数学物理方法—第五章—傅立叶级数讲解

1、内江师院学院工程技术学院数学物理方法 积积 分分 变变 换换 第一部分 Fourier变换 第二部分 Laplace变换 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 傅里叶傅里叶(Jean Baptise Joseph Fourier17681830) 法国数学家。1768年3月21日生于奥塞 尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴 黎综合工科学校任讲师。1798年随拿破仑远 征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法 国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅 里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科 学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学 院院士。 在十八世纪中期,是否有用信号

2、都能用复指数的线性组合来表 示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦 的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续 从数学上深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法。 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数 来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限 。正是在这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个 世纪后提出了他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持 不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关 于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数任

3、一函数都能够展成三角函数 的无穷级数的无穷级数。这篇论文经J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M. 勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级 数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝 。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。 为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了 几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种方式出现 在热的分析理论这本书中。这本书出版于1822年,也即比他 首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书 已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的 数学思想和数学成就。 内江师院学院工程技术学院数

4、学物理方法 书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三 角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数 和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“ 任意”函数（实际上要满足一定的条件,例如分段单调）都可以 展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级 数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。 傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的 求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展 ，特别是数学物理等应用数学的发展；其次，傅里叶级数拓广了 函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹 数学的其他领域。

5、 傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为 “对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。”这一见解已成为 数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正弦周期信号都可表示为谐波关系的正弦 信号的加权和信号的加权和” 傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示积分表示” 傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 第五章 Fourier变换 第一节

6、Fourier级数 第二节Fourier积分与Fourier变换 第三节函数 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 在工程计算中在工程计算中, 无论是电学还是力学无论是电学还是力学, 经常要和随时间而经常要和随时间而 变的周期函数变的周期函数fT(t)打交道打交道. 例如例如: 具有性质具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中其中T称作周期称作周期, 而而1/T代表单位时代表单位时 间振动的次数间振动的次数, 单位时间通常取秒单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次即每秒重复多少次, 单单 位是赫兹位是赫兹(Hz). t 第一节 Fourier级数 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 最常用的

7、一种周期函数是三角函数最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(w wt+j j) 其中其中w w = 2p p /T 而而Asin(w wt+j j)又可以看作是两个周期函数又可以看作是两个周期函数sinw wt和和cosw wt 的线性组合的线性组合 Asin(w wt+j j)=asinw wt+bcosw wt t 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 人们发现人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系所有的工程中使用的周期函数都可以用一系 列的三角函数的线性组合来逼近列的三角函数的线性组合来逼近. 方波方波 4个正弦波的逼近个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近个正

8、弦波的逼近 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情 况即可况即可, , 通常研究在闭区间通常研究在闭区间 -T T/2,/2,T T/2/2内函数变化的情况内函数变化的情况. . 讨论：讨论：(1)这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数. . 理论上讲，并非所有的周期函数都可以用傅里叶级数逼近理论上讲，并非所有的周期函数都可以用傅里叶级数逼近, , 而是要满足而是要满足 (Dirichlet(Dirichlet) )条件条件, , 即在区间即在区间-T T/2,

9、/2,T T/2/2上上 Dirichlet定理 若 f(x)满足：(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第 一类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则 周期函数都可以用傅里叶级数逼近（周期函数都可以用傅里叶级数逼近（谐波关系的正弦信号的加权和谐波关系的正弦信号的加权和）。）。 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 :)( 0 条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf ;)()1( 0处 处有有定定义义在在点点xxf ;)(lim)2( 0 存在存在xf xx ).()(lim)3( 0 0 xfxf xx ).()( ),()( , 00 或或间间断

10、断点点的的不不连连续续点点 为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数 则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只 xf xxxf 函数的间断点函数的间断点 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 1.跳跃间断点跳跃间断点 .)( ),0()0(, ,)( 000 0 的跳跃间断点的跳跃间断点 为函数为函数则称点则称点但但存在存在 右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果 xf xxfxf xxf 2.可去间断点可去间断点 .)( )(),()(lim ,)( 0 00 0 0 的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点 处无定处无定

11、在点在点或或但但 处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果 xfx xxfxfAxf xxf xx 注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. 第一类间断点第一类间断点 特点特点 . 0处 处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 x 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 3.第二类间断点第二类间断点 .)( , )( 0 0 的第二类间断点的第二类间断点 为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存 处的左、处的左、在点在点如果如果 xf x xxf 无穷型无穷

12、型间断点间断点振荡型振荡型间断点间断点 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 可去型可去型 第一类间断点第一类间断点 o y x 跳跃型跳跃型 无穷型无穷型振荡型振荡型 第二类间断点第二类间断点 o y x 0 x o y x 0 x o y x0 x 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 因此, 任何满足狄氏条件的周期函数f (t), 可表示为三角 级数的形式如下: 22 22 2 2 0 1 0 ( )(cossin) 2 22 ( )d( )cosd 2 ( )sind TT TT T T nnnn n nn nn a f tatbt af ttaf ttt TT bf ttt T ww

13、 w w 2 n n T p w 0 1 0 ( )(cossin) 11 ( )d( )cosd 2 1 ( )sind ll ll l l nnnn n nn nn f taatbt af ttaf ttt ll bf ttt l ww w w n n l p w 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 有限区域上的函数周期化的处理方法 处理处理1：将 f(x) 转化为(-l,l)内 的函数 设 f(x)是定义在 区域(a,b)内的函 数，其中a和b是 有限数 处理处理2：周期化为整个实数 轴上的以2l为周期的周期函 数 b a l-ll-l xlax ab l )( 2 有限区域上的Fou

14、rier展开或周期函数的Fourier展开 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 三角函数族： ,sin, 2 sin,sin ,cos, 2 cos,cos,1 l xk l x l x l xk l x l x ppp ppp 周期函数的傅立叶级数周期函数的傅立叶级数 则函数 f(x) 可以用周期同为2l一系列谐函数作为基本 函数函数族（正交、完备），把周期函数f(x) 展开。 周期为 2l 的函数 f(x) 满足：)()2(xflxf 1 sin,cos, 1 n x l n x l npp 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 l xk k l xk l lk l xk l lxkp

15、p pppp cos)2cos() 2 cos( )2( cos a. 基本函数族是以2l 为周期的 b. f(x)按三角函数族展开 .sincos)( 1 0 l xk b l xk aaxf k kk pp 不同的函数形式由不同的组的 和 表示。 k a k b (5.1.3) 此为傅里叶级数展开 l xkp sin同样 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 基本函数族的正交性 l l l l l l l l l l dx l xn l xk nkdx l xn l xk nkdx l xn l xk dx l xk kdx l xk .0sincos ),(0sinsin ),(0cos

16、cos ,0sin1 ),0(0cos1 pp pp pp p p (5.1.4) 三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周 期为2l函数。 2222222 00 cossin l nn l nn nn f xdxaxbx ll pp 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 Fourier展开的展开系数 .sincos)( 1 0 l xk b l xk aaxf k kk pp .sin)( 1 ,cos)( 1 p p d l k f l b d l k f l a l l k l l k k (5.1.5) 此为傅里叶系数 其中 )0(1 )0(2 k k k 内江师院学院工程技术

17、学院数学物理方法 0 1 0 1 1 2 1 () co s 1 co ssin co s 1 co s 1 co sco s 1 sinco s 111 co s1co s2 2 l k l k l kk l k k l l k l k l k k l k l k k l kk l kk k afd ll kxkxk aabd llll k ad ll kxn ad lll kxn bd lll kxkx ada llll p ppp p pp pp pp 1112 22 l l l k kk l kkk d al ada ll 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 Dirichlet定理-

18、Fourier展开收敛定 理 若 f(x)满足：(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一 类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则 ( ) ( ) 1 (0)(0) 2 f xx f xFourier f xf xx 在连续点 函数的展开 在间断点 l-l 函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收 敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致。 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 例1、 交流电压 经过半波整流后的傅立 叶级数。 tEtEwsin)( 0 解：周期为 w p2 , 0sin 0 ,0 )( 0 w p w w p tE tE -10-5510 0.2 0

19、.4 0.6 0.8 1 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 wpwp ww p w ww w p / 0 0 / 0 0 )1sin()1sin( 2 cossin 1 tdtktk E tdtktEak , 02cos 4 2sin 2 / 0 0 / 0 0 1 wp wp w p w p w t E tdt E a 1 1 1 ) 1( 1 1 1 ) 1( 2 1 )1cos( 1 )1cos( 2 )1sin()1sin( 2 11 0 / 0 0 / 0 0 kkkk E k tk k tkE tdtktk E a kk k p ww p ww p w wp wp .sinco

20、s)( 1 0 tkbtkaatE k kk ww , 2 sin 2 sin0 2 1 0 / 0 0 0 / / 0 00 p w p w w w p wp wp wp E tdtEtdtEdta 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 .2 )2(1 2 120 1 1 1 )1( 1 1 1 )1( 2 1 )1cos( 1 )1cos( 2 )1sin()1sin( 2 2 0 11 0 / 0 0 / 0 0 nk n E nk kkkk E k tk k tkE tdtktk E a kk k p p ww p ww p w wp wp , 2 0 1 E b 和0 k b 内江师

21、院学院工程技术学院数学物理方法 .2cos )2(1 12 sin 2 )( 1 2 000 n tn n E t EE tEw p w p 频谱各个频率分量的幅度 频率 0 ww2 w4w6 p 0 E 幅度 p3 2 0 E p35 2 0 E p15 2 0 E 2 0 E 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的性质， 叫在时域中的表示的性质。而频谱表示这种性质在 频域中的表示。 因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。 -10-5510 0.2 0.4 0.6 0.8 1 频 率 0 ww2 w4w6 p 0 E 幅 度 p3 2 0

22、E p35 2 0 E p15 2 0 E 2 0E 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 正弦级数和余弦级数 若函数 f(x)是奇函数，则Fourier展开成正弦级数 1 sin n n n fxbx l p 0 2 sin l n n bfd ll p 这叫作这叫作傅里叶正弦级数傅里叶正弦级数容易检验上式中的正弦级数在容易检验上式中的正弦级数在 0,xxl处为零处为零 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 同样由于对称性，其展开系数为同样由于对称性，其展开系数为 0 2 ( )cos()d l k k k x af xx ll 由于余弦级数的导数是正弦级数，所以余弦级数的导数在由于余弦级数

23、的导数是正弦级数，所以余弦级数的导数在 0,xxl处为零处为零 若函数 f(x)是偶函数，则Fourier展开成余弦级数 0 1 cos n n n fxaax l p 0 2 cos l n n afd ll p 这叫作这叫作傅里叶余弦级数傅里叶余弦级数 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 例 )(xf x 1 1 0 p p p2 )2 ,) 12(1 ) 12( ,2(1 )( pp pp mm mm xf 周期 p2 矩形波 奇函数 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 ,sin)( 1 l xk bxf k k p . 12 4 ,20 ) 1( 2 cos 2 sin)( 2 0

24、 nk k nk k k k d l k fb k l l k p p p p p p .)12sin( )12( 4 )( 0 xn n xf n p 频域中的图示由你们给出 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件, , 在整个在整个 数轴上连续数轴上连续. . ,)( 为偶函数为偶函数tu , 0 n b p p p p 0 0 )( 2 dttua t )(tu 0 p pp p2 p p p p 2 E p p p p 0 sin 2 tdtE, 4 p p E ), 2 , 1( n 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 p

25、 p p p 0 cos)( 2 ktdttuan p p p p 0 cossin 2 ktdttE p p p p 0 )1sin()1sin(dttktk E p p p p 0 1 )1cos( 1 )1cos( k tk k tkE )1( k p p 12 , 0 2, 1)2( 4 2 nk nk k E 当当 当当 ), 2 , 1( n 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 p p p p 01 cos)( 2 tdttua p p p p 0 cossin 2 tdttE, 0 )6cos 35 1 4cos 15 1 2cos 3 1 2 1 ( 4 )( ttt E t

26、u p p )( x . 14 2cos 21 2 1 2 n n nxE p p 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 有限区间中的函数的的傅里叶展开 f(x) 定义于 (0,l).可以认为它是某个周期为 2l 的函数在 半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。 则只需求出g(x)的傅里叶级数，在0,l上就代表f(x)。 且g(x+2l)=g(x) , 0)( 0)( )( xlxg lxxf xg令 0 1 ( )cossin(0) nnnn n f xg xaaxbxxlww 内江师院学院工程技术学院数学物理方法

27、1.奇延拓奇延拓)()(xfxg 0)( 00 0)( )( xlxf x lxxf xg则 x y 0 l l 的傅立叶正弦级数的傅立叶正弦级数)(xf )0(lx 1 sin)( k k kxbxf 若要求若要求 处为零，则应将处为零，则应将f(x) 延拓称为奇的周期函数。延拓称为奇的周期函数。0,xxl 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 2.偶延拓偶延拓)()(xfxg 0)( 0)( )( xlxf lxxf xg则 的傅立叶余弦级数的傅立叶余弦级数)(xf x y 0 ll )0(lx 1 0 cos 2 )( k k kxa a xf 若要求若要求 处为的导数为零，则应将处为的

28、导数为零，则应将f(x) 延拓称为偶的延拓称为偶的 周期函数。周期函数。 0,xxl 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 例例 3 3 将将函函数数)0(1)(p p xxxf分分别别展展开开成成 正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数. . 解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. . 3sin)2( 3 1 2sin 2 sin)2( 2 1 p p p p p p p p xxxx )0(p p x p p p p 0 sin)1( 2 kxdxx p p p p 0 sin)( 2 kxdxxfb n )coscos1( 2 p p p pp p p p kk k p p p p ,

29、6 , 4 , 2 2 , 5 , 3 , 1 22 k k k k 当当 当当 ,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 (2)(2)求余弦级数求余弦级数 p p p p 0 0 )1( 2 dxxa, 2 p p 5cos 5 1 3cos 3 1 (cos 4 1 2 1 22 p p p p xxxx )0(p p x p p p p 0 cos)1( 2 kxdxxak )1(cos 2 2 p p p p k k p p , 5 , 3 , 1 4 , 6 , 4 , 20 2 k k k 当当 当当 ,)(进行偶延拓进行偶延拓对对xf 内江师院学院

30、工程技术学院数学物理方法 而利用三角函数的指数形式可将级数表示为: cos,sin: 22 i xi xi xi x eeee xxi wwww ww 由得 0 1 0 1 ( ) 22 22 nnnn nn ixixixix nn n ixix nnnn n eeee f xaaib aibaib aee wwww ww 0 1 cossin nnnn n fxaaxbxww 复数形式的Fourier积分 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 00 0 1 ,1,2,3, 2 ,1,2,3, 2 ( ) nnn nn n nn n ixixix Tnnn nn aib cacn aib cn

31、 fxcc ec ec e www 令 2 2 00 1 ( )d 2 T T caf tt T 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1( )cosd 2 1 ( )sind 1 ( )cossind 1 ( )d T T T T T T T n T nn nn n nn it aib ncf ttt T if ttt T f ttitt T f t et T w w w ww 当时 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 ( )(0, 1, 2,) ( ) 1 ( )d T n T T n T n T nn T

32、it nn nn it n it n n iit n aib ccf t edt T cf t edtn T f tc e fee T w w w w w 因此可以合写成一个式子 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 * ( ) 1 ( )(0, 1, 2,) 2 n l n l ix Tn n i n fxc e cfedn l w w 复形式的Fourier级数 n l p w 上式上式(5.1.13)的的物理意义物理意义为一个周期为为一个周期为2l 的函数的函数 ( )f x 可以分解可以分解 为频率为为频率为 n l ，复振幅为，复振幅为 n c的复简谐波的叠加的复简谐波的叠加 n l

33、 称为谱点，称为谱点， 所有谱点的集合称为谱对于周期函数所有谱点的集合称为谱对于周期函数 ( )f x 而言，谱是离散的而言，谱是离散的 基本函数族 n x l n i e p 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 tusin 4 p p )3sin 3 1 (sin 4 ttu p p 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 tttu p p )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 ttttu p p 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 )9sin 9 1 7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1

34、(sin 4 tttttu p p )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 )( tttttu p p )0,( p p p p tt 由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看 作是许多不同频率的简谐函数的叠加作是许多不同频率的简谐函数的叠加 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 ).12( ) 12( 2 )2(0 1) 1() 1(1 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 0 0 0 0 nk ni nk ik e ik e ik dededefc kkikxikx ikx

35、ikxikx k p ppp p p p p p p p p p , 12 12 )( )12( n xni e ni xf p 例 矩形波 )2 ,) 12(1 ) 12( ,2(1 )( pp pp mm mm xf,)( k ikx ke cxf 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 第二节Fourier积分与Fourier变换 无限区域上的Fourier展开 0 1 ( )(cossin) nnnn n g xaatbtww 在l 的极限形式就为所求的非周期函数f(x)的Fourier展开式 可做近似，假设非周期函数f(x)可看作是 对非周期函数 f(x),x ，一般是不能展 时的极限

36、，则g(x)的 2l 为Fourier级数。 某个周期函数g(x)于周期 Fourier级数展开式 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 0 1 cossin nnnnn n n g xaaxbx l p www l l df l a 2 1 0 1 cos l nn l afd l w 1 sin l nn l bfd l w 0 1 limlim0 2 l lll afd l 1 1 1 limcoscos 1 limcoscos l nn ll n l nnn ll n fdx l fdx w w w ww p 由 系数代入展式，取 l 的极限 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 ,0

37、 n l l p w 间断求和成为连续性求和（积分） 1 0 1 limcoscos 1 coscos l nnn ll n fdx fdxd w ww p w ww p 同理，正弦部分 1 0 1 limsinsin 1 sinsin l nnn ll n fdx fdxd w ww p w ww p 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 1、实形式的Fourier积分与Fourier变换 w p w w p w dfB dfA )sin()( 1 )( )cos()( 1 )( 其中 wwwwwwdxBdxAxf 00 )sin()()cos()()( 非周期函数 f(x)的Fourier

38、积分表达式 A()被称为Fourier余弦变换 B()被称为Fourier正弦变换 实形式的Fourier变换 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 nFourier积分定理 若 f(x)在R上满足： (1) 在任一有限区域上满足Dirichlet条件； (2) 在 R上绝对可积， 则f(x) 可以表示为Fourier积分，且结果为 0 )sin()()cos()()0()0( 2 1 dxxBxAxfxfwwww w p w w p w dfB dfA )sin()( 1 )( )cos()( 1 )( 其中 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 wwwwwwdxBdxAxf 00 )sin

39、()()cos()()( 1 2 22 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) CAB tgBA www j www 其中 函数 f(x)的Fourier积分表达式 0 ( )( )cos( )f xCxdwwj ww 振幅谱 相位谱 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 00 0 ( )( )cosd( )sind, 1 ( )d0 1 ( )d 2 ( ) ( )cos ( si )si d n n f f f tAtBt A B f w wwwwww w w p w p p w 奇函数 偶函数 当f(t)为奇函数，则有 这叫作这叫作傅里叶正弦积分傅里叶正弦积分容易检验上式中的正

40、弦级数在容易检验上式中的正弦级数在 0 x 处，处，f(x)=0为零为零 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 00 0 ( )() cosd() sind, 1 ()d 2 d 1 () () cos () cos () sind0 f tAB B f Af tt f w wwwwww w p p w w w p 偶函数 奇函数 当f(t)为偶函数 这叫作这叫作傅里叶余弦积分傅里叶余弦积分容易检验上式中的正弦级数在容易检验上式中的正弦级数在 0 x 处处 ()0fx 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 对称形式的Fourier（正弦、余弦）积分表达式 0 0 2 ( )( )cosd 2

41、(cos( )d) f tAt Af www p w p w 傅里叶余弦变换 0 0 2 ( )( )sind 2 sin( )d) f tBt Bf www p w p w 傅里叶正弦变换 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 例1 矩形函数的定义为 12 12 1, | | rect ( ) 0, | | x x x 求矩形脉冲 f(x) = hrect(x/2T)的傅立叶积分。 解：f (x) 为偶函数，则其傅立叶积分为 0 ( )( )cosf xAtdwww 00 0 22 ( )( )cos(2 )cos 22 sin cos AfdhrectTd ht hd ww w pp w

42、w ppw 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 例2 由2N个(N是正整数)正弦波组成的有限正弦波列 00 0 sin, | | 2 f(t) 0,| | 2 AttN xN wp w p w 试将它展为傅立叶积分。 解：f (t) 为奇函数，则其傅立叶积分为 0 ( )( )sinf xBtdwww 0 0 2 0 00 2 00 0 0 22 00 22 ( )( )sinsinsin cos()cos() 2 sin(2) () N N Bf ttdtAttdt A tt dt A N p w p w wwww pp wwww p ww p p www 内江师院学院工程技术学院数学物理

43、方法 2、复数形式的傅里叶积分 .)( )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 2 )( 2 )( sin)(cos)()( 0 0 00 00 00 ww wwwwww wwwwww wwww wwwwww w ww ww wwww deF deiBAdeiBA deiBAdeiBA d i ee Bd ee A xdBxdAxf xi xixi xixi xixixixi )0().()( 2 1 )0(),()( 2 1 )( www www w iBA iBA FdxexfF xi * )( 2 1 )( w p w )(xf原函数 像函数)(wF 内江

44、师院学院工程技术学院数学物理方法 表示为 F 原函数到像函数 的傅里叶正变换 1 F 像函数到原函数的 傅里叶反变换 例同前例 . sin 22 )2/( 2 1 )( w w pwpp p ww w Th e i h dte h dteTtrecthxf T T ti T T ti ti F * 1 ( )F ( )( ) 2 ix Ff xf x edx w w w w p p 1 ( )F ( )( ) ix f xFFed w w wwwwww 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 复形式形式的对称Fourier积分与Fourier变换 ww w deFxf xi )()( 1 ( )

45、( ) 2 i Ffed w w p F()被称为Fourier变换的像函数 f(x)称为Fourier变换的原函数 11 ( )( )( )( ) 22 i xi f xFedFfed ww www pp 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 傅立叶变换的意义 数学意义 从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射； f(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F()称为象函数。 应用意义 把任意函数分解为简单周期函数之和，F()的自变量为频率， 函数值为对应的振幅。 物理意义 把一般运动分解为简谐运动的叠加； 把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。 物理实现 分解方法：棱镜

46、光谱仪、光栅光谱仪； 记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 例3 求矩形脉冲 f(x) = hrect(x/2T)的复数傅立叶变换。 dttfeF ti )( 2 1 )( w p w wp w p w Th hdte ti T T sin 2 1 代入傅立叶积分公式，得 w wp w w de Th tf ti sin )( 解：由 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 证明： ).()()()( )()( 2 1 )( 2 1 )( www p p ww ww w Fidxexfidxexf dxexfexf dxe dx xdf

47、xf xixi xixi xi F 0)(lim xf x 3、 傅里叶变换的基本性质 (1) 导数定理导数定理)()( wwFixfF # 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 (2) 积分定理积分定理 )( 1 )( )( w w F i dxxf x F )()( )( xdxxf x j 记 )()( xfx j )()( xixjwjFF )( 1 )(x i xj w jFF 则 由导数定理 即 # 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 (3) 相似性定理相似性定理 )( 1 )( a F a axf w F 通常将变换 f(x) f(ax) 称为相似变换，它将测量 的尺子的单位改

48、变为原来单位的1/a，相应地，测 量的长度值变为原值的 a 倍，而保持函数的形式不 变。有时也叫尺度变换。 ).( 1 )( 2 1 1 1 )( 2 1 )( 2 1 )( a F a dyeyf a dy a eyfdxeaxfaxf a y i a y i axy xi w p pp w w w F # 证明 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 (4) 延迟定理延迟定理 )()( 0 0 w w Fexxf xi F x 看作时间，记时由 x 到 x-x0 表示提前了 x0。记作“延迟”是习惯说法。 证明 ).()( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 00 0 0 00 w p

49、 pp www www Fedyeyfe dyeyfdxexxfxxf xiyixi xiyi xxy xi F 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 )()( 0 0 ww w Fxfe xi F 证明 ).()( 2 1 )( 0 )( 00 ww p www Fdxexfxfe xixi F# (5) 位移定理位移定理频域的位移 (6) 卷积定理卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系 )()( 11 wFxfF)()( 22 wFxfF若和 则)()(2)()( 2121 wwpFFxfxfF 卷积： dxffxfxf)()()()( 2121 内江师院学院工程技术学院数学物理方法

50、 证明 ).()(2)( 2 1 )( 2 1 2 )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2121 21 2121 wwp p p p p p ww ww w FFdyyfedef ddyyfeef dxedxffxfxf yii yii xy xi F # 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 Fourier变换的性质 性质1（导数性质）( )( )fxi Fww 性质2（积分性质） 1 ( )( ) x f x dxF i w w 性质4（延迟性质） 0 ()( ) i x f xxeF w w 性质3（相似性质） 1 ()f axF aa w 性质5（位移性质） 0 ( )()

51、ix ef xF w ww 性质6（卷积性质） 1212 ( )( )2( )( )f xfxFFpww 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 典型例题 解解 所给函数是奇函数所给函数是奇函数, ,其其Fourier变换为变换为 . |, 0 | ,sin 2d 1 sinsin , , |, 0 |,sin )(1 0 2 p p p p p p w w w w w wwpwp p p p p t ttt Fourier t tt tf 并证明并证明变换变换 的的计算函数计算函数例例 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 tetftfF ti d)()()( w w w wF p p w w

52、 w w 0 0 dsinsin2 dsin)(2 ttti tttfi . 1 sin2 2 w w w wp p i 再由再由Fourier积分公式得积分公式得 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 w ww w p p w w d)( 2 1 )( ti eFtf w ww ww w p p tdsin)( 0 F i w w w w w ww wp p p p d 1 sinsin2 0 2 t . |, 0 | ,sin 2d 1 sinsin 0 2 p p p p p p w w w w w wwpwp t ttt 即即 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 解解 所给函数是偶函

53、数所给函数是偶函数, ,其其Fourier变换为变换为 tetftfF ti d)()()( w w w wF ttee tit dcos |w w te ee e ti itit t d 2 |w w .cos 2 dcos 4 2 ,cos)(2 | 0 4 2 | tet Fouriertetf t t p p w ww w w w w w 并证明并证明变换变换的的计算函数计算函数例例 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 0 )1( 0 )1( 0 )1( 0 )1( dd dd 2 1 tete tete iiii iiii w ww w w ww w | | 0 )1( 0 )1(

54、 0 )1( 0 )1( 11 112 1 w ww w w ww w w ww w w ww w ii e ii e ii e ii e tiitii tiitii 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 ii iiii )1(1 1 )1(1 1 1 1 1 1 2 1 w ww w w ww w . 4 42 4 2 w w w w w ww w p p w w d)( 2 1 )( ti eFtf 再由再由Fourier积分公式得积分公式得 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 w ww ww w p p tdcos)( 1 0 F .tdcos 4 421 0 4 2 w ww w w

55、 w w w p p .cos 2 dcos 4 2 | 0 2 2 tet t p p w ww w w w w w 即即 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 解解 法一法一 , 1 )( w w i etu t F F由由 利用位移性质利用位移性质 ,)( 2 1 )( 2 1 sin)( 00 0 tittit t eetu i eetu i tetu w w w w w w F FF F F F . sin)()(4 0 变换变换 的的计算函数计算函数例例Fouriertettutf t w w 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 , )( 22 0 0 w w w w w w i

56、 再由微分性质再由微分性质 22 0 0 0 )(d d sin)( w w w w w w w w w w i itettu t F F 222 0 0 )(2 ）（w w w w w w w w i i )( 1 2 1 )( 1 2 1 00 w ww w w ww w iiii 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 法二法二 2 )( 1 )( d d )( w w w w w w i Fiettu t F F 2 0 2 0 )( 1 2 1 )( 1 2 1 w ww w w ww w iiii 222 0 0 )(2 ）（w w w w w w w w i i ,)( 2 1 )

57、( 2 1 sin)( 00 0 tittit t eettu i eettu i tettu w w w w w w FF F,由位移性质由位移性质 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 2 )( 1 )( w w i ettu t F F )(*)( 2 1 )()( 2121 w ww w p p FFtftf F F 所以由卷积公式所以由卷积公式 . sin)()(5 0 变换变换 的的计算函数计算函数例例 Fourier tettutf t w w 及及 由由解解)()(sin 000 w ww w w ww w p pw w i tF 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 2 0

58、2 0 1 *)( 1 *)( 2）（）（w w w ww w w w w ww w ii i 2 0 2 0 )( 1 )( 1 2w ww w w ww w ii i 222 0 0 )(2 ）（w w w w w w w w i i 2 00 )( 1 *)()( 2 1 )( w w w ww w w ww w p p p pi itfF 得得 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 ).( ),0( |, 1 | , 0 )( )(6 tf F Fouriertf 求求 变变换换为为的的已已知知函函数数例例 w w w w w w 解解w ww w p p w w w w d)( 2

59、1 )()( 1ti eFFtf F w w p p w w d 2 1 ti e ). sin ( sin t t t t p p p p 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 . , )()(.)0( ,0),()(, sin )( 波波中中发发挥挥了了重重要要作作用用间间信信号号恢恢复复以以及及信信号号滤滤 、离离散散时时它它在在连连续续时时间间的的离离散散化化抽抽样样信信号号 称称为为或或者者信信号号定定义义 时时当当则则记记 tSatSaf ttSatf t t tSa p p p p p p t )(tf p p p p2 p p p p p p2 内江师院学院工程技术学院数学物理

60、方法 ).0( 1 d )( )( 7 2222 ba btat y 求求解解积积分分方方程程例例 解解 满满足足的的方方程程为为 由由卷卷积积定定理理可可得得像像函函数数并并记记 变变换换对对方方程程两两边边取取即即 的的卷卷积积与与方方程程两两边边是是未未知知函函数数 )( ).()( ,. 1 *)( , 1 )( 22 22 w w w w Y Yty Fourier at ty at ty F . 1 1 *)( 2222 btat ty FF 内江师院学院工程技术学院数学物理方法 . 1 1 )( 2222 btat Y FFw w . 1 1 )( 22 22 at bt Y F