傅立叶变换的推导

1、第二章第二章 确定信号分析确定信号分析 第一节第一节 确定信号的傅里叶变化及其推导确定信号的傅里叶变化及其推导 第二节第二节 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换 第三节第三节 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 第四节第四节 周期信号的傅里叶变换及抽样定理周期信号的傅里叶变换及抽样定理 QH2.0.2 第一节第一节 确定信号的傅里叶变换确定信号的傅里叶变换 及其推导及其推导 1 1，傅里叶变换的基本结论傅里叶变换的基本结论 2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导 3 3，三角形式的傅里叶级数的分析三角形式的傅里叶级数的分析 4 4，指数形式的傅里叶级数的推导指数形式的

2、傅里叶级数的推导 5 5，指数形式的傅里叶级数的分析指数形式的傅里叶级数的分析 6 6，傅里叶变换的推导傅里叶变换的推导 7 7，傅里叶变换的分析傅里叶变换的分析 QH2.1.1 （1 1）三角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数 （2 2）复数形式的傅里叶级数复数形式的傅里叶级数 （3 3）傅里叶变换傅里叶变换 0 11 1 ( )cos()sin() 2 nn n a f tantbnt 1 ( ) jnt n n f tF e 2 ( )( ) jft f tF f edf 1 1，傅里叶变换的基本结论傅里叶变换的基本结论 QH2.1.2 式式2.1.12.1.1 根据三角函数的正交性，

3、对式根据三角函数的正交性，对式2.1.12.1.1两边积分，得：两边积分，得： 0 11 1 ( )cos()sin() 2 nn n a f tantbnt 00 222 11 1222 ()cos()sin() 22 TTT nnTTT n aa f tdtdtan tbn tdtT 2 0 2 2 ( ) T T af t dt T 2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导 QH2.1.3 对式对式2.1.12.1.1两边同乘两边同乘 再在再在 积分，得：积分，得： 1 cos()nt, 2 2 T T 2 1 2 ( )cos() T T f tnt dt 20 2

4、2 1111 122 cos()cos ()sin()cos() 2 TT nnTT n a nt dtantbntnt dt 2 n a T 2 1 2 2 ( )cos() T nT af tnt dt T 2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导 QH2.1.4 同理，对式同理，对式2.1.12.1.1两边同乘两边同乘 再在再在 积分，得：积分，得： 1 sin()nt, 2 2 T T 2 1 2 ( )sin() T T f tnt dt 2 n b T 20 22 1111 122 sin()cos()sin()sin () 2 TT nnTT n a nt d

5、tantntbnt dt 2 1 2 2 ( )sin() T nT bf tnt dt T 2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导 QH2.1.5 由此可得三角形式的傅里叶级数：由此可得三角形式的傅里叶级数： 其中：其中： 0 11 1 ( )cos()sin() 2 nn n a f tantbnt 2 0 2 2 ( ) T T af t dt T 2 1 2 2 ( )cos() T nT af tnt dt T 2 1 2 2 ( )sin() T nT bf tnt dt T 2 2，三角形式的傅里叶级数的推导三角形式的傅里叶级数的推导 式式2.1.22.1.

6、2 式式2.1.32.1.3 式式2.1.42.1.4 QH2.1.6 （1 1）奇偶性奇偶性 为偶函数为偶函数 为奇函数为奇函数 2 1 2 2 ( )cos() T nT af tnt dt T 2 1 2 2 ( )sin() T nT bf tnt dt T 3 3，三角形式的傅里叶级数的分析三角形式的傅里叶级数的分析 QH2.1.7 （2 2）同频合并同频合并： 其中：其中： 被称为频率谱，被称为频率谱， 被称为相位谱。被称为相位谱。 0 1 1 ( )cos() 2 nn n c f tcnt 00 ca 22 nnn cabarctan() n n n b a n c n 3 3

7、，三角形式的傅里叶级数的分析三角形式的傅里叶级数的分析 QH2.1.8 令令 ，则，则 （奇偶性）（奇偶性） 令令 ，则得：，则得： 11 1 1 cos()() 2 jntjnt ntee 11 1 1 sin()() 2 jntjnt ntee j 0 11 1 ( )cos()sin() 2 nn n a f tantbnt 1111 0 1 ()() 222 jntjntjntjntnn n aab eeee j 11 0 1 ()() 222 jntjntnnnn n aajbajb ee 1 () 2 nn ajb F n 1 () 2 nn ajb Fn 0 (0) 2 a F

8、1 ( ) jnt n n f tF e 4 4，指数形式的傅里叶级数的推导指数形式的傅里叶级数的推导 QH2.1.9 1 () 2 nn ajb F n 2 11 2 1 ( )(cos()sin() T T f tntjnt dt T 12 2 1 ( ) T jnt T f t edt T 4 4，指数形式的傅里叶级数的推导指数形式的傅里叶级数的推导 22 11 22 1 22 ( )cos()( )sin() 2 TT TT f tnt dtjf tnt dt TT QH2.1.10 （1 1）指数形式的傅里叶级数对指数形式的傅里叶级数对 式式2.1.5 2.1.5 式式2.1.62.

9、1.6 （2 2） 思考：其中的思考：其中的2 2到哪去了？到哪去了？ 1 ( ) jnt n n f tF e 12 2 1 ( )( ) T jnt T F nf t edt T 2 1 2 2 ( )cos() T nT af tnt dt T 12 2 1 ( )( ) T jnt T F nf t edt T 5 5，指数形式的傅里叶级数的分析指数形式的傅里叶级数的分析 QH2.1.11 （3 3） 其中频率谱其中频率谱 相位谱相位谱 （4 4） 当当 为偶函数时，为偶函数时， ，则，则 为实函数，为实函数， 当当 为奇函数时，为奇函数时， ，则，则 为纯虚函数，为纯虚函数， 11

10、()() 2 n jnn ajb F nF ne 22 1 1 () 22 n nn c F nab arctan() n n n b a 2 1 2 2 ( )cos() T nT af tnt dt T 2 1 2 2 ( )sin() T nT bf tnt dt T ( )f t0 n b 1 ()F n ( )f t0 n a 1 ()F n 5 5，指数形式的傅里叶级数的分析指数形式的傅里叶级数的分析 QH2.1.12 由上一节的推导可知，由上一节的推导可知， 两边同乘两边同乘T T，得：，得： ，其中，其中 当当 时，时， 令令 ， 则则 12 1 2 1 ()( ) T jnt

11、 T F nf t edt T 12 1 2 ()( ) T jnt T TF nf t edt 2 T T 1 2 0 T 1 n 1 1 2 ()( ) j t F nf t edt 1 1 2 ( )()FF n ()( ) j t Ff t edt 1 1 1 1 () ( ) jnt n F n f te 6 6，傅里叶变换的推导傅里叶变换的推导 QH2.1.13 ， 且且 ， 1 1 2 ( )()FF n 1 d ( ) 1 ( )( ) 22 j tj t F f tedFed 6 6，傅里叶变换的推导傅里叶变换的推导 2 ( ) jft F f edf QH2.1.14 （1

12、 1）傅里叶变换对：傅里叶变换对： 式式 2.1.72.1.7 式式 2.1.82.1.8 规律：正变换为负，反变换为正。规律：正变换为负，反变换为正。 （2 2）傅里叶变换的基本条件：无限区间绝对可积傅里叶变换的基本条件：无限区间绝对可积 2 ( )( ) jft f tF f edf 2 ( )( ) jft F ff t edt 7 7，傅里叶变换的分析傅里叶变换的分析 QH2.1.15 第二节第二节 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换 1 1，冲击函数冲击函数 2 2，冲击偶函数冲击偶函数 3 3，单边指数信号单边指数信号 4 4，双边指数信号双边指数信号 5 5，符号函数符号函

13、数 6 6，指数函数指数函数 7 7，余弦函数余弦函数 8 8，矩形窗函数矩形窗函数 QH2.2.1 ( )( )f tt 2 ( )( )1 jft F ft edt 1 1，冲击函数冲击函数 思考：思考：0 0频率与冲击的区别。频率与冲击的区别。 QH2.2.2 ( )( )f tt 22 ( )( )( ) jftjft F ft edtt e 2jf 2 ( )(2) jft tjf edt 2 2，冲击偶函数冲击偶函数 QH2.2.3 ( ) 0 at e f t 0 0 t t 2 ( )( ) jft F ff t edt 3 3，单边指数信号单边指数信号 2 0 1 2 atj

14、ft eedt ajf QH2.2.4 ( ) at f te 2 ( )( ) jft F ff t edt 22 112 22 (2) a ajfajf af 4 4，双边指数信号双边指数信号 0 22 0 atjftatjft e edteedt QH2.2.5 可以看成是可以看成是 ， 1 ( )sgn( ) 1 f tt 0 0 t t sgn( ) t 0 lim at a e 22 ( )( ) jftjatjft F ff t edteedt 22 0 2 2 1 lim (2) a jf jf af 5 5，符号函数符号函数 QH2.2.6 0 2 0 ( )() jf t

15、f teff ( )1t 2 ( ) jft tedf 2 ( ) jft fedt 0 222 ( )( ) jf tjftjft F ff t edteedt 6 6，指数函数指数函数 QH2.2.7 000 1 ( )cos(2) ()() 2 f tf tffff 00 22 0 1 cos(2)() 2 jf tjf t f tee 00 1 ( ) ()() 2 F fffff 7 7，余弦函数余弦函数 QH2.2.8 ( )( ) 0 T A f tG t 22 TT t other 2 ( )( ) jft F ff t edt 2 2 sin() 22 fT A j jf 8

16、 8，矩形窗函数矩形窗函数 22 2 222 2 () 2 TTT jfjf jft T A Aedtee jf () sin () ATSinfT ATc fT fT QH2.2.9 第三节第三节 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 1 1，对称性对称性 2 2，尺度变换尺度变换 3 3，时移特性时移特性 4 4，频移特性频移特性 5 5，奇偶虚实性奇偶虚实性 6 6，傅里叶变换综合例题傅里叶变换综合例题 QH2.3.1 1 1，对称性对称性 若若 ，则，则 推导：推导： 互换互换 和和 ，得：，得： 也即也即 ( )( )f tF f( )()F tff 2 ( )( ) jft f tF

17、f edf 2 ()( ) jft ftF f edf ft 2 ()( ) jft ffF t edt ( )()F tff QH2.3.2 2 2，尺度变换尺度变换 若若 ，则，则 推导：推导： 令令 则则 ( )( )f tF f 1 ()() f f atF aa 2 1( ) () jft F ff at edt xat 1 dtdx a 2 1 11 ( )( )() f jx a f F ff x edxF aaa 2 1 11 ( )( )() f jx a f F ff x edxF aaa 1 ()() f f atF aa 0a 0a QH2.3.3 3 3，时移特性时移

18、特性 若若 ，则，则 推导：推导： 令令 则则 ( )( )f tF f 0 2 0 ()( ) jft f ttF f e 2 10 ( )() jft F ff tt edt 0 xtt 0 txt 0 2() 1( ) ( ) jf x t F ff x edx 00 222 1( ) ( )( ) jftjftjfx F ff x edxeF f e QH2.3.4 4 4，频移特性频移特性 若若 ，则，则 推导：推导： 令令 则则 ( )( )f tF f 0 2 0 ()( ) jf t F fff t e 2 10 ( )() jft f tF ff edf 0 xff 0 fx

19、f 0 2 () 1( ) ( ) jxft f tF x edx 0 22 ( ) jf tjxt F x edxe 0 2 ( ) jf t f t e QH2.3.5 5 5，奇偶虚实性奇偶虚实性 若若 ，则：，则： （1 1） （2 2） （3 3） 推导：推导：（1 1） ( )( )f tF f ()()ftFf * ( )()ftFf * ()( )ftFf 2 ( )( ) jft F ff t edt 2 1( ) () jft F fft edt xt ( 2) ( )( 1) jf x f x edx ( 2) ( )() jf x f x edxFf ( 2)() ()

20、()( 1) jft ft edt QH2.3.6 5 5，奇偶虚实性奇偶虚实性 （2 2） 2 ( )( ) jft F ff t edt *2 1( ) ( ) jft F fft edt 2* ( ) jft f t edt ( 2)* ( ) jf t f t edt *( )Ff （3 3）由由(1)(2)(1)(2)即可得。即可得。 QH2.3.7 6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题 （1 1） （2 2） （3 3） （4 4） （5 5） （6 6） ( )sin ( )f tc t ( )() 2 T T f tgt ( )() t f t T 1 ( )f t

21、 t 2 ( )() 2 jf f H frece W QH2.3.8 0 ( )cos(2) c f tf t 6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题 （1 1）( )sin ( )f tc t ( )sin () T G tATc fT 1( ) sin ( )G tc f 11 sin ( )()( )c tGfG f QH2.3.9 6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题 （2 2） ( )() 2 b T T f tG t ( )sin () T G tATc fT ( )sin () Tb bb G tATc fT 2 2 ()sin () 2 b T jf T

22、b bb T G tATc fT e sin () b jfT b bb ATc fT e QH2.3.10 6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题 （3 3） ( )() t f t T ( ) sin ()sin () jfTjfT f tAc fT eAc fT e sin ()2 sinAc fTjfT sin 2sin () fT ATjfc fT fT 2 2sin()ATjfcfT 2 ( )()sin() t f tATcfT T QH2.3.11 6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题 （4 4） 1 ( )f t t 1 sgn( ) t jf 1 sg

23、n( )jt f 1 sgn()sgn( )jfjf t QH2.3.12 6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题 （5 5） 0 ( )cos(2) c f tf t QH2.3.13 00 (2)(2)1 ( ) 2 cc jf tjf t f tee 00 221 2 cc jf tjjf tj eeee 00 1 ( ) ()() 2 jj cc F fff eff e 特别地：当特别地：当 时时 0 90 6 6，傅里叶变换综合练习题傅里叶变换综合练习题 （6 6） 2 ()( )2sin ( 2) 2 W t rectGtWc f W W 2 2sin (2)() W W

24、c WtGf 2 2 2sin (2()( ) jf W Wc W tGf e 2 ( )() 2 jf f H frece W 2 2sin (2)( ) W Wc WtGf QH2.3.14 第四节第四节 周期信号的傅里叶变换及周期信号的傅里叶变换及 抽样定理抽样定理 1 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 2 2，抽样抽样 3 3，对抽样的理解对抽样的理解 4 4，低通抽样定理低通抽样定理 5 5，带通抽样定理带通抽样定理 QH2.4.1 1 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 设设 为周期信号，周期为为周期信号，周期为T T。则。则 可以展成傅里叶级数：可以展成傅里

25、叶级数： 式式2.4.12.4.1对对 式式2.4.12.4.1两边进行傅里叶变换可得：两边进行傅里叶变换可得： 式式2.4.22.4.2 其中其中 为数值。为数值。 由傅里叶变换的知识，由傅里叶变换的知识， 式式2.4.22.4.2变为：变为： ( )f t 11 2 ( ) jntjnf t nn nn f tF eF e 1 2 ( )() jnf t n n F fFe n F 1 2 1 () jnf t efnf ( )f t 1 ( )() n n F fFfnf QH2.4.2 1 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 其中其中 为为 的傅里叶级数的系数，即：的傅里叶级

26、数的系数，即： 式式2.4.32.4.3现现 在构造函数在构造函数 为为 在在 的一段，其他部分为的一段，其他部分为0 0，则，则 的傅里叶变换为：的傅里叶变换为： 式式2.4.42.4.4 对照式对照式2.4.32.4.3与式与式2.4.42.4.4可知，可知， 1 2 2 2 1 ( )( ) T jnf t T F nf t edt T , 2 2 T T 1( ) f t 22 2 1 2 ( )( )( ) T jftjft T F ff t edtf t edt 1 11 1 ()( ) fnf F nfF f T n F ( )f t ( )f t 1( ) f t 111 1

27、( )() () n F fF nffnf T QH2.4.3 1 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 特例：特例： ( )() n f ttnT 1( ) 1f t 1 1 ( )() n f tfnf T 当周期信号为冲击序列时：当周期信号为冲击序列时： 1( ) ( )f tt 周期冲击序列的傅里叶变换为：周期冲击序列的傅里叶变换为： QH2.4.4 1 1，周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 周期信号傅里叶变换的另一种推导方法：周期信号傅里叶变换的另一种推导方法： 1 1 ( )() T n tfnf T 11 ( )( )f tF f 11 1 ( )( )() n

28、f tF ffnf T 111 1 () () n F nffnf T QH2.4.5 （1 1）抽样的概念理解抽样的概念理解 （2 2）设连续信号设连续信号 的傅里叶变换为的傅里叶变换为 ，抽样序列，抽样序列 的的 傅里叶变换为傅里叶变换为 。抽样之后所得序列。抽样之后所得序列 ，其，其 傅里叶变换为傅里叶变换为 。 （3 3）抽样序列为周期信号，抽样序列为周期信号， 其中用到了其中用到了 函数的卷积性质函数的卷积性质 ( )f t( )F f ( )P f ( )( ) ( ) s f tf t p t ( ) s F f 1 ( )() n n P fPfnf 1 ( )( )* ( )

29、( )*() sn n F fF fP fF fPfnf 1 () n n PF fnf ( ) t ( )p t 2 2，抽样抽样 QH2.4.6 3 3，对抽样的理解对抽样的理解 这是在这是在 影响下，影响下， 在频域的平移，平移的周期是在频域的平移，平移的周期是 。 1 ( )() sn n FfP F fnf n P( )F f 1 f QH2.4.7 3 3，对抽样的理解对抽样的理解 （1 1）若若 是理想冲击序列，则其傅里叶变换是理想冲击序列，则其傅里叶变换 为：为： 由周期信号傅里叶变换的性质，由周期信号傅里叶变换的性质， 也即抽样后的频谱为原信号的搬移，幅度仅变化为以也即抽样后的频谱为原信号的搬移，幅度仅变化为以 前的前的 ，也即一种无失真的抽样。，也即一种无失真的抽样。 ( )p t ( )P f 1 ( )() n n P fPf