概率论与数理统计五章讲解

1、信息与计算科学系信息与计算科学系 第五章：大数定律和中心极限定理第五章：大数定律和中心极限定理 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 人们在长期的实践中发现，事件发生的频率具有稳定人们在长期的实践中发现，事件发生的频率具有稳定 性，也就是说随着试验次数的增多，事件发生的频率将性，也就是说随着试验次数的增多，事件发生的频率将 稳定在一个确定的常数，即概率值附近稳定在一个确定的常数，即概率值附近 频率的稳定性是概率定义的客观基础，在第一章中我们频率的稳定性是概率定义的客观基础，在第一章中我们 从直观上描述了这一事实。从直观上描述了这一事实。 本章将用大数定律对频率的稳定性作出

2、理论上的说明本章将用大数定律对频率的稳定性作出理论上的说明 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 另外，在前面，我们还看到相互独立的正态随机变量的另外，在前面，我们还看到相互独立的正态随机变量的 和仍是正态随机变量。和仍是正态随机变量。 本章将要介绍的中心极限定理将给出概率论中的另一个本章将要介绍的中心极限定理将给出概率论中的另一个 重要结果重要结果:在相当一般的条件下，充分多个相互独立的非在相当一般的条件下，充分多个相互独立的非 正态随机变量（不管它们的分布如何）的和近似服从正正态随机变量（不管它们的分布如何）的和近似服从正 态分布这一事实更说明了正态分布的重要性态分布

3、这一事实更说明了正态分布的重要性 大数定律大数定律和和中心极限定理中心极限定理无论在应用上还是理论上都具无论在应用上还是理论上都具 有极其重要的作用有极其重要的作用 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 l【吸烟率调查问题】【吸烟率调查问题】 某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，将被调，将被调 查的成年男子中吸烟的频率作为查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在要保证有的估计，现在要保证有 90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市 成年男子的吸烟率成年男子的吸烟率p之间的差

4、异不大于之间的差异不大于5%，问至少要调，问至少要调 查多少对象？查多少对象？ 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 l主要内容主要内容 一一 大数定律大数定律 二二 中心极限定理中心极限定理 第五章：总结第五章：总结 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 对某个随机变量对某个随机变量X进行大量的重复观测，所得到的大批进行大量的重复观测，所得到的大批 观测数据的算术平均值也具有稳定性观测数据的算术平均值也具有稳定性. 由于这类稳定性都是在对随机变量进行大量重复试验的由于这类稳定性都是在对随机变量进行大量重复试验的 条件下呈现出来的，历史上把这种试验次数很大时出现条件下呈

5、现出来的，历史上把这种试验次数很大时出现 的规律统称为的规律统称为大数定律大数定律 首先来引进证明大数定律所需要的预备知识首先来引进证明大数定律所需要的预备知识契比谢契比谢 夫夫（Chebyshev）不等式不等式 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 【定理【定理5.1】 设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望E(X)及方差及方差D(X) 都存在，则对于任意正数都存在，则对于任意正数 ，有不等式，有不等式 (5.1) 即即 (5.2) 成立称上述不等式为契比谢夫成立称上述不等式为契比谢夫(Chebyshev)不等式不等式 此定理进一步说明方差是一个反映随机变量在其分布中此定理进一步说明方

6、差是一个反映随机变量在其分布中 心心E(X)附近集中程度的数量指标附近集中程度的数量指标 利用契比谢夫不等式，我们可以在随机变量利用契比谢夫不等式，我们可以在随机变量X的分布未的分布未 知的情况下估算概率值的界限知的情况下估算概率值的界限 2 )( | )(| XD XEXP 2 )( 1| )(| XD XEXP . 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 【例【例5-1】若某班某次考试的平均分为】若某班某次考试的平均分为80分，标准差为分，标准差为10， 试估计及格率至少为多少？试估计及格率至少为多少？ 解：解：用随机变量用随机变量X表示学生成绩，则数学期望表示学生成绩，则数学期望E(X)

7、 = 80， 方差方差D(X) = 100，所以，所以 P60 X 100 P60 X 100 = P|X 80| 20 所以及格率至少为所以及格率至少为75% %7575. 0 )20( 100 1 2 2 )( 1| )(| XD XEXP 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 【例【例5-2】已知】已知n重伯努利试验中参数重伯努利试验中参数p = 0.75，问至少应，问至少应 做多少次试验，才能使试验成功的频率在做多少次试验，才能使试验成功的频率在0.74和和0.76之之 间的概率不低于间的概率不低于0.90？ 解解:设需做设需做n次试验次试验,其中成功的次数为其中成功的次数为X,则则

8、XB(n，p)， E(X) = np，D(X) = np(1 p)。 因为因为 根据契比谢夫不等式应有根据契比谢夫不等式应有 76. 074. 0 n X P01. 0|75. 0| n X P 2 2 01. 0 )1( 1 1 pnp n 2 01. 0 )( 176. 074. 0 n X D n X P 2 )( 1| )(| XD XEXP 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 【例【例5-2】已知】已知n重伯努利试验中参数重伯努利试验中参数p = 0.75，问至少应，问至少应 做多少次试验，才能使试验成功的频率在做多少次试验，才能使试验成功的频率在0.74和和0.76之之 间的概

9、率不低于间的概率不低于0.90？ 解解:设需做设需做n次试验次试验,其中成功的次数为其中成功的次数为X,则则XB(n，p)， E(X) = np，D(X) = np(1 p)。 根据契比谢夫不等式应有根据契比谢夫不等式应有 令令 解得解得 2 2 01. 0 )1( 1 1 pnp n 2 01. 0 )( 176. 074. 0 n X D n X P 90. 0 01. 0 )1( 1 1 2 2 pnp n 2 01. 01 . 0 )1( pp n18750 01. 01 . 0 25. 075. 0 2 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 【定义【定义5.1】 设设X1，X2，X

10、n是一随机变量序列，是一随机变量序列，a 是一常数，若对任意正数是一常数，若对任意正数 ，有，有 则称序列则称序列X1，X2，Xn，依概率收敛依概率收敛于于a，记为，记为 注：若注：若 当当n充分大时，充分大时， Xn 以很大的可能以很大的可能 性接近于性接近于a，这种接近是这种接近是“概率意义下的接近概率意义下的接近”，与微积，与微积 分中数列收敛中的分中数列收敛中的“接近接近”不同不同 1|lim aXP n n )( naX P n ),( naX P n 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 【定理【定理5.2】（契比谢夫大数定律）设（契比谢夫大数定律）设X1, X2, , Xn 是

11、相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数 学期望学期望E(Xi) = 及方差及方差D(Xi) = 2(i = 1, 2,)， 则则 依概率收敛于依概率收敛于 ，即对于任意正数，即对于任意正数 ，有，有 即即 (5.3) 证：证： n i i X n 1 1 1 1 lim 1 n i i n X n P )( 1 1 nX n P n i i n i i X n E 1 ) 1 ( n i i X n D 1 ) 1 ( n i i XE n 1 )( 1 n n 1 n i i XD n 1 2 )( 1 22 2 11 n n n 5.

12、1 5.1 大大 数数 定定 律律 【定理【定理5.2】（契比谢夫大数定律）设（契比谢夫大数定律）设X1, X2, , Xn 是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数 学期望学期望E(Xi) = 及方差及方差D(Xi) = 2(i = 1, 2,)， 则则 依概率收敛于依概率收敛于 ，即对于任意正数，即对于任意正数 ，有，有 即即 (5.3) 证：证：对对 运用运用Chebyshev不等式不等式 | 1 | 1 n i i X n P . / 1 2 2 n n X n D X n E n i i n i i 2 1 1 ) 1 ( ,)

13、 1 ( 2 )( 1| )(| XD XEXP n i i X n 1 1 n i i X n 1 1 1 1 lim 1 n i i n X n P )( 1 1 nX n P n i i 1 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 定理定理5.2表明，当表明，当n充分大时，随机变量序列的算术平均充分大时，随机变量序列的算术平均 值接近于数学期望值接近于数学期望E(Xk) = ，这种接近是概率意义下的，这种接近是概率意义下的 接近通俗地说，在定理条件下，接近通俗地说，在定理条件下，n个相互独立同分布随个相互独立同分布随 机变量的算术平均值，当机变量的算术平均值，当n无限增大时，几乎变成了一

14、常无限增大时，几乎变成了一常 数数 这一定理从理论上说明了大量观测值的算术平均具有稳这一定理从理论上说明了大量观测值的算术平均具有稳 定性，为实际应用提供了理论依据例如，在进行精密定性，为实际应用提供了理论依据例如，在进行精密 测量时，人们为了提高测量的精度，往往要进行若干次测量时，人们为了提高测量的精度，往往要进行若干次 重复测量，然后取测量结果的算术平均值重复测量，然后取测量结果的算术平均值 1 1 lim 1 n i i n X n P 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 【定理【定理5.3】（伯努利大数定律）设（伯努利大数定律）设nA是是n重伯努利试验重伯努利试验 中事件中事件A发

15、生的次数，发生的次数，p是事件是事件A在每次试验中发生的概在每次试验中发生的概 率，则对于任意正数率，则对于任意正数 ，有，有 即即 (5.4) 证：证：引入随机变量引入随机变量Xi（i = 1，2，）：）： 则则 1lim p n n P A n )( np n n PA 不发生不发生次试验中次试验中第第 发生发生次试验中次试验中第第 Ai Ai X i , 0 , 1 ),( 21 pnBXXXn nA 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 【定理【定理5.3】（伯努利大数定律）设（伯努利大数定律）设nA是是n重伯努利试验重伯努利试验 中事件中事件A发生的次数，发生的次数，p是事件是事件

16、A在每次试验中发生的概在每次试验中发生的概 率，则对于任意正数率，则对于任意正数 ，有，有 证：证：其中其中Xi相互独立且均服从参数为相互独立且均服从参数为p的的0-1分布，即分布，即 且有且有E(Xi) = p，D(Xi) = p(1 p)，i = 1，2，n 由定理由定理5.2得到得到 1lim p n n P A n nipXPpXP ii ,.,2 , 1,10,1 1 1 lim 1 pX n P n i i n 1 1 lim 1 n i i n X n P 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 【定理【定理5.3】（伯努利大数定律）设（伯努利大数定律）设nA是是n重伯努利试验重

17、伯努利试验 中事件中事件A发生的次数，发生的次数，p是事件是事件A在每次试验中发生的概在每次试验中发生的概 率，则对于任意正数率，则对于任意正数 ，有，有 即即 (5.4) 证：证： 由定理由定理5.2得得 即即 1lim p n n P A n )( np n n PA 1 1 lim 1 pX n P n i i n ),( 21 pnBXXXn nA 1lim p n n P A n 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 伯努利大数定律表明事件伯努利大数定律表明事件A发生的频率发生的频率nA/n依概率收敛依概率收敛 于事件于事件A发生的概率发生的概率p 这也正是在大量重复独立试验中，频

18、率这也正是在大量重复独立试验中，频率nA/n接近于概率接近于概率 p的真正含义，也就是我们所说的频率稳定性的真正含的真正含义，也就是我们所说的频率稳定性的真正含 义义 所以当试验次数很大时，就可以利用事件发生的频率来所以当试验次数很大时，就可以利用事件发生的频率来 近似地代替事件发生的概率近似地代替事件发生的概率 1lim p n n P A n 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 【定理【定理5.4】（辛钦大数定律）设（辛钦大数定律）设X1，X2，Xn，是是 相互独立，服从同一的分布的随机变量序列，且具有数相互独立，服从同一的分布的随机变量序列，且具有数 学期望学期望E(Xi) = (i

19、 = 1，2，)，则，则 依概率收敛于依概率收敛于 ，即，即 (5.5) 辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望E(X)的近似值的近似值 的方法的方法 辛钦大数定律是数理统计部分中点估计理论的重要依据辛钦大数定律是数理统计部分中点估计理论的重要依据 n i i X n 1 1 )( 1 1 nX n p n i i 5.1 5.1 大大 数数 定定 律律 【例【例5-3】设随机变量】设随机变量X1，X2，Xn独立同分布，且独立同分布，且 存在，存在， 令令 则则 证：证：因为因为X1，X2，Xn独立同分布，所以独立同分布，所以 独立同分布。独立同分布。 又又

20、存在，由辛钦大数定律存在，由辛钦大数定律 ), 2 , 1(, 1 )( 1 kX n nA n i k ik )( , nA k P k k n kk XXX,., 21 k k i XE )( k P n i k ik X n A 1 1 ), 2 , 1()(niXE k k i 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 大数定律讨论的是多个随机变量的算术平均的渐近性大数定律讨论的是多个随机变量的算术平均的渐近性 质现在我们来讨论独立随机变量和的极限分布先给质现在我们来讨论独立随机变量和的极限分布先给 出一个例子出一个例子 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 【例【例5-4】误差分

21、析是人们经常遇到且感兴趣的随机变量，】误差分析是人们经常遇到且感兴趣的随机变量， 大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的 随机因素叠加而成的现在考虑一位操作工在机床上加随机因素叠加而成的现在考虑一位操作工在机床上加 工机械轴，要求其直径应符合规定要求，但加工后的机工机械轴，要求其直径应符合规定要求，但加工后的机 械轴与规定要求总会有一定误差，这是因为在加工时受械轴与规定要求总会有一定误差，这是因为在加工时受 到一些随机因素的影响，它们是：到一些随机因素的影响，它们是： (1) 在机床方面有机床振动与转速的影响；在机床方面有机床振动与转速

22、的影响； (2) 在刀具方面有装配与磨损的影响；在刀具方面有装配与磨损的影响； (3) 在材料方面有钢材的成分、产地的影响；在材料方面有钢材的成分、产地的影响； (4)在操作者方面有注意力集中程度、当天的情绪的影响在操作者方面有注意力集中程度、当天的情绪的影响 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 【例【例5-4】误差分析是人们经常遇到且感兴趣的随机变量，】误差分析是人们经常遇到且感兴趣的随机变量， 大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的 随机因素叠加而成的现在考虑一位操作工在机床上加随机因素叠加而成的现在考虑一位操作工在机床上加

23、工机械轴，要求其直径应符合规定要求，但加工后的机工机械轴，要求其直径应符合规定要求，但加工后的机 械轴与规定要求总会有一定误差，这是因为在加工时受械轴与规定要求总会有一定误差，这是因为在加工时受 到一些随机因素的影响，它们是：到一些随机因素的影响，它们是： (1) 在机床方面有机床振动与转速的影响；在机床方面有机床振动与转速的影响； (5) 在测量方面有度量工具误差、测量技术的影响；在测量方面有度量工具误差、测量技术的影响； (6) 在环境方面有车间温度、湿度、照明、工作电压的影在环境方面有车间温度、湿度、照明、工作电压的影 响；响； (7) 在具体场合还可列出许多其他影响因素在具体场合还可列

24、出许多其他影响因素 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 由于这些因素很多，每个因素对加工精度的影响都是很由于这些因素很多，每个因素对加工精度的影响都是很 微小的，而且每个因素的出现又都是人们无法控制的、微小的，而且每个因素的出现又都是人们无法控制的、 随机的、时有时无、时正时负的随机的、时有时无、时正时负的 这些因素的综合影响最终使每个机械轴的直径产生误差，这些因素的综合影响最终使每个机械轴的直径产生误差， 若将这个误差记为若将这个误差记为Yn，那么，那么Yn是随机变量，且可以将是随机变量，且可以将Yn看看 作很多微小的随机波动作很多微小的随机波动X1，X2，Xn之和，即之和，即 Yn

25、= X1 + X2 + Xn 这里这里n是很大的，那么我们关心的是，当时是很大的，那么我们关心的是，当时n时时，Yn的的 分布是什么？分布是什么？ 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 由于这些因素很多，每个因素对加工精度的影响都是很由于这些因素很多，每个因素对加工精度的影响都是很 微小的，而且每个因素的出现又都是人们无法控制的、微小的，而且每个因素的出现又都是人们无法控制的、 随机的、时有时无、时正时负的随机的、时有时无、时正时负的 Yn = X1 + X2 + Xn 这里这里n是很大的，那么我们关心的是，当时是很大的，那么我们关心的是，当时n时时，Yn的的 分布是什么？分布是什么？ 当

26、然，我们可以考虑用卷积公式去计算当然，我们可以考虑用卷积公式去计算Yn的分布，但这的分布，但这 样的计算是相当复杂的、不现实的，而且也是不易实现样的计算是相当复杂的、不现实的，而且也是不易实现 的有时即使能写出的有时即使能写出Yn的分布，但由于其形式复杂而无的分布，但由于其形式复杂而无 法使用法使用 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l5.2.1 5.2.1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 【定理【定理5.5】（独立同分布的中心极限定理）设（独立同分布的中心极限定理）设X1， X2，Xn，为相互独立、服从同一分布的随机变量为相互独立、服从同一分布的随机变量 序列，且序

27、列，且E(Xi) = ，D(Xi) = 2 0（i = 1，2，），则），则 对于任意对于任意x，有，有 (5.6) 记记 记记 为为Yn的分布函数，则的分布函数，则 )( 2 1 lim 21 2 xdtex n nX P x t n i i n , 1 n nX Y n i i n )(xF n Y )()(limxxF n Y n 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l5.2.1 5.2.1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 推论推论1：当：当n充分大时充分大时, 或或 推论推论2：当：当n充分大时充分大时 或或 其中，其中， )1, 0( 1 N n nX Y n

28、 i i n 近似近似 ),( 2 1 nnNX n i i 近近似似 )1 , 0( N n X 近似近似 ),( 2 n NX 近似近似 n i i X n X 1 1 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l5.2.1 5.2.1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 【例【例5-5】用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望】用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望 值为值为100克，标准差为克，标准差为10克，一箱内装克，一箱内装200袋味精，求一袋味精，求一 箱味精净重大于箱味精净重大于20400克的概率克的概率 解：解：设箱中第设箱中第i袋味精的净重为袋味精的净重为

29、Xi克克, X1, X2, Xn是是200个个 相互独立同分布的随机变量，且相互独立同分布的随机变量，且 由中心极限定理由中心极限定理 即即 ,100)(,100)( ii XDXE200, 2 , 1 i )100200,100200( 200 1 NX i i 近近似似 )20000,20000( 200 1 NX i i 近似近似 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l5.2.1 5.2.1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 【例【例5-5】用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望】用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望 值为值为100克，标准差为克，标准差为10

30、克，一箱内装克，一箱内装200袋味精，求一袋味精，求一 箱味精净重大于箱味精净重大于20400克的概率克的概率 解：解：由中心极限定理由中心极限定理 所以，所以， 20400120400 200 1 200 1 i i i i XPXP 20000 2000020400 20000 20000 1 200 1i i X P 0023. 09977. 01 )20000,20000( 200 1 NX i i 近似近似 )83. 2(1 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l5.2.2 5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似 现在将定理现在将定理5.5应用于服从应用于服从0-1分

31、布的随机变量，即分布的随机变量，即 设设X1，X2，Xn，相互独立，且都服从参数为的相互独立，且都服从参数为的0-1 分布：分布： PX = k = pk(1 p)1- k，k = 0，1 此时此时EXi=p, DXi=p(1-p), i=1,2， 又记又记 则则 nB(n，p)此时定理此时定理5.5的结论可写成的结论可写成 于是，有下述定理：于是，有下述定理： , 1 n i in X )( 2 1 )1( lim 2 2 xdtex ppn np P x t n n 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l5.2.2 5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似 【定理【定理5.6

32、】（棣莫弗（棣莫弗拉普拉斯定理）拉普拉斯定理） 设设 n（n = 1，2，）服从参数为）服从参数为n，p（0 p 1）的二）的二 项分布，则对于任意实数项分布，则对于任意实数x，有，有 (5.9) 这个定理表明，当这个定理表明，当n充分大时，服从二项分布的随机变充分大时，服从二项分布的随机变 量量 n的标准化变量近似服从标准正态分布即有的标准化变量近似服从标准正态分布即有 即即 )( 2 1 )1( lim 2 2 xdtex pnp np P x t n n )1 , 0( )1( N pnp np n 近近似似 )1(,(pnpnpN n 近近似似 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理

33、 l5.2.2 5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似 【例【例5-6】设电路供电网内有】设电路供电网内有10000盏相同的灯，夜间每盏相同的灯，夜间每 一盏灯开着的概率为一盏灯开着的概率为0.8，假设各灯的开关彼此独立，计，假设各灯的开关彼此独立，计 算同时开着的灯数在算同时开着的灯数在7800与与8200之间的概率之间的概率 解：解：记同时开着的灯数为记同时开着的灯数为X，它服从二项分布，它服从二项分布 B(10000，0.8)，于是由棣莫弗，于是由棣莫弗-拉普拉斯定理，有拉普拉斯定理，有 82007800 XP 11)5(21) 4 . 0 2 (2 ) 2 . 08 . 01

34、0000 80007800 () 2 . 08 . 010000 80008200 ( 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l5.2.2 5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似 【例【例5-7】某单位内部有】某单位内部有260部电话分机，每个分机有部电话分机，每个分机有4% 的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的 外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95% 的概率满足每个分机在用外线时不用等候的概率满足每个分机在用外线时不用等候? 解：解：设设 表示同时使用外线的分机数

35、表示同时使用外线的分机数, 则则 B(260，p)， 其中其中p = 0.04根据题意应确定最小的根据题意应确定最小的x使使 成立由棣莫弗成立由棣莫弗拉普拉斯定理，有拉普拉斯定理，有 %95 xP )1(260 260 )1(260 260 pp px pp p PxP ) )1(260 260 ( pp px 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l5.2.2 5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似 【例【例5-7】某单位内部有】某单位内部有260部电话分机，每个分机有部电话分机，每个分机有4% 的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的的时间要与外线通话，可以认为每个电

36、话分机用不同的 外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95% 的概率满足每个分机在用外线时不用等候的概率满足每个分机在用外线时不用等候? 解：解：应确定最小的应确定最小的x使使 令令 查得查得 %95 xP )1(260 260 )1(260 260 pp px pp p PxP ) )1(260 260 ( pp px %,95) )1(260 260 ( pp px 95. 09505. 0)65. 1( 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l5.2.2 5.2.2 二项分布的正态近似二项分布的正态近似 【例【例5-7】某单位内部有】

37、某单位内部有260部电话分机，每个分机有部电话分机，每个分机有4% 的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的 外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95% 的概率满足每个分机在用外线时不用等候的概率满足每个分机在用外线时不用等候? 解：解：应确定最小的应确定最小的x使使 令令 查得查得 故取故取 于是于是 %95 xP %,95) )1(260 260 ( pp px 95. 09505. 0)65. 1( 65. 1 )1(260 260 pp px pppx260)1(26065. 1

38、 61.1504. 026096. 004. 026065. 1 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l【吸烟率调查问题解答】【吸烟率调查问题解答】 某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，将被，将被 调查的成年男子中吸烟的频率作为调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在要保证的估计，现在要保证 有有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城 市成年男子的吸烟率市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于之间的差异不大于5%，问至少要，问至少要 调查多少对象？调查多少对象？ 解：解：设共调查设共调查n个成

39、年男子，记个成年男子，记 则则Xi独立同分布，且独立同分布，且PXi=1=p,PXi=0=1-p,i=1,2, ,n ., 2 , 1 , 1 ni i i X i 个个成成年年男男子子不不吸吸烟烟，第第， 个个成成年年男男子子吸吸烟烟，第第 0 0 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l【吸烟率调查问题解答】【吸烟率调查问题解答】 某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，将被，将被 调查的成年男子中吸烟的频率作为调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在要保证的估计，现在要保证 有有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城以上的把握，使

40、得调查对象吸烟者的频率与该城 市成年男子的吸烟率市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于之间的差异不大于5%，问至少要，问至少要 调查多少对象？调查多少对象？ 解：解：又记又记n个调查对象中，吸烟的人数为个调查对象中，吸烟的人数为X，则有，则有 由大数定理知，当由大数定理知，当n很大时，频率很大时，频率X / n与概率与概率p很接近，很接近， 可用频率作为可用频率作为p的估计依题意的估计依题意 ),( 1 pnBXX n i i 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l【吸烟率调查问题解答】【吸烟率调查问题解答】 某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，

41、将被，将被 调查的成年男子中吸烟的频率作为调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在要保证的估计，现在要保证 有有90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城 市成年男子的吸烟率市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于之间的差异不大于5%，问至少要，问至少要 调查多少对象？调查多少对象？ 解：解：又记又记n个调查对象中，吸烟的人数为个调查对象中，吸烟的人数为X， 即即 90. 01 )1( 05. 0205. 0 1 1 pp n pX n P n i i 95. 0 )1( 05. 0 pp n 5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理 l【吸烟率调查问