曲率计算的相关问题

1、3.7 曲曲 率率 弧微分弧微分 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 返返 回回 在实际生活中在实际生活中,如公路、铁路的弯道设计时如公路、铁路的弯道设计时,对对 于弯曲程度有一定的要求于弯曲程度有一定的要求.因为在一定的速度下因为在一定的速度下, 弯曲程度越大弯曲程度越大,转弯时所产生的离心力就越大转弯时所产生的离心力就越大,容容 易出现翻车易出现翻车,脱轨事故脱轨事故. 此类问题反映在数学上此类问题反映在数学上,归结为对于曲线的归结为对于曲线的 弯曲程度的讨论和研究弯曲程度的讨论和研究. 一、弧微分一、弧微分 A 0 x M x . ),()( 内具有连续导

2、数内具有连续导数 在区间在区间设函数设函数baxf x y o ),(: 00 yxA基基点点 ,),(为任意一点为任意一点yxM 规定：规定：;)1(增大的方向一致增大的方向一致曲线的正向与曲线的正向与x ., )2( 取负号取负号相反时相反时取正号取正号向一致时向一致时 的方向与曲线正的方向与曲线正当当 ss AMsAM ).(xss 单调增函数单调增函数 ),(yyxxN 设设如图，如图， NTMTMNMN ,0时时当当 x 22 )()(yxMN x x y 2 )(1 ,1 2 dx y sMN ,ds 22 )()(dydxMT ,1 2 dx y dyyNT , 0.1 2 dx

3、yds 故故 ,)(为单调增函数为单调增函数xss .1 2dx yds 故故 弧微分公式弧微分公式 N M T R A 0 xx xx x y o 二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 1 M 3 M ) 2 2 M 2 S 1 S M M 1 S 2 S N N ) 弧段弯曲程度弧段弯曲程度 越大转角越大越大转角越大 转角相同弧段越转角相同弧段越 短弯曲程度越大短弯曲程度越大 1.曲率的定义曲率的定义 1 ) ) S S ) . M . M C 0 M y xo . s KMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段 （ 设曲线设

4、曲线C是光滑的，是光滑的， . 0 是是基基点点M , sMM （ . 切切线线转转角角为为MM 定义定义 s K s 0 lim 曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率 ,lim 0 存在的条件下存在的条件下在在 ds d s s . ds d K 2.曲率的计算公式曲率的计算公式 ,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tan y , 1 2 dx y y d ds d k ,arctany 有有 .1 2dx yds . )1( 2 3 2 y y (1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且 半径越小曲率越大半径越

5、小曲率越大. baxy ay 0 y 2 3 2 )1(y y k 0 222 Ryx 022 yyx y x y 2 y xyy y 2 3 2 )1(y y k R 1 , ),( ),( 二阶可导二阶可导设设 ty tx . )()( )()()()( 2 3 22 tt tttt k , )( )( t t dx dy . )( )()()()( 32 2 t tttt dx yd 例例1 1? 2 上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay . )2(1 2 2 3 2 bax a k 显然显然, 2 时时当当 a b x .最最大大k

6、,) 4 4 , 2 ( 2 为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又 a acb a b .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停 ). ( 1 ),( , 的半径的半径 为圆弧轨道为圆弧轨道到到 率连续地由零过渡率连续地由零过渡 使曲使曲如图如图缓冲段缓冲段 弯道之间接入一段弯道之间接入一段 稳，往往在直道和稳，往往在直道和 驶平驶平容易发生事故，为了行容易发生事故，为了行的曲率突然改变的曲率突然改变 道时，若接头处道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯 R R 例例2 2 . 1 )1( , , 0 6 1 0 3 R A

7、R l R l OOA OAlOA xxx Rl y 的曲率近似为的曲率近似为 时，在终端时，在终端 很小很小并且当并且当为零为零 的曲率的曲率在始端在始端 的长度，验证缓冲段的长度，验证缓冲段为为，其中，其中缓冲段缓冲段 作为作为，通常用三次抛物线通常用三次抛物线 x y o R ),( 00 yxA )0 ,( 0 xC l x y o R ),( 00 yxA )0 ,( 0 xC 证证如图如图 的的负负半半轴轴表表示示直直道道，x .,是是圆圆弧弧轨轨道道是是缓缓冲冲段段 ABOA （ （ 在缓冲段上在缓冲段上, , 2 1 2 x Rl y . 1 x Rl y , 0, 0,0 y

8、yx处处在在. 0 0 k故故缓缓冲冲始始点点的的曲曲率率 实际要求实际要求, 0 xl l B , 6 1 3 x Rl y 2 0 2 1 0 x Rl y xx 有有 2 2 1 l Rl , 2R l 0 1 0 x Rl y xx l Rl 1 , 1 R 的曲率为的曲率为故在终端故在终端A 0 2 3 2 )1( xxA y y k 2 3 2 2 ) 4 1( 1 R l R , 1 R l . 1 R kA 得得, 4 2 2 R l 略去二次项略去二次项 x y o R ),( 00 yxA )0 ,( 0 xC l 三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径 定义定义 D )

9、(xfy M k 1 ).0(),( )( kkyxM xfy 处的曲率为处的曲率为 在点在点设曲线设曲线 ,曲曲率率中中心心 D .曲率半径曲率半径 x y o . 1 , , k DMD M 使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点 处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点 .),( , 处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆 为半径为半径为圆心为圆心以以 M D 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数曲率互为倒数. . 1 , 1 k k 即即 注意注意: : 2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲

10、率半径越大,曲线在该点曲线在该点 处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲 率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似). 例例3 3 x y o Q P . , .70 ,/400 ,)( 4000 2 压力压力 飞行员对座椅的飞行员对座椅的到原点时到原点时 求俯冲求俯冲千克千克飞行员体重飞行员体重 秒秒米米处速度为处速度为点点 在原在原俯冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米 飞机沿抛物线飞机沿抛物线 vO

11、 x y 解解如图如图,受力分析受力分析,PQF 视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,. 2 mv F O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径 00 2000 xx x y , 0 . 2000 1 0 x y 得曲率为得曲率为. 2000 1 0 xx k曲率半径为曲率半径为.2000 米米 2000 40070 2 F),(4 .571)(5600千克千克牛牛 ),(4 .571)(70千克力千克力千克力千克力 Q ).(5 .641千克力千克力 即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克力千克力. 四、小结四、小结 运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性 质的数学分支质的数学分支微分几何学微分几何学. 基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆. 曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率; 曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧). 思考题思考题 椭圆椭圆 上哪上哪 些点处曲率最大？些点处曲率最大？ ,cos2t