2018年高考数学09 直线与圆教学案 理

1、学必求其心得，业必贵于专精专题9 直线与圆【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：直线和圆的方程；两直线的平行与垂直关系；点到直线的距离;直线与圆的位置关系；直线被圆截得的弦长多为b级或c级要求【重点、难点剖析】 1两直线平行或垂直(1）两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2,则有l1l2k1k2.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在且l1与l2不重合时，l1l2.(2）两条直线垂直：对于两条直线l1,l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k21。特别地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l1l2.2圆的方程(1)

2、圆的标准方程：(xa)2（yb）2r2(r0)，圆心为（a，b）,半径为r。(2）圆的一般方程：x2y2dxeyf0(d2e24f0)，圆心为，半径为r；对于二元二次方程ax2bxycy2dxeyf0表示圆的充要条件是3直线方程的5种形式中只有一般式可以表示所有的直线在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况而题中给出直线方程的一般式,我们通常先把它转化为斜截式再进行处理4处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到,利用圆的一些特

3、殊几何性质解题，往往使问题简化5直线与圆中常见的最值问题（1）圆外一点与圆上任一点的距离的最值（2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值（3）过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值（4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题（5）两圆相离，两圆上点的距离的最值【题型示例】题型1、直线和圆的方程【例1】 (2017天津卷)设抛物线y24x的焦点为f，准线为l.已知点c在l上,以c为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点a.若fac120,则圆的方程为_解析：由题意知该圆的半径为1,设圆心c(1，a）(a0），则a（0，a）又f(1，0)，所以(1，0)，（1，a），由题意得与的夹角

4、为120，得cos 120,解得a.所以圆c的方程为(x1)2（y)21.答案:（x1)2（y）21【变式探究】【2016高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若,则_。【答案】4【举一反三】 （2015江苏，10）在平面直角坐标系xoy中，以点（1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mr）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析直线mxy2m10恒过定点（2，1），由题意，得半径最大的圆的半径r.故所求圆的标准方程为（x1)2y22.答案(x1）2y22【变式探究】 （1)已知a，b两点分别在两条互相垂直的直线2xy0和xay0上，且ab线段的中点为p，

5、则线段ab的长为()a11b10c9d8(2）(2014重庆）已知直线axy20与圆心为c的圆(x1）2(ya)24相交于a，b两点，且abc为等边三角形，则实数a_.【命题意图】（1）本题主要考查两直线的位置关系及两点间距离公式的应用,意在考查考生的运算求解能力（2）本题主要考查圆的方程与点到直线的距离公式，意在考查考生的数形结合思想【答案】(1）b(2)4【感悟提升】(1）要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线（2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即

6、“斜率相等或“互为负倒数”若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究提醒：判断两条直线的位置关系时要注意两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况(3）一些含有参数的直线方程可能出现当x,y取定值时方程对任意参数恒成立的情况，这种情况就是直线恒过定点一般解法是把直线方程整理成关于参数的方程，根据这个方程对任意参数恒成立，得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的解就是直线恒过定点的坐标【变式探究】若一三角形三边所在的直线方程分别为x2y50，y20,xy40,则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为_【答案】(x2)22【解析】结合题意，易得三角形的三个顶点分

7、别是(1,2）,（2,2）和(3,1），作出图形，即可判断该三角形为钝角三角形，而能够覆盖钝角三角形的圆是以钝角的对边（最长边）为直径的圆，而最长边的两个端点坐标分别为(1，2），（3,1），即圆的直径为，圆心坐标为，故其方程为(x2）22。【方法技巧】求圆的方程就是要确定圆心坐标和半径，通常用待定系数法；对于解析几何填空题利用其几何性质往往会起到方便、快捷作用【变式探究】已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆1的公共点都各只有一个,那么该定圆的方程为_【答案】x2y225【解析】易得椭圆1的外切矩形的四个顶点（4，3)必在该定圆上，则该定圆必是该外切矩形的外接圆，方程为x2y

8、225，可以验证过该圆上除点（4，3)的任意一点也均可作两条相互垂直的直线与椭圆1的交点都各只有一个；故圆方程x2y225。题型2、直线与圆、圆与圆的位置关系【例2】 【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ )（a） （b） （c） （d）2【答案】a【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为,由点到直线的距离公式得：，解得，故选a 【举一反三】（2015广东，5)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是（）a2xy0或2xy0b2xy0或2xy0c2xy50或2xy50d2xy50或2xy50解析设所求切线方程为2xyc0，依题有，解得c5，所以所求切线的直

9、线方程为2xy50或2xy50，故选d.答案d【变式探究】(2015新课标全国，7）过三点a（1,3)，b（4，2),c(1，7）的圆交y轴于m、n两点，则|mn|（)a2 b8 c4 d10解析由已知,得(3，1),(3，9）,则3(3)（1)(9)0,所以,即abbc，故过三点a、b、c的圆以ac为直径，得其方程为（x1)2(y2)225，令x0得(y2）224，解得y122，y222，所以|mn|y1y24,选c。答案c【感悟提升】1直线与圆的位置关系及切线方程的求解方法（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量研究直线与圆的位置

10、关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较(2）直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式2弦长与切线长的计算方法（1)弦长的计算：直线l与圆c相交于a，b两点，则|ab2(其中d为弦心距）(2)切线长的计算：过点p向圆引切线pa，则pa|(其中c为圆心)3圆上的点到直线的距离的求解策略（1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解（2）转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解（3)直接设点，利用方程思想解决【变式探究】 (2015重庆，8)已知直线

11、l：xay10(ar）是圆c：x2y24x2y10的对称轴，过点a(4，a)作圆c的一条切线，切点为b,则|ab()a2 b4 c6 d2解析圆c的标准方程为(x2)2（y1）24，圆心为c（2，1)，半径为r2，因此2a110,a1，即a(4，1),ab6，选c。答案c【方法技巧】根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系【变式探究】(2015山东，9)一条光线从点（2，3)射出,经y轴反射后与圆（x3）2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为(）a或 b或c或 d或解析圆(x3)2（y2)21的圆心为(3，2）,半径r1。（2,3）关于y轴的对称点为（2，3)如

12、图所示，反射光线一定过点（2，3）且斜率k存在，反射光线所在直线方程为y3k（x2），即kxy2k30。反射光线与已知圆相切，1，整理得12k225k120，解得k或k。答案d题型三、有关圆的最值问题例3、(2017北京卷)已知点p在圆x2y21上,点a的坐标为（2,0),o为原点,则的最大值为_答案：6【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点(1）设圆与轴相切,与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2)设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；(3）设点满足：存在圆上的两点和，使得,求实数的取值范围。【答案】(1）（2）(3）（2）因

13、为直线loa，所以直线l的斜率为。设直线l的方程为y=2x+m，即2xy+m=0，则圆心m到直线l的距离 因为 而 所以，解得m=5或m=15.故直线l的方程为2xy+5=0或2xy15=0。(3）设 因为，所以 因为点q在圆m上，所以 .将代入,得.于是点既在圆m上，又在圆上,从而圆与圆没有公共点,所以 解得。因此,实数t的取值范围是. 【举一反三】（2015广东,20）已知过原点的动直线l与圆c1：x2y26x50相交于不同的两点a,b。（1）求圆c1的圆心坐标;（2)求线段ab的中点m的轨迹c的方程；（3）是否存在实数k,使得直线l：yk(x4）与曲线c只有一个交点？若存在，求出k的取值

14、范围；若不存在，说明理由解(1)圆c1的标准方程为(x3）2y24.圆c1的圆心坐标为(3，0）（2）设动直线l的方程为ykx。联立(k21）x26x50，则364(k21)50k2。设a，b两点坐标为（x1，y1）,(x2,y2),则x1x2。ab中点m的轨迹c的参数方程为即轨迹c的方程为y2，x3.(3）联立（1k2)x2(38k）x16k20。令（38k）24（1k2)16k20k.又轨迹 c（即圆弧)的端点与点（4,0)决定的直线斜率为.当直线yk（x4）与曲线c只有一个交点时,k的取值范围为. 【变式探究】(2014江西)在平面直角坐标系中, a,b分别是x轴和y轴上的动点,若以ab

15、为直径的圆c与直线2xy40相切，则圆c面积的最小值为（)a。 b.c（62） d。【命题意图】结合图形分析，把问题转化为抛物线问题，考查了抽象概括能力和推理论证能力,利用点到直线的距离求解半径和面积，考查运算求解能力【审题策略】思路一：根据动点a,b的位置，设a(a，0），b（0,b），得到动圆圆心的坐标，计算出半径r后,根据直线与圆相切的条件列出关于a，b的方程，求目标函数2r的最小值，再求圆的面积的最小值思路二：根据题意,以线段ab为直径的圆过原点，即三角形aob是直角三角形，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由平面几何知识,知面积最小的圆的直径即为原点o到直线2xy40的距离，由点到直线的距离公式计算即可【答案】a【解析】解法一：设a(a，0）,b(0,b），圆c的圆心坐标为，2r,由题知