解直角三角形的应用---航海问题

1、解直角三角形的 应用(三） -航海问题航海问题 90CABCRt中，在 A B C b c a 1.三边关系 3. 边角关系 2.锐角关系 )( 222 勾股定理cba 90BA b a B a b B c a A c b B a b A b a A c b A c a A cot,tan,cos,sin cot,tan,cos,sin 90度 1.1.仰角与俯角的定义仰角与俯角的定义 在视线与水平线所成的角中规定在视线与水平线所成的角中规定: 视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线上方的叫做仰角， 视线在水平线下方的叫做俯角。视线在水平线下方的叫做俯角。 视线视线 铅铅 垂垂 线线 水平线

2、水平线 视线视线 仰角仰角 俯角俯角 45 30 200米米 P OB D 归纳与提高归纳与提高 45 30 P A 200米米 C BO 4530 450 60 45 200 200 45 30 A B O P ABO P 3045 450 2.概念：坡度、坡概念：坡度、坡 比比 A B h L 如图：坡面的垂直高度如图：坡面的垂直高度h和和 水平宽度水平宽度L的比叫坡度的比叫坡度 （或叫坡比）（或叫坡比） 用字母表示为用字母表示为 ， 坡面与水平面的夹角记作坡面与水平面的夹角记作（叫坡角）（叫坡角） 则则tan = L h i L h i 坡度越大，坡角坡度越大，坡角a就越就越 大，坡面就

3、越陡大，坡面就越陡. 坡度通常写成坡度通常写成1 m的的 形式，如形式，如i=1 6. 方方向向角角 北 东 西 南 A A 5858 2828 B B 北偏东北偏东 5858 南偏西南偏西 2828 例题例题1：某船自西向东航行，在：某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东 60的方向上，前进的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向上，问（的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？ A 北 南 西东 北 南 西东 某船自西向东航行，在某船自西向东航行，

4、在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的的 方向上，前进方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向的方向 上，问（上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？）轮船要继续前进多少千米？ 3045 8千米 A B C D 某船自西向东航行，在某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东出测得某岛在北偏东60的的 方向上，前进方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东千米测得某岛在船北偏东45 的方向的方向 上，问（上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？

5、）轮船要继续前进多少千米？ 解： 检测1：如图所示，某船以每小时：如图所示，某船以每小时40海海 里的速度向正东航行，在里的速度向正东航行，在A点测得某灯点测得某灯 塔塔C在北偏东在北偏东60方向上，航行方向上，航行1小时后小时后 到到B点，测得该灯塔在北偏东点，测得该灯塔在北偏东30方向方向 上，已知该灯塔周围上，已知该灯塔周围30海里内有暗礁海里内有暗礁 （1）试说明）试说明B点是点是 否在暗礁区域外否在暗礁区域外 （2）若继续向东航）若继续向东航 行，有无触礁危险？行，有无触礁危险？ 请说明理由请说明理由 北北 东东 A B C D 船有无触礁的危险吗？船有无触礁的危险吗？ 检测检测2：

6、如图所示，气象台测得台风中如图所示，气象台测得台风中 心在某港口心在某港口A的正东方向的正东方向400公里处公里处,向向 西北方向西北方向BD移动，距台风中心移动，距台风中心300公公 里的范围内将受其影响，问港口里的范围内将受其影响，问港口A是是 否会受到这次台风的影响？否会受到这次台风的影响？ A B D 东东 北北 45 C 如图，一船在海面如图，一船在海面C处望见一灯塔处望见一灯塔A，在它的正，在它的正 北方向北方向2海里处，另一灯塔海里处，另一灯塔B在它的北偏西在它的北偏西60 的方向，这船向正西方向航行，已知的方向，这船向正西方向航行，已知A、B两灯两灯 塔的距离为塔的距离为 海里

7、，问在这条船的航线上是否海里，问在这条船的航线上是否 存在一点使两个灯塔存在一点使两个灯塔A、B同时分别在该点的东同时分别在该点的东 北、西北方向上？北、西北方向上？ 2 6 已知，如图，已知，如图，C城市在城市在B城市的正北方向，两城市城市的正北方向，两城市 相距相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公千米，计划在两城市间修筑一条高速公 路（即线段路（即线段BC），经测量，森林保护区），经测量，森林保护区A在在B城城 市的北偏东市的北偏东40的方向上，又在的方向上，又在C城市的南偏东城市的南偏东 56方向上，已知森林保护区方向上，已知森林保护区A的范围是以的范围是以A为为 圆心，半径为圆

8、心，半径为50千米的圆，问：计划修筑的这种千米的圆，问：计划修筑的这种 高速公路会不会穿越保护区？为什么？高速公路会不会穿越保护区？为什么？ 4:4:由于过度采伐森林和破坏植被由于过度采伐森林和破坏植被, ,使我国某些地使我国某些地 区受到沙尘暴的侵袭区受到沙尘暴的侵袭, ,近日近日A A市气象局测得沙尘暴市气象局测得沙尘暴 中心在中心在A A市正东方向市正东方向400km400km的的B B处处, ,正在向正西北方正在向正西北方 向转移向转移( (如图所示如图所示) )，距沙尘暴中心，距沙尘暴中心300km300km的范围的范围 内将受到其影响内将受到其影响. .问问A A市是否会受到这次沙

9、尘暴的市是否会受到这次沙尘暴的 影响影响? ? 0 45 D 北 东东 A B C 1.解直角三角形解直角三角形, ,就是在直角三角形中就是在直角三角形中, ,知道除直角外的其他五个元知道除直角外的其他五个元 素中的两个素中的两个( (其中至少有一个是边其中至少有一个是边), ),求出其它元素的求出其它元素的 过程过程. . 2.与之相关的应用题有与之相关的应用题有: :求山高或建筑物的高求山高或建筑物的高; ;测量河的宽度或物体测量河的宽度或物体 的长度的长度; ;航行航海问题等航行航海问题等. .解决这类问题的关键就是解决这类问题的关键就是 把实际问题转化为数学问题把实际问题转化为数学问题

10、, ,结合示意图结合示意图, ,运用解直角三角形的知识运用解直角三角形的知识. . 3.当遇到当遇到30,45,6030,45,60等特殊角时等特殊角时, ,常常添加合适的辅助线分割出包含常常添加合适的辅助线分割出包含 这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题. . 4.应用解直角三角形知识解应用题时应用解直角三角形知识解应用题时, ,可按以下思维过程进行可按以下思维过程进行: :寻寻 找直角三角形找直角三角形, ,若找不到若找不到, ,可构造可构造; ; 找到的直角三角形是否可解找到的直角三角形是否可解, ,若不可直接求解若不可直接求解, ,利

11、用题中利用题中 的数的数 量关系量关系, ,设设x x求解求解. . 若这艘轮船自若这艘轮船自A处按原速度继续航行，处按原速度继续航行， 在途中会不会遇到台风？若会，试求轮在途中会不会遇到台风？若会，试求轮 船最初遇到台风的时间；若不会，请说船最初遇到台风的时间；若不会，请说 明理由。明理由。 轮船自轮船自A处立即提高船速，向位于东处立即提高船速，向位于东 偏北偏北30方向，相距方向，相距60里的里的D港驶去。为港驶去。为 使台风到来之前到达使台风到来之前到达D港，问船速至少港，问船速至少 应 提 高 多 少 ？ （ 提 高 的 船 速 取 整应 提 高 多 少 ？ （ 提 高 的 船 速 取

12、 整 数，数， ）？）？ 北北 东东 D A B 30 例例6 如图所示，一艘轮船以如图所示，一艘轮船以20里里/时的速度由西时的速度由西 向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以 40里里/时的速度由南向北移动，距台风中心时的速度由南向北移动，距台风中心20 里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮里的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮 船到船到A处时，测得台风中心移到位于点处时，测得台风中心移到位于点A正南方正南方 向向B处，且处，且AB=100里。里。 10 6 . 313 解题点拨：解题点拨：（1）假设会遇到台风，设最初遇到台风时间为）假设会遇

13、到台风，设最初遇到台风时间为 t小时，此时，轮船在小时，此时，轮船在C处，台风中心到达处，台风中心到达E处（如图），则处（如图），则 有有AC2+AE2=EC2，显然，显然，AC=20t里，里，AE=ABBE=100 40t，EC=20 ，则（，则（20t）2+（10040t）2=(20 )2， 若若 可求出可求出t，则会遇到台风，若不能求出，则会遇到台风，若不能求出t，则不会遇到台风。，则不会遇到台风。 解：（解：（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小小 时，此时轮船位于时，此时轮船位于C处，台风中心移到处，台风中心移到E处，连结处，连结

14、CE，则有，则有 AC=20t，AE=10040t，EC=20 ，在，在RtAEC中，由勾中，由勾 股定理，得股定理，得(20t)2+(10040t)2=(20 )2， 整理，得整理，得t24t+3=0 =（4）2413=40, 途中会遇到台风。途中会遇到台风。 解解得，得，t1=1,t2=3 最初遇到台风的时间为最初遇到台风的时间为1小时。小时。 10 10 1010 AC E B 北北 南南 西西东东 解题点拨：解题点拨： 先求出台风抵达先求出台风抵达D港的时间港的时间t t，因，因AD=60，则，则 6060 t=t=提高后的船速，减去原来的船速，就是应提高的速度。提高后的船速，减去原来

15、的船速，就是应提高的速度。 解：解： 设台风抵达设台风抵达D港时间为港时间为t小时，此时台风中心至小时，此时台风中心至M点。点。 过过D作作DFAB，垂足为，垂足为F，连结，连结DM。 在在RtADF中，中，AD=60，FAD=60 DF=30 ，FA=30 又又FM=FA+ABBM=13040t，MD=20 （30 ）2+（13040t）2=(20 )2 整理，得整理，得4t2-26t+39=0 解之，得解之，得 台风抵达台风抵达D港的时间为港的时间为 小时。小时。 轮船从轮船从A处用处用 小时到达小时到达D港的速度为港的速度为60 25.5。 为使台风抵达为使台风抵达D D港之前轮船到港之

16、前轮船到D D港，轮船至少应提速港，轮船至少应提速6 6里里/ /时。时。 3 4 1313 t , 4 1313 t 21 310 1313 4 1313 4 1313 4 D A M B 30 北北 东东 10 F 货船继续向西航行途货船继续向西航行途 中会有触礁的危险吗中会有触礁的危险吗? ? B 船有无触礁的危险吗？船有无触礁的危险吗？ 1、 审题，画图。审题，画图。 茫茫大海中有茫茫大海中有 一个小岛一个小岛A,A,该岛四该岛四 周周1616海里内有暗礁海里内有暗礁. . 今有货船由东向西今有货船由东向西 航行航行, ,开始在距开始在距A A岛岛 3030海里南偏东海里南偏东6060

17、0 0 的的B B处处, ,货船继续向货船继续向 西航行。西航行。 60 观测点观测点 被观测点被观测点 A 北 C 30海里 ？ 这个问题归结为这个问题归结为: 在在RtABC中中,已知已知A= 60,斜边斜边AB=30,求求AC的长的长 16海里 A B C 10海里 D 北 东 分析：根据题意，该岛四周分析：根据题意，该岛四周 10海里有暗礁，货轮继续向东海里有暗礁，货轮继续向东 航行的方向如果到航行的方向如果到A的最短距的最短距 离大于离大于10海里，则无触礁的危海里，则无触礁的危 险。如果小于险。如果小于10海里，则有触海里，则有触 礁的危险。礁的危险。 25 55 如图，海中有一个

18、小岛如图，海中有一个小岛A A， 该岛四周该岛四周1010海里有暗礁，海里有暗礁， 今有货轮自西向东航行，今有货轮自西向东航行， 开始在开始在A A岛南偏西岛南偏西5555度的度的 B B处，往东行驶处，往东行驶2020海里后，海里后， 到达该岛的南偏西到达该岛的南偏西2525度度 的的C C处。之后，货轮继续处。之后，货轮继续 向东航行。向东航行。 你认为货轮继续向东航你认为货轮继续向东航 行途中会有触礁的危险行途中会有触礁的危险 吗？吗？ 变式一变式一 如图，海岛如图，海岛A四周四周20海里周围内为暗礁海里周围内为暗礁 区，一艘货轮由东向西航行，在区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛处见岛A在在 北偏西北偏西60，航行，航行24海里到海里到C，见岛，见岛A在北偏西在北偏西 30，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ A BDC N N1 30 60 变式二变式二 D A B