材料力学-组合变形

1、 ： 在复杂外载作用下，构件的变形会包含在复杂外载作用下，构件的变形会包含 几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同 一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为 组合变形。组合变形。 8-1 8-1 组合变形的概念和实例组合变形的概念和实例 （条件:小变形）。 将荷载分解简化成与基本变形对应的等 效静力荷载。 分别独立计算各种基本变形，然后叠加。 （假设：各个基本变形互不影响） M P R z x y P P 水坝水坝 q P hg g 外力分析：外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿主惯性轴分解 内力分析：内力分析

2、：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险面。 应力分析：应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。 8-2 8-2 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合作用与弯曲的组合作用 轴 向 拉 压 ：轴 向 拉 压 ：外 力 的 合 力 作 用 线 与 杆 的 轴 线 重 合 。 偏心拉压偏心拉压:外力的合力作用线与杆的轴线不重合。 偏心拉压问题的解题方法：在危险截面，将合力平移，使其 通过截面形心。问题简化为 偏心拉压偏心拉压 = 轴向拉压轴向拉压 + 弯曲弯曲 偏心拉压时，中性轴不再过截面形偏心拉压时，中性轴不再过截面形 心，甚至没有中性轴。心，甚至没有中性轴。 偏

3、心拉压偏心拉压 = 轴向拉压轴向拉压 + 弯曲弯曲 PN PeM z A N z z I yM 确定危险点：将应力叠加，找出最大应力max的作用点 )( max 拉，在最上沿的各点 z z W M A N 1、危险截面离集中力P较远的任 意截面均为危险截面。 2、将力P向截面形心平移 e P P M l P e Y Z 或者或者 结果结果 （拉为正，压为负） 安全校核 截面设计 确定承载力 注意：注意：偏心拉伸偏心拉伸时，最大拉应力Tmax 最大压应力Cmax ， 无论什么材料，只有一个危险点即：最大拉应力点。 max / max z MN AW 拉 压 偏心压缩偏心压缩时，最大拉应力Tmax

4、 最大压应力Cmax ， 对于塑性材料，对于塑性材料，只有一个危险点即：最大压应力点。 对于脆性材料，对于脆性材料，则有两个危险点即：最大压应力点和最大拉应 力点。 max max () TC Z MN AW 对脆性材料， 要区分和 例例1 1：AB为工字梁 ，试选工字梁型号。 100MPa 解：(1) 求V,H 0.8 tan 2.5 D P=8kN BC 2.5m1.5m A 0.8m 由 0 A M 2.5(2.51.5)0 12.8kN VP V T V H 40kN tan V H 40 N kN M kNm 12 (2) 内力图 D P=8kN BCA 0.8m 2.5m1.5m

5、(3) 选型号：一般弯曲应力远大于拉压应力，可以先按照弯曲 强度试算。 由 选： max M 3 max 6 533 12 10 100 10 12 10 m120cm M W 查表P324 16号 W=141cm3 A=26.1cm2 考虑N，M作用校核： 33 max max 44 40 1012 10 26.1 10141 10 100.5MPa 100MPa z NM AW %. . 50 100 1005100 16号工字钢满足要求 例例2 2：脆性材料偏心压缩：脆性材料偏心压缩 z zP y yP P A z y My=PzP 基本方法：通过将偏心的载荷二次平移到截面形心，基本方法

6、：通过将偏心的载荷二次平移到截面形心， 得到简单变形的迭加形式得到简单变形的迭加形式 P P z y P My=PzP Mz=PyP P z p z z w yP w M y )( C P A ( ) yp yy MP z z ww z y My=PzP Mz=PyP P p z z y y P P P A z z z M Mz w y y y M My w 危险截面上的各种应力分布危险截面上的各种应力分布 /C ( )( ) C T pp zy yz P yP z P wwA y z c z y M y = PzP M z = PyP P z ( ) z y ( )y maxT 中性轴中性轴

7、 maxC 危险点的应力状态危险点的应力状态 maxT maxC 危险点为单向应力状危险点为单向应力状 态态 叠加求叠加求最大压应力和最大拉应力最大压应力和最大拉应力 危险点的强度条件危险点的强度条件 max ( )( ) CC y z C zy yz M MN WWA max ( )( ) TC y z T zy yz M MN WWA （-） b h 横截面尺寸横截面尺寸 几何性质几何性质 22 66 zy bhhb WW， maxT maxC 中性轴中性轴 maxT maxC z y x y z Py Pz L H 例例3 3：结构如图，在端部Py过形心且与沿y轴方向，在中部Pz过形心

8、且与沿z轴方向。尺寸如图。 求此梁的最大应力。 x y z Py L Pz H 解：解：对于圆截面圆截面杆，在危险截面的形心处，分解出与基 本变形对应的载荷，将绕Y轴和Z轴的弯矩My、Mz用 双箭头矢量双箭头矢量表示，然后按照矢量合成的方法，计算出 合弯矩M：，根据弯曲应力的分布规律，可以找到危 险点。 22 yz MMM y z My Mz Mz=PyL My=PzH M 中性轴中性轴 最大拉应力最大拉应力T 最大压应力最大压应力C x y z Py L Pz H 如果在危险截面的危险点处，还有轴向的拉（压） 应力，则还要进一步迭加，最后进行强度校核。 22 yz MMM y z My Mz

9、 Mz=PyL My=PzH M 中性轴中性轴 最大拉应力最大拉应力T 最大压应力最大压应力C 22 max zy MM N AW 例4： 一 个拉伸试件载荷为P=80kN , 截面为1080mm2, 的矩形，加工好以后发现试件上缘有裂缝 ,为防止裂纹 在应力集中下扩展，在试件上部挖去一个r =10mm 的半 圆孔，试校核其强度 。如果强度不够，可采取什么措施 补救？=140MPa PP r 解：解： 无裂纹时无裂纹时: 100MPa P A 挖去小孔后挖去小孔后 b t Z M P N 2re PN 2rPPeMZ 114MPa () NP Abr t 2 2 49MPa ()6 Z Z M

10、Pr Wbr t max 11449163MPa 强度不够！强度不够！ 对称对称 挖孔挖孔 133MPa (2 ) P br t 强度安全！强度安全！ r 8 83 3 斜弯曲斜弯曲 一、斜弯曲一、斜弯曲：杆件弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共面。 二、斜弯曲的研究方法二、斜弯曲的研究方法 ： 1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两 个正交的平面弯曲（双向弯）。 2.横截面为矩形或工字形横截面为矩形或工字形（有棱角），则先计算应力后叠加先计算应力后叠加：先 计算绕两个形心轴的弯曲正应力，然后叠加应力并确定最大拉、 压正应力，根据材料进行强度校核。 3.横截面为圆形或椭圆形横截面

11、为圆形或椭圆形（无棱角），则先合成弯矩后计算应力先合成弯矩后计算应力： 先用双箭头矢量表示绕两个轴的弯矩，然后按照矢量合成法则 确定合弯矩，然后确定最大拉、压正应力点，根据材料进行强 度校核。 L Z y xc 外力简化外力简化 sin cos y Z PP PP 危险截面危险截面 固定端截面固定端截面 MZ PYL MY PZL 矩形截面杆发生两向矩形截面杆发生两向 平面弯曲，如何处理平面弯曲，如何处理 弯曲应力的问题？弯曲应力的问题？ P PZ PY 例6：矩形截面杆发生矩形截面杆发生斜弯曲斜弯曲 找危险点找危险点 画危险截面应力分布图画危险截面应力分布图 Zy zy 强度条件强度条件 m

12、ax max TzyT CyC z 2 cos 6 Z z Z MPl bhW 2 sin 6 y y y M Pl hbW y z z y y z zy Zy y z 中性轴 分解荷载 与基本变形对应 独立计算各基本变形应力 正应力代数相加 通过受力分析，确定危险截面 内力最大截面 注意：有时危险截面可能不止一处注意：有时危险截面可能不止一处 根据弯曲应力的分布规律，可以找到根据弯曲应力的分布规律，可以找到危险点，然危险点，然 后进行强度校核。后进行强度校核。 拉压与弯曲在危险点处：危险点处： （弯曲应力）（拉、压应力） 偏心拉压在危险点处：危险点处： () ()()yz 拉、压应力 向弯曲

13、应力向弯曲应力 分解荷载 在危险截面的形心分解出与基本 变形对应的载荷 独立计算各基本载荷引起的基本变形应力 代 数相加 按照材料性质，用最大拉（压）应力进行强度 校核 分解荷载 在危险截面的形心分解出与基本变形对 应的载荷 绕Y轴和Z轴的弯矩My、Mz用双箭头矢量表示，然后 按照矢量合成的方法，计算出合弯矩： 由合弯矩计算出最大弯曲拉、压应力，并且与轴向的 拉（压）应力进行迭加，按照材料性质，进行强度校核 22 yz MMM 注意：此时M的矢量线方向就是中性轴，园周上离矢量 线（中性轴）最远的两点就分别是最大拉、压应力点 起重机的吊钩承受重力时发生 什么组合变形？吊钩的危险截 面在何处？为满

14、足强度要求， 以下几种截面形状中，危险截 面应当选择的最佳的形状是哪 个？ 1、矩形 2、椭圆形 3、近似马蹄形 4、工字形 P P 危险截面 问题的特点：在横截面上既有正应力又有切应力。问题的特点：在横截面上既有正应力又有切应力。 8 84 4 弯曲与扭转的组合变形弯曲与扭转的组合变形 分析问题的方法：由于正应力和切应力不能直接分析问题的方法：由于正应力和切应力不能直接 相叠加，因此，必须根据不同的材料，采用适当相叠加，因此，必须根据不同的材料，采用适当 的强度理论进行强度分析。的强度理论进行强度分析。 分析问题的步骤：根据内力图，确定危险截面，在分析问题的步骤：根据内力图，确定危险截面，在

15、 危险截面上画出应力分布，确定最大（拉、压）应危险截面上画出应力分布，确定最大（拉、压）应 力（即：危险点），采用强度理论进行强度校核。力（即：危险点），采用强度理论进行强度校核。 一、拉（压）一、拉（压）-扭转组合变形扭转组合变形 校核校核AB杆的强度杆的强度 内力分析：内力分析：拉拉- -扭组合变形扭组合变形 找危险截面找危险截面 任意截面任意截面 画内力图画内力图 N T x y z A B P Me D1 D2 t t 应力分析应力分析 找危险点找危险点 在在D1点截取原始单元体点截取原始单元体 危险点应力状态分析危险点应力状态分析 N A T T W 原始单元体原始单元体 t D1

16、t D1 t D1 D D1 1点是二向应力状态，根据点是二向应力状态，根据 主应力公式求得主应力：主应力公式求得主应力： 2 12 3 2 22 0 t 校核危险点的强度校核危险点的强度 对于脆性材料，应采用第一强度理论。对于脆性材料，应采用第一强度理论。 11eq 代入已求的主应力得：代入已求的主应力得： 2 2 1 22 eqT t 校核危险点的强度校核危险点的强度 对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。 按第三强度理论按第三强度理论 313eq 代入已求的主应力得：代入已求的主应力得： 22 3 4 eq t 按第四强度理论按第

17、四强度理论 222 4122331 1 2 eq 代入已求的主应力得：代入已求的主应力得： 22 4 3 eq t 试比较采用哪个强度理论偏于保守（安全）？试比较采用哪个强度理论偏于保守（安全）？ 二、弯曲二、弯曲-扭转组合变形扭转组合变形 问题问题 x y z A B PY PZ Me 校核校核AB杆的强度杆的强度 内力分析内力分析找危险截面找危险截面 TMe MZ PYL PZL MY max max ZY YZ xyMP L xzMP L 平面： 平面： A截面危险！截面危险！ 圆截面双向平面弯曲圆截面双向平面弯曲 如何处理弯矩的问题如何处理弯矩的问题 ？ y z Mz M 中性轴中性轴

18、 最大拉应力最大拉应力T 最大压应力最大压应力C My D1 D2 t t 应力分析应力分析 找危险点找危险点 在在D1点截取原始单元体点截取原始单元体 危险点应力状态分析危险点应力状态分析 M W T T W 原始单元体原始单元体 t D1 t D1 t D1 D D1 1点是二向应力状态，根据点是二向应力状态，根据 主应力公式求得主应力：主应力公式求得主应力： 2 12 3 2 22 0 t 校核危险点的强度校核危险点的强度 对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。对于塑性材料，应采用第三强度理论或第四强度理论。 按第三强度理论按第三强度理论 313eq 代入已求的主应力得：代入已

19、求的主应力得： 代入原始单元体应力元素，代入原始单元体应力元素， 并注意到圆截面并注意到圆截面WT=2W得：得： 22 3 4 eq t 22 3 1 eq MT W 按第四强度理论按第四强度理论 222 4122331 1 2 eq 代入已求的主应力得：代入已求的主应力得： 22 4 3 eq t 代入原始单元体应力元素，代入原始单元体应力元素， 并注意到圆截面并注意到圆截面WT=2W得：得： 22 4 1 0.75 eq MT W 研究结果的讨论研究结果的讨论 W n t D1 对于危险点应力状态的强度条件对于危险点应力状态的强度条件 22 3 4 eq t 22 3 1 eq MT W

20、22 4 3 eq t 22 4 1 0.75 eq MT W （A） （B） （C） （D） 公式的使用条件公式的使用条件 （A A）（）（C C）式适用）式适用 于形如于形如D D1 1点应力状点应力状 态的强度校核；态的强度校核； （B B）（）（D D）式适用）式适用 于塑性材料的圆截于塑性材料的圆截 面或空心圆截面轴面或空心圆截面轴 发生弯扭组合变形发生弯扭组合变形 的强度校核。的强度校核。 思考：如果危险截面是拉伸思考：如果危险截面是拉伸- -弯曲弯曲- -扭转组合变扭转组合变 形，应当怎么样校核强度？形，应当怎么样校核强度？ y z A Px PY PZ Me x z A y B

21、 C P q 2 3 ql l a 思考：曲拐受力如图，危险截面在哪里？应当思考：曲拐受力如图，危险截面在哪里？应当 怎么样校核强度？怎么样校核强度？ 传动轴如图示。已知传动轴如图示。已知D轮为主动轮，半径轮为主动轮，半径R1=30cm, 皮带轮自重皮带轮自重G1=250N,皮带方向与皮带方向与Z轴平行；轴平行；C轮为被动轮，皮带轮为被动轮，皮带 轮自重轮自重G2=150N,半径半径R2=20cm,皮带方向与皮带方向与Z轴夹轴夹45度角。电动机度角。电动机 的功率的功率PK=14.65kW，轴的转速，轴的转速n=240转转/分，轴材料的许应力分，轴材料的许应力 =80MPa 。 试用第三强度理

22、论设计轴的直径试用第三强度理论设计轴的直径d。 Ax y z BCD 400500 600 1 t 1 2t 2 t 2 2t z y 45o 2 2t 2 t C y z D 1 t 1 2t G2 G1 A B CD x y z A Y CY P DY PB Y A Z B ZCZ P DZ P C M D M 1.外力简化外力简化 0 9550 K P M n 0CD MMM 1 1 D M t R 2 2 C M t R 22 3 cos45 cy ptG o 2 3 sin45 CZ Pt o 1Dy PG 1 3 Dz Pt , , AABB Y ZYZ 可由 平衡方程求得。 轴上

23、的外力轴上的外力 可全部确定可全部确定 Ax y z BCD 400500 600 1 t 1 2t 2 t 2 2t z y 45o 2 2t 2 t c y z D 1 t 1 2t 1 3t D M 2 3t D M G2 G1 外力值的计算外力值的计算 0 14.65 95509550583Nm 240 K P M n 1 1 D M t R 2 583 1.79kN 30 10 2 2 C M t R 3 583 2.69kN 20 10 22 3 cos45 cy ptG o 5.85kN 2 3 sin45 CZ Pt o 5.7kN 1Dy PG0.25kN 1 3 Dz Pt

24、5.37kN 4.39kN 6.33kN 1.71kN 4.74kN A A B B Y Z Y Z A B CD x y z CY P DY PB Y A Z B ZCZ P DZ P C M D M A Y 2. .内力计算内力计算 A B CD x y z A Y CY P DY PB Y A Z B ZCZ P DZ P C M D M A B CD x y z C M D M A Y CY P DY PB Y A B CD x y z A B CD x y z A Z B ZCZ P DZ P 圆轴圆轴 扭转扭转 XyXy面的面的 平面弯曲平面弯曲 XzXz面的面的 平面弯曲平面弯曲

25、 弯扭组合变形弯扭组合变形 A B CD x y z AY F CY P DY PB Y A Z B ZCZ P DZ P C M D M 画内力图画内力图 x T kNm x Z M kNm x Y M kNm x M kNm 0.538 1.756 1.026 2.532 2.844 3.08 3.02 找危险截面找危险截面 C C面危险！面危险！ 危险截面内力危险截面内力 0.538kNmT 3.08kNmM 3. 3.设计直径设计直径 2222 33 11 32 eq MTMT dW 22 3 22 33 3 3 6 32 323.02 100.538 10 73.6 10 m73.6

26、mm 80 10 MT d 74mmd 取 1 t 1 2t Ax zBCD 2 t 2 2t d 例题：图示齿轮轴，齿轮例题：图示齿轮轴，齿轮C C，E E的节圆直径的节圆直径D D1 1= 50 mm= 50 mm， D D2 2= 130 mm= 130 mm，P PYC YC=3.83kN =3.83kN，P PZC ZC=1.393kN =1.393kN；P PYE YE=1.473kN =1.473kN， P PZE ZE=0.536kN =0.536kN，轴的直径，轴的直径d = 22mmd = 22mm，材料为，材料为4545号钢，许用应号钢，许用应 力力 = 180MPa=

27、180MPa。试用第三强度理论校核轴的强度。试用第三强度理论校核轴的强度。 外力分解外力分解 z YC P ZC P YE P ZE P A B CE x y 505050 E YE P YC P CE BA x ZC P ZE P C M A Y A Z B Y B Z E M 1 2 95.8Nm YC C P D M 2 95.8Nm EY E P M YE P YC P CE BA x ZC P ZE P C M A Y A Z B Y B Z E M 内力计算内力计算 T Nm 95.8 103.1 Z M Nm 14.75 Y M Nm55.35 41. 1 M Nm 117 43

28、.67 找危险截面找危险截面 C C截面危险截面危险 危险截面内力危险截面内力 95.8Nm 117Nm T M 强度校核强度校核 轴安全轴安全 YC P ZC P YE P ZE P ACE x y 505050 22 3 3 22 3 3 32 32 11795.8 144MPa180MPa (22 10 ) eq MT d B A B C D x y z 4015084 PY PZ Px PYD PZD 例题：齿轮轴受力及尺寸如图示。已知伞齿轮的受为：例题：齿轮轴受力及尺寸如图示。已知伞齿轮的受为： 轴向力轴向力P PX X=16.5kN=16.5kN，径向力，径向力P PY Y=0.414kN=0.414kN，切向力，切向力P PZ Z=4.55kN=4.55kN；直；直 齿轮的受力为：径向力齿轮的受力为：径向力P PYD YD=5.25kN =5.25kN，切向力，切向力P PZD ZD=14.49kN =14.4