工程力学—第九章_扭转

1、第7章 扭 转 o 基本概念 o 动力传递与扭矩 o 切应力互等定理与剪切虎克定律 o 圆轴扭转横截面上的应力 o 圆轴扭转破坏与强度条件 o 圆轴扭转变形与刚度条件 第一节 引 言 o 扭转扭转：以横截面绕轴线作相对转动为主要 特征的变形形式，称为扭转。 第一节 引 言 o 扭力偶扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶。 扭力偶矩扭力偶矩：使杆产 生扭转变形的外力 偶之矩。 第一节 引 言 o 轴轴：凡以扭转为主要变形的直杆称为轴。 第一节 引 言 o 扭转角扭转角：轴的变形以横截面间绕轴线的相 对角位移称扭转角。 q 功率、转速与扭力偶矩之间的关系功率、转速与扭力偶矩之间的关系 第二节 动力传递

2、与扭矩 min r kW mN n P M9549 s r kW mN n P .M2159 式中： P=M功率，即力偶在单位时间内 所作之功 ，单位为kW（千瓦）； M力偶矩，单位为Nm（牛顿米）； 相应角速度； n轴的转速，单位为r/min（转 分），或r/s（也可表示为s-1）（转 秒）。 功率P=M，又 1W=1Nm/s 于是上式变为 P*103=M*2n/60 由 此 得 则 若转速n的单位为r/s, 第二节 动力传递与扭矩 q 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 v 扭转变形的内扭转变形的内 力：力： 扭矩。扭矩。 v 扭矩扭矩 ：即nn 截面处的内力偶 矩。 第二节 动力传递与扭矩 扭矩的

3、正负号规定：采用右手螺旋法则。 指向截 面外侧 为正 指向截 面内侧 为负 第二节 动力传递与扭矩 o扭矩图扭矩图 ：表示扭矩沿轴线变化情况：表示扭矩沿轴线变化情况 的图线的图线 。 o 例题1 图示传动轴,转速n=500r/min，轮B 为主 动轮，输入功率PB=10kW ，轮A与轮C均为从动 轮，输出功率PA=4kW， PC=6kW 。试计算轴的 扭矩，并画扭矩图。 解（1）扭力偶矩计算 m4N.76 500 4 9549 n P 9549M A A mN 500 10 9549 n P 9549M B B 191 m4.6N 500 6 9549 n P 9549M C C 11 （2）

4、扭矩计算 设AB与BC段的扭矩为正，并分别用T1和T2表示，则 m4N.76MT A1 m4.6N-MT C2 11 （3）画扭矩图 根据上述分析，画扭矩图，扭矩的最大绝对值为 m4.6NTT 2 max 11 T x 76.4Nm 114.6Nm 例题例题 一传动轴如图，转速 ； 主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的 功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。 min r 300n 解解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩 mkN9 .15mN 109 .15mN) 300 500 1055. 9( 33 1 M mkN78

5、. 4mN1078. 4mN) 300 150 1055. 9( 33 32 MM mkN37. 6mN1037. 6mN) 300 200 1055. 9( 33 4 M 2. 计算各段的扭矩 BC段内：mkN78. 4 21 MT AD段内：mkN37. 6 43 MT CA段内：mkN9.56 322 MMT(负) 注意这个扭矩是假定为负的 3. 作扭矩图 由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kNm。 第二节 动力传递与扭矩 思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传 动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？ 15.94.786.37 4.78 第三节 切应力

6、互等定理与剪切虎克定律 q 薄壁圆管的扭转应力薄壁圆管的扭转应力 从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd 之间发生相对错动，即仅产生剪切变形；而且， 沿圆周方向所有微体的剪切变形均相同。 第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律 o 由此可见，在圆管横截面的各点处，仅存 在垂直于半径方向的切应力，如图示，它 们沿圆周大小不变，而且由于管壁很薄， 沿壁厚也可近似认为均匀分布 。 第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律 q 薄壁圆管的扭转应力薄壁圆管的扭转应力 o 设圆管的平均半径为Ro，壁厚为，微剪力对轴 线O的力矩为Ro Rod 。 横截面的扭矩T

7、即为： 2 o 2 0 2 o R2dRT 薄壁圆管扭转的切应力为： 2 o R2 T 当 时，该公式足够精确。/10Ro 第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律 q 纯剪切与切应力互等定理：纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：切应力互等定理：在微体的两个相互垂直在微体的两个相互垂直 的截面上，切应力总是同时存在，且大小的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线的交线。 在微体的左、右两个侧面上，力偶之矩为 dydx。 顶面与底面的两个力所构成 的力偶之矩为dxdy。 微体平衡，则 = 。 纯剪切纯剪切：如上述微体

8、的四个侧面上，仅 存在切应力而无正应力的应力状态。 第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律 q 剪切虎克定律剪切虎克定律 ： G G 在切应力作用下，微体发生切应变。 薄壁圆管的扭转试验表明：当切应力不超过材 料的剪切比例极限p时，切应力与切应变成正比，切应力与切应变成正比， 即即 。引入比例系数 G， 则G 。 G切变模量（剪切弹性模量）， 单位为Gpa，其值随材料而异， 由实验测定。 第四节 圆轴扭转横截面上的应力 q 最大扭转切应力最大扭转切应力 由式 可知，在R 即圆截面 边缘各点处，切应力最大，其值为 p I T p p p max W T R I T I TR 式中Wp为抗扭截面 系

9、数，Wp=Ip/R单位 为m3或mm3。 可见，最大扭转切应力与扭矩成正比，与抗，最大扭转切应力与扭矩成正比，与抗 扭截面系数成反比。扭截面系数成反比。 平面假设平面假设：变形后，横截面仍保持为平面，其形状、变形后，横截面仍保持为平面，其形状、 大小与间距均不变，而且，半径仍为直线大小与间距均不变，而且，半径仍为直线。 第五节 圆轴扭转破坏与强度条件 q 扭转失效与扭转极限应力扭转失效与扭转极限应力 v 扭转试验表明： 塑性材料试样受扭时，先发生屈服，在试样表面 的横向与纵向出现滑移线，如果再继续增大扭力 偶矩，试样最后沿横截面被剪断； 脆性材料试样受扭时，变形始终很小，最后在与 轴线成450

10、倾角的螺旋面发生断裂。 上述实验结果说明，圆轴受扭时，其破坏的标志圆轴受扭时，其破坏的标志 仍然是塑性屈服与脆性断裂仍然是塑性屈服与脆性断裂。 扭转屈服应力扭转屈服应力：试样扭转屈服时横截面上的最大 切应力，称为扭转屈服应力。 扭转极限应力扭转极限应力：扭转屈服应力与扭转强度极限统 称为扭转极限应力，并用u表示。 塑性材料 脆性材料 第五节 圆轴扭转破坏与强度条件 () Mx Ip 圆轴扭转时横截面上的最大切应力圆轴扭转时横截面上的最大切应力 当当 max 时，时， max max= Mx Wp Wp= max Ip Wp 扭转截面系数扭转截面系数 第五节 圆轴扭转破坏与强度条件 o 强度条件

11、： max P max W T P max max W T 对于等截面圆轴 ： 第五节 圆轴扭转破坏与强度条件 Ip d 4 32 Wp= d 3 16 Ip D 4 32 ( 1- 4 ) Wp= D 3 16 ( 1- 4 ) =d / D 对于实心圆截面对于实心圆截面 对于圆环截面对于圆环截面 o 例例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 P1=368kW，从动轮2、3分别输出功率为 P2=147kW，P3=221kW， =70MPa， =10/m，G=80GPa。试按强度条件求AB段的直 径d1；BC段的直径d2；若两段采用同一直径d，试确 定d的大小。 mN n P

12、M 7057 603 . 8 368 95509550 1 1 解 (1)求外力偶矩 mN n P M 2819 603 . 8 147 95509550 2 2 mN n P M 4238 603 . 8 221 95509550 3 3 (2)求扭矩 d1 d2 12 3 M2 M1M3 A BC mN2819MT 21 mN4238MT 32 (3)按强度条件求直径 ： mN2819MT 21 mN4238MT 32 16 d W 3 p max P max W T 1 3 1 T 16 d mm59m059. 0 107014. 3 281916T16 d 3 6 3 1 1 又 所以

13、 同理 mm86m860 . 0 107014. 3 423816T16 d 3 6 3 2 2 若两段采用同一直径，则取 mm68d d1 d2 12 3 M2 M1M3 A BC o 例题 已知解放牌汽车主传动轴传递的最 大扭矩T=1930Nm，传动轴用外径 D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。 材料为20钢，其许用切应力=70MPa。 校核此轴的强度。若在同样强度条件下，将 空心轴改成实心轴，试确定其直径，并比较 二者的重量。 o 解：（1）计算抗扭截面系数 944. 0 89 5 . 22892 D D D d （注意单位） 3534 4343 109 . 2109 . 2 94

14、4. 01892 . 012 . 0 mmm DWP o （2）强度校核 MPa MPaPa W T p 70 7 .66107 .66 109 . 2 1930 6 5 max 满足强度条件 o （3）确定实心轴直径，并比较其重量 3 max 2 . 0 实 d T W T P mmm T d53053. 0 107 .662 . 0 1930 2 . 0 6 3 max 实 308. 0 2809 865 53 8489 4 4 2 22 2 22 实 实 空 实 空 d dD A A G G 空心轴比实心轴省材料空心轴比实心轴省材料 例例2 下图所示阶梯形圆截面轴，在横截面A、B与C处承

15、受扭 力偶作用，试校核轴的强度。已知MA=150N.m，MB=50N.m， MC=100N.m，许用切应力90MPa。 解：（1）问题分析 绘制扭矩图，由图知AB与BC 段的扭矩分别为 T1=150N.m T2=100N.m （2）强度校核 MPa88.80Pa10088. 8 024. 0 018. 0 1024. 0 )mN150(16 D d 1D T16 7 4 3 4 1 1 3 1 1 1max, MPa7 .86Pa1067. 8 022. 0 018. 0 1022. 0 )mN100(16 D d 1D T16 7 4 3 4 2 2 3 2 2 2max, max,1与ma

16、x,2均小于许用切应力，说明轴满足强度条件。 例例3 某传动轴，轴内的最大扭矩T=1.5kN.m，若许用切应力 50MPa，试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其 重量。 （1）实心圆截面轴； （2）空心圆截面轴，其内、外径的比值di/d0=0.9。 解： （1）确定实心轴的直径 p W T 而 16 d W 3 p 故 m0535. 0 1050 105 . 116T16 d 3 6 3 3 根据强度条件 取 d=54mm （注意取法） 取 do=76mm，di=68mm（注意） （3）重量比较 由于空心及实心圆轴的长度及材料均相同，所以，二者的 重量比等于其横截面面积之比，即 395

17、. 0 054. 0 068. 0076. 0 d 4 4 dd 2 22 2 2 i 2 0 上述数据充分说明，空心轴比实心轴轻。即空心轴省材料。 (2)确定空心轴的内、外径 m0763. 0 10509 . 01 105 . 116 1 T16 d 3 64 3 3 4 o 则其内径为: di=0.9do=0.90.0763=0.0687m 例题 例例 题题 4 4 ：P7.5kW,n=100r/min,许用切应力许用切应力 40MPa, 空心圆轴的内外径之比空心圆轴的内外径之比 = 0.5。 : 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外径和空心轴的外径D2。 例题 解：解： P Mx=T

18、=9549 n 7.5 = 9549 100 =716.2 N.m max= Wp1 16 MxMx = d13 =40 MPa =0.045 m=45 mmd1= 16 716. 2 40 106 3 例题 例例 题题 4 4 max=40 MPa Wp2 Mx16 Mx = D23(1- 4) d 2 =0.5D2=23 mm A1 A2 = d12 D22(1- 2) =1.28 =0.045 m=45 mmD2 = 16 716.2 (1- 0.5 4) 40 106 3 第六节 圆轴扭转变形与刚度条件 圆轴扭转变形圆轴扭转变形 ：轴的扭转变形，用横截面间绕轴线 的相对角位移即扭转角表

19、示。 相距l的两横截面间的扭转角为 P GI l T 上式表明，扭转角与扭矩T、轴长l成正比，与GIP 成反比。 扭转刚度扭转刚度：乘积GIP称为圆轴截面的扭转刚度， 或简称为扭转刚度。 第六节 圆轴扭转变形与刚度条件 o 圆轴扭转刚度条件 ： 0 max P 180 GI T 单位长度的许用扭转角 。 对于一般传动轴， 为0.50m10m；对于精密 仪器及仪表的轴， 根据规范确定。 第六节 圆轴扭转变形与刚度条件 3 21 6 . 0/dd 例题 传动轴ABC，MA=300kNm， MB=200kNm，MC=500kNm，lAB=a， lBC=2a，已知两段轴的最大剪应力相等，求： （1）直

20、径比d1/d2； （2）扭转角比 AB/BC。 6 . 02 1 BC AB o 例例5 一传动轴如图所示,其转速n=300r/min，主动轮输 入功率P1=367kW；三个从动轮的输出功率分别为 P2=110kW，P3=110kW，P4=147kW。已知 =40MPa , =0.30/m，G=80GPa。试设计轴的直 径d。 mN4679 300 147 9549 n P 9549M 4 4 1 2 3 N1 N2 N3 d A B C N4 D 43 41 2 P4 P1 P2P3 A BCD mN11682 300 736 9549 n P 9549M 1 1 解 (1)求外力偶矩 mN

21、3501 030 101 9549 n P 9549M 2 2 mN3501MM 23 (2)求扭矩 mN4679MT 41 mN7002MMT 322 mN3501MT 33 最大扭矩为 mN7002TT 2 max (3)求直径 16 d W 3 p max P max W T T 16 d3 按强度条件： mm96m096. 0 104014. 3 700216 T16 d 3 6 3 又 所以 按刚度条件： G T180 32 d 4 mN7002TT 2 max 0 max P 180 GI T 又 32 d I 4 p mm114m114. 0 3 . 01080 327002180 d 4 92 解得 ： 比较强度条件和刚度条件，取 14mm1d 例6 图示圆截面轴AC，承受扭力偶矩MA、MB及MC作用。试计 算该轴的总扭转角AC（即截面C对截面A的相对转角），并校核 轴的刚度。已知MA=180N.m，MB=320N.m，MC=140N.m， Ip=3.0105mm4，l=2m，G=80GPa，=0.50/m。 解： (