实验十四 弦振动的研究

1、实验十四 弦振动的研究 目的目的 1观察弦振动时形成的驻波； 2用两种方法测量弦线上横波的传播速度， 比较两种方法测得的结果； 3验证弦振动的波长与张力的关系 仪器和用具仪器和用具 弦驻波实验仪、分析天平(或电子天平) v原理原理 v 1弦线上横波传播速度(一) v 如图所示，将细弦线的一端固定在电振音 叉上(音叉的振幅要小些)，另一端绕过滑轮挂 上砝码当音叉振动时，强迫弦线振动(弦振 动频率应当和音叉的频率相等)，形成一列向 滑轮端前进的横波，在滑轮处反射后沿相反 方向传播，在音叉与滑轮间往返传播的横波 的叠加形成一定的驻波， v适当调节砝码重量或弦长(音叉端到滑轮轴间 的线长)，在弦上将出

2、现稳定的强烈地振动， 即弦与音叉共振弦共振时，驻波的振幅最 大，音叉端为稍许振动的节点(非共振时，音 叉端不是驻波的节点)，若此时弦上有n个半 波区，则 ，弦上的波速则为 v (1) v或 v （1） 2l n 2l n v2弦线上横波传播速度(二) v 若横波在张紧的弦线上沿x轴正方向传播， 我们取 的微元段加以讨论(图2).设弦 线的线密度(即单位长质量)为 ，则此微元 段弦线出的质量为 . v在A、B处受到左右邻段 v的张力分别为 、 ， v其方向为沿弦线的切线 v方向与x轴交成 、 角 ABds ds 1T F 2T F 1 2 v 由于弦线上传播的横波在x方向无振动，所 以作用在微元

3、段ds上的张力的x分量应该为零， 即 v (2) v又根据牛顿第二定律，在y方向微元段的运动 方程为 v (3) 2211 coscos0 TT FF 2 2211 2 sinsin TT d y FFds dt v对于小的振动，可取 ，而 、 都 很小，所以 . 又 从导数的几何意义可知， v式(2)将成为 ，即 表 示张力不随时间和地点而变，为一定值式 (3)将成为 dsdx1 2 121122 cos1,cos1,sintan,sintan 12 tan() ,tan() xx dx dydy dtdx 21 0 TT FF 21TTT FFF 2 2 ()() Tx dxTx dydy

4、d y FFdx dxdxdt (4) v将 ；按泰勒级数展开并略去二 v级微量，得 v将此式代入式(4)，得 v即 v (5) () x dx dy dx 2 2 ()()() x dxxx dydyd y dx dxdxdx 22 22 () Tx d yd y Fdxdx dxdt 22 22 T Fd yd y dtdx v将式(5)与简谐波的波动方程 比较 可知：在线密度为 、张力为 的弦线上， 横波传播速度 的平方等于 v即 v v (6) 22 2 22 d yd y dtdx T F 2 T F T F v3弦振动规律 v将式(1)代入式(6)，得出 v v即 v (7) v又

5、将式(1)代入式(6)，整理后可得 v (8) T F 1 T F 2 T Fn l v式(7)表示，以一定频率振动的弦，其波长将 因张力，或线密度的变化而变化的规律式 (8)又表示出，对于弦长、张力、线密度一定 的弦，其自由振动的频率不只一个，而是包 括相当于n=1，2，3，的， 多种 频率，n=1的频率称为基频，n=2，3的频率 称为第一、第二谐频，但基频较其他谐频强 得多，因此它决定弦的频率，而各谐频则决 定它的音色 123 , v振动体有一个基频和多个谐频的规律不只是 弦线上存在，而是普遍的现象但基频相同 的各振动体，其各谐频的能量分布可以不同， 所以音色不同例如具有同一基频的弦线和

6、音叉，其音调是相同的，但听起来声音不同 就是这个道理 v 当弦线在频率为 的音叉驱动下振动时， 适当改变 、 和 ，则可能和强迫力发生 共振的不一定是基频，而可能是第一、第二、 第三、谐频，这时弦上出现2，3，4， 个半波区 T Fl v实验内容实验内容 v 1测量弦的线密度 v 取2 m长和所用弦线为同一轴上的线，在 分析天平上称其质量m，求出线密度 v2观察弦上的驻波 v 根据已知音叉频率 (一般为100 Hz)和已知 线密度 ，求弦长在2030 cm附近，若要 弦的基频与音叉共振时，弦的张力 =? v 参照上述计算的值，选适当的砝码挂在弦 上(弦长在130 cm左右)，给电振音叉的线圈

7、上通以50 Hz，12 V的交流电，使音叉做受 迫振动，进行以下的观测： T F v (1)使弦长从20 cm左右开始逐渐增加，当在 n=1，2，3，4个半波区几种情况下，弦共振 时，分别测出弦长并算出波长 v (2)使弦长大于n=1共振时的弦长，小于 n=2共振时的弦长，从这种情况振动的弦上， 测出波长，并和上面的测量相比较(注意，此 时音叉端不是弦的节点) v 3弦上横波的波长与张力的关系 v 增加砝码的质量，再细调弦长使出现共振， 测出弦长 ，算出波长 重复测量取平均 值 值改变68次 v 将式(7)两侧取对数，得 v 即 与 间是线性关系 l T F 11 lnln()ln 2 T F lnln T F v利用测量值，作 图线，求出图线 v的纵轴截距和斜率，将截距和 相比 v较，斜率和 相比较，说明其差异是否过大? lnln T F 1 ln() 1 2 v 4比较两种波速计算值 v 从以上测量中，选取合适的数据，代入式(1) 和式(6)中，计算出理论上应当相等的两个速 度值，说明其差异是否显著? v 5从测量记录中，选一组数据代入式(8)， 计算出弦振动的频率，说明它和已知音叉频 率的差异是否显著? v 6设计实验方案 v 写出用信号发生器测量音叉振动频率的实验 方案并将其与已知音叉频率、实验计