排列组合问题17种方法

1、 12n N=m +m +m 复习巩固复习巩固 12n N=m mm : (1)(2)(1) ! ! !()! m m n n m m An nnnm C Am n mnm (1)(2)(1) ! ()! m n An nnnm n nm 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合. 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个 元素的一个排列。 1.1.排列的定义排列的定义: : 2.2.组合的定义组合的定义: : 3.3.排列数公式排列数公式: : 4.4.组合数公式组合数公式: : 排列与组合的关键是

2、问题与次序有无关系。 5 加法原理和乘法原理：完成任务时是分类进行还是步进行。 由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数. 解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排应该优先安排,以免不合要求的元素以免不合要求的元素 占了这两个位置占了这两个位置 先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_ 最后排其它位置共有最后排其它位置共有_ 1 3 C 1 3 C 1 4 C 1 4 C 3 4 A3 4 A 由分步计数原理得由分步计数原理得=288 1 3 C 1 4 C 3 4 A 1.1.7 7种不同的

3、花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若若 两种葵花不种在中间，也不种在两端的两种葵花不种在中间，也不种在两端的 花盆里花盆里，问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？ 练习题 解一：分两步完成； 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 3 5 A有种 排 法 第二步排其余的位置： 34 54 A A共有种不同的排法 4 4 有 A 种 排 法 解二：第一步由葵花去占位： 2 4 A有种 排 法第二步由其余元素占位： 5 5 A有种 排 法 25 45 A A 共 有种 不 同 的 排 法 小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先

4、按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。 7 7人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻, , 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. . 甲甲乙乙丙丙丁丁 由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有 种不同的排法种不同的排法 5 5 A 2 2 A 2 2 A=480 解：解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个 复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与 其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自其它元素进行排列，同时对相邻元素

5、内部进行自 排。排。 . 5 5 A第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排 好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有 种种 不同的方法不同的方法 4 6 A 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有 种 5 5 A 4 6 A 相相相相独独独独独独 某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好枪命中恰好 有有3 3枪连在一起的情形的不同种数为枪连在一起的情形的不同种数为 （ ） 练习题 20 某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节

6、目. .如果如果 将这两个新节目插入原节目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两 个新节目不相邻，那么不同插法的种数个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为（为（ ）30 练习题 定序问题倍缩空位插入策略定序问题倍缩空位插入策略 7 7人排队人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法 解:( (倍缩法 倍缩法) )对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列 问题问题, ,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列进行排列, ,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元 素之间的全排列数

7、素之间的全排列数, ,则共有不同排法种数则共有不同排法种数 是：是： 7 7 3 3 A A （空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外 的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个 位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法 4 7 A 1 4 7 A 思考思考: :可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗? ? （插入法插入法) )先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人, ,共有共有1 1种排法种排法, ,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4 4* *5 5* *6 6* *7

8、 7 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理空模型处理 练习题 1010人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人, ,要要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 环排问题线排策略环排问题线排策略 5 5人围桌而坐人围桌而坐, ,共有多少种坐法共有多少种坐法? ? 解：解：围桌而坐与围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固定一人A A并从并从 此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成

9、直线其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法即 4 4 A A A B B C C E E D D D DA A A A B BC C E E （5-1)5-1)！ 练习题 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 60 设六颗颜色不同的钻石为a,b,c d,e,f.与围桌 而坐情形不同点是a,b,c,d,e,f与f,e,d,c,b,a在 围桌而坐中是两种排法，即在钻石圈中只 是一种排法,即把钻石圈翻到一边,所求数 为：(61)!/260 要考虑“钻石圈”可以翻转的特点 8 8人排成前后两排人排成前后两排, ,每排每排4 4人人, ,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排, ,丁在后排丁在后排, ,共有多

10、少排法共有多少排法 解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排. 先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两 个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的 特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置 上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种. 前排后排后排 2 4 A 1 4 A 5 5 A 2 4 A 5 5 A 1 4 A 一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题, 可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究. 有两排座位，前排有两排座位，

11、前排1111个座位，后排个座位，后排1212个座位，现个座位，现 安排安排2 2人就座规定前排中间的人就座规定前排中间的3 3个座位不能坐，并个座位不能坐，并 且这且这2 2人不左右相邻，那么不同排法的种数是人不左右相邻，那么不同排法的种数是 _346 练习题 重排问题求幂策略重排问题求幂策略 把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习, ,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法 解解: :完成此事共分六步完成此事共分六步: :把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法. .7 7 把第二名实习生分把第二名实习生分 配配 到车间也有到车间也有

12、7 7种分法，种分法，依此类推依此类推, ,由分步由分步 计计 数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法 6 7 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限 制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种 n n m m 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这 两个节目插入原节目单中，那么不同插法的 种数为（ ） 42 2. 2. 某某

13、8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人, ,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯, ,下电梯的方法下电梯的方法 （ ） 8 7 练习题 分组问题分组问题 6本不同的书分成本不同的书分成3份份, （1）1份份3本本.1份份2本，本，1份份1本共有多少法？本共有多少法？ （2）1份份4本，另本，另2份各份各1本本共有多少法？共有多少法？ （3）每份）每份2本本共有多少法？共有多少法？ 平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何不管它们的顺序如何,都是一都是一 种情况种情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以 (n为均为均 分的组数分的组数)避免重复计

14、数。避免重复计数。 n nA 有有6 6个不同的小球个不同的小球, ,装入装入ABC3ABC3个不同的盒内个不同的盒内, , (1(1）每盒各装）每盒各装2 2个个 （2 2）A A中中3 3个，个，B B中中2 2个，个，C C中中1 1个个 （3 3）A A中中4 4个，个，B B中中1 1个，个，C C中中1 1个个 （4 4）1 1个盒子装个盒子装4 4个，另个，另2 2个盒子个装个盒子个装1 1个个 （5 5）1 1个盒子装个盒子装3 3个，个，1 1个盒子装个盒子装2 2个，个， 一个盒子装一个盒子装1 1个个 （6 6）每个盒子至少）每个盒子至少1 1个个 练习题 一个班有一个班

15、有6 6名战士名战士, ,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人 现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务, ,每人每人 完成一种任务完成一种任务, ,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人 参加参加, ,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种种 192192 1 将将13个球队分成个球队分成3组组,一组一组5个队个队,其它两组其它两组4 个队个队, 有多少分法？有多少分法？ 2.10名学生分成名学生分成3组组,其中一组其中一组4人人, 另两组另两组3人人 但正副班长不能分在同一组但正副班长不能分在同一组,有多少种不同有多少种不同 的分组方法的分组方法 （1540

16、） 544 1384 2 2 C C C A 3.3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入4 4名学生，要安排到该年级的两个班级且每名学生，要安排到该年级的两个班级且每 班安排班安排2 2名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_ 222 642 2 2 90 A CC A . .用用1,2,3,4,51,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹其中恰有两个偶数夹1,1,这两个奇数之这两个奇数之 间间, ,这样的五位数有多少个？这样的五位数有多少个？ 解：把解：把,当作一个小集团与排队当作一个小集团

17、与排队 共有共有_种排法，再排小集团内部共有种排法，再排小集团内部共有 _种排法，由分步计数原理共有种排法，由分步计数原理共有 _种排法种排法. 2 2 A 22 22 A A 22 22 A A 2 2 A 3 1524 小集团小集团 小集团排列问题中，先整体后局小集团排列问题中，先整体后局 部，再结合其它策略进行处理。部，再结合其它策略进行处理。 .计划展出计划展出10幅不同的画幅不同的画,其中其中1幅水彩画幅水彩画, 幅油画幅油画,幅国画幅国画, 排成一行陈列排成一行陈列,要求同一要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 端，那么共有陈列方式的种

18、数为端，那么共有陈列方式的种数为_ 2. 5男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像,男生相邻男生相邻,女女 生也相邻的排法有生也相邻的排法有_种种 255 255 A A A 254 254 A A A 元素相同（指标分配）问题隔板策略 .有有1010个运动员名额，在分给个运动员名额，在分给7 7个班，每个班，每 班至少一个班至少一个, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。 在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板， 可把名额分成份，对应

19、地分给个可把名额分成份，对应地分给个 班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法 共有共有_种分法。种分法。 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 6 9 C 1 1 m nC 练习题 1.1.1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中, ,每盒至少一每盒至少一 有多少装法？有多少装法？ 2 .2 .x+y+z+w=100 x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解求这个方程组的自然数解 的组数的组数 3 103C 4 9C .从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于个数，使其和为不小于10的偶数的

20、偶数,不同的不同的 取法有多少种？取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很的偶数很 困难困难,可用总体淘汰法。可用总体淘汰法。 这十个数字中有这十个数字中有5 5 个偶数个偶数5 5个奇数个奇数, ,所取的三个数含有所取的三个数含有3 3个偶个偶 数的取法有数的取法有_,_,只含有只含有1 1个偶数的取法个偶数的取法 有有_,_,和为偶数的取法共有和为偶数的取法共有_ 再淘汰和小于再淘汰和小于10的偶数共的偶数共_ 符合条件的取法共有符合条件的取法共有_ 3 5 C 12 55 CC 9 9 01301301501501701702302302502

21、5027027041041045045043043 12 55 CC 3 5 C+ - 9- 9 12 55 CC 3 5 C+ 我们班里有我们班里有4343位同学位同学, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,正、正、 副班长、团支部书记至少有一人在内的副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种抽法有多少种? ? 练习题 55 4340 CC 5 5个人排队，甲不站头，乙不站尾有多少种个人排队，甲不站头，乙不站尾有多少种 练习题 . 合理分类与分步策略 . .在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员, ,其中其中8 8人能人能 能唱歌能唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞, ,现要演出

22、一个现要演出一个2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目, ,有多少选派方法有多少选派方法? ? 解： 10演员中有演员中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人为全能演员。人为全能演员。 以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否 选上唱歌人员为标准进行研选上唱歌人员为标准进行研 究究 只会唱只会唱 的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_ 种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人 员员_种种, ,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人 选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数

23、 原理共有原理共有_种。种。 22 33CC 112 534CCC 22 55C C 22 33CC 112 534CCC 22 55C C+ + + 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。 1.1.从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参加某个座人参加某个座 谈会，若这谈会，若这4 4人中必须既有男生又有女生，则人中必须既有男生又有女生，则 不同的选法共有不同的选法共有_ _ 练习题 2. 3 3成人成人2 2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1,

24、1号船最多乘号船最多乘3 3人人, 2, 2 号船最多乘号船最多乘2 2人人,3,3号船只能乘号船只能乘1 1人人, ,他们任选他们任选 2 2只船或只船或3 3只船只船, ,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船, , 这这3 3人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法. . 构造模型策略构造模型策略 . . 马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯, ,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏, ,但不能关但不能关 掉相邻的掉相邻的2 2盏盏, ,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏, ,求满足条件的关灯

25、方法有多少种？求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在解：把此问题当作一个排队模型在6 6盏盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种 3 5C 一些不易理解的排列组合题如果能转化为 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队 模型，装盒模型等，可使问题直观解决 练习题 某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右 两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？ 120 实际操作穷举策略实际操作穷举策略 . .设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的

26、五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 利用实际 操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒 3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种 装法装法 3 3号盒号

27、盒 4 4号盒号盒 5 5号盒号盒 34 5 2 5C 实际操作穷举策略实际操作穷举策略 . .设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子, ,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内, ,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,. 有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应， 2 5C 利用实际 操作法

28、，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球, 3,4,5号盒号盒 3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种 装法装法, 2 5C 同理同理3号球装号球装5号盒时号盒时,4,5号球有也号球有也 只有只有1种装法种装法,由分步计数原理有由分步计数原理有2 种种 练习题 1.1. 同一寝室同一寝室4 4人人, ,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来, , 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9) 2.2.给图中区域涂色给图中区域涂色, ,要求相邻区要求相邻区

29、 域不同色域不同色, ,现有现有4 4种可选颜色种可选颜色, ,则则 不同的着色方法有不同的着色方法有_种种 2 1 3 4 5 7272 分解与合成策略分解与合成策略 3003030030能被多少个不同的偶数整除能被多少个不同的偶数整除 分析：先把分析：先把3003030030分解成质因数的乘积形式分解成质因数的乘积形式 30030=2 30030=23 35 5 7 7 11111313依题依题 意可知偶因数必先取意可知偶因数必先取2,2,再从其余再从其余5 5个个 因数中任取若干个组成乘积，所有因数中任取若干个组成乘积，所有 的偶因数为：的偶因数为： 012345 555555C C C C C C 例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面 直线 解：我们先从8个