六、 材料力学应力状态分析(2)

1、 s sx s sy t txy t tyx s sy t txy yx s sx sz 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 sz 三向应力状态三向应力状态三个主应力都不为零的应力状态；三个主应力都不为零的应力状态； 特例特例 三个主应力中至少有一个是已知的三个主应力中至少有一个是已知的( (包括大小和方包括大小和方 向向) )。据此，平面应力状态即为三向应力状态的特例。据此，平面应力状态即为三向应力状态的特例。 我们可以用平面应力状态方式解决问题我们可以用平面应力状态方式解决问题 s3 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 如图单元体，已知如图单元体，已知s1 、 s2 、 s

2、3 我们可以用平面应力状态方式看我们可以用平面应力状态方式看 看其应力圆的形式。看其应力圆的形式。 t s 由由s2 、 s3可作出应力圆可作出应力圆 I s3 s2 I 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 I s1 平行于平行于s1 的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与s1无关无关 s2 s3 II s s1 s s3 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 II I s2s3 t sOs2 平行于平行于s2的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与s2无关，由无关，由 s1 、 s3可作出应力圆可作出应力圆IIII。 s3 s1 II I t sO s3 III s2 s1

3、三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 III s2 s1 平行于平行于s3 的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与s3 无关，由无关，由s s1 、 s s2可作出应力圆可作出应力圆 III。 由图可见、三向应力状态应力圆由三个圆组成。由图可见、三向应力状态应力圆由三个圆组成。 s3 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 II I s3 III s2 s1 O t s 三向应力状态应力圆由三向应力状态应力圆由 三个圆组成，每一个圆三个圆组成，每一个圆 上的点代表着相关平面上的点代表着相关平面 上不同方向的应力值。上不同方向的应力值。 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 O

4、 t s z y x s2 s1 s3 面内最大切应力面内最大切应力与与一点处的最大切应力一点处的最大切应力的确定：的确定： 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 O t s s3 s2 t z y x s2 s3 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 z y x s1 s3 s1 O t s s3 s2 t t 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 z y x s2 s1 s1s1 O t s s3 s2 t t t s3 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 在三组特殊在三组特殊 方向面中都有各方向面中都有各 自的面内最大切自的面内最大切 应力应力, ,即：即： z

5、 y x s2 s1 s3 O t s s1 s3 s2 t t t 一点处应力一点处应力 状态中的最大切状态中的最大切 应力只是应力只是t、t、 t 中最大者即中最大者即: : = (2-3)/2; =(1-2)/2; =(1-3)/2;max=(1-3)/2; 例例1 1、如图平面应力状态，求：主、如图平面应力状态，求：主 应力应力s s1 1、s s2 2 、 s s3 3和最大切应力和最大切应力 t tmax。 解：如图作应力圆解：如图作应力圆 67.167.1MPa; ; s s1 = 317.1317.1MPa; ; s s2 2 = 182.9182.9MPa; ; s s3 3

6、 = 0; 0; t tmax = 158.55= 158.55MPa; ; o tmax 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 200 300 50 (MPa) （300，50） （200，-50） O 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 200 （-300，50） 300 50 (MPa) tmax 例例2 2、如图平面应力状态，、如图平面应力状态， 求：主应力求：主应力s s1、s s2 、s s3 和最大切应力和最大切应力max。 。 解：作如图应力圆解：作如图应力圆 67.1MPa; s s1 = 0; s s2 = -182.9MPa; s s3 = -317.1MP

7、a; max = （0+317.1）/2 =158.55MPa; （-200，-50） O 300 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 100 (MPa) 例例3 3、如图平面应力状态，求：、如图平面应力状态，求： 主应力主应力s1 1、s2 2 、 s3 3和最大和最大 切应力切应力tmax。 解：如图作应力圆解：如图作应力圆 180MPa； s1 = 330MPa； s2 = 0； s3 = -30MPa； max = 180MPa； tmax （300，100） （0，-100） 作为三向应力状态的特例作为三向应力状态的特例,平面应力状态特点：平面应力状态特点： 三向应力状态三向

8、应力状态 特例分析特例分析 =0 、 、 1 、 2 2、3 1 1、胡克定律、横向变形与泊松比、胡克定律、横向变形与泊松比 泊松比； s s E E x xy x x = =; 广义胡克定律广义胡克定律 y x x 广义胡克定律广义胡克定律 2 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加方法叠加方法 );( 1 );( 1 1 2133 1322 3211 sss sss sss = = = E E E ； G G G R E E yz yz xz xz xy xy yxzz zxyy zyxx t t t sss sss sss = = = = = = )( 1 )(

9、1 )( 1 1 2 3 z,zx,zy y,yx,yz x,xz,xy G E E E xy xy yxz xyy yxx t ss ss ss = = = = )( )( 1 )( 1 y zx 广义胡克定律广义胡克定律 3 3、三个弹性常数之间的关系、三个弹性常数之间的关系 平面应力状态的广义胡克定律：平面应力状态的广义胡克定律： y x xy 广义胡克定律广义胡克定律 例例4 4、厚钢板上有一个矩形的槽，、厚钢板上有一个矩形的槽， 深度和宽度都是深度和宽度都是1cm，在槽中紧密，在槽中紧密 无隙的嵌入铅质立方块，尺寸为无隙的嵌入铅质立方块，尺寸为 111cm, ,并受到并受到 P=6k

10、N 的压力，的压力， 试求立方块内的三个主应力，假设试求立方块内的三个主应力，假设 钢板变形可以忽略不计，铅的泊松钢板变形可以忽略不计，铅的泊松 比比=0.3。 P 广义胡克定律广义胡克定律 解：铅质立方块受力如图，由解：铅质立方块受力如图，由 x方向变方向变 形为零，形为零，y 方向没有约束，根据广义胡方向没有约束，根据广义胡 克定律：克定律： 所以铅块主应力为所以铅块主应力为: : 1 = 0；2 = -18MPa; 3 = -60MPa; ; P x y MPa E MPa A P E zx zyxx y z zyxx 18)60(3 . 0 0)( 1 ; 0 ;6010 101 60

11、00 )( 1 6 4 = = = = = = ss sss s s sss ；由变形方程： P 材料在弹性范围内变形，实际上材料在弹性范围内变形，实际上 是外力做功，材料蓄积弹性势能的是外力做功，材料蓄积弹性势能的 现象。这种能量称为弹性应变能。现象。这种能量称为弹性应变能。 微元应变能用微元应变能用 dV 表示，若用表示，若用 dV 表表 示微元体积，则定义示微元体积，则定义 dV / dV 为应为应 变能密度。变能密度。 外力做功外力做功 W = FP / 2 对于完全弹性体，此功将完全转换对于完全弹性体，此功将完全转换 为弹性应变能。为弹性应变能。 应变能密度应变能密度 FP V=W

12、1、微元应变能、微元应变能 dzdydx dydxdz xzy 33 22 11 ddd s s s dy dx dz 应变能密度应变能密度 zyx yzx xzy ddd 2 1 ddd 2 1 ddd 2 1 33 22 11 s s s 1 2 3 dV 2 1 332211 sss= 2 2、应变能密度、应变能密度 三向应力状态下的应变能密度可以表述为三向应力状态下的应变能密度可以表述为 应变能密度应变能密度 )(2 2 1 133221 2 3 2 2 2 1 sssssssss = E v 应变能密度应变能密度 3 3、体积改变能密度与形状改变能密度、体积改变能密度与形状改变能密度

13、 物体变形包含体积改变与形状改变，因此总应变能密度包含物体变形包含体积改变与形状改变，因此总应变能密度包含 两种应变能密度。将主应力单元分解为图示两种单元，两种应变能密度。将主应力单元分解为图示两种单元，前者只前者只 产生体积改变产生体积改变；后者只；后者只产生形状改变产生形状改变； 2 3 1 2 - 3 - 1 - 2 13 2 32 2 21 - 6 1 ssssss = E d 2 321 6 21 sss = E v 应变能密度应变能密度 vd vvv= 总应变能密度总应变能密度 畸变能密度畸变能密度 体积改变体积改变能密度能密度 课外练习：课外练习：6464； 6666； 69 ；

14、 l 重要应用实例重要应用实例 p t s s m s s s sm = ? s st = ? sm sm 如图直径为如图直径为D,D,壁厚壁厚的容的容 器，内部受到压力器，内部受到压力P P的作的作 用，试问容器壁厚上的轴用，试问容器壁厚上的轴 向应力和周向应力的大小。向应力和周向应力的大小。 重要应用实例重要应用实例 p sm sm p stst st (2 l ) p pDl Fx=0; PD/4 = Dm; m=PD/4; Fy=0; PDl=2lt ; t = PD/2; PD/4 Dm 重要应用实例重要应用实例 l t s s m s s m=PD/4; t = PD/2; 1 1

15、、关于应力和应力状态的几点重要结论、关于应力和应力状态的几点重要结论 应力的点的概念应力的点的概念; ; 应力的面的概念应力的面的概念; ; 应力状态的概念；应力状态的概念； 变形体力学的基础。变形体力学的基础。 结论与讨论结论与讨论 怎样证明怎样证明AA截截 面上各点的应力状态面上各点的应力状态 不会完全相同。不会完全相同。 2 2、平衡方法是分析一点处应、平衡方法是分析一点处应 力状态最重要、最基本的方法力状态最重要、最基本的方法 A A 论证论证AA截面上截面上 必然存在切应力，而必然存在切应力，而 且是非均匀分布的；且是非均匀分布的； 结论与讨论结论与讨论 A A 结论与讨论结论与讨论 关于关于A点的应力状态点的应力状态有多种答有多种答 案、请用平衡的概念分析哪案、请用平衡的概念分析哪 一种是正确的。一种是正确的。 A B 怎样确定怎样确定C点处的主应力点处的主应力 结论与讨论结论与讨论 2 1.732 1.732 2 请分析图示请分析图示 4 4 种应力状态