22 yEyqByk mym m k x z 2222 xyz 1 ( kqBy)pk (y)E (y) 2m )()()()()( 22 2 22 2 22 22 yEyyk qBm qBm ym m k x z )()()( 22 2 0 2 0 2 22 yyyy m ym m

19、 qB 0 y x k qB y 0 m k E z 2 2 2 谐振子的波函数为：谐振子的波函数为： 相应本征值为：相应本征值为： n,整数整数 根据量子理论：根据量子理论： 在在x-y平面做圆周运动对应一种谐振子，能量是量子化的，量平面做圆周运动对应一种谐振子，能量是量子化的，量 子化的能级称郎道能级子化的能级称郎道能级 : . 晶体中电子的有效质量近似：晶体中电子的有效质量近似： 只需用晶体电子的有效质量只需用晶体电子的有效质量m* 代替自由的质量代替自由的质量m即可。即可。 可见：对晶体中电子运动状态的描述，引入有效质量概念，能使可见：对晶体中电子运动状态的描述，引入有效质量概念，能使

20、 问题大大的简化，并能对电子运动状态进行很好的描述！问题大大的简化，并能对电子运动状态进行很好的描述！ )()( 0 )( 2 0 2 00 yyHeyy n yy m n 0 ) 2 1 ( n n m2 k E 2 z 2 n 5.5 回旋共振：测量晶体电子的有效质量回旋共振：测量晶体电子的有效质量 晶体电子在磁场中做螺旋运动，回转频率为：，晶体电子在磁场中做螺旋运动，回转频率为：， 在垂直磁场方向加上频率为在垂直磁场方向加上频率为 的交变电场，当的交变电场，当 ， ，交变电场 交变电场 的能量被电子共振吸收，该现象称回旋共振。测量的能量被电子共振吸收，该现象称回旋共振。测量 ， ，得到

21、得到m* * 0 m qB n能带结构各向异性，测量不同磁场方向下电子的有效质量，得到能带结构各向异性，测量不同磁场方向下电子的有效质量，得到 能带结构。能带结构。有效质量和能带都具有各向异性！有效质量和能带都具有各向异性！ m k E 2 22 0 )2/1( nEn 2 2 mL 郎道能级的简并度：郎道能级的简并度： 另外一种解释：电子做简谐振动，另外一种解释：电子做简谐振动， Y0取值在取值在L范围，范围，Kx取均匀点，则：取均匀点，则： 计入自旋，则计入自旋，则 : B qLmL D 2 0 2 2 )()()( 22 2 0 2 0 2 22 yyyy m ym LqB k qB y x 2 0 2 2 0 qBL y L B qL D 2 n产生产生De Hass-Van Alphen效应的原因：效应的原因： 磁场中，形成一系列高简并的独立能级，使电子气系统的能量磁场中，形成一系列高简并的独立能级，使电子气系统的能量 随磁场强度随磁场强度B发生变化。定性讨论。发生变化。定性讨论。 甲：某磁场甲：某磁场B下，恰好使下，恰好使 能级上填满电子，