理论力学---第十二章动量矩定理

1、1 2 121 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 122 动量矩定理动量矩定理 123 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 124 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 125 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 126 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 习题课习题课 第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理 3 一定义一定义： 2 iiz rmJ dmrJ mz 2 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性 大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态 改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kgm2 。 12-4 刚体对轴的转动惯量刚

2、体对轴的转动惯量 ri vi mi z JZ 称为刚体对z轴的转动惯量 若刚体的质量是连续分布，则 4 （）（）均质细直杆对z轴的转动惯量 l llz l dxxJ 0 3 2 3 设杆长为l ,质量为m ，单位长度的质量为l，取杆上一 微段dx，其质量为l dx ： 2 3 1 mlJ z z x l x dx O 1、简单形状物体的转动惯量计算、简单形状物体的转动惯量计算 l m l 5 （2）均质薄圆环均质薄圆环对于中心轴的转动惯量对于中心轴的转动惯量 O R mi z 设圆环半径为R ,质量为m ， 每一微段的质量为mi , 到z轴的 距离均为R : i iz mRRmJ 22 2 m

3、RJ z 6 （3）均质圆板均质圆板对于中心轴的转动惯量对于中心轴的转动惯量 O R dri 设圆板的半径为R ,质量为m 。将圆板 分为无数个同心的圆环，任一圆环的半径 为ri,宽度为dri，则圆环的质量为mi : siii drrm 2 2 : R m s 其中 4 0 2 4 22 R rdrrJ s R sz 2 2 1 mRJ z 单位面积的质量 z 7 对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对 于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 z 2. 惯性半径（回转半径）惯性半径（回转半径） 称为刚体对 z 轴的回转半径。 z 在机械工程设计手册中，可

4、以查阅到简单几何形状或已在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的，以供参考。刚体的，以供参考。 zz I和 2 zz mJ对均质物体，记 m I z z 其中： 2 3 1 mlJ z 2 mRJ z 2 2 1 mRJ z 8 3. 平行移轴定理平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。 2 mdJJ zCz 刚体对某轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心且与该轴平刚体对某轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心且与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴

5、间距离的平方的乘积。行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方的乘积。 z x l l/2 O zC 例: 2 2 12 1 ) 2 ( ml l mJJ ZZC 刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。 9 )( 222 iiiiizC yxmrmJ )( 222 iiiiiz yxmrmJ dyyxx iiii , ii iiii ymd dmyxm 2 )()( 2 22 证明证明：设质量为m的刚体， 质心为C， CzzO/ , mmi 2 mdJJ zCz 0 m ym y ii C 0 Cii myym )( 2 2 dyxmJ iiiz 1

6、0 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 4计算转动惯量的组合法计算转动惯量的组合法 盘杆OOO JJJ 2 2 2 2 2 1 )( 2 1 3 1 RlmRmlm )423( 2 1 3 1 22 2 2 1 lRlRmlm 解解： 例例13-9 钟摆： 均质直杆质量m1,长为 l ；均 质圆盘质量m2 ,半径为 R 。 求对水平轴 O的转动惯量JO 。 质点对于点质点对于点O 的动量矩的动量矩 ：质点的动量相对于点质点的动量相对于点O 的矩的矩 质点的质

7、量为m ,速度为v，质点相对点O的矢径为r，则 一质点的动量矩一质点的动量矩 vmrvmMO)( )()( xyOz vmMvmM OABvmM O 2)( OabvmM z 2)( 12-1质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 质点动量对轴质点动量对轴 z 的动量矩：的动量矩： Mo(mv) y z x mv A B O a b mvxy Mo(mv)x m 12 质点对点质点对点O的动量矩与对轴的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系的动量矩之间的关系： )()(vmm vmm zzO 正负号规定与力对轴矩的规定相同 从轴的正向看：顺时针为负负 逆时针为正 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点

8、动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴轴)转动的强弱。转动的强弱。 13 刚体动量矩计算刚体动量矩计算： 1平动刚体平动刚体 )( iiiO vmrL )( Czz vmmL 平动刚体对固定点（轴）的动量矩平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对 该点（轴）的动量矩。 vi C OrC vC )( COO vmmL 二质点系的动量矩二质点系的动量矩 iiiiiOO vmrvmmL )( zOiizz LvmmL )( 质系对点质系对点O动量矩动量矩： 质系对轴质系对轴z 动量矩：动量矩： )( iii vrm )( Cii vrm Cii vrm)( CC vmr 14 2定轴转动刚体

9、定轴转动刚体 )( iizz vmmL 定轴转动刚体对转轴的动量定轴转动刚体对转轴的动量 矩矩等于刚体对该轴转动惯量与角 速度的乘积。 为刚体对z轴的转动惯量 2 iiz rmJ其中 OO JL O ri mivi mi z iii vmr 2 iir m z J 15 例例 vC l 2 3 1 mlLO O 2 4 1 222 ml ll m l mvL CO 16 例例 已知：均质杆的质量为m，均质圆盘的质量为2m， 求物体对于O轴的转动惯量和动量矩。 盘杆OOO JJJ 222 2 2 1 ) 2 ( 12 1 mR l Rmml解： l R O mlRmRml 22 2 3 1 )2

10、 3 1 ( 22 mlRmRmlLO 17 3平面运动刚体平面运动刚体 CCzz JvmmL)( 平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的 动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该 轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。 C vC x Cc CCxx JRmv JvmmL )( 注意正负的规定 18 C v x C CCxx Jmvh JvmmL )( h 圆盘： 19 112223 2 1 RRvv 32321 ) 2 3 2(vRmmmLO OCO

11、BOAO LLLL 23322221 )(RvmRvmJJ OBOA 解解： 滑轮A：m1，R1，R1=2R2， 滑轮B：m2，R2， ；物体C：m3 求求系统对O轴的动量矩。 例例1 2332222 2 2 2 1 2 1 1 ) 2 ( 2 RvmRvmR m R m 1质点的动量矩定理质点的动量矩定理 )(vmr dt d , F dt vd m 12-2动量矩定理动量矩定理 设质点对定点定点O 的动量矩为MO(mv)，作用力F对同一点的矩为 MO(F )，如图。 )(vmM dt d O dt vmd rvm dt rd)( dt vd mrvmv )( vmM dt d O Frvm

12、v 21 质点对任一固定点固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。质点对固定点的动量矩定理。 )()( FMvmM dt d OO , )( , 0 FMFrvmv O 22 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 )()( ),()( ),()( FMvmM dt d FMvmM dt d FMvmM dt d zz yy xx 上式称质点对固定轴的动量矩定理质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 23 称为质点动量矩守恒定律质点动

13、量矩守恒定律。 则 )( vmM O 常矢量 0)(FM z 若 常量)( vmM z 则 若 0)(FM O 2质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律 24 2 )(mllmlvmM O 运动分析： OMlv方向 , 由动量矩定理： )()(FMvmM dt d OO sin)()()(mglgmMTMFM OOO 解解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。 单摆，已知m，l，t =0时 = 0，从静止 开始释放。 求求单摆的运动规律。 例例2 0sin l g , sin)( 2 mglml dt d 即： 25 注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时注：计算动量矩与力矩

14、时，符号规定应一致（本题规定逆时 针转向为正）针转向为正） 质点动量矩定理的应用：质点动量矩定理的应用： （1）在质点受有心力的作用时。 （2）质点绕某心（轴）转动的问题。 摆动周期： l g T2 微幅摆动时，并令，则 , sin l g n 2 0 2 n 解微分方程：tBtA nn cossin t l g cos 0 则运动方程为： )0, 0( 00 t代入初始条件A=0， B=0 26 ,0)( )( i iO FM )()()( )()( e iO i iOiiO FMFMvmM dt d 共有n个方程，相加后得： )()()( )()(e iO i iOiiO FMFMvmM

15、dt d 设质点系有n个质点，作用于每个质点的力分为 内力 和外力 ，由质点动量矩定理： )(i i F )(e i F )( )( e iOO FML dt d OiiOiiO L dt d vmM dt d vmM dt d )()( 3质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 27 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作 用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的 主矩）。主矩）。 )( )(e iO O FM dt Ld 质点系对固

16、定点的动量矩定理质点系对固定点的动量矩定理: )( )( )( )( )( )( e iz z e iy y e ix x FM dt dL FM dt dL FM dt dL 28 上式称为质点系对固定轴的动量矩定理质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固 定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 （1）当时，常矢量。 （2）当时，常量。 0 )( e O M 0 )( e z M O L z L 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。 4质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律 29 解解:

17、 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。 rPPrPrPM BABA e O )( )( O BA O Jrv g P rv g P L ) 2 ( , 2 1 2 2 P PP g r Lr g P J BAOO 得代入将 由动量矩定理： rPP P PP g r dt d BABA )() 2 ( 2 2/PPP PP r g dt d BA BA 已知: 。求角加速度。 ; ; rPPP BA 例例3 运动分析： v =r 如何求支座O的反力？ 30 O M 例例13-1 (P75) 卷扬机，鼓轮半径为R，质量m1，转动惯量J，作用力 偶M，小车质量 m2，不计绳重和摩擦，求小车的加速

18、 度a。 解：运动分析和受力 分析 Pn v Pr FN P1 P2 Fx Fy vRmJLO 2 RgmMM e sin 2 )( RgmMvRmJ dt d sin 22 ，由 , a dt dv v R 2 2 2 2 sin RmJ gRmMR a ：得 31 解解： 系统的动量矩守恒。 , 0)( )(e O FM rvvmrvm ABAA )(0 2 v v A A猴与B猴向上的绝对速度是一样的, 均为 。 2 v 已知：猴子A和猴子B的重量相等，猴B以相对绳子 的速度上爬， A猴不动，问当B猴向上爬时， A猴将如 何动？运动的速度多大？（轮重不计） v 例例4 32 对于一个定轴

19、转动刚体一个定轴转动刚体: zz JL )()( izz FMJ dt d 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 12-312-3刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 代入质点系动量矩定理，有 z Fn F2 F2 FN1 FN2 )( izz FM dt d J 或 )( izz FMJ 或 )( 2 izz FM dt d J 33 特殊情况特殊情况： 1） 若 ,则 恒量，刚体作匀速转动 或 保持静止。 2） 若 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。 将 与 比较，刚体的转动惯量 是刚体 转动惯性的度量。 0)( )( )( e z e z FmM, 0 )(e

20、z M )(e zz MJFam z J 解决两类问题解决两类问题： （1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。 （2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。 34 例例 l A B 35 例例12-5 (P80) a mg C O 物理摆，质量m，C为质心，对O点的转动惯量为JO， 求微小摆动的周期。 解： )( 2 iOO FM dt d J sin 2 mga dt d JO sin 刚体作微小摆动， mga dt d JO 2 0 2 O J mga dt d 或 ) sin t J mga ( O O 通解为： 2 m

21、ga J T O 周期为： 工程中常用上式，通 过测定零件的摆动周期， 以计算其转动惯量。 36 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重 量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。 求：求： 物体C上升的加速度。 取轮B连同物体C为研究对象 (2) ) 2 1 ( 2322 3 2 2 2 2 rPrTvr g P r g P dt d 补充运动学条件 112222 ,rarvr 化简(1) 得： 化简(2) 得： 3 32 2 2 PTa g PP T r M a g P 1 11 2 g PPP PrM a2 2 / 3

22、21 311 (1) 2 1 111 2 1 1 TrMr g P 解解: 取轮A为研究对象 例例3 2 1 37 题题12-15 (P118) l A k l / 3 B D 均质杆AB长为l，质量为m1,小球质量为m2，弹簧刚度 系数k,杆在水平位置保持平衡。初始静止，求给小球 一个向下的微小初位移0后杆的运动规律和周期。 解：运动分析和受力分析。 m2g 题题12-15 (P118) l A k l / 3 B D 均质杆AB长为l，质量为m1,小球质量为m2，弹簧刚度 系数k,杆在水平位置保持平衡。初始静止，求给小球 一个向下的微小初位移0后杆的运动规律和周期。 解：运动分析和受力分析

23、。 m1g F )( 2 iAA FM dt d J 2 2 2 1 3 1 lmlmJ A 3 ) 3 ( 2 32 )( 021 21 ll skglm l gm l Fglm l gmFM iA glm l gm l ks 210 23 静止时 9 )( 2 l kFM iA 39 2 2 2 2 2 1 ) 3 1 ( dt d lmlm 9 2 l k 0 )93 21 2 2 mm k dt d ) 93 (sin 21 t mm k O 通解为： 0, 0, l t O 初始条件为： 2 , 0 l O 解得： ) 2 93 (sin 21 t mm k l O 得： k mm

24、T 21 93 2 周期： 40 12-5质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 此动量矩定理只适用于相对惯性参考系为固定的点或固定的 轴，对于一般的动点或动轴，动量矩定理具有更复杂的形式。 )( )(e iO O FM dt Ld 但是，相对于质点系的质心或随同质心平动的动轴，动 量矩定理的形式不变。 )( )(e iC C FM dt Ld 41 C F x )( )(e iO O FM dt Ld )( )(e iC C FM dt Ld O A )( )(e iA A FM dt Ld 42 一质点系相对于定点的动量矩一质点系相对于定点的动量矩 mi x y z z

25、y x ri r i rC C O vi iiiiiOO vmrvmML )( iiiiiC vmrvmr Cii vmpvm CCCO LvmrL iCi rrr iiiCO vmrrL)( iiiiiC vmrvmr 43 二质点系相对质心的动量矩二质点系相对质心的动量矩 mi x y z z y x ri r i rC C O vi irCi vvv iiiC vmrL )( irCiiC vvmrL iriiCii vmrvrm iriiCii vmrvrm)( Cii rmrm 0 C r iriiC vmrL 44 三质点系相对质心的动量矩定理三质点系相对质心的动量矩定理 mi x

26、 y z z y x ri r i rC C O vi dt Ld vm dt d rvm dt rd C CCC C 左 C C v dt rd )(e iC C C Fam dt vd mvm dt d 代入上式将 CCCO LvmrL )( )( e iiCCC FrLvmr dt d 由质点系动量矩定理 )( )(e iO O FM dt Ld dt Ld Fr Ce iC )( 0左 45 mi x y z z y x ri r i rC C O vi )( e ii Fr右 )(e ii C Fr dt Ld )( e iiC Frr）（ )()( e ii e iC FrFr )

27、()()( 0 e ii e iC Ce iC FrFr dt Ld Fr 右左 )( )(e iC C FM dt Ld 46 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似 的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种 简单的关系简单的关系。 )( )(e iC C FM dt Ld 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质 点系的外力对质心之矩的矢量和。点系的外力对质心之矩的矢量和。 47 设有一平面运动刚体具有

28、质量对称平面，力系 可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形S， 质心一定位于S内。 n FFF, 21 取质心C为动系原点，则此平面运动可分解为 （1） 随质心C的平动 (xC , yC) （2）绕质心C的转动（） CC JL CC C JJ dt d dt dL )( 因此： 刚体对质心C的动量矩为： 126 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 48 写成投影形式：投影形式： )( , , )( e i CC yC xC FmJ Yma Xma 或： )( , , )(e iCC C C FMJ Yym Xxm 上式称为平面运动微分方程平面运动微分方程。 )( d

29、d , )(e CCC C FMJJ t Fam 应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理： 49 例例12-11 （P9798） r x C M aC FN mg F 均质圆轮半径为r，质量为m，沿水平直线滚动，轮的 惯性半径为C，作用于圆轮的力偶矩为M。（1）求轮 心的加速度。（2）如果圆轮对地面的静滑动摩擦系数 为fs，问M应满足什么条件使圆轮只滚不滑。 解： （ 1）运动分析和受力分析。 FmaCx （1 1） mgFma NCy （2） FrMm C 2 （3） , CCx aa 和M均以顺时针为正。 , 0 Cy a , raC：只滚不滑 50 FmaC （1 1） mgFN （2）

30、 FrM r a m C C 2 （3） )( 22 rm Mr a C C 解得： 22 ; r Mr F C （2）只滚不滑的条件： mgfFFfF SNS 或mgf r Mr S C 22 r r mgfM C S 22 得： 51 质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为 的斜面上， 在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动 摩擦系数为f 和f ，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。 解解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。 运动分析：取直角坐标系 Oxy aC y =0， aC x =aC ， 一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程，有 （1）（2）（3）三式中 含有四个

31、未知数（N、aC 、 F、 ），需补充附加条 件。 例例4 FmgmaCsin （1 1） FRJC （3） Nmgcos 0 （2） aC 52 1设接触面绝对光滑。常量。 , 0 ,sin , 0gaF C sin 3 1 ; sin 3 2 ,sin 3 2 mgFg R gaC 2设接触面足够粗糙，轮作纯滚动。 ,raC 3设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。F=fN，可解得 cos ,cos 2 ,)cos(sinmgfF R gf gfaC 4. 轮作纯滚动的条件：cossin 3 1 max fmgfNFmgF tg 3 1 f 表明：当时，解答3适用； 当时，解答2适用；f =0

32、时解答1适用。 tg 3 1 f tg 3 1 f 因为轮由静止开始运动，故0，轮沿斜面平动下滑。 所以可解得 53 一基本概念一基本概念 1动量矩动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。 2质点的动量矩质点的动量矩： 3质点系的动量矩质点系的动量矩： 4转动惯量转动惯量：物体转动时惯性的度量。 vmrvmM O )( iiiO vmrL 对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于 质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。 动量矩定理习题课动量矩定理习题课 54 5刚体动量矩计算刚体动量矩计算 平动：平动： 定轴转动：定轴转动： 平面运动：平面运动： )( , CzzCCO vmMLvm

33、rL zz JL CCzz JvmML)( 二质点的动量矩定理及守恒二质点的动量矩定理及守恒 1质点的动量矩定理质点的动量矩定理 )()( )()(FMvmM dt d FMvmM dt d zzOO 或 2质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒 (1) 若，则 常矢量。 (2) 若，则 常量。 0)(FM O 0)(FM z )( vmM O )( vmM z 55 三质点系的动量矩定理及守恒三质点系的动量矩定理及守恒 1质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 )( )( )( )( )( )( e z e z z e O e O O MFM dt dL MFM dt Ld 或 2质点系的动量矩守恒

34、质点系的动量矩守恒 (1) 若，则常矢量 (2) 若，则常量 0 )( e O M 0 )( e z M O L z L )( )( e zC zC e C C M dt dL M dt Ld 或 四质点系相对质心的动量矩定理四质点系相对质心的动量矩定理 56 )( )( z FMJFMJ zzz 或 五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程 1刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 2刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 或 Xma Cx Yma Cy )(FMJ CC Xxm C Yym C )(FMJ CC 57 六动量矩定理的应用六

35、动量矩定理的应用 应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴 传动系统尤为方便） 1已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。 2已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体 的角加速度或角速度的改变。 3已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数 和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。 58 均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度 0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚 阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。 解解：选取圆柱为研究对象。(注意只是一个刚 体)受力分析如图示。 运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。 根据刚体平面运动微分方程)0 , 0( CyCx aa BA FN 0 QNF BA 0 rFrF dt d r g Q BA 2 1 2 (1) (2) (3) 补充方程： BBAA NfFNfF , (4) 例例1 59 将(4)式代入(1)、(2)两式，有0) 1( 2 QNf B 1 , 1 , 1 , 1 2 2 222 f Qf F f Qf N f Qf F f Q N AABB 将上述结果代入(3)式，