《电力系统最优潮流的数学模型计算案例》6100字

电力系统最优潮流的数学模型计算案例综述最优潮流是指在给定电力系统结构参数及负荷数据的情况下，在满足约束条件的前提下通过调整各种控制设备参数来实现目标函数最小化的寻优过程。最优潮流数学模型最优潮流的目标函数目标函数可用来表示系统的经济成本、安全性或者其他的目标。常用的最优潮流目标函数为以下两种：(1)发电机出力成本：(3-1)上式(3-1)中，为系统内所有发电机的集合，为第台发电机的耗量特性，为第台发电机的有功出力。在电力系统的调度中常见到的最优潮流通常以发电机出力成本最低为目标。(2)有功网损：(3-2)上式(3-2)中，表示所有支路的集合。无功优化潮流通常以网络损耗最小为目标函数[14]。最优潮流变量类型最优潮流模型中，变量主要分为两大类：一类是控制变量，另一类是状态变量。控制变量即为可以被控制的自变量，包括：(1)所有发电机及无功补偿装置的无功出力、节点电压幅值；(2)除平衡节点外的其余各发电机组的有功出力；(3)移相器抽头位置等。状态变量通常包括各节点电压和各支路功率[15]。最优潮流约束条件最优潮流的约束条件包括等式约束和不等式约束：等式约束电力系统最优潮流中的等式约束为基本潮流平衡方程，可用下式表示：(3-3)不等式约束最优潮流计算的不等式约束包括：各有功电源出力上下限约束；各发电机即无功补偿装置出力上下限约束；各节点电压幅值上下限约束；各支路通过的最大功率约束；线路两端节点电压相角约束等。可以将上述不等式约束条件表示为：(3-4)根据目标函数、等式约束及不等式约束构造电力系统最优潮流计算数学模型如式(3-5)所示：(3-5)基于发电机出力成本最低的最优潮流模型基于发电机出力成本最低的目标函数本文采用全系统火电机组燃料费用最小为目标函数，设有所有发电机和负荷都连接在同一节点的系统如图3-1所示：图3-1单电力系统模型将上图3-1单电力系统模型的发电机出力成本表示为式(3-6)所示：(3-6)上式(3-6)中是第个发电厂的有功出力，为发电厂的出力成本。式(3-6)函数图像如下图3-2所示：图3-2燃料成本曲线图3-2便是燃料成本曲线图，该图中任一点切线的斜率称为燃料成本微增率，即：(3-7)燃料成本微增率可以用来测量输出一定增量的功率需要增加多少成本。等微增率法则即运行的发电机组按微增率相等的原则来分配负荷，这样可使系统总的燃料消耗或费用为最小[17]。该系统的负荷需求等于所有发电机的有功出力。每个发电厂的成本函数是已知的，则该经济分配问题就是使得如下式(3-8)所示的所有发电机的出力成本最低。(3-8)上式(3-8)中为火力发电厂的燃料总费用；是第个发电厂的有功出力，是发电厂的总数。计及网络损耗的等式约束计及网络损耗时，电力系统在运行过程中的有功功率的总和应该与系统的总负荷和网络损耗相平衡，则此时的等式约束条件应为：(3-9)网络损耗是发电机最优潮流计算中一及其重要的因素，本文借助库恩损耗公式得：(3-10)上式中称为系数（损耗系数）。可以用系数法求解，B系数法求解原理如下所示：假设注入节点的复功率为(3-11)所有节点的功率总和即整个系统的损耗为(3-12)式中，、为系统的有功和无功损耗；是节点电压的列向量；是注入节点电流的列向量。节点电流和节点电压之间的关系式为：(3-13)节点电压矩阵为：(3-14)节点导纳矩阵的逆矩阵为节点阻抗矩阵。如果系统中有并联元件与地节点相连，则节点导纳矩阵是非奇异的。将上式(3-14)代入(3-12)(3-15)由于节点阻抗矩阵是对称的，即总的系统损耗为(3-16)分离实部与虚部，可得：(3-17)(3-18)由于，所有有功功率损耗可转变为：(3-19)此时定义总的负荷电流以得出根据发电机有功出力得到的系统损耗公式：(3-20)上式(3-20)中，是负荷节点数；是总负荷电流。现假定各个节点电流是总负荷电流的部分，如：(3-21)此时假设节点1为平衡节点，将(3-14)展开得到(3-22)将节点电流用发电机电流和负荷电流替代，得(3-23)再将(3-21)代入(3-23)得(3-24)上式中，(3-25)将定义为从节点1流出的电流，再将其他负荷电流置0，得：(3-26)再将上式(3-26)代入(3-24)，并求解，得：(3-27)求得后再将(3-26)代入(3-20)得(3-28)此时设(3-29)得到(3-30)再将上式展开为矩阵形式，得(3-31)简写为：(3-32)再代入(3-19)得(3-33)将作为节点的复功率，此时发电机电流为：(3-34)将加到上式(3-34)，并展开为矩阵：(3-35)简写为:(3-36)上式中(3-37)将(3-36)代入(3-33)得(3-38)上式的矩阵为一个复数矩阵，可以通过取实部得出有功功率损耗(3-39)其中(3-40)上述矩阵的元素都是复数，可以用它的实部来计算有功损耗。也是一个厄密共轭矩阵，即为对称矩阵且，因此其实数部分为(3-41)上述矩阵写为分块矩阵为：(3-42)将上述矩阵(3-42)代入(3-39)得：(3-43)由上述可得，求系数可分为以下四步：求出整个系统的节点电压幅值和相角；用(1)中结果求负荷电流、总负荷电流以及；求出阻抗矩阵、、和；通过(3-42)计算系数。之后便可求得。需要注意的是，当发电机有功出力为单位时，网损系数必须做以下换算：(3-44)式中，的单位为MVA[18]。考虑发电机出力限制的不等式约束在实际情况中，发电机的输出功率既不能超过它的最大出力限制，也不能低于它的最小出力限制。因此发电机出力需要满足式(3-45)的不等式约束以保证其正常工作。(3-45)式(3-45)中，是第个发电厂的有功出力，与分别是第台发电机的最小、最大出力限制。基于简化梯度法的最优潮流计算简化梯度法用拉格朗日乘子处理等式约束，利用库恩-吐克尔条件处理不等式约束，建立拉格朗日函数，并求出拉格朗日函数在迭代点最快的下降方向，以该方向寻找最优解使拉格朗日函数值达到最优。拉格朗日乘数法原理设函数在A处有极值k，且k在A点的邻域内连续。则在A点处有，另外还存在一常值函数。此时两个函数在A点处的全微分为：(3-46)(3-47)由于该线性方程组的系数成比例，有(3-48)即(3-49)将上式分别乘以与再相加，然后积分，得：(3-50)此时，求原函数极值的问题就转化为求该函数极值的问题[19]。上述描述是等式约束下的计算，但是在实际中，等式约束并不多见，更多的问题是不超过多少时间，不超过多少人力，不超过多少成本等不等式约束问题。这时就需要库恩-吐克尔条件对拉格朗日乘数法作补充使其能够在不等式约束条件下解决问题。库恩-吐克尔条件库恩-吐克尔条件即对拉格朗日乘数法的泛化。在该条件，最优点必须满足下面的条件：(1)约束条件满足以及；即最优解是一可行解。(2)；即最优解,必须是和的线性組合(为梯度算子),和都是拉格朗日乘子，每一个都必须大于或等于零。(3)且不等式约束条件满足。库恩-吐克尔条件就是函数的梯度方向由等式约束条件的梯度方向线性组合加上不等式约束条件等号成立时的梯度的线性组合[20]。最优潮流计算本文以发电机出力成本最低为目标函数，以考虑网损的潮流方程为等式约束，以发电机出力限制为不等式约束，通过满足库恩-吐克尔条件的拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数如下式(3-49)所示：(3-49)上式中利用库恩-吐克尔条件对构造拉格朗日函数进行了补充，得到：(3-50)当任一发电机有功出力超出范围时，将其等于发电机有功出力的上限值，此时这个发电机出力就是常数，其余未超出发电机有功出力范围的发电机还是要满足等燃料成本微增率法则。此时考虑网损后，不等式约束可以理解为时，而在时。即满足不等式约束，，上式中相应的项被消除，只有当发电机出力超出时才会有效。最小值可由其导数为零时得到，计算式如下：(3-51)(3-52)(3-53)(3-54)上式(3-53)(3-54)表明不能超出限定值，当在其限定之内时，此时库恩吐克尔方程变为和拉格朗日方程一样的方程，由(3-51)得：(3-55)由于，所以，所以最优分配条件为：(3-56)上式中，是网损微增率。一般情况下，(3-56)也可以写成如下形式(3-57)其中，是发电厂惩罚因子，计算公式为：(3-58)上式(3-57)表明获得最低成本的条件是发电厂增量成本与惩罚因子的积相等。由(3-10)得损耗微增公式：(3-59)再将燃料成本微增公式(3-7)和损耗微增公式(3-59)代入(3-56)得：(3-60)展开得：(3-61)简化为：(3-62)为求得的估计值，首先要求上式(3-61)的联立线性方程组，并利用梯度法进行迭代后将式(3-59)写为次迭代式为：(3-63)将上式的代入等式约束条件(3-9)得：(3-64)再将上式作泰勒级数展开，得：(3-65)其中(3-66)此时：(3-67)迭代过程持续到在给定精度为止。如果此时线路损耗方程近似为：(3-68)其中，，,则(3-63)的联立方程的解为：(3-69)上式为新的调和方程；而(3-66)可简化为(3-70)由上述的公式(3-63)、(3-65)以及(3-67)可以求得基于库恩条件下的拉格朗日乘数法对最优潮流问题的、、、以及。如果和满足精度要求且在不等式(3-45)的限制内，则可以得到发电厂消耗成本的最优分配[21]。基于Matlab的电力系统最优潮流计算26节点潮流计算图4-126节点的电力系统26节点的电力系统如图4-1所示，节点1为平衡节点，其电压，该系统各节点的负载有功功率和无功功率见附录Ⅰ表126节点负载数据所示；发电机的电压幅值、有功功率以及有功无功限制见附录Ⅰ表2发电机数据所示；并联电容器的注入无功功率见附录Ⅰ表3并联电容器的注入无功功率所示；系统线路和变压器的电阻、电抗以及1/2容纳数据见附录Ⅰ表4线路与变压器数据所示；变压器的分接头数据见附录Ⅰ表5变压器分接头数据所示。潮流计算程序设计图4-2(a)牛顿法潮流计算程序流程图图4-2(b)高斯法潮流计算程序流程图根据图4-2(a)牛顿法潮流计算程序流程图和图4-2(b)高斯法潮流计算程序流程图所示，为了在Matlab环境下用高斯-塞德尔法和牛顿-拉夫逊法进行潮流计算，必须先输入变量规定值以及数据文件来完成数据准备：变量规定值：基准功率basemva=100；功率允许误差accuracy=0.01；加速因子accel=1.6；最大迭代次数

maxiter=80；数据文件:节点数据文件

Busdata：节点信息输入的数据为

Busdata矩阵。该矩阵第1列为节点编号，第2列为节点类型，第3列为节点电压幅值，第4列为相角，第5列为负荷的有功功率，第6列为负荷的无功功率，第7列为发电机的有功功率、第8列为发电机的无功功率，第9列和第10列分别为发电机的最小无功出力和最大无功出力，第11列为并联电容器注入无功功率。第2列的节点类型编码如下：1：该节点为平衡节点。0：负荷节点，并设定节点电压初始估计值。2：电压控制节点[21]。线路数据文件Linedata：Linedata第1列、第2列为节点对；第3列为线路电阻；第4列为电抗；第为以标幺值表示的线路电纳值的一半；最后一列为变压器分接头设定值，输入1为线路，且线路输入为无输入顺序，对变压器来说，左侧的节点号设为分接头端[22]。由附录Ⅰ表1~5可整理得到该26节点电力系统的Busdata和Linedata。Busdata如附录Ⅰ表6所示，Linedata如附录Ⅰ表7所示。接着开始潮流计算，需要以下函数来进行每一步的工作：Lfnewton：采用牛顿-拉夫逊法进行潮流计算的函数。Lfgauss采用高斯-塞德尔法进行潮流计算的函数。Lfybus：该函数需要

用Linedata中的数据将阻抗变为导纳并得到节点导纳矩阵。Busout：该函数用来在屏幕上显示潮流计算结果。Lineflow：该函数输出线路流入线路终端的有功和功的功率流、线损以及节点功率，还包含整个系统的有功和无功损耗[23]。潮流计算结果分析本小节分别采用牛顿-拉夫逊法和高斯-塞德尔法对26节点电力系统进行潮流计算，将这两种算法的计算结果、迭代次数以及迭代时间进行分析对比。图4-3牛顿-拉夫逊法潮流计算结果图4-4牛顿-拉夫逊法迭代时间牛顿-拉夫逊法潮流计算结果和迭代时间如上图4-3牛顿-拉夫逊法潮流计算结果、图4-4牛顿-拉夫逊法迭代时间所示：图4-3是牛顿-拉夫逊法潮流计算的输出结果，从图4-3可以得到牛顿-拉夫逊法潮流计算共迭代6次，最大功率偏移为P.U.，负荷总有功功率为1263.000MW，总无功功率为637.000Mvar，发电机总有功功率为1278.534MW，总无功功率为618.791Mvar，并联电容器注入的总无功功率为25.000Mvar。图4-4是牛顿-拉夫逊法迭代时间，牛顿-拉夫逊法迭代了0.059s，潮流计算总时间为0.071s。图4-5高斯-塞德尔法潮流计算结果图4-6高斯-塞德尔法迭代时间高斯-塞德尔法潮流计算结果和迭代时间如上图4-5高斯-塞德尔法潮流计算结果、图4-6高斯-塞德尔法迭代时间所示：图4-5是高斯-塞德尔法潮流计算的输出结果，从图4-5可以得到高斯-塞德尔法潮流计算共迭代37次，最大功率偏移为P.U.，负荷总有功功率为1263.000MW，总无功功率为637.000Mvar，发电机总有功功率为1278.536MW，总无功功率为618.731Mvar，并联电容器注入的总无功功率为25.000Mvar。图4-6是高斯-塞德尔法迭代时间，高斯-塞德尔法迭代了0.088s，潮流计算总时间为0.103s。26节点电力系统牛顿法和高斯法潮流计算的输出结果对比如表4-1所示：表4-126节点电力系统牛顿法和高斯法潮流计算的输出结果对比潮流计算方法最大功率偏移P.U.迭代次数迭代时间负荷发电机并联电容器注入总无功功率Mvar总有功功率MW总无功功率Mvar总有功功率MW总无功功率Mvar牛顿法60.059s1263.000637.0001278.534618.79125.000高斯法370.088s1263.000637.0001278.536618.73125.000通过表4-126节点电力系统牛顿法和高斯法潮流计算的输出结果可知，通过比较表中的数据，发现高斯法需要37次迭代计算得到结果，而牛顿法只需要6次；牛顿法所用时间比高斯法所用时间短0.29s；两种方法潮流计算结果基本一致；最大功率偏移由潮流计算方法决定。所以牛顿法可以比高斯法更快速、准确地得出潮流计算结果。最优潮流程序设计最优潮流程序流程图如图4-7所示：图4-7最优潮流计算程序流程图根据图4-7最优潮流计算程序流程图所示，为了在Matlab环境下用简化梯度法进行最优潮流计算，必须在潮流计算程序的基础上加入以下函数：Bloss：该函数利用B系数法求出B系数并提供数据给Dispatch函数。Dispatch：该函数输出、最优分配发电量和总成本。该函数中需要输入的变量为：Pdt：总负荷功率，数据由潮流计算程序自动给出。Cost：用来确定成本函数系数。Mwlimits：发电机有功功率限制矩阵。：为网损系数矩阵。Gencost：该函数是获得总火力发电厂发电成本[24]。26节点系统最优潮流计算26节点电力系统成本函数如下式(4-1)所示：(4-1)由附录Ⅰ表2发电机数据整理得26节点的发电机有功出力限制如下式(4-2)所示：(4-2)利用上式(4-1)可得出成本数据Cost矩阵，再根据上式(4-2)可得出Mwlimits矩阵。Cost矩阵和Mwlimits矩阵如附录Ⅱ所示。以式(3-49)所示的函数为发电机出力成本最低的目标函数。通过4.1节设计的最优潮流程序，取基准功率basemva=100；功率允许误差accuracy=0.01；加速因子accel=1.6；最大迭代次数maxiter=80，Matlab程序如附录Ⅲ所示。经过Matlab仿真，未考虑发电量最优分配的潮流计算结果如下图4-8所示，考虑发电量最优分配的潮流计算结果图4-9所示：图4-8未考虑发电量最优分配的潮流计算结果图4-8是未考虑发电量最优分配的潮流计算结果，如图所示，未考虑发电机量最优分配的计算结果为：系统总损耗为15.53MW，发电总成本为1