第05章-刚体的转动 (2)

1、第第5 5章刚体的转动章刚体的转动 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 5.2 转动定律转动定律 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 刚体的刚体的角动量和角动量守恒角动量和角动量守恒 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 （2） 刚体可以看成是很多刚体可以看成是很多质元质元组成的组成的质点系质点系，且在，且在 外力作用下，各个质元的外力作用下，各个质元的相对位置相对位置保持不变。保持不变。 一、刚体一、刚体 在受力时不改变形状和体积的物体在受力时不改变形状和体积的物体 因此，刚体的运动规律，可通过把因此，刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定牛顿运

2、动定 律律应用到这种特殊的质点系上得到。应用到这种特殊的质点系上得到。 理想化模型理想化模型 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 （3） 二、刚体的运动二、刚体的运动 1.1.平动平动 当刚体中所有点当刚体中所有点 的运动轨迹都保持完的运动轨迹都保持完 全相同时，全相同时，或者说刚或者说刚 体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位 置间的连线时，刚体的运动叫作平动。置间的连线时，刚体的运动叫作平动。 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 （4） 瞬时转轴：瞬时转轴： 转轴随时间变化转轴随时间变化 一般转动一般转动 固定转轴：固定转轴： 转轴不随时间

3、变化转轴不随时间变化 刚体定轴转动刚体定轴转动 2.2.转动转动 刚体中所有的点都绕刚体中所有的点都绕 同一条直线作圆周运动，同一条直线作圆周运动， 这种运动称为这种运动称为转动。转动。这条这条 直线叫作直线叫作转轴。转轴。 定轴转动定轴转动 刚体的平面运动刚体的平面运动 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 （6） 定轴转动的特点：定轴转动的特点： (1)(1)各质点都作圆周运动；各质点都作圆周运动； (2)(2)各质点圆周运动的平各质点圆周运动的平 面垂直于面垂直于轴线，圆心在轴线上；轴线，圆心在轴线上； (3)(3)各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同。各质点的矢径在相同的时间内转过

4、的角度相同。 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 （7） 转轴转轴质元质元 刚体角速度刚体角速度 三、定轴转动的描述三、定轴转动的描述 t d d 角速度实际上是矢量，角速度实际上是矢量， 它的方向规定为沿轴的方它的方向规定为沿轴的方 向，其指向用右手螺旋法向，其指向用右手螺旋法 则确定。则确定。 说明：说明： rv 角速度角速度 的方向：由右手螺旋法则确定。的方向：由右手螺旋法则确定。 角速度是矢量，对于角速度是矢量，对于刚体定轴转动刚体定轴转动 角速度的方向只有角速度的方向只有两个两个，在表示角速，在表示角速 度时只用角速度的度时只用角速度的正负数值正负数值就可表示就可表示 角速度的角速

5、度的方向方向。( (一般，规定刚体逆时一般，规定刚体逆时 针方向转动针方向转动 为正）为正） 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 （9） 转轴转轴 质元质元 刚体角加速度刚体角加速度 质元线速度质元线速度 质元加速度质元加速度 2 2 d d d d tt rv ，ra t 2 ra n 角加速度也是矢量角加速度也是矢量 说明：说明： 与与 方向一致时，刚体加速转动；方向一致时，刚体加速转动； 与与 方向相反时，刚体减速转动。方向相反时，刚体减速转动。 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 （10） 匀加速转动的相应公式：匀加速转动的相应公式： t 0 2 0 2 1 tt 2 2 0 2

6、(5.6) (5.7) (5.8) 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 （11） 例例5.1：缆索绕过滑轮。缆索绕过滑轮。一条缆索绕过一定滑轮一条缆索绕过一定滑轮 带动一升降机，滑轮半径带动一升降机，滑轮半径r=0.5m, 如果升降机从静止如果升降机从静止 开始以加速度开始以加速度a=0.4 m/s2匀加速上升，且缆索与滑轮匀加速上升，且缆索与滑轮 之间不打滑，求：之间不打滑，求： (1) 滑轮的角加速度。滑轮的角加速度。 (2) 开始上升后，开始上升后，t=5s末滑轮的末滑轮的 角速度。角速度。 (3) 在这在这5s内滑轮转过的圈数。内滑轮转过的圈数。 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述

7、 （12） 解解: (1) 由于升降机的加速度和轮缘上一点的切向加由于升降机的加速度和轮缘上一点的切向加 速度相等，根据速度相等，根据 可得滑轮的可得滑轮的角加速度角加速度 0 0 ra t t 0 )srad( 0.8 0.5 0.4 2 r a r a t (2) 利用匀加速转动公式利用匀加速转动公式 由于由于 ，所以，所以5s末滑轮的末滑轮的 角速度为角速度为 (rad/s) 450.8 t 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述 （13） 2 0 2 1 tt （3) 利用公式利用公式 得滑轮转过的角度得滑轮转过的角度 2 0 2 1 2 1 0.8 510 (rad) 2 tt 与此相

8、应的圈数是与此相应的圈数是 )( 1.6 2 10 圈圈 5.2 转动定律转动定律 （14） 一、转动定律：一、转动定律： 把刚体看成是由许多把刚体看成是由许多 质点组成的，对于质点质点组成的，对于质点i i， 假设它的质量为假设它的质量为mi，所，所 受的外力为受的外力为F Fi i，f fij ij 表示表示 质元质元mi受另一个质元受另一个质元 mj的内力，则沿切向的内力，则沿切向应应 用用牛顿第二定律，可得：牛顿第二定律，可得： i,tiij,ti,t amfF 5.2 转动定律转动定律 （15） 用用 乘以上式左右两端：乘以上式左右两端： 22 d d iiiiij,tii,ti r

9、m t rmfrFr )()()( 2 iiij,tii,ti rmfrFr 设刚体由设刚体由N N 个点构成，对每个质点可写出上述类个点构成，对每个质点可写出上述类 似方程，将似方程，将N N 个方程左右相加，得：个方程左右相加，得： i r t rm t v mfF ii i iij,ti,t d d d d 5.2 转动定律转动定律 （16） )()( 2 iii,ti rmFr 其中其中MM为外力矩和。为外力矩和。 2 iii rmMM 即：即： 根据内力性质根据内力性质( (每一对内力等值、反向、共线，每一对内力等值、反向、共线， 对同一轴力矩之代数和为零对同一轴力矩之代数和为零)

10、)，得：，得： 0)( ij,ti fr 5.2 转动定律转动定律 （17） 22 i ii i Mmrmr 2 iir mJ 定义定义转动惯量转动惯量 得到：得到： JM 转动定律：转动定律： 刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受 的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 对比对比 Fma 5.2 转动定律转动定律 （18） 说明：说明： 1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； 2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相转动定律的地位与质点动力学中

11、牛顿第二定律相 当，是解决刚体定轴转动问题的基本方程。当，是解决刚体定轴转动问题的基本方程。 二、转动定律的应用二、转动定律的应用 应用转动定律解题最好也用类似应用转动定律解题最好也用类似2.3节中所述节中所述 “三字经三字经”所设计的解题步骤。不过这里要特别注所设计的解题步骤。不过这里要特别注 意转动轴的位置和指向，也要注意力矩、角速度和意转动轴的位置和指向，也要注意力矩、角速度和 角加速度的正负。角加速度的正负。 （1）分析题意，用隔离体法对每个物体进行）分析题意，用隔离体法对每个物体进行 受力（力矩）分析；受力（力矩）分析； （2）列出牛顿定律或转动定律的方程；列出牛顿定律或转动定律的方

12、程； （3）列出线量与角量的关系；列出线量与角量的关系； （4）联立方程求解。）联立方程求解。 例例静止释放静止释放m下落并带动刚体旋下落并带动刚体旋 转。求转。求m下落下落h时的时的a和和v。 m h maTmg JTR T Ra ahv2 J， R 5.2 转动定律转动定律 （21） 例例5.2：闸瓦制动飞轮。闸瓦制动飞轮。一个飞轮的质量一个飞轮的质量m=60kg, , 半径半径R=0.25m，正在以，正在以0=1000r/min的转速转动。的转速转动。 现在要制动飞轮，要求在现在要制动飞轮，要求在t=5.0s内使它均匀减速而最内使它均匀减速而最 后停下来。求闸瓦对轮子的压力后停下来。求闸

13、瓦对轮子的压力N N为多大为多大? 假定闸瓦假定闸瓦 与飞轮之间的摩擦系数为与飞轮之间的摩擦系数为=0.8，而飞轮的质量可以，而飞轮的质量可以 看做全部均匀分布看做全部均匀分布 在轮的外周上。因在轮的外周上。因 而其转动惯量为而其转动惯量为 J=mR2。 5.2 转动定律转动定律 （22） 解：解：飞轮在制动时一定有角加速度飞轮在制动时一定有角加速度 )(rad/s 20.9 5 104.75-0 2 t 0 以以0=1000 r/min=104.7 rad/s, , =0,t=5s 代入可得代入可得 负值表示负值表示与与 0的方向相反，和减速转动相对应。的方向相反，和减速转动相对应。 5.2

14、 转动定律转动定律 （23） 负加速度是外力矩（摩擦力矩）作用的结果，负加速度是外力矩（摩擦力矩）作用的结果， 根据刚体定轴转动定律根据刚体定轴转动定律 NRRFM r (N) 392 0.8 (-20.9)0.25(-60) mR N JNR 代入代入 解得解得 2 JmR J只与质量大小、质量分布、转轴只与质量大小、质量分布、转轴 位置有关位置有关, ,是刚体转动惯性的量度。是刚体转动惯性的量度。 n i iir mJ 1 2 ri-转轴到转轴到mi的垂直距离的垂直距离 (1) m不连续不连续分布分布 (Kg.m2)定义定义 5.3 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 ri i m 体分

15、布体分布 dS dl dV dm= m dmrJ 2 (2) m连续连续分布分布 线分布线分布 面分布面分布 r dm r-转轴到转轴到dm的垂直距离的垂直距离 dldmlm / dsdmSm / dVdmVm / 质量均匀分布质量均匀分布 细棒线密度1D 薄盘面密度2D 几何体体密度3D i i mmHere 转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义 平动：平动： 转动：转动： 线动量线动量mv 角动角动量量J 平动定律平动定律 dt dv mF 转动定律转动定律 dt d JM z 质量是平动中惯性大小的量度，而质量是平动中惯性大小的量度，而转动惯量转动惯量则则 是转动中是转动中惯性大小的量度

16、惯性大小的量度。 转动惯量只与转动惯量只与刚体的总质量刚体的总质量、质量的分布质量的分布和和 给定轴的位置给定轴的位置三个因素有关。三个因素有关。 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 （28） 例例5.3：圆环的转动惯量。圆环的转动惯量。求质量为求质量为m, ,半径为半径为R的的 均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并且通均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并且通 过其圆心。过其圆心。 解解: : 如图所示，环上各质元到轴的垂如图所示，环上各质元到轴的垂 直距离都相等，而且等于直距离都相等，而且等于R，所以，所以 22 JR dmRdm 2 mR 由于转动惯量是简单可加的，所以由于转动惯

17、量是简单可加的，所以任何一个质量为任何一个质量为m， 半径为半径为R R的薄壁圆筒对其轴的转动惯量也是的薄壁圆筒对其轴的转动惯量也是mR2。 O R O R r d r 例例5.4：一质量为一质量为m、半径为、半径为R的均匀圆盘，求通过盘的均匀圆盘，求通过盘 中心中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量。并与盘面垂直的轴的转动惯量。 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环 rrd 2 R m 而而rrmrJd2dd 32 圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量 4 0 3 2 d2RrrJ R 2 2 1 mRJ 所以所以 rrmd2d圆环质

18、量圆环质量 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 （30） 例例5.5：直棒的转动惯量。直棒的转动惯量。求长度为求长度为L, ,质量为质量为m的的 均匀细棒均匀细棒AB的转动惯量：的转动惯量： (1)对于通过棒的一端与棒垂直的轴；对于通过棒的一端与棒垂直的轴； (2)对于通过棒的中点与棒垂直的轴。对于通过棒的中点与棒垂直的轴。 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 （31） 解：解：(1)如图沿棒长方向取如图沿棒长方向取x 轴，取任一长度元轴，取任一长度元dx，以，以 表示单位长度的质量，则这一长度元的质量为表示单位长度的质量，则这一长度元的质量为 对于轴在棒的一端对于轴在棒的一端 l 将将

19、代入，可得代入，可得 xm ld d 2 3 1 mLJ A Lm l m dmxJ 2 dxx l 2 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 （32） (2) 轴通过棒的中点轴通过棒的中点 将将 代入，可得代入，可得 2 12 1 mLJ C Lm l 2 2 2 2 3 1 12 C L Ll l Jx dx xdx L m dmxJ 2 amTgmm 1111 : amgmTm 2222 : JRTTM 21 : Ra 练习：练习：滑轮是刚体滑轮是刚体, ,已已 知知R,mR,m1 1 m m2 2。求系统的求系统的 加速度和拉力。加速度和拉力。 解解: : gm 1 1 T 2 T g

20、m 2 a J 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 （34） 作作 业业 5.5 内容回顾内容回顾 一、刚体一、刚体 在受力时不改变形状和体积的物体在受力时不改变形状和体积的物体 理想化模型理想化模型 刚体的运动分为平动和转动，我们研究最简单的定轴转动。刚体的运动分为平动和转动，我们研究最简单的定轴转动。 二、转动定律：二、转动定律： JM 三三 转动惯量转动惯量J的计算的计算 2 ii i rmJ dmrJ 2 几种常见刚体的转动惯量几种常见刚体的转动惯量 5.4 刚体的角动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒 （37） 一、一、刚体刚体对定轴对定轴的角动量的角动量 Z i v i r

21、i m L L 质元对轴的角动量为：质元对轴的角动量为： i i i i iivmrprL 2 iii iii Lr mvrm 整个刚体绕此轴的角动量大小为：整个刚体绕此轴的角动量大小为： ? )( 2 i ii i i rmLL JL 比较比较vmp 5.4 刚体的角动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒 （38） 刚体绕轴的角动量为：刚体绕轴的角动量为： JL 转动定律的另一种形式转动定律的另一种形式( (即为角动量定理）：即为角动量定理）： t L t J t JJM d d d )(d d d 即刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率即刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率 。 1.

22、 .角动量与动量是两个不同的物理量，角动量与动量是两个不同的物理量， JL Lv vP Pm 角动量方向为角速度的方向，动量的方角动量方向为角速度的方向，动量的方 向为速度的方向。向为速度的方向。 . .对于质点当然也可引入角动量的概念。对于质点当然也可引入角动量的概念。 . .对于变力矩，可用平均力矩代替。对于变力矩，可用平均力矩代替。 . .恒力矩情况：恒力矩情况：L LL LL LM M 0 t L LL LL LM M 0 t 0 0 L LL LM M dt t t 应用角动量定理解题方法应用角动量定理解题方法 . .确定研究对象。确定研究对象。 . .受力分析（考虑产生力矩的力）。

23、受力分析（考虑产生力矩的力）。 . .规定正向，确定始末两态的角动量规定正向，确定始末两态的角动量 . .L LL L, 0 . .应用定理列方程求解。应用定理列方程求解。 0 0 L LL LM M dt t t 例例1：一冲击力一冲击力 F F，冲击一质量为，冲击一质量为 m、长为、长为 l、竖直悬挂细杆的未端，作用时间为、竖直悬挂细杆的未端，作用时间为 t , , 求求 在竖直位置时杆的角速度。在竖直位置时杆的角速度。 解：解：在力在力 F 冲击的瞬间，冲击的瞬间， 认为细杆还未摆起，重力认为细杆还未摆起，重力 不产生力矩，只有力不产生力矩，只有力 F F 产产 生力矩，视为恒力矩。由生

24、力矩，视为恒力矩。由 角动量定理：角动量定理： lm, o F F 0 JtM JtM 2 3 1 mlFlt ml Ft3 00 L LL LM M dt t 5.4 刚体的角动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒 （42） 二、刚体的二、刚体的角动量守恒定律角动量守恒定律 )(0, , 0 d d CJLL M t L M 即常量则 中，若在 如果外力矩如果外力矩M=0，则刚体绕定轴转动的角动量不变。，则刚体绕定轴转动的角动量不变。 即：对于一个转动惯量可以改变的物体，当它受的即：对于一个转动惯量可以改变的物体，当它受的 外力矩为零时，它的角动量外力矩为零时，它的角动量L=J也将保持不变

25、。也将保持不变。 5.4 刚体的角动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒 （43） 讨论：讨论： 1. 转动惯量保持不变的单个刚体。转动惯量保持不变的单个刚体。 0 0 , 0 则 时，当 JJ M 刚体作匀角速度转动。刚体作匀角速度转动。 例如地球自转。例如地球自转。 5.4 刚体的角动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒 （44） 2. 转动惯量可变的物体转动惯量可变的物体 变化的内变化的内 因是物体因是物体 各部分之各部分之 间的内力间的内力 花样滑冰运动员通花样滑冰运动员通 过改变身体姿态即过改变身体姿态即 改变转动惯量来改改变转动惯量来改 变转速变转速. . 1122 JJ 12

26、 JJ 若若 12 则则 5.4 刚体的角动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒 （45） 例例5.6: : 子弹击中棒。子弹击中棒。一根长一根长l，质量为，质量为MM的均匀直的均匀直 棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。 今有一子弹，质量为今有一子弹，质量为m，以水平速度，以水平速度v0射入棒的下端射入棒的下端 而不复出。求棒和子弹开始一起运动时的角速度。而不复出。求棒和子弹开始一起运动时的角速度。 解：解：由于子弹与棒作用时间极短，由于子弹与棒作用时间极短， 可认为棒的位置基本不变，可认为棒的位置基本不变， 因此，对于木棒和子弹

27、系统，在子弹因此，对于木棒和子弹系统，在子弹 冲入过程中，系统所受的外力冲入过程中，系统所受的外力( (重力和重力和 轴的支持力轴的支持力) )对于轴对于轴O的力矩都是零。的力矩都是零。 这样，这样，系统对轴系统对轴O的角动量守恒。的角动量守恒。 5.4 刚体的角动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒 （46） 以以v和和分别表示子弹和木棒一起开始运动时木棒分别表示子弹和木棒一起开始运动时木棒 端点的速度和角速度，则角动量守恒给出端点的速度和角速度，则角动量守恒给出 由角线量关系式由角线量关系式 就可解得就可解得 2 0 3 1 Mlmlvmlv l v Mm m 0 3 3 lv 5.4

28、刚体的角动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒 （47） 例例5.7：人走圆盘转。人走圆盘转。一个质量为一个质量为M，半径为，半径为R的的 水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。 在盘缘上站着一个质量为在盘缘上站着一个质量为m的人，二者最初都相对地的人，二者最初都相对地 面静止。当人在盘上沿盘边走一周时，盘对地面转面静止。当人在盘上沿盘边走一周时，盘对地面转 过的角度多大过的角度多大? 解：解：对盘和人组成的系统，对盘和人组成的系统， 在人走动时系统所受的对竖在人走动时系统所受的对竖 直轴的外力矩为零，所以直轴的外力矩为零，所以系系 统对

29、此轴的角动量守恒。统对此轴的角动量守恒。 5.4 刚体的角动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒 （48） 以以 j 和和 J 分别表示人和盘对轴的转动惯量，并分别表示人和盘对轴的转动惯量，并 以以 和和 分别表示任一时刻人和盘绕轴的角速度。分别表示任一时刻人和盘绕轴的角速度。 由于起始角动量为零，所以角动量守恒给出由于起始角动量为零，所以角动量守恒给出 0 Jj t td d , d d 2 2 1 mRJ 2 mRj 其中其中 以以 和和 分别表示人和盘分别表示人和盘 对地面发生的角位移，则对地面发生的角位移，则 5.4 刚体的角动量和角动量守恒刚体的角动量和角动量守恒 （49） 代入上

30、一式得代入上一式得 两边都乘以两边都乘以dt，并积分，则有，并积分，则有 t MR t mR d d 2 1 d d 22 人在盘上走一周时人在盘上走一周时 由此得由此得 代入上一式可解得代入上一式可解得 MRmR 0 2 0 2 d 2 1 d 2 Mm 2 1 2 2 2 Mm m 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 （50） 一一、力矩的功力矩的功 上式称为力矩的功上式称为力矩的功。 dAMd d|d|dd tt rFrFrFA MrF t B A MAAB d =ds 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 （51） 二、刚体定轴转动的动能二、刚体定轴转动的动能 i ii vmE 2

31、k 2 1 刚体定轴转动的动能应为刚体上所有质元的动能刚体定轴转动的动能应为刚体上所有质元的动能 之和之和 22 )( 2 1 i ii rm i ii rm 2 )( 2 1 2 k 2 1 JE 即转动动能即转动动能 2 K 2 1 mvE 质点平动的动能质点平动的动能 对比对比 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 （52） ABAB EEA kk 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功 等于刚体定轴转动的动能的增量。等于刚体定轴转动的动能的增量。 三、转动中的动能定理三、转动中的动能定理 与质点的动量定理比较：与质点的动量定理比较： 2 1 2

32、 2 2 1 2 1 mvmvW 2 1 2 2 2 1 2 1 JJW 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 （53） 四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能 重力场中的刚体具有一定重力场中的刚体具有一定 的重力势能，它的重力势能的重力势能，它的重力势能 就是它的各质元重力势能的就是它的各质元重力势能的 总和。总和。 对于一个不太大，质量对于一个不太大，质量 为为mm的刚体，它的重力势能为：的刚体，它的重力势能为： )( P i iii i i hmghgmE 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 （54） C mghE P 整个刚体：整个刚体： 一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部一个不

33、太大的刚体的重力势能相当于它的全部 质量都集中在质心时所具有的质量都集中在质心时所具有的重力重力势能势能。 m hm h i ii C 根据质心的定义，此根据质心的定义，此 刚体的质心的高度应为刚体的质心的高度应为 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 （55） 例例5.8：滑轮物块联动。滑轮物块联动。 一个质量为一个质量为M，半径为，半径为R的定滑轮的定滑轮( 当作均匀圆盘当作均匀圆盘)上面绕有细绳。绳上面绕有细绳。绳 的一端固定在滑轮边上，另一端挂的一端固定在滑轮边上，另一端挂 一质量为一质量为m的物体而下垂。忽略轴的物体而下垂。忽略轴 处摩擦，求物体处摩擦，求物体m由静止下落由静止下落h

34、高度高度 时的速度和此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。 解：解：以滑轮、物体和地球作为研究以滑轮、物体和地球作为研究 系统，系统，则系统是封闭的保守系统，则系统是封闭的保守系统， 所以机械能守恒。所以机械能守恒。 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 （56） 取物体的初始位置为重力势能零点，则机械能守恒取物体的初始位置为重力势能零点，则机械能守恒 代入代入J和和v，即可求得物体下落高度，即可求得物体下落高度h时，时， 物体的速度为物体的速度为 滑轮的角速度为滑轮的角速度为 0 2 1 2 1 22 mghmvJ R Mm mgh R v 2 4 2 2 1 MRJ R v Mm

35、mgh v 2 4 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 （57） 例例5.9：直棒下摆。直棒下摆。一根长一根长l，质量为，质量为m的均匀的均匀 细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可 以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置， 求它由此下摆求它由此下摆角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。 解：解：棒的下摆是一棒的下摆是一 加速转动，所受外加速转动，所受外 力矩即重力对转轴力矩即重力对转轴 O的力矩。的力矩。 根据根据转动定律转动定律 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 （58） 这一结果说明

36、这一结果说明重力对整个棒的合力矩就和全部重重力对整个棒的合力矩就和全部重 力集中作用于质心所产生的力矩一样。力集中作用于质心所产生的力矩一样。 由质心的定义，由质心的定义， ，其中，其中xC是质心是质心 对于轴对于轴O的的x坐标。因而可得坐标。因而可得 C mgxM mxggmxMdd c mxdmx 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 （59） 由于由于 所以有所以有 代入转动定律公式可得棒的代入转动定律公式可得棒的角加速度角加速度为为 cos 2 1 mglM cos 2 1 lxC l g ml mgl J M 2 cos3 3 1 cos 2 1 2 5.5 转动中的功和能转动中的功

37、和能 （60） 求棒下摆求棒下摆角时的角速度角时的角速度，可以利用，可以利用机械能守恒机械能守恒 定律。定律。取棒和地球为系统，棒的水平初位置为势能零取棒和地球为系统，棒的水平初位置为势能零 点，机械能守恒给出点，机械能守恒给出 利用公式利用公式 解得解得 l g sin3 0)( 2 1 2 C hmgJ sin 2 1 lhC 2 3 1 mlJ 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 （61） 例例5.10：球碰棒端。球碰棒端。一根长一根长l，质量为，质量为m的均匀的均匀 直棒静止在一光滑水平面上。它的中点有一竖直光直棒静止在一光滑水平面上。它的中点有一竖直光 滑固定轴，一个质量为滑固定轴，一个质量为m的小球以水平速度的小球以水平速度v0垂直垂直 于棒冲击其一端而粘上。于棒冲击其一端而粘上。 求碰撞后球的速度求碰撞后球的速度v v和和 棒的角速度棒的角速度以及由此以及由此 碰撞而损失的机械能。碰撞而损失的机械能。 解：解：对棒和球系统，对棒和球系统， 角动量守恒角动量守恒，即，即 5.5 转动中的功和能转动中的功和能 （62）