2017-2018学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 2 2.2 绝对值不等式的解法教学案 选修-5

1、学必求其心得，业必贵于专精1不等式的性质对应学生用书p11实数大小的比较求差法abab0；abab0时,2不等式的性质（1)性质1（对称性):如果ab,那么ba;如果ba，那么ab.(2)性质2（传递性）：如果ab，bc,那么，ac.（3)性质3（加法性质）：如果ab，那么acbc。移项法则：如果abc，那么acb.推论(加法法则)：如果ab,cd，那么acbd.（4）性质4(乘法性质）:如果ab,c0，那么acbc，如果ab，cb0，cd0，那么acbd.推论2（平方法则）：如果ab0，那么a2b2.推论3(乘方法则):如果ab0，那么anbn(n为正整数）推论4（开方法则)：如果ab0，那

2、么ab（n为正整数）1怎样比较两个代数式的大小？提示：整式、分式一般用求差的方法来比较大小；而算式则一般用求商的方法来比较大小2两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗?提示:不可以，两个不同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需求差或商时，可利用不等式性质化为同向不等式相加或相乘，例如：ab且cdab且cd，acbd。3若ab0，当n0时，anbn成立吗？提示：不成立,如当a3，b2，n1时,31b0，求证:。证明:法一:0，所以原不等式成立法二：ab0,故a2b20.故左边0,右边0。11。原不等式成立。利用不等式的性质辨别不等式的正误例2对于实数a，b，c判断下列命题的真假(

3、1)若ab,则acbc2，则ab;(3)若aabb2;(4）若ab0，则|a|b|;（5）若cab0,则。思路点拨本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力解答此题需要依据实数的基本性质，实数的符号的运算法则以及不等式性质，然后经过合理逻辑推理即可判断精解详析(1）由于c的符号未知，因而不能判断ac，bc的大小关系,故该命题是假命题（2)由ac2bc2知c0，而c20，ab，故该命题是真命题（3)a2ab；又abb2，a2abb2，故该命题是真命题（4）两个负实数，较小的离原点远，其绝对值反而大,故该命题是真命题（5)0cacb，故该命题是真命题在利用不等式性质判断不等式真假时，关键是依据题设条件

4、，正确恰当地选择使用不等式的性质，当否定一个结论时只需举一个反例即可;有时也可采用特殊方法比较判断3若abc,则下面不等式中一定成立的是（)aac|bc|babaccac|b|c| d.解析：选项a需要c0，选项b需要a0，选项d需要a,b,c同号答案:c4利用不等式的性质判断下列各命题是否成立，并简述理由(1)ab2xa2xb.(2)ab，cdacbd.（3)ab，cd，cd0。（4）ab0.解：（1)成立因为2x0，由性质（4)知2xa2xb.(2）不成立令a5,b4,c3,d1，有acbd.（3)不成立当ab0，c0，d0时显然有。(4)不成立，由ab0,可得。利用不等式的基本性质求代数

5、式的取值范围例3已知60x84，28y33，则xy的取值范围为_，的取值范围为_思路点拨利用不等式性质，先求y和的取值范围，再求xy和的取值范围精解详析xyx(y），所以需先求出y的取值范围;x，所以需先求出的取值范围28y33，33y28,。又60x84，27xy56,。即3。答案27xy563本题不能直接用x的取值范围去减或除y的取值范围，应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围；其次在有些题目中,还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“取值范围间的联系如已知20xy30，15xy18,要求2x3y的取值范围，不能分别求出x，y的取值范围，再求2x3y的取值范围，应把已知的“xy”“

6、xy”视为整体,即2x3y(xy)（xy）来求2x3y的取值范围，或根据线性规化知识求目标函数z2x3y的取值范围5已知1ab1，1ab3，求3ab的取值范围解：设3abx（ab）y（ab）（xy）a（xy）b。由2得：12（ab)2（ab）132，即13ab7。利用不等式的性质证明不等式例4若ab0，cd0，e；（2）。思路点拨本题考查不等式性质的应用及逻辑推理能力解答本题可先比较ac与bd，(ac)2与（bd）2的大小,进而判断与，与的大小，再两边同乘以负数e，得出要证明的结论精解详析cd0，cd0，ab0,acbd0.(*)(1)由(*)式知.（2)由（)式知（ac)2（bd）20，。又

7、e0，.即。利用不等式的性质证明不等式,一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果能由不等式的性质直接进行推理论证,则严格按不等式性质成立的条件论证；否则可以先分析需要证明的不等式的结构，再利用不等式的性质进行逆推,寻找使其成立的充分条件6已知abcd0,且，求证:adbc。证明：,.(ab）d(cd）b。又abcd0,ab0，cd0，bd0且1，1，abcd,即adbc。本课时内容是不等式的基础，是高考的重要考点,主要考查比较大小问题，不等式正误的判断以及利用不等式性质确定代数式的取值范围问题一般与函数、方程等知识交汇命题考题印证(江苏高考）设x,y为实数，满足3xy28，49，则的最

8、大值是_命题立意本题主要考查不等式的性质与函数的最大值的概念的综合应用及函数方程思想、转化分类及运算求解能力自主尝试由题设知，实数x，y均为正实数,则条件可化为lg 3lg x2lg ylg 8，lg 42lg xlg ylg 9,令lg xa，lg yb，则有又设t，则lg t3lg x4lg y3a4b，令3a4bm（a2b)n（2ab）, 解得m1,n2.即lg t（a2b）2(2ab)lg 34lg 3lg 27。的最大值是27.另解:将49两边分别平方得,1681，又由3xy28可得,，由得，227，即的最大值是27。答案27对应学生用书p4一、选择题1若a0,1b0，则有（）aaa

9、bab2bab2abacabaab2 dabab2a解析：a0，1b0，ab0，b10,1b0，0b21，1b20,abaa(b1）0。aba。又abab2ab（1b）0，abab2.又aab2a(1b2)0,aab2。故abab2a。答案：d2设ab1，cb1，c0得，,；幂函数yxc(c0）是减函数，所以acloga（bc），均正确答案：d3设角，满足，则的范围是(）a0 bc0 d解析：,.，且0。0。答案:a4若ab0，则下列各式中恒成立的是(）a. b.cab daabb解析:选取适当的特殊值,若a2，b1，可知，2,由此可知选项a不成立利用不等式的性质可知，当ab0时，由此可知，选

10、项c不恒成立取a,b,则ab0,则aabb，故选项d不恒成立故选b.答案:b二、填空题5设ab0，p3a32b3，q3a2b2ab2，则p与q的大小关系是_解析：pq3a32b3（3a2b2ab2)3a2（ab）2b2(ba)(3a22b2）(ab）因为ab0，所以ab0，a2b20.所以3a23b22b2，即3a22b20。从而(3a22b2)(ab)0，即3a32b33a2b2ab2,即pq.答案:pq6若a,br，且ab，下列不等式：；（ab)2（b1）2；（a1）2（b1）2.其中不成立的是_解析：。因为ab0,a（a1)符号不确定，不成立；取a2，b2,则（ab）20，(b1）20，

11、不成立；取a2，b2,则（a1）21,（b1）29，不成立答案:7有以下四个条件：b0a；0ab；a0b;ab0.其中能使成立的有_个条件解析:b0，0。a0，0。ba0，。a0b，0，0。.ab0,.综上知，均能使成立答案：38若1a3，4b2,则ab|的取值范围是_解析：4b2，0|b4，4|b0又1a3，3a|bbc，求证:0.证明：原不等式变形为:。又abc，acab0。从而有，又0，。即0。11已知一次函数f（x)axb，且1f(1）2，2f(2）3，求f(3)的取值范围解：法一：（不等式基本性质)又f（3）3ab（ab）（2ab)，f（3）.法二：（线性规划)因为所以点(a，b)所表示的区域如图阴影所示,又f（3）3ab，所以由线性规划知识可知，当（a,b)在d位置时f(3）取得最大值;在b位置时f（3)取得最小值，f（3）。法三