2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第1课时 余弦定理训练新人教A版必修第二册

1、2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第1课时 余弦定理训练新人教a版必修第二册2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第1课时 余弦定理训练新人教a版必修第二册年级：姓名：6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理课后训练提升基础巩固1.在abc中,已知a=2,则bcosc+ccosb等于()a.1b.2c.2d.4解析bcosc+ccosb=ba2+b2-c22ab+cc2+a2-b22ca=2a22a=a=2.答案c2.在abc中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角a等于()a.30b.60c.120d.150解

2、析(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc,b2+c2-a2=bc,cosa=b2+c2-a22bc=12,又0a0,则abc()a.一定是锐角三角形b.一定是直角三角形c.一定是钝角三角形d.是锐角或直角三角形解析由c2-a2-b22ab0得-cosc0,所以cosc0,从而c为钝角,因此abc一定是钝角三角形.答案c5.若abc的内角a,b,c所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且c=60,则ab的值为()a.43b.8-43c.1d.23解析由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosc=2abcos60=ab

3、,则ab+2ab=4,故ab=43.答案a6.在锐角abc中,若b=1,c=2,则a的取值范围是()a.1a3b.1a5c.3a0,即a25,2ac2,即a23,3a2.故3abc,a=120,a2=b2+c2-2bccos120,即(b+4)2=b2+(b-4)2-2b(b-4)-12,即b2-10b=0,解得b=0(舍去)或b=10.当b=10时,a=14,c=6.能力提升1.在abc中,若(a2+c2-b2)tan b=3ac,则角b的值为()a.6b.3c.6或56d.3或23解析(a2+c2-b2)tanb=3ac,a2+c2-b22actanb=32,即cosbtanb=sinb=

4、32.0bbb.a0,a2b2,ab.答案a4.在abc中,ab=5,bc=7,ac=8,则abbc的值为()a.79b.69c.5d.-5解析由余弦定理,得cosabc=ab2+bc2-ac22abbc=52+72-82257=17.因为向量ab与bc的夹角为180-abc,所以abbc=|ab|bc|cos(180-abc)=57-17=-5.答案d5.在abc中,已知cb=7,ac=8,ab=9,则ac边上的中线长为.解析由条件知cosa=ab2+ac2-bc22abac=92+82-72298=23,设中线长为x,由余弦定理知x2=ac22+ab2-2ac2abcosa=42+92-2

5、4923=49,所以x=7.所以ac边上的中线长为7.答案76.设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边,则a的取值范围是.解析由题意可知,2a-10,a2+(2a-1)22a+1,解得2a8.答案(2,8)7.在abc中,a,b,c分别为角a,b,c的对边,4sin2b+c2-cos 2a=72.(1)求角a的度数;(2)若a=3,b+c=3,求b和c的值.解(1)由4sin2b+c2-cos2a=72及a+b+c=180,得21-cos(b+c)-2cos2a+1=72,整理得4(1+cosa)-4cos2a=5,即4cos2a-4cosa+1=0,故(2cosa-1)2=0,解得cos

6、a=12.0a180,a=60.(2)由余弦定理,得cosa=b2+c2-a22bc.cosa=12,b2+c2-a22bc=12,化简并整理,得(b+c)2-a2=3bc,32-(3)2=3bc,即bc=2.由b+c=3,bc=2,解得b=1,c=2或b=2,c=1.8.在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且b2=a2+c2-ac.(1)求角b的大小;(2)求sin a+sinc的取值范围.解(1)b2=a2+c2-ac,a2+c2-b2=ac,cosb=a2+c2-b22ac=12.0b,b=3.(2)sina+sinc=sina+sin(a+b)=sina+sin(a+3