高中数学教学论文：从一道习题的错解谈某类数学概念的教学

1、从一道习题的错解谈某类数学概念的教学摘要：在中学数学中，许多重要概念将逐步发展与深化。本文从一道习题出发，以曲线的切线概念为例，探讨这一类数学概念教学中的注意点。关键词：切线 数学概念 概念发展 概念教学1 问题发现本人在高三复习课中碰到这样一道习题：例（04 重庆）：已知曲线，则过点的切线方程是 .学生错解：求导得：，所以在点的切线斜率为，故所求的切线方程为：，即2 问题讨论错解分析：从学生的解答过程中看出学生错误的认为点即为直线与曲线的切点，而由题意切线只是过p点，学生忽略了另一种情况：直线过点p而与曲线相切与另一点。错因探究：从表面看学生的错误只是把“过点p”理解为“相切于点p”，但经过

2、与做错学生们的交流，发现其错误有更深层次的原因。在学生的意识中，对切线的概念有这样一个错误的认识：过曲线上的一点，只能做曲线的一条切线。该认识的进一步表现即为曲线的切线与曲线只有唯一的一个交点。追本溯源：明确了学生的错误所在后，本人进一步从学生学习切线这一概念的过程中去思考产生错误的原因。学生最早接触切线这一概念是在初中学习圆的切线：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。其中的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。从该定义可以看出学生对切线最初的印象是：与曲线只有唯一的交点。这也是学生记忆最深的印象。然后高一、高二的时候学生进一步学习了直线和二次曲线相切的情况，从形的角度得出了这样一个

3、结论：直线与二次曲线相切时，直线与曲线只有一个交点；但直线与曲线只有一个交点时，直线和曲线不一定相切。如双曲线时，直线与渐近线平行，以及抛物线时，直线与对称轴平行，这两种情况直线与曲线都只有一个交点，但直线与曲线是相交，而不是相切。从数的角度，把直线的方程和二次曲线的方程联立起来，在二次项系数不为零时，若二次方程的判别式等于零，则直线和曲线是相切的。高一高二的学习虽然使学生从“若直线与曲线只有唯一的交点则直线与曲线相切”这一认识误区走出来，但也加深了学生对“若直线与曲线相切则直线与曲线只有唯一的交点”这一错误的认识。接着，在高三导数这章导数的概念这节的学习中，学生们接触到了切线的严格定义：设p

4、是曲线上的定点，q是曲线上的动点，当点q沿着曲线无限接近于点p时，如果割线pq有一个极限位置pt，那么直线pt叫做曲线在p点处的切线。在这里切线被定义为过曲线上定点的割线的极限位置。但在这节教学中，教学重点放在了导数的几何意义（即函数在某点处的导数值是曲线在该点处的切线的斜率）上了，没有重点突出切线的概念，也没有将这一概念和学生以前的认知进行很好的分析比较，以至于学生还有错误的认识：曲线的切线与曲线就只有一个交点。而这一错误认识在解题中就表现为过点只能做已知曲线的一条切线.综上所诉，曲线切线概念的发展过程对学生形成概念产生了负迁移，从而造成学生概念不清，引起解题错误。3 问题解决明确了学生错误

5、的源由，本人详细讲解了切线这一概念的由来与发展，并举例对比分析了各个阶段切线概念的不同点及切线概念发展的必要性，最后借助于几何画板作出过点与曲线相切的两条直线和,给学生以具体直观的印象。图1.割线pq 图2.切于点 图3.切于点正解：设过点的直线与曲线相切于点.因为，所以所求的切线斜率为，故切线方程为：.与曲线方程联立得：.因为点为直线与曲线的切点，故，即.解得：.当时，切点为，切线方程为：，即；当时，切点为，切线方程为：，即.综上，所求的切线方程为：或.4 问题反思本例的错解是由于概念不清而造成的。概念是数学的根本，数学的教学首先是概念的教学。在高中阶段数学的概念可以简单的分为两类：一类是以

6、前不曾接触过的，完全陌生的概念，如：集合，数列，向量，极限，导数的概念等等；另一类是已经有所接触或是似曾相识，是由原有的概念发展而来的，如：数的概念，角的概念，函数的概念，指数的概念，曲线的切线概念等等。第二类情况我们称之为概念的发展。在中学数学中，许多重要概念将逐步发展与深化。这是因为，一方面事物的本身是发展、变化的，因而反映事物的概念也要随之发展、变化；另一方面，由于人们的认识是不断深化的，因而事物的概念也要随之起变化。例如“函数”概念，初中学生只能作“对于给定区间上的每一个x值都有唯一的一个y值与之对应，则y就是x的函数”之类的直观理解，而高中学生就可以用集合的语言，从映射的观点出发来理

7、解，大学生则可以用“关系语言”来理解它。概念的发展包括以下三方面的情况：第一，概念发展以后，与原概念有不同的含义。如初中时候学习锐角三角函数，到高一时发展为任意角的三角函数，意义上有了变化，锐角三角函数的定义不再适用了。第二，概念发展以后更抽象化、一般化，但后者仍包含了前者。如实数的绝对值概念发展到复数的模概念，显然，比更抽象，更一般化，但当时，这两者又是一致的。第三，随着学生知识的增加，概念的外延不断扩大。如角的概念，开始限于的角，以后发展到的角，再发展到任意角，然后在立体几何这一章节中，又从平面角扩展为空间中的角。对于这一类的概念，在教学中，本人认为应该注意以下几点：1）、使学生认识概念的

8、由来和发展应该使学生认识到，对于某类数学概念，是分几个阶段逐步学习的。在一定的阶段里，有确定的含义，随着知识的扩充和发展以及人们认知的深化，这些概念也随之不断发展与深化。例如，切线的概念。初中阶段只是指圆的切线，只需用直线与圆的交点个数来加以定义，在高中阶段，扩展到任意曲线的切线，切线改用割线的极限来加以定义了。2）、使学生认识到概念发展的必要性和合理性概念的发展往往是出于实际的需要。例如，数的概念的发展。最早，由于人类狩猎和计数的需要，形成了自然数的概念。以后，在测量和分配中，需要对作为一个整体的量进行分割，产生了分数。接着，由于认识不可公度的线段，相应地出现了无理数。由于要用数来表示具有相

9、反意义的量的需要，引进了负数。至于虚数，首先是由于数学内部的需要引进的，但只有在后来获得了非常现实的解释和在数学之外的重要应用的情况下才被确认的。3）、比较分析原有概念和新概念之间的联系与区别，巩固和深化新概念新概念是由原有概念发展而来的，因此教学中往往是以概念同化的方式让学生获得新概念。在新概念的学习中，认知结构中原有的适当观念起重要作用，它与新概念相互作用，结果将新概念固定到认知结构的适当部位，并使原有的认知结构也发生变化，获得新的意义。但在学生获得新的意义以后，新旧知识的相互作用并没有停止，新意义的保持和遗忘是同一相互作用过程的继续。在知识的组织过程中，原有较巩固的观念倾向于代替或擦去新

10、的不稳定意义的痕迹，在奥苏伯尔同化论中，将这一过程称之为遗忘性同化。例如，在曲线的切线概念的学习中，学生原有的观念是“曲线的切线是与曲线只有唯一交点的直线”，而新的概念是“曲线是割线在切点处的极限”。在切线的概念学习了一段时间后，学生的意识中就倾向于用原有的观念来代替或擦去新的认知，从而犯下本文一开始的解题错误。教师在概念的教学中应该举例分析清楚原有概念和新概念之间的区别，并应选择或编拟不同的习题，指导学生进行练习，以便巩固新概念。例如，在切线的教学中，可以举例：直线与正弦曲线相切于无数个点，以加深学生对切线概念的理解。4）、借助现代多媒体技术给学生以直观、具体的印象 学生的认知都有一个从具体到抽象的过程，特别是概念的形成，都是从具体的事物出发，概括抽象出它们的本质属性，从而形成概念。在曲线的切线教学中，利用几何画板的动态性，让动点q沿着曲线不断的逼近定点p，最终得到割线pq的极限位置，这一过程给学生以直观、具体的印象，有助于学生更好的理解切线的定义。数学概念是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，