微积分(刘迎东)第九章习题答案

1、9.1 二重积分的概念与性质习题9.11. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1） 与，其中积分区域为由轴、轴与直线所围成。解：因为在上，所以。（2） 与，其中积分区域为由圆周所围成。解：因为在上，所以。（3） 与，其中积分区域为三角形闭区域，三顶点分别为解：因为在上，所以。（4） 与，其中。解：因为在上，所以。2. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1），其中解：在上，所以（2），其中解：在上，所以（3），其中解：在上，所以（4），其中解：在上，所以9.2 二重积分的计算法习题9.23. 计算下列二重积分：（1） ，其中解：（2） ，其中为由两坐标轴及直线所围成的闭区域。解：（3

2、） ，其中解：（4） ，其中为顶点分别为和的三角形闭区域。解：（5） ，其中由所围成。解：（6） ，其中由所围成。解：（7） ，其中由所围成。解：（8） ，其中由所围成。解：（9） ，其中解：区域关于轴对称，被积函数是的奇函数，所以（10） ，其中解：区域关于轴对称，被积函数是的奇函数，所以（11） ，其中为单位圆解：（12） ，其中为解：（13） ，其中为由所围区域的公共部分。解：（14） ，其中为解：（15） ，其中为解：（16） ，其中为解：（17） ，其中由所围成。解：做变换，则，所以（18） ，其中由所围成。解：做变换，则，所以4. 画出积分区域，并计算下列二重积分：（1），其中为由

3、两条抛物线所围成的闭区域。解：（2），其中为由圆周及轴所围成的右半闭区域。解：（3），其中。解：（4），其中为由直线及所围成的闭区域。解：(5) ，其中为顶点分别为和的梯形闭区域。解：（6），其中。解：(7) ，其中。解：由对称性5. 如果二重积分的被积函数是两个函数及的乘积，即，积分区域，证明此二重积分等于两个单积分的乘积，即证明：6. 化二重积分为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域为：（1） 由直线及抛物线所围成的闭区域；解：（2） 由轴及半圆周所围成的闭区域；解：（3） 由直线及双曲线所围成的闭区域；解：（4） 环形闭区域；解：（5） 以为顶点的矩形；

4、解：（6） 以为顶点的三角形；解：（7） 以为顶点的平行四边形；解：（8） 由所围成的区域；解：（9） 由所围成的区域；解：（10） 由所围成的区域；解：（11） 由所围区域的第一象限部分；解：7. 设在上连续，其中为由直线及所围成的闭区域。证明证明：8. 改变下列二次积分的积分次序：（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：(6) 解：（7）解：(8) 解：(9) 解：.(10) 解：.(11) 解：.（12）解：.(13) 解：.9. 证明证明：，其中为围成的区域，所以10. 应用二重积分证明：由射线与曲线所围扇形区域的面积为证明：11. 求心脏线所围区域的面积。解：12. 将二重

5、积分表示成定积分。解：13. 求解：14. 求解：由对称性，15. 求解：16. 计算解：做变换，则，由对称性，所以17. 计算解：18. 引进变量替换将积分的公共部分）化为变量的累次积分。解：做变换，则，所以19. 求曲线所围区域的面积。解：。做变换，则，所以20. 设平面薄片所占的闭区域由直线和轴所围成，其面密度，求该薄片的质量。解：21. 计算由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积。解：22. 求由平面所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体的体积。解：23. 求由曲面及所围成的立体的体积。解：联立得投影区域所以24. 画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域为（

6、1）解：（2）解：（3）其中解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：(8)由所围区域的公共部分。解：（9）由所围区域的公共部分。解：25. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：26. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）解：（2）解： （3）解：（4）解：27. 设在闭区域上连续，且求。解：所以，28. 利用极坐标计算下列各题：（1）其中为由圆周所围成的闭区域。解：(2) 其中为由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。解：（3）其中为由圆周及直线所围成的在第一象限内的闭区域。解：29. 选用适当的坐标计算下列各题：（1）其中为由直线及

7、曲线所围成的闭区域。解：(2) 其中为由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。解：（3）其中为由直线所围成的闭区域。解：（4）其中为圆环形闭区域。解：30. 设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧与直线所围成，其面密度为。求此薄片的质量。解：31. 求由平面以及球心在原点、半径为的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积。解：32. 计算以面上的圆周围成的闭区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积。解：33. 作适当的变换，计算下列二重积分：（1）其中为平行四边形闭区域，它的四个顶点是和；解：做变换，则，所以（2）其中为由两条双曲线和，直线和所围成的在第一象限内；解：做变换，则，所以(3) 其

8、中为由轴、轴和直线所围成的闭区域；解：做变换，则，所以（4）其中解：做变换，则，所以34. 求由下列曲线所围成的闭区域的面积：（1）为由曲线所围成的第一象限部分的闭区域；解：做变换，则，所以（2）为由曲线所围成的第一象限部分的闭区域；解：做变换，则，所以35. 设闭区域由直线所围成，求证证明：做变换，则，所以36. 选取适当的变换，证明下列等式：（1）其中闭区域证明：做变换，则，所以（2）其中且证明：做变换，则，所以9.3 三重积分习题9.337. 化三重积分为三次积分，其中积分区域分别为：（1） 由双曲抛物面及平面所围成的闭区域。解：（2） 由曲面及平面所围成的闭区域。解：（3） 由曲面及所

9、围成的闭区域。解：（4） 由曲面所围成的在第一卦限内的闭区域。解：38. 计算下列三重积分：（1），其中为两个球：和的公共部分。解：由得所以（2），其中为由球面所围成的闭区域。解：由于关于面对称，被积函数关于为奇函数，所以（3），其中为由平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域。解：旋转面方程为。易得在面上的投影区域，所以（4），其中为所围。解：(5) ，其中为由所围成的闭区域。解：（6），其中为由所围成的闭区域。解：(7) ，其中为所围成的闭区域。解：(8) ，其中为所围成的闭区域。解：(9) ，其中为由所围成的闭区域为常数）。解：由轮换对称性，（10）解：（11）解：(12) 解：

10、由轮换对称性，(13) 由曲面所围成。解：（14）解：由解得所以（15）解：（16）其中由和围成。解：（17）其中由和围成。解：（18）解：（19）其中由围成。解：（20）解：（21）其中由围成。解：（22）解：（23）解：（24）解：（25）解：做变换则(26) 解：做变换则39. 设函数连续且恒大于零，其中(1) 讨论在区间内的单调性；(2) 证明：当时，（1） 解：，所以在区间内单调上升。（2）令，则。当时，所以此等价于4.设有一物体，占有空间闭区域，在点处的密度为计算该物体的质量。解：5.如果三重积分的被积函数是三个函数的乘积，即，积分区域，证明：此三重积分等于三个一元积分的乘积，即证

11、明：6.计算，其中为平面所围成的四面体。解：7.计算，其中为由平面以及抛物柱面所围成的闭区域。解：因为积分区域关于平面对称，被积函数关于是奇函数，所以8.计算其中为由锥面与平面所围成的闭区域。解：9.利用球面坐标计算下列三重积分：（1）其中为由球面所围成的闭区域；解：(2) 其中闭区域由不等式所确定；解：10.选用适当的坐标计算下列三重积分：（1）其中为柱面及平面所围成的在第一卦限内的闭区域；解：（2）其中为由曲面及平面所围成的闭区域；解：11.求下列区域的体积：（1）解：（2）解：由可得。所以（3）由曲面所围成（图9.33，本图仅画出第一卦限部分）。解：12.利用三重积分计算下列由曲面所围成

12、的立体的体积：（1）及解：由解得所以（2）及（含有轴的部分）；解：由解得所以（3）及；解：由解得所以.（4）及；解：由解得所以（5）解：（6）解：(7) 求由曲面将球分成两部分之体积比。解：由解得。所以上部体积为下部体积为所以上下之比为13.求球体位于锥面和之间的部分的体积。解：14.求上、下分别为球面和抛物面所围立体的体积。解：由解得。所以15.球心在原点、半径为的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求此球体的质量。解：16.把积分化为三次积分，其中积分区域为由曲面及平面所围成的闭区域。解：9.4 重积分的应用习题9.440. 求球面位于圆柱面内部的那部分面积。解：41

13、. 求下列曲面的面积：（1）球面被锥面所割解：由得所以球面被锥面所割恰为半球面，面积为（2）旋转抛物面被柱面所割；解：（3）曲面被圆柱所割；解：(4)由三个圆柱面所围成的立体的表面；解：（5）曲面在第一卦限中被圆柱面所割。解：42. 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积。解：由解得，所以在面上的投影为，于是43. 求底面半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积。解：44. 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。解：45. 设薄片所占的闭区域如下，求均匀薄片的质心：（1）由所围成；解： （2）为半椭圆形闭区域解：（3）为介于两个圆之间的闭区域；解：46. 设平面薄片所占的闭区域由抛物线及直线所围

14、成，它在点处的面密度，求该薄片的质心。解：47. 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心。解：建立坐标系，使得三角形直角顶点为原点，两腰在两正半轴上。则48. 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度）：（1）解：（2）解：（3）解：49. 设球体占有闭区域，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方。试求此球体的质心。解：50. 在均匀的半径为的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？解：建立坐标系，使

15、得圆心在原点，半圆为下半圆，设接上去的均匀矩形薄片另一边的长度是，则可解得51. 求质量分布均匀的半个旋转椭球体的质心。解：52. 求高为，底半径为的圆锥体的质心。解：建立坐标系，使得圆锥底圆圆心在原点，高在正轴上，则53. 设物体占据空间区域，在点处密度为求该物体的质量与质心。解：54. 有一物质球体，球心在原点，半径为；又有一定点为若球体上任一点的密度与由该点到定点的距离的平方成正比（正比常数为），求此物质球体质心的位置。解：55. 设均匀薄片（面密度为常数）所占闭区域如下，求指定的转动惯量：（1）求解：(2) 由抛物线与直线所围成，求求解：（3）为矩形闭区域，求求解：56. 已知均匀矩形

16、板（面密度为常量）的长和宽分别为和，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。解：建立坐标系，使得矩形板形心在原点，长边平行于轴，宽边平行于轴，则57. 一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面和平面所围成，（1） 求物体的体积；解：（2） 求物体的质心。解：（3） 求物体关于轴的转动惯量。解：58. 求半径为，高为的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度）。解：建立坐标系使得中心为原点，轴为轴。则59. 求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线的转动惯量。解：60. 求占据空间区域的密度均匀的物体对轴的转动惯量。解：61. 设有一密度均匀半径为的半球物质体，求此物质体对底面上一直径之转动惯量。解：建立坐标系，使得球心在原点，球为上半球，直径在轴上，则62. 求高为，底半径为的圆锥体对中心轴的转动惯量。解：建立坐标系，使得底圆圆心在原点，底圆在面上，中心轴为正轴，则63. 设面密度为常量的匀质半圆环形薄片占有闭区域，求它对位于轴上点处的单位质量的质点的引力。解：64. 设均匀柱体密度为，占有闭区域，求它对位于点处的单位质量的质点的引力。解：65. 设在面上有一质量为的匀质半圆形薄片，占有平面闭区域过圆心垂直于薄片的直线上有一质量为的质点，求半圆形薄片对质点的引力。解：66.