理论力学动量定理

1、第十一章第十一章 动量定理动量定理 11-1 11-1 动量与冲量动量与冲量 11-2 11-2 动量定理动量定理 11-3 11-3 质心运动定理质心运动定理 小结小结 思考题思考题 Ch.11. 动量定理动量定理 基本内容基本内容 ：动量定理动量定理-描述质点和质点系总体运动变化描述质点和质点系总体运动变化 与作用力间的关系，用以求解质点系动力学与作用力间的关系，用以求解质点系动力学 问题问题 基本要求：基本要求： 理解动量、冲量、质点系质心的概念理解动量、冲量、质点系质心的概念 会计算质点、质点系、刚体作各种运动时的会计算质点、质点系、刚体作各种运动时的 动量和力的冲量动量和力的冲量 能

2、熟练运用动量定理、质心运动定理及其守能熟练运用动量定理、质心运动定理及其守 恒定律求解动力学问题恒定律求解动力学问题 Ch.11. 动量定理动量定理 11-1 动量与冲量动量与冲量 1. 动量动量-物体某瞬时机械运动的一种度量物体某瞬时机械运动的一种度量 vpm质点的质点的动量动量 质点系的质点系的动量动量 ii mvp 质心质心 (质量中心质量中心)-反映质点系质量分布的点反映质点系质量分布的点 i ii m m r rC dt d C C r v 质心速度：质心速度： 动量单位动量单位(SI)：kg m/s )/( )/( )/( iiiC iiiC iiiC mzmz mymy mxmx

3、 或者或者 Ch.11. 动量定理动量定理 iC mmm,vp 2. 冲量冲量-力在某时间间隔内作用效应的一种度量力在某时间间隔内作用效应的一种度量 2 1 t t dtFI 常力的常力的冲量：冲量： 变力的变力的冲量：冲量： tFI dtdFI 元冲量：元冲量： 冲量单位冲量单位(SI)：N s 质点系的质点系的动量动量等于等于质心速度质心速度与其与其全部质量全部质量的乘积的乘积。 C C iCiiiii m dt d mm dt d m dt d mv r rrvp)()()( vC C C vC C vC=0 Ch.11. 动量定理动量定理 11-2 动量定理动量定理 Fv )(m dt

4、 d 1. 质点的动量定理质点的动量定理 2. 质点系的动量定理质点系的动量定理 微分形式：微分形式：dtmdFv )(或或 积分形式：积分形式：IFvv t dtmm 0 0 第第k个质点：个质点：dtdtdtmd i k e k i k e kkk )()()()( )()(FFFFv 外力外力内力内力 n k i k n k e k n k kk dtdtmd 1 )( 1 )( 1 )(FFv 0 1 )( n k i k F质点系内力之和质点系内力之和 Ch.11. 动量定理动量定理 动量定理动量定理的的微分形式微分形式： )()(e R e i dt d FF p )()()( ,

5、 e z z e y ye x x F dt dp F dt dp F dt dp 或者或者 n i n i e i e i ddtd 11 )()( IFp 动量定理动量定理的的积分形式：积分形式： )()( 0 e R e i IIpp )( 0 )( 0 )( 0 e zzz e yyy e xxx Ipp Ipp Ipp 或者或者 Ch.11. 动量定理动量定理 恒矢量恒矢量 0 ppF0 )(e i 恒量恒量 xx (e) x ppF 0 0 3. 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律 4. 解题过程解题过程 运运动动分分析析 受受力力分分析析 选选择择研研究究对对象象 取取坐坐标标

6、系系 建建立立方方程程 求求解解计计算算 讨讨 论论 Ch.11. 动量定理动量定理 例例11-1 11-1 电动机的外壳固定在水平基础上，定子和机壳的质量为电动机的外壳固定在水平基础上，定子和机壳的质量为 m1，转子质量为，转子质量为m2，如图所示。设定子的质心位于转轴的中心，如图所示。设定子的质心位于转轴的中心O1， 但由于制造误差，转子的质心但由于制造误差，转子的质心O2到到O1的距离为的距离为e。已知转子。已知转子匀速转匀速转 动动，角速度为，角速度为。求求基础的水平及铅直基础的水平及铅直约束力约束力。 解：解：研究电动机外壳与转子组研究电动机外壳与转子组 成质点系成质点系 1 2 x

7、 y p m2g m1g Fy Fx MO emp 2 动量大小：动量大小： t temptemp yx sin,cos 22 gmgmF dt dp F dt dp y y x x 21 , temgmmFtemF yx cos)(,sin 2 221 2 2 动约束力动约束力 动约束力动约束力 静约束力静约束力 Ch.11. 动量定理动量定理 F P Fb Fa va vb b1 b1 b b a a a1 a1 例例11-2 11-2 图图11113 3表示水流流经变表示水流流经变 截面弯管的示意图。设流体是截面弯管的示意图。设流体是不可不可 压缩压缩的，流动是的，流动是稳定稳定的。的。

8、求求管壁的管壁的 附加动约束力附加动约束力。 解：解：定常流动定常流动流体流体的动约束力的动约束力 计算计算 基本假设基本假设： 1 1）理想流体理想流体-不存在内摩擦的流体不存在内摩擦的流体 2 2）不可压缩不可压缩-密度密度 与所受压力间的依从关系可略去与所受压力间的依从关系可略去 3 3）定常流动定常流动-流体的速度场与时间无关（欧拉法）流体的速度场与时间无关（欧拉法） dt时间间隔时间间隔 )(横截面面积横截面面积、流量：流量： babbaaV SSvSvSq dtqdm V 11111111 )()( aabbbaaabbbaabba dppppppppp baba 11 pp定定常

9、常流流动动： dtqdmdmd abVabaabb )( 11 vvvvppp 约束力约束力 重力重力 Ch.11. 动量定理动量定理 dtdtqd baabVaabb )()( 11 FFFPvvppp动量定理动量定理 FFFPvv baabV q)( )-(动动约约束束力力静静约约束束力力，令令约约束束力力：FFFFF 0FFFP ba )( abV qvvF 附加动约束力附加动约束力 v1 v2 F x F y 等截面直角形弯管实例：等截面直角形弯管实例： )( 12 vvF V q 2211 vAvAqV 2 111 2 222 )0( )0( vAvqF vAvqF Vy Vx Ch

10、.11. 动量定理动量定理 例例11-3 11-3 物块物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA；小球；小球B的的 质量为质量为mB，以细杆与物块铰接，如图所示。设杆长为，以细杆与物块铰接，如图所示。设杆长为l，质量不计，质量不计， 初始初始时系统时系统静止静止，并有，并有初始摆角初始摆角 0；释放后，细杆近似以；释放后，细杆近似以 = 0cos t 规律摆动（规律摆动（ 为已知常数），为已知常数），求求物块物块A的的最大速度最大速度。 解：解：取物块和小球为研究对象取物块和小球为研究对象 )cos( BABABxBAxAx vvmvmvmvmp A B v

11、vr 0 0 xx pp 0 (e) x F tllvBA BAB sin, 0 vvv 0)coscos(sin)( 00 ttlmvmmp BBAx )/( 0maxBAB mmlmv )/()coscos(sin 00BAB mmttlmv Ch.11. 动量定理动量定理 11-3 质心运动定理质心运动定理 1. 质量中心质量中心 质心质心 (质量中心质量中心)-反映质点系质量分布的点反映质点系质量分布的点 i ii m m r rC mzmmzmz mymmymy mxmmxmx iiiiiC iiiiiC iiiiiC /)/( /)/( /)/( 或者或者 特例：在重力场中，质心与

12、重心重合。特例：在重力场中，质心与重心重合。 Ch.11. 动量定理动量定理 B x A C y vC 例例11-4 11-4 图示的曲柄滑块机构中，图示的曲柄滑块机构中， 设曲柄设曲柄OA受力偶作用以受力偶作用以匀角速度匀角速度 转动转动，滑块，滑块B沿沿x轴滑动。若轴滑动。若 OA=AB=l，OA及及AB皆为皆为均质杆均质杆， 质量皆为质量皆为m1，滑块滑块B的质量为的质量为m2。 求求此系统的此系统的质心运动方程质心运动方程、轨迹轨迹 以及此以及此系统的动量系统的动量。 解：解：设设t=0时杆时杆OA水平，则有水平，则有 = t tl mm m t mm l m y tl mm mm t

13、 mm lm l m l m x C C sin 2 sin 2 2 2 cos 2 )(2 cos 2 2 2 3 2 21 1 21 1 21 21 21 211 质心运动质心运动 方程方程 Ch.11. 动量定理动量定理 1 22 )(2 2 21 1 2 2 21 21 2 mm lm y mm lmm x CC 质心运动轨迹质心运动轨迹 tl mm m yvtl mm mm xv CyCCxC cos 2 ,sin 2 )(2 21 1 21 21 tmtmmlppp yx 22 1 22 21 22 cossin)(4 tlmvmmp tlmmvmmp yCy xCx cos)2(

14、 sin)(2)2( 121 2121 动量的方向动量的方向沿质心沿质心轨迹的切线方向轨迹的切线方向，可用其方向余弦表示。，可用其方向余弦表示。 动量投影动量投影 动量大小动量大小 Ch.11. 动量定理动量定理 2. 质心运动定理质心运动定理 (e)( R e C mFFa (e)(e)(e) , zCzyCyxCx FmaFmaFma )( )( e iC m dt d Fv C e R e i m dt d vpFF p , )()( 质心运动定理质心运动定理 直角坐标直角坐标上的上的投影式投影式： 自然轴自然轴上的上的投影式投影式： 0, (e)(e) 2 (e) bn C t C F

15、F v mF dt dv m 质点系的质点系的质量质量与与质心加速度质心加速度的的乘积乘积等于等于作用于质点系外力的矢作用于质点系外力的矢 量和（即等于量和（即等于外力的主矢外力的主矢）。这种规律称为）。这种规律称为质心运动定理质心运动定理。 Ch.11. 动量定理动量定理 两点说明两点说明： 1）质点系质心的运动，可以质点系质心的运动，可以 看成为一个质点的运动，设想此质看成为一个质点的运动，设想此质 点集中了整个质点系的质量及其所点集中了整个质点系的质量及其所 受的外力。受的外力。 2）质点系内力不影响质心的质点系内力不影响质心的 运动，只有外力才能改变质心的运运动，只有外力才能改变质心的

16、运 动。动。 P vC Ch.11. 动量定理动量定理 例例11-5 11-5 均质曲柄均质曲柄AB长为长为r，质，质 量为量为m1，假设受力偶作用以，假设受力偶作用以不不 变的角速度变的角速度转动，并带动滑转动，并带动滑 槽连杆以及与它固连的活塞槽连杆以及与它固连的活塞D， 如图所示。滑槽、连杆、活塞如图所示。滑槽、连杆、活塞 总质量为总质量为m2，质心质心在点在点C。在活。在活 塞上作用一塞上作用一恒力恒力F。不计摩擦及不计摩擦及 滑块滑块B的的质量质量，求作用在曲柄轴，求作用在曲柄轴 A处的处的最大水平约束力最大水平约束力Fx。 解：解：研究整个机构，注意力偶不影响质心运动。研究整个机构

17、，注意力偶不影响质心运动。 A B C D F Fx y x b FFamm xCx )( 21 t mm brm r mxC , 1 )cos(cos 2 21 21 tm m mm r dt xd a C xC cos) 2 ( 2 1 21 2 2 2 Ch.11. 动量定理动量定理 tm m rFammFF Cxx cos) 2 ()( 2 1 2 21 ) 2 ( 2 12 max m m rFFx 3. 质心运动守恒定律质心运动守恒定律 000 )( 0,0:0 CCCCCC e rrvvvaF则则，如如 )( e C mFa 000 (e) 则0如0:0 CCCxCxCxCxx

18、xx，v,vvaF Ch.11. 动量定理动量定理 例例11-6 11-6 如图所示，设如图所示，设例例11111 1 中的电动机中的电动机没用螺栓固定没用螺栓固定，各，各 处处摩擦不计摩擦不计，初始时初始时电动机电动机静静 止止，求求转子以匀角速度转子以匀角速度转动转动 时时电动机外壳电动机外壳的的运动运动。 解：解：研究电动机外壳与转子研究电动机外壳与转子 组成质点系，已知组成质点系，已知 = t ammxmxmxaxxt C )/()(,0 212211021 时时，设设 )/()sin()( 2121 mmesamsamxC而而 te mm m ssin 21 2 FN s a e 1

19、 x y 2 m1g m2g 0 (e) 0 CCx xxF Ch.11. 动量定理动量定理 例例11-7. 已知已知A、B的质量分的质量分 别为别为 mA、mB，且，且mA=3mB， 各处摩擦不计。初始时系统各处摩擦不计。初始时系统 静止，求三棱柱静止，求三棱柱A运动的加运动的加 速度及地面对三棱柱的约束速度及地面对三棱柱的约束 力。力。 解：解：由由 )()( , 0 e y ye x x F dt dp F dt dp 得得 gmmFvm dt d vvmvm dt d BANrB rABAA )()sin( 0)cos()( A B a b P1 y x P2 FN vA vA vr

20、o Ch.11. 动量定理动量定理 也即也即 sin)( )(cos rBBAN ABArB amgmmF ammam 再研究物块再研究物块B )(e BB Fam 得得 sin)cos(gmaam BrAB 从而可得从而可得 g m Fga B NA 22 sin3 12 , sin3 cossin 由由 B aA ar P2 FR Ch.11. 动量定理动量定理 A B M k m1 例例11-8. 质量为质量为m的滑块，可以在水平光滑槽中运动，具有刚度的滑块，可以在水平光滑槽中运动，具有刚度 系数为系数为k的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。杆的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。杆AB长

21、度为长度为l， 质量忽略不计，质量忽略不计，A端与滑块端与滑块A铰接，铰接，B端装有质量端装有质量 m1，在铅直平，在铅直平 面内可绕面内可绕A点旋转。设在力偶点旋转。设在力偶M作用下转动角速度作用下转动角速度为常数，为常数，求求 滑块滑块A的的运动微分方程运动微分方程。 解：解：以弹簧原长处和铅垂处为以弹簧原长处和铅垂处为 x 和和 的起始位置，由题意可的起始位置，由题意可 得得 k C F dt xd mm 2 2 1) ( 得得 代入代入 )/()sin( , 11 mmlxmmxx kxFt C k t mm lm x mm k x sin 1 2 1 1 x o x Ch.11. 动

22、量定理动量定理 例例11-9 已知：水的体积流量为已知：水的体积流量为qV m3/s，密度为，密度为 kg/m3；水冲；水冲 击叶片的速度为击叶片的速度为v1 m/s，方向沿水平向左；水流出叶片的速度为，方向沿水平向左；水流出叶片的速度为v2 m/s, ,与水平线成与水平线成角。求图示水柱对涡轮固定叶片作用力的角。求图示水柱对涡轮固定叶片作用力的水平水平 分力分力。 解：解：设附加水平动约束力如图设附加水平动约束力如图，有，有 0),(cos 12 yVx FvvqF 因此，水柱对涡轮固定叶片作用力的因此，水柱对涡轮固定叶片作用力的水平分力水平分力为为 x F )( 2 1 122 vvvF

23、V q N)cos( 12 vvqFF Vxx v1 v2 v2 22 vv Ch.11. 动量定理动量定理 1. 动量定理动量定理 小小 结结 质点系质点系动量守恒定律动量守恒定律： 质点的动量定理：质点的动量定理： 质点系的动量：质点系的动量： 质点系的质点系的动量定理动量定理： dtmdFv )(IFvv t dtmm 0 0 Cii mmvvp )(e dt d F p )( 0 e Ipp 恒矢量恒矢量 0 ppF0 )(e 恒量恒量 xx (e) x ppF 0 0 Ch.11. 动量定理动量定理 2. 质心运动定理：质心运动定理： maC =F(e) 质点系的质点系的质心质心 质

24、心运动守恒定律质心运动守恒定律： m m iir rC mzmz mymy mxmx iiC iiC iiC / / / 或者或者 000 )( 0,0:0 CCCCCC e i rrvvvaF则则，如如 000 (e) 则0如0:0 CCCxCxCxCxx xx，v,vvaF Ch.11. 动量定理动量定理 60 v l 思思 考考 题题 思思11-1 11-1 求图求图11111111所示各所示各均质均质物体的物体的动量动量。设各物体质量皆。设各物体质量皆 为为m 。 l l/3 l Cii mmvvp mlp 2 1 mlp 6 1 mvmlp 3 3 2 1 60sinl v 瞬心法瞬

25、心法 Ch.11. 动量定理动量定理 R v R x a a 2a 45 y map 2 1 mRp mvp Ch.11. 动量定理动量定理 思思11-2 11-2 在光滑的水平面上放置一在光滑的水平面上放置一静止静止的的均质圆盘均质圆盘，当它受一，当它受一 力偶作用力偶作用时，时，盘心盘心将如何将如何运动运动？盘心运动情况？盘心运动情况与力偶作用位置与力偶作用位置 有关吗有关吗？如果圆盘面内受一大小和方向都？如果圆盘面内受一大小和方向都不变的力不变的力作用，盘心作用，盘心 将如何运动？盘心运动情况将如何运动？盘心运动情况与此力的作用点有关吗与此力的作用点有关吗？ 解答：解答：由质心运动定理由质心运动定理 maC =F(e) 可知，在力偶作用下盘心不