2020-2021高中数学 第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型及其应用素养检测新人教A版选择性必修第三册

1、2020-2021高中数学 第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型及其应用素养检测新人教a版选择性必修第三册2020-2021高中数学 第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型及其应用素养检测新人教a版选择性必修第三册年级：姓名：十七一元线性回归模型及其应用(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)研究变量x,y得到一组样本数据,进行回归分析,以下说法正确的是()a.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好b.用相关指数r2来刻画回归效果,r2越小说明拟合效果越好c.在回归直线方程=0.2x

2、+0.8中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均增加0.2个单位d.若变量y和x之间的相关系数为r=-0.946 2,则变量y和x之间的负相关性很强【解析】选acd.a可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故a正确;b用相关指数r2来刻画回归效果,r2越大说明拟合效果越好,故b错误;c在经验回归方程=0.2x+0.8中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均增加0.2个单位,故c正确;d若变量y和x之间的相关系数为r=-0.946 2,r的绝对值趋向于1,则变量y和x之间的负相关性很强,故d正确.2.为研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况,得到

3、如表实验数据:天数x/天3456繁殖个数y/千个2.5344.5由最小二乘法得y与x的经验回归方程为=x+0.35,则样本在(4,3)处的残差为()a.-0.15b.0.15c.-0.25d.0.25【解析】选a.因为=4.5,=3.5,所以有3.5=4.5+0.35=0.7,当x=4时,=0.74+0.35=3.15,所以样本在(4,3)处的残差为:3-3.15=-0.15.3.在生物学上,有隔代遗传的现象.已知某数学老师的体重为62 kg,他的曾祖父、祖父、父亲、儿子的体重分别为58 kg、64 kg、58 kg、60 kg.如果体重是隔代遗传,且呈线性相关,根据以上数据可得解释变量x与响

4、应变量的回归方程为=x+,其中=0.5,据此模型预测他的孙子的体重约为()a.58 kgb.61 kgc.65 kgd.68 kg【解析】选b.由于体重是隔代遗传,且呈线性相关,则取数据(58,58),(64,62),(58,60),得=60,=60,即样本点的中心为(60,60),代入=x+,得=60-0.560=30,则=0.5x+30,取x=62,可得=0.562+30=61 kg.故预测他的孙子的体重约为61 kg.4.某养殖场需要通过某装置对养殖车间进行恒温控制,为了解用电量y(kwh)与气温x()之间的关系,随机统计了某5天的用电量与当天气温,并制作了对照表:气温/34567用电量

5、/kwh2.5344.56若利用经验回归方程预测x=10时的用电量为8.25 kwh,则预测x=12时的用电量为()a.8.75 kwhb.9.86 kwhc.9.95 kwhd.12.24 kwh【解析】选c.由表中数据得=5,=4,设经验回归方程为=x+,所以,解得=0.85,=-0.25,所以经验回归方程为=0.85x-0.25,当x=12时,=0.8512-0.25=9.95(kwh).二、填空题(每小题5分,共10分)5.某数学老师身高为176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他

6、孙子的身高为cm.【解析】设父亲身高为x cm,儿子身高为y cm,则x173170176y170176182=173,=176,=1,=-=176-1173=3,所以=x+3,当x=182时,=185.答案:1856.已知变量x,y线性相关,由观测数据算得样本的平均数=4,=5,经验回归方程=x+中的系数,满足+=4,则经验回归方程为.【解析】由题知,点(4,5)在回归直线上,则4+=5,又+=4,所以=,=,即经验回归方程为=x+.答案:=x+三、解答题7.(10分)光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能,近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下,某地光伏发电装机量急

7、剧上涨,如表:年份2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年年份代码12345678新增光伏发电装机量y兆瓦0.40.81.63.15.17.19.712.2某位同学分别用两种模型:=x2+;=x+进行拟合,得到相应的经验回归方程并进行残差分析,残差图如表(注:残差等于yi-).经过计算得=72.8,=42,=686.8,=3 570,其中ti=,=ti.(1)根据残差图,比较模型,的拟合效果,应该选择哪个模型?并简要说明理由.(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程,并预测该地区2021年新增光伏装机量是多少.(在计算回归系数时精确

8、到0.01)附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=,=-.【解析】(1)选择模型.理由如下:根据残差图可以看出,模型的估计值和真实值比较相近,模型的残差值相对较大一些,所以模型的拟合效果相对较好.(2)由(1)可知,y关于x的经验回归方程为=x2+,令t=x2,则=t+.由所给数据可得=ti=(1+4+9+16+25+36+49+64)=25.5.=yi=(0.4+0.8+1.6+3.1+5.1+7.1+9.7+12.2)=5,所以=0.19,=-5-0.1925.50.16,所以y关于x的经验回归方程为=0.19x2+0.16预测该地区2021年新增光伏发电装机量为=0.191

9、02+0.16=19.16(兆瓦).(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.已知变量x,y的取值如表:x12345y1015304550由散点图分析可知y与x线性相关,且求得经验回归方程为=x-3,据此可预测:当x=8时,的值为()a.63b.74c.85d.96【解析】选c.由题得=3,=30.故样本点的中心的坐标为(3,30),代入=x-3,得=11.所以=11x-3,取x=8,得=118-3=85.2.两个线性相关变量x与y的统计数据如表:x99.51010.511y1110865其经验回归方程是=x+40,则相对

10、应于点的残差e为()a.0.1b.0.2c.-0.1d.-0.2【解析】选b.=10,=8,所以8=10+40,所以=-3.2,故=-3.2x+40.当x=11时,=-3.211+40=4.8,故e=5-4.8=0.2.3.(多选题)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(i=1,2,n),用最小二乘法建立的经验回归直线方程为=0.85x-85.71,则下列结论中正确的是()a.y与x具有正的线性相关关系b.回归直线过样本中心点(,)c.若该大学某女生身高增加2 cm,则其体重约增加1.70 kgd.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定

11、其体重必为58.79 kg【解析】选abc.根据y与x的经验回归直线方程为=0.85x-85.71,其中0.850说明y与x具有正的线性相关关系,a正确;回归直线过样本中心点(,),b正确;由回归直线方程知,若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg,那么若该大学某女生身高增加2 cm,则其体重约增加1.70 kg,故c正确;若该大学某女生身高为170 cm,则可预测其体重为58.79 kg,不可断定其体重必为58.79 kg,d错误.4.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出经验回归方程,设z=ln y,将其变换后得到经验回归直线方程=0.2x+3,则c,k的值分别是

12、()a.e2,0.6b.e2,0.3c.e3,0.2d.e4,0.6【解析】选c.因为y=cekx,等式两边同时取对数可得ln y=ln(cekx)=ln c+ln ekx=kx+ln c,设z=ln y,则上式可化为z=kx+ln c,因为z=0.2x+3,则k=0.2,ln c=3,所以c=e3,k=0.2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.某公司调查了商品a的广告投入费用x(万元)与销售利润y(万元)的统计数据,如表:广告费用x(万元)2356销售利润y(万元)57911由表中的数据得经验回归直线方程为=x+,则当x=7时销售利润y的估值为万元.【解析】由题表中数据可得=4,=8,所

13、以=1.4,所以=-=8-1.44=2.4,故经验回归方程为=1.4x+2.4,所以当x=7时,=1.47+2.4=12.2.答案:12.26.在研究两个变量的相关关系时,观察散点图,发现样本点集中于某一条曲线y=ebx+a的周围,令z=ln y,求得经验回归方程=0.25x-2.58,则该模型的经验回归方程为.【解析】由经验回归方程=0.25x-2.58得ln =0.25x-2.58,整理得=e0.25x-2.58,所以该模型的经验回归方程为=e0.25x-2.58.答案:=e0.25x-2.58三、解答题7.(10分)生物学家预言,21世纪将是细菌发电造福人类的时代.说起细菌发电,可以追溯

14、到1910年,英国植物学家利用铂作为电极放进大肠杆菌的培养液里,成功地制造出世界上第一个细菌电池.然而各种细菌都需在最适生长温度的范围内生长.当外界温度明显高于最适生长温度,细菌被杀死;如果在低于细菌的最低生长温度时,细菌代谢活动受抑制.为了研究某种细菌繁殖的个数y是否与在一定范围内的温度x有关,现收集了该种细菌的6组观测数据如表:温度x/212324272932繁殖个数y/个71121245877经计算得=550,=3 946,线性回归模型的残差平方和=345.其中xi,yi分别为观测数据中的温度与繁殖数,i=1,2,3,4,5,6.参考数据:e7.4461 713,e8.06053 167,(1)求y关于x的经验回归方程=x+a(精确到0.1);(2)若用非线性回归模型求得y关于x回归方程为=0.075e0.219x,且非线性回归模型的残差平方和=319.()用决定系数r2说明哪种模型的拟合效果更好;()用拟合效果好的模型预测温度为34时,该种细菌的繁殖数(结果取整数).附:一组数据,其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘法估计为=,=-;决定系数r2=1-【解析】(1)由题意得=xi=26,=yi=33,=84,=6.5,